Full text of "Guidiubaldi e' Marchionibus Montis Perspectiuae libri sex"

See other formats






GVIDIVBALDI 

E' MARCHIONIBVS 

MONTIS 


PERSPECTIVAE 


LIBRI SEX, 





• • • .• • 








tkJ^o *.^ 



/ CSijk>fi^<»^ f ■ 
c„ • 


p I S A V R I. 


Apud Hieronymum Giocordiain 






M. DC. 

SVPBKIORVM PB» M I S S V. 




BueTfcr: 


• < * 


# < 
/* 


• i 


• ■ .t ■ 

^ o 


». 




I 


lajAaviaiVD 

ayaiyioiH3>iAM 'a 

r 2 .1 T. M O M 

aAViT3aa8ii3a 

.X a 2 1 51 a I j 



Ii n , - - „ -■ •: ' 

•• ' •- •• 


•• ' *■ • ^ 
*• . V r — 


• ' t ' ; \ 




.yt' 


..i- 


» . 






'•*'“ ;i 


/ 


•wki' 


■ H jfc ' ^ 


A 


>1 • ; • — — - 7 - — 

I -I V A 2 I <I 

L * . / 

j* tCncibiODHoD xuumYnowiH buqA 
t* * ‘ . - , . 0 Q .M * 

i ' . 

j : V , .• * :v 2 &i M a a m v ;i o i a a <i v e 
'•ir . ‘- — i ♦ .. «i — 






*■ , •• I> v.k IS.. vV..^ ■> ,> ' ■ r^. ■ • : —-r.r-- 

vVnss-.sui^iss. 4r;A.Msis“ • •• s*HV<- Vr . 



.Ts.'aA ....'. t. .. -/.'. :.v...' . . c,wa\.‘..s'-^. ' - 

o » <)tiidw VbalduSsErsuer*k S* P I?» 

-.^ .V.' t tww %iu.\ i»v. ■• •'.> .' -4 iV.x . 

s- i ■ i^.sy ■ • j ,’ ■ ■ ■ ' , '■U' » •*' '■• 

AfcVSS ss - VlA* 

rlvo<\ M A evs*..' 


.tsT, .. 



■..V\«l» s. 




1 '. 4 i%»<f 

p' W M Wf cr/t 4T^Alis~ 


iiiiunJitatt in^thM h^tn 4 r 

T^NX wA'''^f.fsu AVfcM 

mtfi lon^ diffidlitrtm , y»4W «vx 'niiribtis meis /lepmerem, Jtmftr 
dmxtrimt tggredi umeis tion fum 'veritus , fublimium mdthemttit*^ 
nem fiitntitrum auxilia fretus\ iH quibus tanquam in radite harum^ 
^df Unarum faeundifsima f ttnind frobe Idtitar e ca^nguerim 1 fane 


qua 


/i mdt. fxctrpu injttum , pt^^os CMpum tUfft, j 

rnm4t4-/uerir>t ^fiu\ tMfus fitntf W ' 

Ttmtxitm propdgtretnr fibous ^ qudap&fim* egregii ^ifine^abo^ I 
raMtU rvelde eporttm * . ) j^^ir(4 eim dbjuem in ifs, qun adenecbt- j 
nUemfAii^*temfpeeutent;i*m priihtiff^ operem yith^urjie poH^ '■ 
modum ed intufUgenim^tiemm ficus etque juht , ftfi \ 

nobis confpiciende offerunt, buiu/motiHi^buUorMdi/peeuUuonem puJ 
'fiter, tr pr^im medttttusjum : ergumeufum. beudquequam (ni 
fellor) ingretum eimfurnm^uht pfnferehn ^ robus niUltJsimo,(en- 
ifiumque ommum dilectifsimo 'vtfui nempe expoftis firmo heben 
^s Jit I 'ceups idmirenikuum xfieiiMissti fi tbitciff^ inue 
figende proponentur ; opus feni non •vulgerium hominum , nec fe- 
iis hectenus perfpectum : qttesdoquidfm e 'veteribus methemeticit 
nihil propemodum huius genens ergunenti emenejjt conjlet ( loquor 
entem de te perfpectiue perte, que d Grecis Scenogrephice nuncupe- 
tur ) qui Toero ex recentiorilms in hunc eundcmmet fiopum eciem in- 
tenderunt , preterquem quod tenuuie quedfm^tentummodo ettlge- 
runt , nequequem colltneajfe 'videntur . fioriim iteqtit mmlupticem , 
U» 'veriemfpectebilium epperentiem q^uo Jwti' in propries fingjd— 
rm tenfes referre ec iefiluert oporiiet''f'^Ueve feiiont prestes i 
propriis deducentur theoriis , prefinti opere "expltcere , ec pete/ecert 
teifteuii illudque in fucem pl^Jire per/jtifi /ub ntfiimo etmpSttufmit 
tue petrocimo , cui poiifsimum dedicetum, CT‘ ionftcretum^oltu\yt 
eliquem fingtUeris in te heedibfiruentie, 'ec Henerethnis teflificetio. 
nem ederem { cf beneficiorum in me, femiHetddi meem e et Ubtrelifi. 
fimi ctimuletorum teffimonium queleiunque illud fir7i^}i ft}^^ 
exteret, 9fjqui dubito mnnufiulum ifiud in dehtih‘tibi futurum t 
tum ob ergumentum ipfum , quippe quod tiegregiem terim ferum 
e/Hmetorem fetili ellictet ,tum fitipttrtl h'omthe\ freiefeiitettt 
neeefsitudine coniunctifstmt, ectui emeniifsimi''f&' dbfiquiiififsim . . 
^re leiH benignis efiris in tuum COUjfpiJtum idipfutnu 

E , Hi' fUimtum mee tetimtes tue iUTedimefet gretU, teritmtirn 
'gnttes eddtrt n/ehet fiUiusqut itiit6tk'eliquo iucunsRietts feti 
teiees efpt^UUr inimus j' mum feuflum fimper , ttaue feliieit 'i>tUi 
Optirntis' Kiximtu Insgeutm cotsfetuet i Vile, ' " 


A|fc\ ; V 


. i -.V. 


J- .A * 


: 




RCHITECTVR AKf latquepiAu 
ram reliquas omnes antcireartes.qtf; 
citra manuum vfum ibia ingeniorum 
applicatione atque loletna , quod 
intendunt * moliri > ac peiHcere ne- 
queunt ( qutc propterea Mechani- 
cas appellantur ) nemini certe egre- 
gia earum opera conflderanri , am- 
. ^ bigendum cenfeo. Enimuerofi va- 

nas , longecj} prxftantes humano generi ex architectura^ 
vtilitates , k commoditates, fecile 
illi, principatum concedet. Harc cnian principio vagos ho 
mines tectorum •parietuniq} commoditate , & necellttato 
congregauit, vn.iqj continuit: horum beneficio a nimio 
lolis xltu fe defendentes , mordentia frigora repellentes , lie- 
uasqj tcmpeltatcs arcentes , a quibus fine habitationibus, 
& receptaculis f nifi talparum more fubtcrranca fibi fode- 
rent cubicula) nequaquam fe tutati poflcntjquz fanc cor- 
porum tuendorum ncccflitudo , communium , prnpria- 
j;umqj valitarum deinceps quafi parens fiiifle videtur : vn- 
dc a pauperculis, 64 angullis tuguriolis ad domunculas, ab 
his ad xdes capaciores, abxdibus ad vicos , avicisad oppida , 
ad raagnast^ denique vrbes progreflum ell. Cuius prxterca 
artis inuenta cfle dicuntur, machinx, tormenta, propugna- 
cu!a, vehicula , thcrmx,aquxdudtus, trophxa, delubra, & 
ana quam plurima ad Valetudinis curationem, ad religionis 


exercitatio- 





‘ F E R S P E C T I V AE 

f Icxerciuiioncm , ad poftcric;^is/ru<iiuin^Jon rocdipcotcr^r- 
I Itinentia ,,a^opprtuna: vc ri^itd ftcltit^ura pulpher4mo 

■ cius artificio, & magnificentia fummopcrc celebranda fit, at| 

I quecolchda. pidJiura quipe^4in''admifaWisT^ca^«t'[ 

/ ^ cijni 'in (upcrfiCiecorpdra formare, 8< quau Icuipere tentet» fit 

• aufit; idi{; egregie adeopriftit, fit efiilpiti vt omnium alia. 

1 rum artium , qui in rcpttclentando verfantur, fit nobilifii-»^ 

! ma. Harm]A ailWm V trUlfq^ prppfu 4^nljas;atqC(e priftan‘ 

! tia matHem*aticis difciplinis , potillimum vero petlpeifiu» 

! ferri debet acfltpte. i Ciim tntlm jSOrdpuBcpaftes, in quibus 
tota pidfura verlatur,vta peritiflimis vitis traditum eft tresefle 
dicantur; nimirum delineatio , vmbra, fit colores# duabus ta* 

• ■ rtieti priotfbiWfqu* qdidefli nirti wfi-ex petfpeftiua otiUntur;| 
tanquam prtwio artis fiin^imcnio innititur; quarum optt . 
non foldm efteiem rcram aBimararuip , aut inanimatarum 
. vtfunt i veriimeTiam.mep|b afferas, animaliutnque (viita 
dicam )Voces, infupcf temporum ,fic locorum4iccellionet 
diftandafquevnaclariffime exprimit# quod fane, neque cae- 
landi , neque fculpendi ars, neque ea ,<^ui plallice vocaturij 
ynquamcfiiciet. Archite<ifttra pariter, cum ficipfa pajtcsquaf- 
dam habeat peculiares, ecquibus integra confiituitur^lezq; 
inidicanmreflc: nempe ordinatio, difpofitio, eurythmia^ , 
fy meuia, decor, diftributio fi ue iconom ia # difpofi donis au- 
tem (alijs interim omifl»s)'tres perhibentur fpecies: Ichno- 
graphia,quxefiformi in plano deferiptio-: Orthographia^» 
quxell eredtx frontis imago operis feciem oftendciu : Scio- 
graphia ,feuScenographia,quxeft frontium compofi do per 
apparentiam linearum tanquam in,vnum concurrentiunu. 
Ezhis quantum ytraqueipfarum penpetfliux deferte debeat, 
(atisluperq; confpicuum cfTc potclf: quandoquidem ex hu- 
. ius impetida hx artes cum multa lucis» ac nobilitatis fux 
imminudone remanferinc. Harumita Aatusreiinendi, ac 
dignitatis conlcruandx gratia, vt cius fcientix,vndc nobilit* 
fimx hx dux artes fuum accipiunt fplendorcm , notitia ha- 
’ bed pollit facilior, fit expeditior , iucundiilimam placpit^ 

« fumete contemplationem nonnullorum theorematum do 
• gciicrcfpetfifabuium, fit omnino vifibiliam afpcdfui noftto 

■ variefcfcofFcrentiuiniCorumq}prxfcrtim,qux adfcenogra- 

phices 


LIBER PRIMVS. 3 


phicupraxim maxime conducunt: t^uod certe ncgociunu, 
(]uamquam a peritillimis viiis pertractum fuerit , a non 
nullisintcgra edita fuerint volumina, icntare tamen fum au 
fus aliqua in medium afferre fonc non iniucunda,8rca(b 
lidis adeo rationibus (quod ab alijs omiflum videtur) com- 
probare , vt praxes , veluti c fonte riuiili , fcaturire , & ma- 
nare videanti^r. 

Vt autem muneris a me fufeepti negotium aliquanti fat 
iicius in aliorum gra tiam cedat, oportunum fore duxi, non- 
>nulla przter communem eorum Icntentiam , qui circa hu- 
iulmodi materiam veriaricunfucuemnt, veluti przlibandx. 
przponere, tum notiiiz afferenda;, tum ambiguitatistoilen- 
d<c gra tia . Hoc namque in primis przcognitum effe cupio , 
proprium , ac peculiare obieAum Icientiz pcrfpediux ne- 
quaquam a fubicC geometris, cui fubalternatur, diuerfum 
effe : quinimo corpora, fuperHcies , linez , a tque punda a per 
Ipeiffiuo coniiderata germanam geometrici ooieCti natu 
ram , atqueconlldcranonem concernere . Quod quam uis li- 
nea latitudinis, pun^umqj (itpartium expers j aderimus ta- 
men virumque videi i : non quidem , vt vulgari fertur ratione, 
vtnonintclligaturpundfum mathematicum , Icd paruum,& 
exiguum quid indar pueri; veluti quoque intelligenda dt li- 
nea fubtilidima, non autem mathematica. Sicut enim cor- 
pus mathematicum, itidemq} fupcrhciem,ita Uncam, pun- 
clumq{ inathcmaticum in propriam adducit peripeCua, 
contemplationem : quz tamen omnia non tanquamnuda, 
ac pura geometrica coniiderat} ied quadam adie&ione far 
cfa , vt ca ratione multiplicem fpcAabilium apparcniiaiiL 
doceat, ac manifclfet; propterea accipit, atquciuppunitfu, 
perheiem, lineam, atque punctum videri : non qiiafi colo- 
rata quzdam vifusobiedaj fed tanquam exiliorum varia in- 
tcricdifbo(itionc,varij,acdiuci(i anguli emergunt, diuer- 
lamvidbiiium effigiem offendentes. Si enim lineam aliquam 
habere latitudinem conciperemus; tota htec deff rueretur 
fcieniia: in quanbsdatum anguhim vilualem in infinitum 
diuiderepoffe opuseff ; veluti quoque quamlibet obicAatlu 
figuram infinitas diuifioni rubiacercneccflc eff . quod vtique 
heri omnino non polfet, nih linez mathematice edent af- 


A 1 (umptx. 


4 PERSPECTIVAE 

I lumpccc , nempe omni prorliis latitudine carentes : vnde lo- 
quitur, vilibilia punAa clTe quoque mathematica: punAa^. 
enim linex termini cziftunt. Cum prxterea neque demon-j 
Ihari poflet varia corporum , atque luperficierum apparcn-i 
tiaj nifi linex, pundaq'} vifualia proprio fungerentur ofHcio 
terminos conftituendi j & vcluti extrema quxdam,vnde vi- 
fualesradij ortum fumant. Ex hisetiam liquet, quid nomi 
nelpeciei vilibilis in telligend um fit : eilenim apparentia con - 
furgensex radijsvifualibus, quippe qui tanquam redxlinex 
a terminis obiedi fpcdabilis prodeuntes', ad oculum pertin- 
gunt. quicquid enim perfpediua facultas oculo confpicien- 
dum proponit, & offert, illi radijs obi jcitvifualibus pyrami- 
dalem, uue conicam figuram eonifituentibus, aciemq'i iiu 
fphxrico vifionjs organo terminantibus; quorum longitu- 
dinemaioti, vel minori «propinqua ,& remota oritur inter 
obiedum,& vifum diiUntia,qux quidem apud pcrfpcdi- 
uosclf fimplezquxdamlongitudo, Hac namque ratione fi. 
gurata-qu.TCunque ex varjo linearum dudu, vnde diuerfx 
prodeunt effigies, vt quanta geometrica perfpediux fubij* 
ciuntur contemplationi , illiq^optimc conucnire dicuntur. 

De Varia igiturvifibtliumapparentia,& de eo videndi mo- 
do , qui anequadam vtfum deciperevidetur,quamuis mathe- 
maticis demontf rationibus, qux falli non pofTunt, fallax om- 
nis tollaturapparcntia, (ermonemfadurusj &defingulisde- 
monlfradones allaturus, inde initium facere placuit , vtin 
primis conltei, quo pado in data iediono figuram deferibe- 
re pollimus, qux propofitum obiedura , vt in ipfa fcdiono 
apparet, referat, atque rcprxfcntetj veluti ex prxfenti,om- 
nibusq; nota delineatione faris conipicuum efrc poteric . 

Sitoculus A, obiedumverd, nempe id, quod fpedatur, 
fitprimum figura plana; BCDEFj quxfitin aliquo plano, 
puta GH> radij autem viiuales, qui ab obiedo , noc eft 
ab hac figura ad oculumperueniunt, fint BA CA DA EA 
FA, qui pyramidem conttituunt ; cuius bafis cfl BCDEF, 
vcrtcxvcro A in oculo. Secentur hi vifuales radij plano quo- 
dam KL; quod quidem lineam BA fccetin M, CA ve- 
ro in N , DA in O, EA in P, 6c FA in Qt iungan.[ 
turqj MN NO OP PQ^ QM. primum quidem MN ap- 
paret. 


'T- 



parecipH BC xquitiji quoniam ambo fub eodem angulo 
BAC ipe^antur. Obcaiidemqfnrioncm NO zqualis ap- 
paret ipfl CD. proptcrangulum CAD, &itainaIijs:hoc 
ell Ol* ipfi DE> PQ iph EF, & QM ip(i FB xqualis 
apparete. Prztcrea figura MNOPQ.figurx BCDEF appa- 
rct xqualis; nam du(^is lineis B E MP, linea MP appara- 
bit zqualis ipfi BEj cum fintin eodem angulo BAE. Ii- 
nez vero MQ^QP ipfis BF PE aAparent xqualcs; trian- 
gulum igitur MQ.P triangulo BEP apparet zquale.firti- 
Mter iun<^$ NP CE nllendctur triangnlunu NOP ipfi 
CDE, irianguliim vero MPN triangulo BCE zqualc im- 
parcro. Quocirca tota figura MNOPQ figlif* BCDeF 
zqtiajts apparet. ergo repnrftntit figura MNOPQ' inlcdio 
ne KL° figuram BCOEF oculo A,\ 

In laoC igituf decipitur lenfusvHuy; quandoquidem fi- 
gura MNOPQ^oculo A ipfi figurz BCDEFapparetzqua- 
lis/ cumfiftamcfinntilto minor . ■'*'* 

Czteram pro fifc1Iibri‘torum , qu* dicenda runrintelli- 
g«nt<a)’quon1imfiej>cficplu5quorundaTn habrndrcrit mtn^- 
tiC»'i 'horum in primis familiarisacc^rio aperienda j’&j«p1i- 


bff. ttft, 

perfpcSim 


t.j-w fi 

• ta 


-rtiii u: 


m • 


? E R S P B C T I V AE 


ni<eU 
mi. 

|. ynitch 


cauda cnc. Prunum icaqucintclligatur GH iubkctum pla- 
num i in quod ab oculo A perpendicularis feratur AS; erit 
vtique S terminus diftanrix,qux fcilicec in iubiedo plano 
GH eftapun^loinfraoculumperpendiculariter exiftcmivf- 
queadHguram BCOEF: nec non erit S dillantiz termi 
nusab iplb adfeCrionem KL: cumdrfic hzc diftantia ca 
gnitu nece flari a, pro ijs, qux dicenda lunt, huiufmodi|>un- 
Aum S punAumdiflantiz nuncupabitur. Lineavero SA 
linea altitudinis oculi > Huc oculi altitudo vocabitur/ Hqui 
dem oftendit hxc altitudinem oculi fupra (ubieaum pk' 
num , cm femper perpendieulariter immiucre, intelligerc' 
oportet. Figuravero BCDEF obiedibum j necnon obieAi 
figura, fiueflguravifaintelligendaeft. At vero planum KL 
(quod quidem nonnulli tabulam, nonnulli parietem nun- 
cupant )vocabiturfc(^io : veluuresipfa hoc nomen fibi ven- 
dicare videtur: nomine amem fcAionis,nifi quid aliud ad- 
datur, planafediointclligcndacrit. Lineavero KR, que 
e(l communis fc^io fe(!rioni$ KL, & fubiedfi plani GH} 
nuncupabiiurlinea feirionis. figura .vero appa- 

rens figura/ nec non figura in Jfcdione vocabitur. 

! 

His}U confli tutismulcbad^ue maior deceptio ia vifione» 
contingere videtur, fi obic<flum fuerit corpus aliquod , vt> 
BCOLFC; figura vero infectione apparens fit HPIMNOt 
it(i vt figura plana in fcdione pbiedo. corpori xqualisappa- 
reat . quod quidem eodem prorfus'modO' oficndciur, ducen- 
do fcilicctvifualesradiosBHA CPA DIA*&Ct 
Ez his petfpicuum cfl fi obieAum fu.erit reCta Unea, id 
etiam, quod in feaionc apparet, redam lineam efle V 
ytfiobicdqmellreia^linea FC,quam in fedioncoAen 
dit NP. Quoniam enim planum cft' AFC} iridemd; KL 
fedioeftplana,&eft Nl* in p)ano AFC, &in plano Icdio- 
nis KL, critiane NP vtroiumq/ planorum communis fe- 

Ctio redaline^; 

Hicvcrbambigendumobiter occurrit, an fit omnino ve- 
rum (yt pallim fcrtur)in yifionefemper fieri pyramidcm,vcl 
conutn , cuius bafis fi t obiectum, vertex vero in oculo, nam 
bafimefle figuraro plana m femper opottercc} curo tamen in., 

j proxime 


4 



jiWifmepropafitd exemplo vifuale$radij non plana, 

ied a figura cofporca prodeant} atqac ideo cum balisnonfic# 
plana, nan haDcbiturp)ran'iiS|Vci conus. Actamen quam- 
uk bafis nron fit plana , quia tamen confiderantuf vtfuales ra «ji 
dfjiqbi inoculo, ranquam in vertice edeunq ideo ba(isqua;«|! 
cunque pro bali coni , vel pyramidis accipi conuenienter 
poccll. Ocinde vero fraccipiamusplaiia,qux corpus termi- 
nant, muicaspyramides coulpiciemus|Vc pyramis, cuius ba« 
fiseii BCFE,. vertex vero' A; fimili ter alia quoque pyramia 
cft , CUIUS bafiseft PGE, veriexq; Aj & fimilicer aliz. Sed quid 
dicendum erit, fi blifis hoc efi obtectum fuerrt fphzra ? in., 
hocquoqnccafupoteli inteUtgi<Cona$,cuius bafisent circu. 
Ius ih (phzrar eam partem terminans, qua; (pectatur, vertex 
vero in oculp . Similiter fi bafis eflet cilipfis , tunc vi(ualc$ 
radrj portionem coni efficient, cuius bafis citcUipfis, vertex 
tutem inoculo. Qndd autem hzc fit pars c«»ni , ex Apollo- 
nio, &c cxoctaua, nonaq; Atchimidispropofiiioncdcconoi- 
dibus,’acrpharrordibnspatct. Similiter fi daretur bafis pluri* 
biifpcrtiqnibusc^uli compofira , pluresciiam coni portio- 


nes 




-.1 


V ;• 


I 


8 P E R S P E C T I V ,AK “ 

nes ad dcuttim perucnirent; &: iuinalijsj in qiiibus^quc^ 
modo pyramis, vel conus , vel horum pars aliqua Tempet fic? 
ri, intelligipoceft. i 

His autem per(pectis,& cognitis; vt recte oculus obiectuni 
Videre pollit.vtpoftea quo adprazim in fecdonc, quopactq 
obiectum aCtuafpicereplacuerit, repratfentarevalcamus, pcT'^ 
ferutandumeft, quomodo, & vbi oculus collocandus (it: vf 
quando libuerit, recte, concinneq; rem viiam intueri polTu 
inus. Huic negocio tria necelTario requifita videntur fpectan-i 
jda: nempe (itus, deinde diUantia, ac demum anguli quan< 
icius, fubqua vi(io (icri, contingit: vt obiectum ex totocon 
ipicuum oculo (ieri pollit; ita vt oculus vnico intuitu obici 
jetum apprehendere po(Tu; non tamen vt ipfum fecunduitu 
jomnes fuas partes perfecte comprehendat; (iquidem perfc- 
'cta vi(io fit quodammodo in puncto; quod probatur expe- 
rientia omnibus nota «ficuti quando aliquis exiguum quid- 
piam diligenter inquirit, quxeunque circa ipfum (iint, vide-' 
re contingit , id iplum vero, qyod queri t, interdum non cer- 
nitur. quod vdque accidit, quia vifio perfecta ex media ori- 
^rpnpilla, quippe que ad id, quod queritur, non (c conucr- 
iic^xacte. Cum igitur dicimus vifum recte apprehendere.' 
obiectum fecundum totum, intclligimus id tunc continge- 
re, quandoin tali diflantia collocatur oculus, vt obiccium.< 
ab(queoculimotuapprehendipoillijquamui$ oculus totum 
obiectum perfecte minime videat.. . 

Hasc autem obiecti apprehendo ex corporatura, & ftrii> 
cuira oculi inueftiganda videtur. propicrea pcriiillimi viri ad 
Anatomiam contugeruiu; & pariter conucnicntcs,& admit- 
tentes oculum c(Tc (phxricum, nonnulli aflctncruncpupillam 
eQcfcr^uatum partem (phzrc :ali)vcr6pauldadhuc mino- 
rem ( quamuisnon defuciunfnonnullipupillaiti quartam cfle 
partem fphere aiTerentes) conclufcruntq; vidoiKm fieri in ce- 
tro pupille; integrame^ tutius obiecti apprxhcndoncm (ieri 
fub angulo ptopemodum recto. Vndetanquam ab omni- 
bus fere rcccp tum fer tur, v id onem fieri lub angulo acuio.quod 
vtique non eft ita intclligendum , fi A fuerit oculus , fitq; ’ 
obiectum BC, ductisc^,- vifualibus radijs BA CA,cou(li- 
tuaturqi BAC angulus obmdis,vt oculus A fotura obiectum 
^ BC vi 


L I E K" P R I M V S. J 



BC videre non poffu, cum modo 
»d e, modo ad B fcconucnctc 
poflit. Sed iu intclligendum eft , 

B C <ju6d dudta AD perpen- 
iri ipfi BC , «qualitcrqj ex v- 
ttaque parte fumantur DE DF»ita 
yt vifualcs ladij EA FA angulum 
contineant acutunu EAF : tunc 
obiefitum EF dicetur rc£te t;om- 
iprrhcndi *b oculo A; quamuis ^ ^ 

ab oculo perfedliusfpciactur puntitum D, minus vero per- 
fede EF. videntur taincn EF» quia radij EA FA ad pu- 
pillam pertingunt i & ad cenatum oculi perueniunt . idcir- 
co dum oculus vidaobicdlum EF , id Videt ablque vlla. 
liti mutatione* dumqj immotus manet, radij BA CAetunt 
^ extra pupillam : quare H oculus cernere volucri tpupAa .BC,; 
oportebit, vtlcconuertatmqdo ad B, modo ad Pi Vn- 
' de hoc modo tres potius erunt vifiones , quam vna # vel fal- 
tem dux propter angulos BAD DAC acutos, quibusobie- 
Aum videri poteft. & ob id llatuunt , vifionem £eri non., 
poile ni£ fub angulo acuto, quibus quidem raiionibuscpm- 
' munem videntur firmare fententiam , fupponemie^iprqptcr 
fpheericitatem oculi vifionem fieri in eentropupillz. Q^od 
umen non videtur verum } & in hac patre Atiftoteli potius 
adhxrendum videtur: re ipia namque ptobepcrlpe^la, yjr- 
tusvifiua non erit omnino in centro pupillie con(.U(uendx.$ 
quippe quod immaginafium fi>rtaiTe videtur: fed virfus vi- 
iiua iq ip(a refidet pupilla : vt experientia fimijium reruiru 
«nagiftra facile docere potclt. Veluti fi oculus A perfc.^c 

lerpicit O, iuvt DA per medium pupill* uanleat {quod 
axis.viius nuncupatur.) maneatqiocujus ita immotus, vt in« 
neutram partem voluatur: deinde in linea notentur puniia 
extrema, qu* oculo fe offerunt, finttjj BC} appaccoit,du- 
dis BA AC .lineis, angulum BAC obtufum effe, notu 
autem acutum ; vclpti vnicuique latis compertum effero* 
tcft. inDrcfcniia auicm< vt diximus) de quacunque vilio- 
ne indifferenter loquimur-, itaque quamuis pcrfetlie fb ocu- 
lo videatur O, minus veto perfere ^EF, . & adhuc minut 


B 


ica. 


10 


P E R S P B C t I V M 


ica vt vix videamur BC$ iat elt> quod puncta BC viden- 
tur, quare hinc pcrfpicuum ell,vifibnrm fieri pofTcfuban* 
gulo etiam valde obtufi); quod dl f6rtafl'c comta commu» 
nem perfpei^iuorum fenrentiam > hoc autem ideo cUeniiL,]^ 
quia vilualcs radij BA CA ad pupillam pcrdngerepo(Tunti 
in qua fit vifio^quamuis di£ti radij ad cfentrumpupillfpeN 
tingere nequeant, quod autem radij BA CA ad pupilla(tt 
peruenire poflint , in caufa eft rotuhditas oculi , liec non> 
pupillz, quae cum fit(vt ita dicam) in medio oculi, &val*^ 
de promineat, proptcrcaob eidi fitiim adipfam exvtraquc 
piirtc vifual« fadij oblique pfcrtingcre poflunt j Vifiotji ali- 
quo modo fieri contingit . qiiod propterea fa^^um 4 diui- 
na difpofirionc exiftimatidum eft j vt duhi oculus aliquid 
perfefte fccunddni axem \lifusintueturj q^uindo ipfi dextror- 
fum, fiuc finiftrorfum aliquid aliud ielc offert, hoc ipfum 
quoque cernere poflitj qdoniam amem hOc imperfecte VH 
det, ifatim pupillam vergit (quod propter oculi ^hieticita- 
tem , & ob cius facilem verti bilDtatcm facillimi fit ) vt hoc 
quoque perfedi videre valeat i hac qtloqui ratione multas, 
ac peni infinitas res oculm (*pc videt; quas qiiidcm minus 
cerneret, fi tantum videre poflift ; qu* fuo angulo acuto ( vt 
aidht) illi offerri polTcnt, 

Determinare autem quantitatem huiui obtufi anguli, fub 
quo vifio contingere poffit , admodum difficile apparer) & 
Videtur omnino fieri non polle, propter oculorum ittterfe,/ 
inzqualitatcm ; fiquidem & nsaiore.< reperfuntut, &mino. 
tes iri aliquibus, & etiam parui admodum, & exigui jiiOn- 
riulliq')ex maioribus valde prominentes, babentesq) pupiU 
lam magnam)in quibu^contingere poteft, fub maiori aA< 
gulo vifionem fieri pofTe j quJm in alijs , qui parui Innt, & in- 
trorfum fituati, atque recondid, quamuis f*pe contingat 
eos pctfpicaciorem habere in tui tus aciem ,quim qui magnos 
habent oculos , < < ' 

' h ' . ■ ■ 

Cctcrilm quamuisoculusiri A Videre po/fit totum obit* 
dium BC, dum axiscff tantuirimodo AD, fiquidetn ruiwt 
partesj quat funt ipfis BC proximie, vix 9c impcffe^iihm^ 
videt 5 ideo vt oculus reCte, concinnCq, totvm obieehiitw; 


femper 1 


X 




(eihpcr intueri pollit',in cadiftsn-' 
tia i BC collocsndustritjvtquari- 
> foo axe vldrft.aliquara partcnu 
' obictii , tunc. reliqua: quoque eiu* 

I 6onfpcttuifintpr*rcntes. Vtocu. 




y*. 



j 6exiftcntcin G, fi oculus vergit- 
iuumaxetnad C» njnc Videaiquo- 
duc Bj & fi oculas a*em vergit.' 
ad B, tunc ft ipfpm quoque C vi-'' 
d^re poflit i'i'ra vt vifio ipfius BC 
i^i pofiit irfedictaiepupill*. Vnde aftgntas BGC.CTUlint 
ritas toUi«'atiguIi,1ub quo fieri poteil vlfiofecli«<mnliM, 
tam pupiUab) i-dimidiunr" aurem cuiuflibii*»rtgdliire4lil»«c|i 
eft’angulus^Catus, eriV Igitur BGC an'glJlin?a’cuws.a^ujr 
tat raribne ocfilus in G vriltro iatuitu’lfefiij<*^ 
dum BC> qliodnon contingit exiifcntfc 'equiti iri Aaaaor 

1 oculus in A vergit (uum' a*ern in Ci iruncnuHo> rnod 

I videbit iprutrt Bj quiafiqaan^axls«?4'!^D‘; vuncsvixWi 
ilct .iplum' B‘i. igitur quartdo ax^ietit ACi mne viiot^t- 
jit D, vride B videri nob poterit. qt?giibr“tortitn'bbit - 
ium ab oculti^iibiptr fptdari pdflj r/pq^ttPJ vt'a*guli ^ 

vjiytmisfitSutui/ 

qdidsq; totiiiri fifnuibHie&urh‘altffb1WiVtfi/bfcfllusKidii«i ’ 

inlm arigUlii' BHC mino^fit BGCVd^uftrotuUwluai t 
Veroitaietnad B.‘ mtlidyvid^bltipruhi^diikftbWqsfi^^f 
wHent4in^ C’Vaaio GC,' ^dum^ft.lilW fdiyTixe vMeVis 
quia duin ccUluS ciV ib flV dfimqPiif,^ift'alWrii(Ud''B^lu : 
radfus CH proximiotfft axi ‘ 

'oculocxifientein G. q'uo enrm risJr'lft4feiida(tUl*faidf» ' 


djrigituradp,. tpnqqbTcaiAficrtlita'fesildi|s 
i proximioribus,.quam axi: veliti G _e:qftei ^<j j 

_ R 1 cx didis ^ 


ir — pfeRSi^tc-Trv-AB 


'I 




cx didis perfpicQum^cft. .Vifioncm iglfur ticrj dcbtu. iua 
angulo acuto libenter ci^cpaUj^admitu^nus/Ppn tamen ne* 
cedarid ( vi ipfi affirmanf )r/«l p/opicf cpBgtif?ptiorefn,meJ 
lioremq}viuoncm)vto^ndimus^ 

Cum »uque ad congru^ yifionemfopftijucndatn an-« 

! 'ulus debeatefTe acutus, nope4t ^ proppiiip eoa. 

iderarc p lubqua acuti gpguij.^uau(iiji^e vifio rc(2c dctcr< 
minari podit. |n primisj^qpc ^ aagulus fuent fereredusi 
quando oqylus axem viiqa hf yt in tunC ipfunid 

ycl non vi ieret^ Vel adqq iippprfedf videret > Vtidcin plTeti 
ac fi ipluo>> Cafwa<«tnefie| : qup4 qi44ctn «x didis mani- 
foftum «ll, q«flW fpb b«f 4 i 0 gqlo congrua fp^petvifio fieri 
non potell^qdiwui? pcqlqs^il a»? njcdidtn ^ jtrpcxcrit ; 
obicdutn rtdb quo^RCiyjgBip pc».flp4 fi- 

militcrqi fi 4 ag^^s ^ifct» acww»fin^us,,,no;niA vi* 

fiemetn fiptipopfqlam ; quod ypqu.c copf^ngft » auf ptopteh 
nimiani pfiie.4^, paryi vitent , au^prppccr nuximam eiunicni 
ab-ooulo vndefi-4.yt yilMales.(^(^j.qt> nimianu 

intcrfcptopinquiivttcm inuicem,difqc):ni p^queant, fcd 6^ 

: hc»fioiul,ac ii va^sfere (^totumciTet, appareant, &:yide^p 
tur<iwnc cnini devifionVip, a<i4J.icytnpMm:b^^^ 
)tcfft»iPiO«mulli oftcndcrsfP^aVTuncyibpPC)^ P/?* 

): fiori;fi»b ang4lp;qqQfa(ft|}vj.qpifpnqnegit cjrfult circunfef 
rcntia^redaqiVct circiilitni ponfingepte : pajaabneadd^* 


di,^ qupd j»ngqlqs contRi^U5 j^inot eft^ pfpt^ps acuris%n 
gidwwi^lincjsn ^prum,^cri^c diljgenti^e.tiapa me^^^ 

crudifisr“pc^d»ffiW» f'’4fM P,9'Vrt* M 
lecundum radibJ pc^osf qyi'/uW tapqp|m. rc^ 

<iubium viGoncpi fierinqnppfie fqb^pguK^jjtaduje^^^ 
jc CfcaUnca^ Cc circpl| circupfepenti;|'confiitutq) )ion cpnnpo 
I itfliiyirualia rqdiMs efle cp.rqps , iujdc^cjm^^ 

; yifmJix angul^ praccffa qjypqutf , fum ‘I4 4e qppicro eo 
rum,,quxyij^dwcrfl™ina4»a,<|4cgnpnfira^P9^^^ 

: , nmt rquac ficit nequeant; lion-cfi , qpad qw CBheinr .^aft 
I continget aliqpapdq»vt pcc^lffriuqi fit pbiedum /ilpiccri 
ii fubapgulp pjjtufojidqj ppaptpj>ter aligupd impedirnent 
;. tpmxicd,prppte|: vifioqem ep modo, fi: non aViter necettaf 
j. no Jficri pofli pilem, pon enim in quibulcunq^uc yiridpibqr 


cofigrua— 


I t i B E R P R PM V S. 15 


congrua vidb /croper Seri potcfti ita fciUcec^irroctiiusin ta- 
li po (Ii tfcm per collocari diftaptia, vtdum azcaUquanaobie* 
‘ partem vidpt» runctorum quoqo^ pbijEt^umfenipctviile- 
' re valeatj vt proxime di^um cfik namiin aliquibus vifioni- 
i bus far aitf il dum oculus axe videt partes medias-obicdli, 
I quod tuncvel ^otumobicdu videat Tuo angulo Actito i 'fi de- 
I li poteft) yel la)tcm aliquo modo lub quocpnqric angulo 
i videat) quz quidem anguli quAnocas cxobiednUnucmri 
j debet) duplici vero habita radontC/quia fi. oculo (^ofTciac 
’ magnum aliquod obiedhim,cuoc vel totum ipfiimobieiflsim 
' dumaxat nobis fpedtandum prtipoiiifnusKvelfimulbUm to- 
to eius quoque partes diregrnere vojumuixqubdfi torum ip^ 

: (um. tajipiutk «Ipiiciuidum abrquefonfid^AtionoipnrciHixu 
1 fiunp/e£>a)Ufa tunc longq f^fito iatCfuaUoobieAMqa;*»-!' 
I pere pc^ciputti idq):ficrir:pntihgctirab angulo sdanrytald^ 
■ 9 cutpij|cd,tuqp partcsymbilicotpfiusobiciij propinqiuorcs 
I saiqipsp poterunt propter pafuam tplwtn patnum/ 
1 qua^tita<)^ni.«.-f]uas ab pculo magit!, quam par fit ) difiaro 
; contingijc . iQ^bd fi tpruoi obiei^um pura fiiis parttbut om- 
I nibus yidue^sfpluerimu^Anint; pculus prope obiei^up^dtav 
I (»Uocaiyip^/w, v_t in|altqp 4 ^vifipnp omnes partes dilorrni 
: polfint) dt quamvis, altera pats^rtafie melius, quam altcrtu 
J videri contingat, njb|l-refefti,fa%ppim e^ omeesparuarcoo- 
; (jid pp(I)p,,qjupd fi hatcyifif fieri poteft aaigulaacuto,ap- 

B >ofica crityij^ ) fin miquss fipt angulo vd‘mdo»,vcl.obtW' 

® obic^um tned>op4»in^gnitudiDV pom- 

I mode afpicerc pofl^unrufc&.arigulpobjiulb , 4 ireA<j»A auu+ 
I toj tunc apgulqacutpri^ips.idpjerinicipmtd, quam rvptetiM 
i angulis 5 pd<yperfc<aiuf y|dt:biriiroi*e(aum angulo jnagit 
! acuto , quam minus a^^lo prpptcr diffd^orfa yirual«s:mn 
j dios} vf ppte ^i ipfius yij^rppqpjaqjui^^ 

4 dummodo iamtcn noii,i4t.angulusjidepjaAU4usy:,M(^icx,itu 
j paia radiorum yj{ualiup).iripicemapproxima(io.a:(H<qn^o 
'potius, quam vifiofia^. Ql^i^um cpim «p pro^urttofiao 
j ^ftantiawllltqedebcynn,! , i-, r.:r r( 

, ' :r 'fl ", ; ' Ir. • - " 

■ ( His cognitjsj Vt adbucpxquifidils, perfe^iusq; qbicdhllQ 
alpicerp pofGmus^ fummopftc ubfcruaudus eft (irut, in quo 


E 


colloca nduf 


•uwrt .n 
■VUiS ^v.1 


:.j 


rr= 



Oi 


• 1 


'3 apparebit. vcBadidesiq perfpccdaapropofitionibus de- 
cima, & duodecima dcmonihauic. oculo autem exiftentc; 
io pbiccmm BC* tara-idextroTTum , quam nniOrorfum 
tendere apparebit, nam propter aequales angulos BED DEQ 
ac propter radios BB CE «equalcs, puncta BC xqualiter 
diltare ab oculo videbuntur; vt funt. At vero inteUigatur 
per BC planuln hArizo^ fcquidlftins ,cni ad angufcs rc- 


ctps ducatur EH; iunganturqj HB HC ; eruntranepla 
tfa bE« pl and BHC erecta . & qu( 


«ecta . & quoniam trianga- 

loiinfi feBH duo latera BE EH mnt duobus )atcri< tm 
bus CE EH xqualiaj vnde & inuicem proportionalia; & 
angulus EHB angulo EHC «quafis; funt enim ambo 


I rc^ 


Oii erit angului;,HB£,an^o HC£ xqualis, quare #adhis 

nran ^rir #itiA afl -J 7* 


r ^ ^ fiJWSav 

BE non erit qu6 ad horizontem magis furfuht , vd djcbf! 
fum,q\iam CE» fed vie^, pridem habebumchnariOM 
Vnde & puriadrum quoqUd^BC alterum alterri^, 
magis furium vd-deotluin a|rp!trebill. ei qud Icquifjur np^ 

? |Uf'ribiedtum BC apparere in neutram partcpi, fiue mr- 
um«fiuc deorfum tendere . quare horizonti (cquidiftans, 
6cuti eft» videbitur. 


j» 


Ex his omnibus pcHpicuum e(l,qudd quamuis,qur fub 
atqualibus anguli; .videntur > apparent zqualia multo /ta- 



aty , ^ ^ 

CEB. quod eodem modo femper oftendetur 


/Similiter ( ^uod communi ftre opinioni repugnare vi- 
^emr y obicAgm melius fub eodem angulo cerni poteric 
in didamia longiori , quam proximiori ; vt patet , quod 
mcliq? jn E^, qufm quod ca|ncn condiigip^pfopter 
ficum *&non propter difiantianu. 
ft- '• - ^ ■ ■ it' •='. ; 

'-.Quandb igituo dbie^um videre volnerimut ; ita' vt tb- 
d!b».pcirfeiftcq;iip{nm intueri poifimus: magfna adhibendd 
«rir diligentia ymon iblum in vifaalis anguli quaiidtatcy ; 
atque diftantia, verum ctianuwfita^ • , ' 


4 


oo 


i 6 


F E R S P E C T I V AB 


Quoniam vero tota (cenographicci prazis circa Uncarum 
vifionem , pcascipu^} rcclarum conUitit; ideo fumpta li- 
nea, tanquam obiero, adhucnonnullsl de angulo«oiftani 
tia, &Utu prorequemut:* ' 




PRO P O St,T 

' Si recta; linez vift dat; occprrait linea. aldtudinu oculi 
C|iu6 propi£iserit oculus ipG line; , maior edam apparebit» 
linea vi£t;. T 


Sit data linea viCa BC rui occurrat CA,- que fit li- 
nea altnudinis oculi. Dico qa6 propt&s ent oculea 
ipli C, lineam BC c6 maiorem apparere. Inrciliga- 
tur oculus modd in A, mod^ln £, conncftanmrdt 
BA B£. Quoniam enim angylus BAC maior cftan- 
ai. priaii. pjiQ oculocxiftcptii» A maior apparebit BQ ^ 
quimcxiftcDteoculoin E " 

■ )i 1.; ■ ; ir 


>11 


ri lil • 


in‘ 


'i' * 

- 1 . 

- 

'i 

rnff' 



. TUI 


•q riiaiiHri''; 

r'lL» 



Velati etiam in i^ndafigora fi tinea altitudinis ocn» 
iipfi BC eccuttentin Fj cum fit angulus BAC ifta- ' 
ior angulo BEC. fimiliter fequitur qud propiiisfucqip;*; 
oculusipfi F, lineam BC rnuoremquoqueappatera" 
quedaemoalbarc oportebat • - t 

j !?qr ; ■ ■ . 

li.. ; liii .1 ..ino boi' 

' I.! . -fc ■ . I*'- ■ ' -.n n*j 

' , ii-.i"!.,. 

PROBtEM POSITIO. 

'. 131' il'j -i»,- ■ : 1, ”jl!i 

Dat; line; vif; non accurrat linea aldtudinis oculi, pun- 
dlum autem 'diilantizlit cum dau linea id diiectuiiL, 
Situm in linea aldtudinis oculi inuenire«iin quo £ collo 
cetur oculus, vifalincdmaiorappareat» quam eziftcnteoai- 
lu in alio litu ip/iulmct lineae. „ i. 

— TT 





L 1 B B 

Sit otijcAum BC reda 
linea. S diftanct« PUA> 
Etum , hncaquc altitudinis 
oculi fit SA: fle fit BCS 
in dirc^ira. oportet in SA 
tanAuminucnire, in quo 
ii collocetur oculus> linea 
BC niaiot appare at. qoAn> 
inquopinque alio (itu li- 
nes 'S A fuerit oculus coa- 


fiicutus. Inueniatur. linea 
SA. quz fit inter BS SC 
•ledi.i proportionalis. Di- 
co, punfhim A ciTcpuB' 
ffum quxfitum . iungan- 
tpr BA CA, Se inter AS 



il-ftxti. 


rp» nn. V.A, ot inter A» 
quoduisiunuturpunaum 

t>. fi militer extra SA vbi- 5' — ' 

cunque fumatur pun^um ^ 

fi) conOrffaotutqUe BD 
CD> BE CE. Deinde cir* 

ca^w^lum ABC circulus deferibatur BAC. Qmjniamenim eft BS 

e CA.» • ’ ipfius SA critteclanguio BSC zqna- ,, r,rii 

tes fedlKKa SCB circulum lecat; S^ srerodrculoocCTirrit; linea'iriw! 
SAEqarcMUim S9iuingeiin A. Se quoniam punaunv p cx^a arculum ,, 
leperitur, p^fpicuumeft.circunfcrentiam CA lineam BD (ccare, vt inF.fi. 37*frrt«. 
militer circunfcrentiam AG Uncam CE frartivtm G.fiquidcm penOum E 
«ft quoque c«ra circulum ABC; Inque iungantur CF BG. Ciim icitur 
anulus BAC fit angulo BFC «qualis , cft vero BFC jnaior angulo 

" ratidiic, 

GC BA<;i 


BDCi cigo anguli» £aC angulo ibCifiaior exifiit’. ' Paiiq, 

tgulus BGC maior cft angulo BEC , fimtvwA BGC BAC 2 '^‘,' 
It angulus BAC maior Bfc; obicrlum igitur BC maius 
in D, vdin E eaifientiv Se hac 


quoniam angu 
squalet, erit anj 


ili tertii. 
.21. priiHii 
primi, 


nono fempet often^Sur IC maius apparcrct^oih A exiftcnd.qujnr' 
an aho fitu |mcx SE. quod Eteere oportebat . ^ ^ 1 



quod fiteere oportebat 

P R O. P O S I T I O. 


IM. 


-vv ^ ' filii 

1 • poiitis. Pjco,<|uo propiuk fucrir oculus j 
obiectu^ <ju£y«c ni»ius; appareret. > ' X. 


(17 


flttQduitpuDflum Rconncaaniutcii BH CH 
nA ^D^orcttlttsderctibaturBEDC.1 efim itaque fit linea 

cxtn..Yndcmanif«(limen*air. 
't'alcQ.narcfiiBnceittntCIi codeni 
^o»ft*ndttu(ranguliun- BDC maiorem efle' BKC.. acpropte* 

' i«»aju»apparcre oculo in D eiiftcnti . quam iri ' H. Si- 

quodnis puoaum furnamr K,i 
triangulum fcEC cuculus dcfcribamt. 
le-.| ^'^*JF“'’*^™riamEL lineam Bk fteare, vt in L. Qtiodfiiungcrctur 

jSj.. limiliictoftctidctMr angulum BEC maiorem cflcangulo BKC. at-» 




A.dX .1 

. 1^.1 

•wr.^ , 1 ^ 

.1 


qae 


• '• 


/ 


i8 


p E R S P E C T I V AE 


que hac ratione deroppftrabitur pbieOum BC maius apparere oculo ipG A 
propinquiori exiftcnti , quim remotiori . quod dempaftratcoportebar . 

problema PROPOSJTIP, un. 

Ijfdem adhuc poGtis, Datum fit pratter A vbicunqoo 
linea SA pundlum , vt P; in eadem linea alterum in- 
uenirc pumilum , ita vt oculo iu vtro^ue pundlo cxiAihtti 
pbiectum aequale apparcac, 

SI enim circa triangulum BCD circulus deferibamr, linea Ttiqne SD 
circulum fccabit.vt in E. tunc oculo tum in D, tum in E collocato, 
obicOum BC femper apparebit iqualc.- Namiundis BD CD, BECEt 
SI lerfti. : lunt ?quales inter fe, quod Bacerp Oportebat. 

i 

PROBLEMA PROPOSITIO. V. 

Data reifla linea viia littae altitudinis oculi parallela, pun- 
dum in linea altitudinu oculi inucnirc, in quo fi colloco- 
tur oculus, linea vifa maior appateat, quam exiftente ocu ' 
lo in alio fitu ipfius lincf ; 

j- 

ObieAum Et data rcQa Unca BC , 
tt Et SA linea altitudinis oculi ipE 
BC xquidiftans . oponct io SA ocu- 
li Etuni inucnirc, ita vt BC maior 
appareat > quam exiftente oculo in 
alio Em ipEus SA. Diuidatur 
bifariamin D. Ducamrq, DA per- 
pendicularis ad SA. Dico A cEc 
ntum quxlitum-. Sumatur in SA 
aliud quodmspundum E. iungan- 
turq; BA CA BE CE. Qiioniam 
igitur iiiiea SA cEipfi BC pttailc- 
n. Scctt DA pcrpendiculads ipfi 
SA-, cadem DA ipE quoque BC 
perpendicularis enr. Itaque circa 
triangulum ABC circulus deferiba» 
tur BAC. A quoniam cE DA pefpcndicnliriSBCteftq} BC in D bifa- 
C«r. I. ter» jjjn, diuila , tranEbit DA pcrcirculi centrum , cft vcr6 AS pcrpendwiUtit 
w. ipfi DAjergqlincaSAcirculnm contingit. Vndepun^himEexna cittu- 
Csr.ld. itr lun, reperitur-C^re circunfetentia BA lind CEIccabit.vt in G.ltaqueiuii- 
P«. gatur BG. quonram igiiurangulus BAC eft squalis BGC; cft antcni BGG 
xi.ieruU jnaior BECr entpropterea BAC maior BEC.eodemq; ptorliismodoli. 
at, priw. neam BC maiorem apparere oculo in A, quim m alio fitu demonft tabi* 
tur . quod &CCTC oportebat.! 


PROPO* 



\ • 


L I B E R P R I M V S, 




PROPOSITIO. VI. 

Ijfdcm pofltis. Dico, qu6 propinquiusfucrlt oculus ipli 
A , lineam BC maiorem quoque apparero. 

Sumatur punAum F vbicunqne . diftet ver6jna^ pGOum F ab A, quini 
Eiiununnirq-, BF CF. rurfuscirca triangulum BEC drculus deferibatur 
BEC> m quo (quod limilitct oftendetur^ linea DA per circuli centrum 
tranfibiti cGmqtCt DA per^ndicularis ipii SA> circulus BEC lineam 
SA fecabit, vtin H, itavt EH biBuiam diuil& proueniac in A. ez quo 
patet portionem lineat EF.& obid pundum F extra circunferenni BE tqie- 
riri. ac proptereaab ipfa lineam CF fecari.vtin K, Quapropter iunga- 
tur BK . cum enim fit angulus BEC xquaUs BKC, BKC’ver6maiorcft 
BFC; erit BEC maior BFC ex quibus manifeflum eft lineam BC ma- 
iorem apparere oculo in E exiftente, quam in F. Q^d idem oftende- 
tnr ad aliam partem fumptispun£lis LH, nempe lineam apparere maio 
rem oculo in L, quim in H. quod dcmonfttarc oportebat . 

PROBLEM A PROPO SITIO. VII. 

Ijidem adhuc poHtis, Dato in SA pund)’o ( pratter A ] vr 
H, aliud inucnirc pundium , ita vi BC xqualis apparcac. 
oculo in vtroque punito collocato. 

% 

ConneAantut BH CH. Ducaturq-.per BCH circulus , qui lineam SA 
fecetin E, vel ('quod ex dcmonfttatis idem eft ) fiat AE xqualis AH> 
erit vriqne ptin^m E. quod quxritur. fiint quippe an^iiBHC BEC 
xquales . Vnde linea BC xqualis apparet oculo tam in H > quam in E 
exiftente . quod iacere oponebat. 

PROPO.SITIO. VIII. 

Si linea vifa fuerit in fubieAo plano , a pun<3o autem di- 
ftantix duda perpendicularis ad lineam vilam in ipfa ca- 
dat Unca , Maior apparebit linea vifa oculo in pundo di- 
(lantix exiltenti , quam in alio litu linex altituciinis oculi . 
Maiore^; apparebit linea oculo diftantisr pundo propin 
quiori, quam remotiori. 

Sit BC linea vifa in fable^lo plano ■, in quo Ct S pun^m diftantix t 
fit<|i AS linea altitudinis oculi, qux quidem lubiedo plano pcrpcndicuLa- 
tis cxiftit . Deinde i pundo S ad BC perpendicularis ducarur SC> qux 
piimiim cadat in cxtrcmiutelincz BC. Dicoprimiim BC maiorem ap. 

c 


}. rmn. 


patere 


fram. 


XI. ttrtu. 


20 


4 !» rtx^ 
19. frim. 


4. primi. 
31 . fnmi. 


Ip.frimU 


PERSPECTIVAE 

parere oculo in S exiftenti. quam in alio fi« 
rulinex AS.Iumaturinipra SAquoduispun* 
ftum A.Iunganturq; BA CA. Quoniam n 
enim AS ef{ plano BCS creSa , & SC ipfi 
CB perpendicularis exiBic ■ ent quoque linea 
ACipfifcpetpendicu laris. Qim ifaOUe ASC 
rectus (it angulus > er|f AC maior SC. quare 
fiat CD .xqualis CS, iungaturqi BD.-& quo- 
niam duo latera B J CS duoSus BC CD lunt 
cqualu, anguliqt/ quos contineor) BCS .BCD fiinr sequales , lunt nem« 
pircai, cnc niaugulam inangulo, Sc ai^ului CSB angulo CDB xqua< 
Iis. maior autem eQ angulus -CDB. quiiu CAB : ergo CSB maior cft 
angulo CAB. mador igitur apptrebtt linea BC oculo exillcutc in S.quam 
,in A . & per coaToquens qua» in alio (iru tinex SA. 

Sumanmr ileindc in linea dtitudinis; bculi ad eandem partem quxii* 
bet duo puncta AE. firq; A ipfi S propinquius , quim E. Dico lineam 
BC maiorem apparere oculo in A cxifteniit quim in E. Ijrdcm conllru- 
itit connectanmr BE CE. pcimuqi quidem Qmilitci ollcndetur lineam 
EC ipfi BC perpendicularem efle. Se. quoniam angulus ASC e(l rectus i 
erit SAC acutus ^in inangulo enim ASC duo recti efle non poITiint) va- 
de £ AC ent angulus obtufus . ac proptetea Unca EC maior cft AC . Fiat 
itaque CF xqualis CA. iungaturqi FB. eodem prorfus modo ofteudetut 1 
triangulum BF'C triangulo 6AC zquale elTcivnde angulus BFC.quieIt 
xqualis BAC> maioreft BEC,./Qiiare maiorapparebitlinea BC oculo in 
A collocato, quam m £. Atquchac ratione oltcndctur, quo propius lue* 
iit oculus puncto S , c6 maioran apuarcre Uncam vifam 

Si ver6 a puncto S ducta linea SG iplis BC SA per- 
pendicularis, non in excremitale , fcd m G occurrerit. 

Qnoniam enim cx proximi dcmonfiracis BG maior 
apparet oculo in S collocato, quim in alio firu linex 
S.\tlimilitcrq: GC maior itidem apparet oculo in S 
cxdlcnti, quam in alio fitu: tota quoque Unca BC ma- 
ior apparebit oculo in pundo S collocato , quim in 
aUo fitu Uucx AS. 

Pariqi ratione oftendetur maiorem apparere BCocu- 
loin A, quim in £ collocato. Nam ciim vnaquzquc 
Icorfum BG CG maior appapeat oculo in A, quim in £ ; tora igitur fi- . 
mul BC maior^parcbit oculo punito S propinquiori, quim remorio- 
ri. quoddcmonRrarcoponcbat. 

idem codem modo contingere ad alteram partem linex SH ofiendetut. 


PROPOSITIO. IX. 

Ijfdctn pofidsj linea vero perpendicularis d punito S ad 
BC dudia non cadat in ipfa linea BC, fcd extra in G, 

SGj & ficut BG ad GS, ita lic GS ad CC. Dico lincanx, 
BC limiliter maiorem apparere oculo in S exiftentc.quam 
in aiio litu linex SA. & quo propiik erit oculus ipfi S, li- 
neam BC maiorem apparere, quam oculo ab S longii^ 
eziUenco. 


s' 



Sumaiuur 


LIBER PRIMVS. 


•w n ■ 
21 



19 * frimk-’ 


Sumantur in SA 
ad cafdS partes duA 
pun£U AEi fit v6- 
rd A ipfi S propin- 
quius, qalmE. cd> 
niAantnrd.' SB SC, 

AB AC A<3. EB 
EC£G. QaoDiam 
tnim cA ASG an- 
gulus teftus , erit 
GA maior, quim 
CS. Itaque fiatGD 
fequalis GA« Sun- ' 

Rsiinirq; DC DB , 
primum quidecon ® 

ftat GD maiorem cflc GS. Et quoniam AS plano SBG e A erefla , , 

pG eftjpfi BG perpendicularis , erit AG eidem BG quoque perpendicula» /***' 
tis; cft igitur AGB angulus teftus , qui zqual» cft rc«o DGB . dc quomam • _ 

duo latera DG GB lunt duobus AG GBzqualiaietit DB ipfi AB (qua-. 4' fr”^ 
le . eodemq'i modo linea DC ipfi AC zqualu cflc dcmonfirabiiur. ex mii-' * ' ' 
bus patet, triangulum DCB triangulo ACBaqualcclTe,angulumq;CDB 
angulo CAB «qualem . Pariq; ratione liat GF asqualis G£ • qu6d cum (ii 
in triangulo AGS angulus ASG re£ius,ctitSAG acutus, vnde reliquus 
GABobtulus exiftit. vnde Irnea GE maior cft GA; cftautcnl GFcqua- 
lis GE, & GD ipfi GAj etitigiturGF maiorCD. Conneflantur FC FB, 
eodem protfiis modo oftcndeiur, angulum CFB aKjualcmclTe ipfi CEB, 
veluti CDB zqualcm ellc CAB oftenfum fuit. Itaque quoniam iu cft BG ad 
GS, vtSG ad GCi.fiintelligatur GF tanquam linea altitudinis oculi, crk drz.ituM 
angulus CSB maiot CDB , & CDB maior CFB; (unt vero anguli , qui *« • 
ad De, xquolcs angulis, qui ad A£< maior igitutcftangulusCSB angulo 
CAB , dc CAB maioi CEB- ex quibus pctfpicuum cftlinesm vilam BC 
maiorem appatcrcoculo in S exiftcnce, quitn in alio litu ipfius SA. dt 
infiipci eandem BC maiorem apparere oculopropinquius ipfi S colloca- 
to, vt in A, qudm lemotiusab ipfo S cxiftcDte, vt m E, ejuod demon 
ftrate oportebat. 

PROPOSITIO. X. 

. Ijfdem pofitis, (i GS maior fuerit, auim media propor- 
tionalis incci BG GC, eadem proifus umiliter contingent. 

Sit enim BG ad GFl , vt GH ad GC , fitq; GS maior, quim GFl. Di- 
co BCmaioicm apparete oculo in S exiftcnti.quaniinaiiofituUncz SA, 
itidemqt maiorem apparere BC^oculoin A ■ quam in E exiftemi . IjfdCBi 
namqueeodem modo conftrudis, nimirum erit angulus CHB maior CSB. 
fimilitcrq; angulus CSB maiocCDB.dcCDBmaior CFB. quod cum an* 
guli, qui adDF, angulis, quifunt ad A£, fint zqualcs.crit angulus CSB 
maior CAB.dcCXB maior CEB. Manifeftum cft igimr,quoa propofi- 
tum fiicrat.quod qiudcmdcmonftrarc oportebat. 

Pariq; ratione cadem contingere in SK oftendetur. 


EXI. bx- 
uu. 


22 


l-> erspectivae 


Irmmm- 

telf.iKf 

mi. 


Mx ttJrm 
lemmttt. 


tx V h»- 


bmHS, 


%. btha. 


#. Wm. 


PROPOSITIO. XI. 

Ijfdem adhuc pofitis.fi fuerit GH maior, quam GS,quae 
quidem GH fit media proportionalis inter BG GC.&in. 
linea altitudinis oculi exponatur linea SA, qu* oftendat. 
id, quod plus potell GH, quam GS. Dico lineam BC ma- 
iorem apparere oculo in A exiftenti, quam in alio fitu i Sc 
quo propiiis fuerit oculus ipfi A, co maiorem apparere. 


CHB xqualis cft angulo CAB . 
funtenirntriangala BGH BCAJ 
& BCH BCA zqualia , quod 
quidem vt antea dcmonftrabicuii 
Cum autem fit BG ad GH. n HG ad GC; eritanguluj CHB.hoceft 
CAB maior CsB. fumatur deinde inrci AS vtcunque punitum F, du. 
itaq; FG> fiat GD xqualis GF, fi linex eodem modo ad BC ducerentur, 
angulus, qui fieret ad D, angulo, qui ficrer ad F, xqualis exifieretllcdBC 
maiorapparetoculo inH, quimin D,dc maior oculo in 0,qu4m in S 
ergo BC maior apparebit oculo in A.quim in F,& maior oculo ia F, 
quimin S. Parid; ratione fumantur extra SA qtixlibet pun£ta EL ; iun- 
ganturq; £G LGi fiant j; GK GM xquales iplis GE GL; eodem mo- 
do demonftrabitur. Uncam BCxqualem apparere oculo um in K, quim 
in E collocato; fimilitctq;tam in M, quimin L. at quoniam BC ma- 
lor apparet oculoin H , quim in K, & maior oculo in K , quim in M exi- 
ftcnteimaiorquoqueapparcbit BC oculo in A. quim in E exiftcnte,'& 
maior in E, quimin L collocato. Q^premrer BC maior apparet oculo 
in A, quam in alio fim,dc quo propius fiicxic oculus ipfi A.c6 maiot 
apparet . quod demonfirare oportebat , 

PROBLEMA PROPOSITIO. XII. 

Ijfdem pofitis. Dato in SA vtcanque punflro F, alte, 
rum inuepire punt^um in linea altitudinis oculi, ita vt li- 
nea BCfqualisapparcatuculo in vtroquepundo exiftente. 

Fiat GD xqualis GF. Inucniatut^i alterum punOumK, ita vt BC xquy 

Ut 


Ftimu m quidem fimiUter iun- 
ganturAG AC AB, 'SC SB.« 
quoniam AG fubtendit angulum 
rethim ASG, linea SA oftendet 
id ,t)uod plus poteft AG , quim 
GS. fed SA oftendic etiam id, 
quod plus poceft HG.quim SG( 
ergo xquaUter plusjpotcft AG, 
quim GS , vcluti HG , quin/ 
GS* quare Unex AG GH in- 
terfe funtxqualcs . vnde angulus 



■ p 


i 


r ^ 




LIBE R "^P R I'M V S. 


lis appareat oculo tam in D, quim jn K exiftqptij appliceturq;'! punfto 
G linea GE, qu* occurrat ipfi SA, fitqj GE zqualis GK; patet lineam 
BC.zqualetnappvercoaiio tamia f, quarnin £ collocator quodfa- 
ccrc oportebat • • 

J^cm contingere in SN iimUiter oftendetur . 


timusqs, circi JdU rtctd iiwtte yifiotiem vtnnulU Untum dt m- 
gif/i ^Mi/tiC4t* attigimus , prata iiturft acttlt pafitio in linea altitu- 
dinis oculi contingit t nunc, vero pauca quadam circa eadem , , prout di- 
uerfa inuaniri potefl /ectionis pojitie ,fim»l afferemus. 


PROBLEMA PROPOITIO. XIII. 

Oculo dato , dataqr liaea terminata in fubiedlo plano 
etiftente , planum autem per lineam , &■ oculum tranfiens 
fit fubicdto plano crCiSum {.fisdlioncm fubicdbo plano ere 
diam inueiiirctin qua apparens linea datzlinezzqualisap 
pareat j & xqualis exifiac. . 

Datrtyfitocalus A. dataq; linea BC in fu- . ■ » 

bie£Kn>lano ; ita vt planum per BC . fle A dn - 
ftnm flrfidjie^Jo piano ereanm . Oportet fe* 
aionem fnbicaoplanderettaminuenire, in 
qua linea apparens videatur , & fit ipfi BC 
zqualis. I 3 ucantur vifiialcs radit CA BA>& 
i pnntto B'BTigatutBD lubieao plano ere 
fta . qttie ipftm C A fecet in D erit vtiqnc 
BD in plano ABC. Deinde licuaefi BOad 
BC. ita fiat BA ad AE , fl< a punfto E du- 
catur EF ipfi BDparalIcU- Intcliigaturqtic- 
ftio peflineant EF tranfiens . Dico feftio- 
nem per EF duftam lubiefto plano crcftam 
efle , tincamq; EF in fedlionc ipfi BC , fle 

Vequalcot apparere. fle ((Malau adi: . Primiun^quideqr ^Cjxqua 

Icm apjlatetc, erlccotiltat.cfim vtrtquc linea lub eodem m?olo BAC 
Ipctlctur. Quoniam autem EF cftipfiBD zquidittans.ctit EF (iibiefto 
plano crcfta . V ndc fle feftioper EF dufta lubiefto plano ctcfta etit. At vc- 1 
rdqiioniawi EF cIl ipfi BD zqnidiftans;obfimiIitudincm trianauionim 
^BD AiF, «riit BA ad AE, vt BD ad EF. fed vt BA adAt.incft|^ 
BO ad BCj erjo vtBD ad EF, ita cft BD ad BC. Quapropter EF ipfi i 
BC zqualis exiftit. Inuenta cft igitur EF m.leftionc lubiefto plano ete- 1 
fta , quz ipfi BC zqualis appaict , fle zquaJis exiftit . quod faccoc » 
portebat . 

Oportet autem in hoc problemate, vt petpendiralaris, quz i punfto 
A' in (bbieftuin planum cadit, non cadat in ipla linea BCi Icd extra. 

— ^ ^ Pk6BU: 





II 


,4t.. 


l4 P E R S P E C T I V Af 




^fcxtU 


PROBLEMA PROPOSITIO. XIIII. 

Dato oculo, dacaqs linea , (cdbioncm inuenire, in qua (it 
linea apparens, quz datx lines ecqualis appareat^ & zqua* 
lisexiftat) vifualcsqj radij intcrle (Int zqualcj. 

Sit oenius A,daiavcr6 linea DC. 

Ducantur vifuales railij BA CAi qui vel 
funtatqualcs.vclinjqualcs. C ftnt ?qiu 
Ics, iam habetur intentum, intclligatuc 
enim per BC Icftio, eritd; ea<fcm BC, 

&obic£tum,& linea in <ctiio#c appa. 
tens . qui obiccio xqualis cllt debet. 

Sedfint BA CA.iniqualcs^fcaionera 
inucnire oportet, in qua (it linea, qu» 
ipfi BC non folum videatur ^fqualisi 
verum etiam xqualU exiftat . (intq; vi- 
fuales radii inrenie xquales . Hat AD 
xqualis AB; iungaturd; BD. It quam 
proportionem habet BD ad BC, ita fiat “ 

BA ad aliam AE • ducaturq, EF ipli BD Xqnldiflans. IntelUgaturiji (cQio 
per EF dufla. Dico EF iph BC' xqualem apparere, & xquaicmcirc: ta- 
diosqj vifuales EA FA (nterfe «quales clTe . Quoniam enim BDcfi xqui- 
didans EE,- erit ob fimilitudin^n triangulorum ABD AEF, ficut ABad 
A E . ita BD ad EF . vt autem AE • ita eft BD ad PC , eandem igi- 




. frina 
2 g. primi 
6. praitt. 


IguTus ABD angulo AEF, & ADBangujo AfE aiqualis. Quarcangulus 
AEF angulo AlFE xqualis exiftit. ac proptetea EA FAimcclcipot xqua- 
les. &q'uoniam BC EF lub eodem angulo rpc£Untur,iipnipi EAF, li- 
nea EF iph pe xqualis apparebit. crgoinuciitac(Uc£UoTCr£FtTan(icnh 
in qiiaeft linea EF, qux xqualis apparet, vt BC, dtcdcadeai EF ipil BC 
xqualis . vilualo q> ^ ^ A fiint interfe xquales, quod ficti oportebat. 


PROBLEMA 'PROPOSITIO. XV. 

Oculo dato , dataqt luica , fedionem inucnire , in qusu 
(it linea apparens , qua datx lineas «qualis appareat , nec 
non (it ipli quoque «qualisj alteri vera daiz if;>c« zquidi- 
(Ltnscxiltat.,. ► . ' u • , 

Danis fit oculus A, data^j linea BC. finn^ivifiialcitadiftlA CAv 
firqi altera datalinca D. opionctlctlioncm imicnirc, inqiia fit linea, qux 
, ipli BC appareat, & fit xqualis, fitq; datx linex D xq uidi flaiis . Duca . 

tut i 


/ 


L:I B EiR V K i M V S. 


ttir i punAo B linea BE Moi* 
diftaniipfi D- & vt BEadBC», s , ,, ci' 

itaJja»BAadAO.D«catur<i,‘ > ^ -J' ‘ 

Cr ip(i BE aquidiftans . in< 
telligamrqi l?iiio pec GF du* ^ 
fla. Dicb-GF io6 D xquidi- ■ 
ftantcmcffc.&ipfi BC pqiuw. , 
leih apparere > & xqhalcm ef- 
fe . fimilitev enim qpqniam 
BE GF iunt parallelx ,, ob G* 
militu>iin;in rrianguloru A6E 
AGF > erit BA ad AG . vt BE 
ad CF» BA ad AG. vt 
BE adBC; etit.iginir BE ad 
BC, vrad GF. quare BC GF fuiy xqualct . qniaTerb GF eft xquidi-' 
ftansipG BE. 3t BE cG ipG D xquidilUns, erit& GF ipGDxquidiflau^ 
Bc quoniaufGF BC lub anguloBAC videntur, linea GF ipfi BC xqua-> 
Ii 5 apparebit . ergo inuenta eft fcdio per GF iranGcns , in qua cA linea 
GF ipG D xqoidiAans.eademqi linea apparent Gtxqualu appara, 

BC ; & cA ipG BQ xqualit . quod Gui oportebat. 



vt 


PR,0,Bi.EMA PROPOSITIO. XVI. 

t)ato oculo, dauc|j linea , iedHonem inuenire , in qua> 
iit Unca quar data: lincar a:quali$ appareat , ipfiqj zquidi- 
fttftj ddcavero linea ad iplan^ d^unioabcat propoicionctn 


r A 


l^rGn fit datus oculus A. dataq 
BC. tadijq,'vi(ualcs Giit BA CA- data v«.i 
ro Gt pro^rtio , quam habet D ad E . fe- 
aioqem jnvcnire oportet .jn, qua (it Unca, 
qua <11135 /illex BC<cquili^ dppareat i ipGq,- 
Bc Gt xquidi Aans , at vero BC ad mfam pro- 
nortiDnpm bal^, quam D ad E . Fiat , ,vt 
OK D ad'F, rta BA ad. aliam AF. ipGq; 

BC xqdMiftoni ducatur FG.' intclligaiiirq:'' 
fcftioB»FC» ^/ta. Gmili modo quoniam 
FG c(t ipu BC xquidilUns . ob uungjulo- 

mm ABC AFG fimUihidinem , ita erit BA adAF, vt BC ad- FG. vt au- 
tem BA ad.AF, ita cA IP ad Epergo BC adFG cA, vt D ad E. dc quo- 
niam BC FG GintGib eodem angulo BAC, linea FG ipG BC aqualis ap- 
parebit. Q«re inuenta eA fe/iio pet FG tianGens i in qua cA linea FG . 
qux ipu BCxqualis appara, ipAdj eA parallcU, habctqj BC ad FG datam 
l^roportionem , qiUB iciUca clt D ad £. quod Gaib^ncbar. ' 

■ , . ' ' -la 



1 1 . f «mti. 
9 . f wwi. 
9 " ynitch 




V. J- , .t 
• TI 

. i: .y 

l ,l.y .11 


ir.- 


la. fixti. 


4. fexti. 
ll.qiuiUU 


D 


PROBLE- 


» 


z6 


PERSPECTIVAE 



PROBLEMA PROPO-SITIO. XVII. 

OcuIq dato f dataq; linea { Telonem jnuenirc, in qua« 
Ht linea , qua: datz lincx aqualis appareat j dataq; linea ad 
iplatn datam habeat proportionem ^apparemq} unca alteri 
datx linexzquidillans caiftao. 

Sit datus oculus A. data^; Ii. 
neaBC. fimq; viiuales tadii BA 
e A. data veri proportio fit,vt 
D ad £• altcraq; fit data LmcaF, 
oportet regionem inuenirc , in 
qua fit linea ip(i F cquidiflaos. 
ipCq; BC videatur tequalis > BC 
ver 6 ad iplam eandem habeat pio 
portionem , quam habet D ad 1 . 
ttlfexH, FiatBAad AG, vteftDadE. Du* 
camrj; GH ipC BC zquidiiianl, 

if.bMfti Dcindeinucniamrfeftio.inquifitlineaKL.quslitipfl F «qttidiftaM,* 
fit ipfi GH acq^Us. lnt^ga»r(|i fe^io per KL duda. Quoniam enim 
. eqiudillans ipfi BC, obpmilimdincm triangulorum AK AGH> 
4 . fexH . erit B A ad AG , vt BC ad GH . «ft autem B A ad AG , vt D ad E > erit igi- 
ii.fniMi, tur BC ad GH, vt D ad E. dcfluoniam KL eft ipfi GH «qualis, hab^ 
% bit BC ad KL eandem proponiinem , quam habet ad GH. ficut autem 
II. fKiw». BC ad OH. itaeft D ad E,- irgo BC ad KL eft, vt DadE. &quo- 
niam BC KL lub eodem angtlo cernuntur, apparebit KL «qualis ipfi 
BC. ia^q; eft KL ipfi E zquidiftans ; ergo inuenta eftfetiid ,m qua eft 
linea KL, qu* dat* line* F aquidiftat, cademq; KL dat* linei BCap. 
patet «qualis, linea vet 6 BC ad ipfam KL datam habet pioportioac&r. 
quam icilicethabetDadE. quodUetioponeba, 

PROBLEMA PROPOSITIO. XVIII. 

Data linea vifa , dau^} diftanri* line* ipfi line* vif* in 
diredlum. dataq; fit io communi termino cre^a(b^io;in- 
uenireoculi altitudinem^ iu vt in condnua fint’proportio> 
ne linea vifa ad apparentem , vt apparens ad lineam diftan- 
U*4 ac diftantuelineaadcxccfiujp. quo altitudo oculi lineam 
faperat apparentenu. 

5 cuiiotbteftum fitdatadiftanticEnea EB. ducan- 

mrq-, EF BD ipfi AB perpendiculares, fitq; feOio EF . oponct in linea 
BD oculi finim inucnire, vtpropofitnm eft, Fiatfuper AB fcmicirculus 
AFB, qui feOionem EF fccetin F. lincad; ducatur AFD, qucfccclBD 
jn D. iungaturq; DE, deniquo ducatur FC ipfi EB «quidiftans. Quo- 


{ 


L I B E Tt P R I M ^ 




B ^ E 

A 


4- fexti. 


niam igitur uianguium DAB triai^lo 
DFC fimile cxiffiti erit AB ad FC, vt 
BD ad CD . cft autem EB cqualis FC 
/'cft enim BF pataIlelo»ratnmum ) er- 
go AB ad B£ cil.vt BDadDC; &di- 
uidendo AE ad EB , vt BC ad CD ; pet- h 

mutandoq; AEad BC.hoceftad EFi / \ 'i 

ita EB ad CD- Cum autem fit AE ad / \/( ' lo. fuiii»». 

EF>ita EFad EB. &vt AE ad EFjita 

EB ad CDfiil continua erunt propor- ^ ^ |£xi}./rar- 

'noue quatuor linea; ■ nerape AE £F 
EB CD. ex quibus fequiturinuentum 

ede oaili punftum D , cuius altitudo eft BD , ita vt ficut Ce habet linea vila 
AE ad tincam patentem £F, itaficappatensEFaddiAantuElincamEB. 

& haec O adCD. itempe ad excefiiim , quo ocuU altitudo BD lintam fis- 
perat apparentem £F . quod faccic oponebat. ^ ^ ' 

PROBLEMA PROPOITIO; XIX. 

Datavero (!r oculi altitudo BD, daraq$fit AB , qn»li; 
heam vilam, dillantiamq; contincatj intrenirc puitdhninu' 

£ , in quo £c Icdio , iu vt fimiliccr quatuor linex in eoad' 
pua dnt proportione,- . 

Duo delctibannirlcmicirculirupcr AB BD. nempe AFB.Jc BFD.&ri 
punQo F> vbi fcilicct reinuicitccanc.ad AB perpendicularis ducatur FE. 
etitlani^n^m E inuentum. erunt nai»qacfimiliterquatiR>rlincxAi£ 

£F £B CD incontinuapiopoirione. quod^crcopottcbat. ii. 

COROLLARIVM. 

Hinc quomodo dux daee linex Icxari poflint , vt qua- 
tuot parces in continua /int proportione, manifcftumclt. 

Datxfinrenim linea: AB BD. qux inuicem ad rettos a^lot eonAi- 
tuantur. duAis eodem modo Icmicircniis, ac lineis FE FC ad AB BD 
perpendicularibat^petfpicuumeft.ctimfitBCBquahs £F. ita efib A£ad 
BC.vtBCadEB.dt EBadCD, ’ 

PROBLEMA PROPOSITIO, XX. 

Duabus datis redHs lineis, altcraT) i» diuidere, vtipfius 
panes vna cum altera data in copdnua Hn; proponione. 

* 

- Datae fint linex AB BC, qox ita intcrTcie aptcnmr, vt angulum CoU' 
tineant rcTtum ABC; opottcat4.' BC, vtpropofitum eft. fiant 


D a 


fuper 


v-t t 




71 PERSPECTIVAE 



ftper AB BC qtudftfa AP CO nori catHem pa^ .• comrfeatur^; rt. 
Angulum BE; langamr<3; Afi. quxbtftriam «fluitor mHj « ccnr^ 
H , intctuallo^i HA, cuculu^dcfeHbatur AFE- Ehco AB ^ Biiu ef- 
fc, vt BF ad FC. Primum quidem circulum AFE Imcam ^ djfpdccrc 
oftcndcuduip cft*. Namquouiam iipea BC ipla BA inipoc cuc pqtclr,^ vr 
in prima fii^a , tW w B A *qur is , vt^mdccHiida , maior , vt in terna . 

tunc fi BCminor cft BA , iungadtur in prima figura HB HD quom^ 
ADE rcauscft angulus, circuifferenria AFE perpunOurn D tranfibiti 
II,- _i. _• -_ir r\ii/~inirc(^inHp> nrf H infi ADmui* 



tx^fex. . . . . 

»t T ottim BD, critKO ipfi AB iq iklii, maior, quim OL, qu« eft xqoalis BD. 

j)un£himcrgo H medium linatKL in linea KOcaiftit. Qjymiam aurem 
OBD cft angulus reftus, erit HBP obmfus ,qOare In triangulo HBD linea 
19. frimi, HD, hoccllfemidiamctct.citcuMmaior erit HB. ptxtcrca lunganit HC, 
dutaturd^ia quadrato A PdianUtccBii^ tecctqj BM iplamlW in N. Qjp- 
niBm iettur KL tranfit per H , q*od quideu) cft in medio rcuangu a AE , at- 
aatKJLcftiflfi ADaquidiftanSjdiuidetKL reaangulum AE induo aqua- 
li nempe reaangulum KD ipft LM erit «quale j ac per confoiuens KB ip- 
fi KP xqualc, quare BO ipfi OP iqualis exiftit . vt autem BO ad OP , ita cft 
BN ad NM, atque vt BH ad NM, ita ON adNK. vndcfequiturKN ipfi 

NO xqualemcM» Cum autetn maiqe fit KL, quirt KO, & horum di- 
midia .fcilicetKHmaiot erit KNiCxquoperfpicuum pftpuntom H mter 
pqnaa NO rcperiii j lincam^i HB in trangulo NBO exiftete ; S( ob id.an- 
nlUmOBN maiorem efle angulo OBH . Cum vetdCtBM diimetef qua- 
drati AP, erit angulus ABM angulo OEM atquahs,- quare ^Nnuiot eft 
OBH, ac proptctcamiiltd maior cft ABH iplo HBO, quibus fi addantur 
equalcs anguli ABC OBD ""“i?* 

Biam itaque duo latera HB BC duobus lateribus HB BD fuat pquaua» 
critbafisCHm*oeHO «ireqlifcmidiamptro.ac ptoptcrea.ci^ fiteir- 
culi femidiameter minor HC, maior vcr6.HB,MCcflc«ft cuconfierennam 
AFDE inter punclaBC tr3nfitc,lmcamq;BCrccare, 

In fecunda figura quoniam ./VB cft «qualis BC, hoc cft BD , & AH eft 
cquahsHE, crite^rumn inlineiBP. CiimitaqneCt angttltisAlHrc- 
atis, erit in triangulo ABH linea HA, circuli nempi (cmidiamctcr rnamt 
HB. fed quoniam HA minor cft quim dux fimul HB hoc cft HC, 
drcunfcrcritia AFDEinterprinfiaBCVranfibit. lineam igimr BC fccabit. 

In tertia vero figura quonlaift BC , hoc cft BD maior eft AB , dufta KHL 
ipfi AD pquidiftans , fimili ratione , vt in prima figura oftcndemr ccnmm 
H efle in linea OL. iunaa igimr HB , erit HBA angulus obmfus-. ergo HA 
iemidiameter citcnli maior crit HB. Dudis deinde HD HC CD Uoeis, 


frimi. 


19. primi 

20 . frimi 


19 . fnmi. 


quonum 


I 


k J fi E-R ip R r M V s. 


i. 


eritiinului CpB angulo D<pB iqualis, 


S> frbni 


tertii 

/exii. 


li 


^CPfi.iaWW C^ DCH vw 6 mm^ pCfi; m»ioj igifqr erit 
CDH ipfo DCIT. & pr^terea in triangulo CDH linea HD femidia- 
meter circuli minor cft HC. ex quibus conftat,circunftrentlan> AFDE 19. frimi 
lineam BC dilpeCc^rc» 

Hoc itaque «•Mknftratolbcetciituafcrcntii illVC linstm BC in F 
iunganturd; AF FE, fccctA FE lineam BD in G. Q^onumenimia- 
gukisAFU;Qltrcftus& 4^ cA perpendicularis ipfi AG, crittriangu- jii 

lom AlFlhingijlo FBO fimile.&angiilns AFB angulo BGBrsequa-i*,/ 

lis.&d-BGB cftipfi JWii angulus ergo AFB a^lo pGE cA ij. frimi 

aqualis, Qi^niamautem ABF rertusteclo EDG cftiquallsvalquc‘Ia-‘ 
tus DE ipa AB aquale , cum vtraque AB DE fint iptj BP aqualia-, 
erit trian^lum EDG triang^ ABF atraale. ^are lanw BF erit lateri lafi.prnu 
DG «quale, cum itaque BC fit «qualis DB.ent reliqua FCteliqu*BO' 

«quatisi Quoniam igitur in triangulo reftangnto AFG ab knguio redt» 
ad bafim dufta cft perpendicularis FBs erit AB ad BF> n Bf ad BG i 
hoc cft ad fC. DiniQ cft igitur BC in punAe F, vt ptt>t>ofitum fuit, u ' " 
quod facere oportebat. 1 

Infccundocafiidiuidiaiampotcft linea BC extrema, ac media ntionej 
in F, &fachimerit,quodproponebatur. namcdmfit AB «qualis BC. 
erit BC ad BF, hoceft AB ad BF , n £F ad FC. 

C O k O L L A R I V M. 

I; c.:d u.; • 

Vnde etiam colligi poteft ex condrudlione huius l^un- 
di propond, daum lineam extrema , ac media ratione (c- 
caripofet- ’■ ■ 

I r > , • . ; j . t 

Ex ea giic^apparctcflc ad J6P, hoc cABC ad &F,vt B)F adPC, 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXL 

Data linea vifa,cui aduceatle^iq eied)a*dat9((i fit ocuU 
altitudoj oculi fitum inuenire, iuvt linea vifa td apparen- 
tem fir, vt apparens ad cf ccfi'utn , adtitudo o^tvi Cup^ 

ratapparenteov. l H! 


acUu AB Enca vilq. fitqi ercAa 
o BD i oculi vcr6 altitudo dau 




It ' BD. Ducatur DF ipfl AB aqui- 
diftans. optfrtct ocrill fitnm in DF in- 
ucnirc , diuidereq; BD , vt prtmofituni 
cA I Diuidatur igitur BD in C , ita vt 
trcsjinc* A< bCCD inoontiiiinfint 
proponione. ducamrq; ACF , iunga- 
turqj FB; intcUiMturiji ocylus in F, 

intq; tadij AF BF. xxuAatilwfthabeietoeam vlfam AB ad atyren- 



-t rt 


Br prarp. 
/ena'. 


lit' fiM 


H.fnil. 

fO. fUMI 


• p ^ R S P g C t i V Ai " 


^ - V — 

BC . vt apparens BC ?d exccfliim CD . quofcilieet o«iU iltirado* BD 
a^a^fcmBr fupetati 0CaU4; ntantinttomuft effe piiattoia t, <fuod 
facete oponebat > 

propositio; XXJI; 

Sit AB ad AD.tc BC ad PEj BC pB paralie» 
Ueiiungantun^CE EA. Dico CEA leOamliocamcfie, 

Nonfitgiricicm, fed fi ficnpo. 

tefefit 4 FCr«^^U«)c»»‘l“Stinfan» « 

DE fecet in F. sx« vtiqu£triaagu- 
liim AE.C tfiafig)ilo ADE fipn> 

Ic. quate vt BA ad ADj *^BC 
adDF. cftatftcm BA ad AU.vt 
BC ad DEv ergo BC eandem 
habet propoitioacm ad DE. q^a»* 
habet ad DT. 'quod fieri non^* 
tcft . reda igitur crt 'linea CEEt 
quod demonfirare oportebat.^ 

Item fi fuerit BC ad BG , vt DE ad D|d , linee BD QH 
CE in idem pundlum A conuenieat.. 

‘ i 

Quoniam erit BA ad AD^ vt GA ad AH» Ot CA ad AE» 

Itidem fi fuerit AD ad BCtVt pE 9d£B»fueritc(} DEB 
rc^a linea , BC' vero ipfi Ap parallda. . Pico fimiliter 
AEC redam lineam eflb. 




Si enim non eft refla, fit AFC refla Unca, 
primfimq; fit F infer ED , vnde propter fi- r 
milittidineiutrtan^llomm AFD BECertt 
AD ad BCi vt DE ad EBiredrtADad 
BC, Ita ellDEad EBi ergqPFadEBcl^ 
vf OEad £B de pcnhntando DF ad DE i Vt 
FB ad BE. qubdeum fit DF minot DE» 
erit de FB minor BE , quod cllt non potefi . 

Panqi ratione fi F fiierit inter EB, fimiliter 
oftendetur itaefie OF ad FB. vt DE ad EB. permutandpdi pE ad DL 
vt FB ad BE i Ted eft DF maioTt qudm DE, erit igitur FB maior, quim BE. 
quod ficti non poteft . refla ergo eft linea A£Ct quod demonfirare 
oportebat. 

PROBLEMA PROPOSITIO, XXIII 
Pata linea yiia»cuiio direduoi fif linea dilbintix, & in 


communi 


J1 

communi termino fitcreda fctSiio^datac]; fit oculi altitudo} 
diftantix pUndum terminare, ita vt diftantia fitlinez ap. 
parenti xqualis. 


Data fit A6 linea vi(a , cui in direftfi 
Gcdifiantix tinca BE, fitq,-lcftio erc- 
Cli BD. oculi vcr6 altitudo data> fit 
ipfi BD ^qualis. Diftantia; pun^m 
terminare oportet, ita vt diuantia: li> 
nea fit apparenti linei equalis . Duca- 
tur DF aquidiftans Ac. deinde (c- 
cenir BD m C, itavtlit AB adBC, E 
fient BC ad CD • Fiatq; BE aqualis 



LIBER PRIMVS. 




\ 

l A 


20. buiut. 


ad Cp, ell autem DF ipfi AB aquj(ii[tant ( eft igitur duda .linea ACF 
refta linea. Itaque mngatur BF, oculusq; intelligatur in Fj erit vtique Ex 9mct* 
BC in feaionelinca apparem, ergoexiftente tinca viTa AB, oculid- alti*W«ai 
ludine EF dat* altitudini aquali , inuenta eft diftantia Unca BE , que cnua- 
lis eft linex appatenti BC . quod facere ©ponebat. ’ • xt 


His iu ptxlibtus, Um qmutdo ' dxttu otuhts, tJllinM, 

fiue qxxhbet figurs , /Uuqi tU petio, qtunhdo in ipp petiont obte- 
ctum xppxreet , quomadoqiitiimtitndt , dtptibtmtU^ fit «ppxrtns p- 
gure, ep eggrtdtendum , hec enim eft precipux nofhe intentio. Sed 
entequsm td bds reprepntendtu' io fectione figuroe dettentemut 
theoremate nonnulla prius in medium afferemus ; in quibus , quomt 
do nempe data linea .pracipueji parallela in /ectione apparent ^ de> 
monffrabimus , J^uod quidem ad cognofetndam multarum praxium 
rationem yalde yttle ,ac neceffariumexiftif, in quibo» teta /ctnogru- 
phices ratio conRituta midetur , 

,.| ■ ■ 

THEOREMA PROPOSITIO. XXIIII. 

Si oculu.« paralldaslincas videat, fitq; fcdlio parallelis li- 
neis zquidifians} linex in fe^bionc apparentes erum interfe 
parallelx. 

Sit oailus A, qui videat iquidiftantcs lineas BC DE FG, quomodo* 
cunque, &' vbicunque fitas, hoc eft fiuein vno,fiue in pluribus csiftant 
planis, fiid, lc£fio KR. quomodocunquefita, dummodo fitipfis BC DE 
fii parallcUr ^oi autem viliiples tadi i B A CAc. EA» F A G A; qu i 

Toftionem 


tx zy.y»' 
det mu, 
t.fexU, 


JCx g.yn, 
dtcim , 




fcfl-ioncm in punftis 
tM NO PO fcccnt . 
iiineanturq; LM NO 
PCij qu* nimirom in 
feftione oftcndunt • 
vbi BC DE FG in fc* 
aione apparent •, it* 
fcilicet vt BC in LM, 

DE vero in NO • & 

FG in PQ_ appareat. 

Dico'lineas LM NO 
PQ_ interic parallelas 
effe . Intelligatur per 
BC planQ plano KR- , 
hoc eft fecFioni pqui- 
. diftans . nimirum li- 
nex AB AC i planis 
diuldcntur parallelis i 
r ac proptcrca erit AL 
ad LB.vtAMadMC. 
qiiaic Unca LM eft ip- 

! n BC parallda . codemqr mo^ C intelliarar planum per DE arquidifnns 
(plano KR, bftcndcmr NO ip|DE paralielatn efle.&ita in alijs. AtvetA 
(ine* BC DE FG intcrlcfuntparallelf ; crgo&LM NO PQ^ interic fijnt 
parallclx . quoddemonitrareopottebat. 

'' COR O L L A R I V M. 

I- Ex hoc patet lineas IM NO PQ^ipGs BC DE FG pa- 
rallelas Cllca , 7 • 

, Euenire aucCpo. 
tcfcfccundCimpro- 
.poCtionem rmiuct 
filem propoficam, 
vt feftio KR non 
ht (empet Intct U* 
neas BC DE FG , 

K oculum s at li- 
peas BC DE FG 
efle inter fc£liono, 

& oculum A i vtin 
hac fecunda (igura. 
quare duOis vifua'> 

libus radiis BA DA 
FA CA EA GA, 
qui produ carar, do 
nec Ii militer fecent 
Icflioncmin LNP 
MOQ^ eod£ pror 
fus m^o oftende* 
tur lineas LM NO 
PQJntcric, & ipCi BC DE FG patallelai efle. cmntq; lineae PQ^NO 
~ ^ DTfuF" 


I 





/- 


A. I B £ R P R I M V S. 




[IM fbb fubiedo plano i dummodo icftionis linea HK in fubicao plano 
«xirtetcimelligamr. 

VndCfiparallelxUnesepaitimfuennt mter rpoioncirif ftoculumipar 
rim vero (caioinier linea», & oailumj'ex ij», quz dcmonftrata funt, con» 
ftat , lineas, qu« m feftionc apparent, interfe. & ipfis pquidiftantcs efle . 

Quod (i dieanim parallelaniiti aliqua cITet in ipia feftione . liquet hanc in 
(e^ne fe ipfim ollenderc , cxtcfitpue linei* parallelam eifc . lineis enim , 
;qux hoc modo funt.in Icftione, contingit, vt cjdcmmct fint.de qiu-e rci 
prclentant, & qu* reprifentantut . quod idem omnibus alijs, fiueCnt 
IMnfiU, Goelincsi , fiuefigut»,dummodocitiftant in fcaionc. conringiti 
eademr cs, ile pro obiero, dc pio figura h>|^oi)e apparente ddcniiat, 




pTa^OREMA PROPOSITIO. XXV. 


Si oculus parallelas lineas videae, t^uz follionis linez 
fint zquidiftantes, Imcz iir fedione apparentes erunt iu> 
tei^e, & {'e£Iionis lin.cz , &c ip^s parallclz* 

tn enim figuiis fit KH (cAionit linea in fubleilo plano; datx ver6 

Vtcunqucpatalielxline* (iut BC DJ£ FG, quxfincipfi KH xquidifian- 
ics;iinc»vcr6 in fcjtiope apparentes fint LM NO PQ; DicolmeasLM 
NO P^dc interfe ,\fiq,HK,^e ipfis nC DE FGequidifiantescfic.Eo- 
dem enim modo, quoniam BC KH funtpa^lclx,liintclligaturrcr BC 
planum plano lenonis KR xqqidiftans , erit BL ad LA, vr CM ad 
MA. quate LM ipfi%C eft parallela, de itaoftendenit NO ipfi DE, 
de PQJpfi FG parallelam elTc . E* quibus colligimt LM NO PQ in'- 
terfcfc7tpC<i: HK, de ipfis BC DB FG paraUelas e^re.quoddcmonftra• 
rcqportcbal. 

Quod idem oftendetur in alijs eanbus , trt in ptzcedenti ; 

« 

THEOREMA PROPOSITIO.. x3:VI. 

Si oculus videat lineas fubicdo plano perpendiculares 
fitqj Tetaio eidem plano erc£Ia , linez in legione appa- 
rentes erunt & fubicilo plano, & Icdlionis linez perpen- 
diculares . 


Sit oculus A. qui videat lineas BC DE. 
ouz fint fubiedo plano perocndiculatcs. 
ntq< fcAionis linea in fubicdo planp FG > 
feAio autem intclligatur fiibiedFo plano 
crcdla linexdi inlc&one apparentes fint 
HM KL. Dico HM KL dc lubieao pU- 
;no. dt IbAionis linex FG perpendicula- 
'res efle. Ducantur vifualcs tadij BHA, 
|CMA. DKA ELA. Quoniam cmm 1»-' 




,-F 



oea 


Ir. Tm 

a- fexHm 
(itu. 


1^. 

rum-- 


CMW 


H 


P E R S P E’ C AE 


•mit- 


n« BC cft Tubieflo plano crtfta ,erit pia- ■ 


numtrunjuli ABC eidem lubicfto plano ^ 
ercftiim . & quoniam HM eft-iti triangu- 
lo ABC. cademtji HM cft in ^eiiione, 
erit HM ieftionis, ac trianguli ABC com- 
munis fcflio i iedio autem , & planu ABO 
fuht rubicao plano erefta; ergo Unea ono- 
que HM fubicfto plano ereda crit.EodE^- 
niodooftendetur KL cile (ubiefto pian6^ 
perpendicularem. At ver6 producannit HM KL.-qn* aimliiWi BG 
conueniemrcumdintomreslincainflanofeaionis.fctioniill» HM‘ KL 
ipii FG parallcU; fiquidem luntfubiedo plano ereda;. Q^re producant 
lur, occurtamqj ijll IG in punQis GF. & quoniam FG eft in mbifdo 
plano, luniq, FiG KF fubiedo pOano etcfkxt cmoc JIO^KF i^VOper.' 
pendicularcs . quod demonAnrc opottcbac. 


huius . 
rssicci- 



A I. I T E R. 


T. 


iplis 


t' pinOei^. 


iquidfltanf'. qi 

Icd BC DE funtfubiedo plano Fteda. ergo HMG KLF funt' <nbled‘6 
plano perpendiculates ; qua: pjbpttrea ( vt didum ell^tuDt 0C ^ EG pto- 
pendicularcs. quod dcmonlokteoponebat. ’ A 

THEOREMA PROPOSITIO. XXYll^^ 

!• ' ' . V’ . 

Si oculus videat datas lineas f quomodocunque C tas , qus^ 
tamen cxiltant in planisper ipljis, & oculum dudtis fubicclo 
plano erci^is , lc6Uo auicm itt quoque fubicAo pUn^ cre- 
^a i linex in icdiione apparentes erunt fubicto planu , ac 
fcUionis linex perpendiculares 

i 

Sit oculni A . datae antem vt- 
cunque lineae BC OE . Hiji fc- 
dionis liiica FG m lubiodq pia- 
no . iedioq j fit fubicdo planO ere- 
da . plana veto per BC & A, dc 
DE & A duda. fintiiibicdo pla- 
no creda . line* autem in icdione 
apparentes fint HK LM. Dico 
Ius Uncas HK LM fiibicdo pla- 
no. & 4'fi FG > Jpcrpcndicu- 
lares cllc. fiiit vmiales radi; BHA 

CKA, J3LA EMA . Guomam igitur Tedio. planum^i ACB Ibnr fiibie- 
||9. «oplwmacdajUncaq,- HK horum planorum ell commnnisrcdio,cf it 
paM. I Hb lubitdo plano, ac per conlcqucns ipfi FGperpcndi^lari s.Cmajhpql 

I ' Oficndciur 




Sit altitudo oculi A (iiptaCibieftum planum line* AS. fitqiin Tubio. 
ao plano fcfhonit linea HK. xquidiftanics vctd linex in fubica»plmo 
eaiueutesfint BC DE FG. quxipfi HK nonfint parallelx. fi[q-,leaiO 
HLMK fiibieOo plano creaa . In fcaionc autem linex apparentes Ont LM 
NO PQ. Dico LM NO PQ.in vnum.it idem punaum concurrere, 
quod quidem eft xquealtum fiipra ftibicaum planum , vt oculus A. Dux 
in fiibicao plano ducantur i punao S linex, quxiccentfeaionislineain, 
ac datas lineas, fintd; SHFDB.SKGEC. Sint vifuales radi) BLA, DNA, 
FPA. CMA. EOA,GQi^. lungantur^; HP PN NL, KQ.(^ OM. 
Qupniam.mim punaum B in Icaionc apparet , vbi L. O vbi N, F 
vbi Pt punaum rerh H eft in fcaionc j linea iptur HFDB in fcaione 
apparebit in HPNL. atqui reaa eft linea HFDBi ergo tcaa etiam eft , 
I~* HPNL; 


L I B E R 'P Rilt-Mi V SL 

indetur LM fiibieao plano, ac ipfi linex FG petpcndiiulaiemefle. 
quod d^onfttare oponwat. 

THOREMA PROPOSITIO. XXVIIl. 

Si oculus quotcunque parallelas lineas in fubicfto pia 
no exiftentes videat , qux fedlionis linex non fint xqui- 
diftantcs} letftio autem ut fubiefto plano crefl^a { linex in fe- 
dlionc apparentes in vnum > & idcmpunilum concurrent, 
fuoiei^um planum xquealtum» vi oculus. 



1%. ynieei 

aii • 

' 19 . •nitci 
mi . 

fi. Tntdeci 

mi. 

18. yndeei 
mi . 

19. yndeei 

m. 

6 . yndeei. 
mi. 

zs.bnins, 
J9.frimi. 
fi. fexti. 


7. 

X I ^ iJUMti. 


HPNL( vt imtio diximui. eademd; «done oftendetur KQOM teOam 
lineam effe . At yerd quoniam AS cft fubieao plano SBC^Oa, erit 
blanum ASB fubieaoplanocpeaum . fedfeaio HLMK cft eidem quo- 
Ouc plano SBC creOa, eigo linea LH communis fcaio planorum ASB 
HM lubieao plano SBC ereflaerit. pariqi ratione oftendetur KM effe 
fibieao plano SBC ereaam. vndc LH MK funt interfc paraUcli. Du- 
^ 'P‘'* DE FG patalicla; ac per 

t" ducatur planum HLIR , quod quidem propter lineam LH 
P**"° SBC ercabm . fitq; R1 communis fc^o planorutn 
A5>G, St HI; quat quidem plana funt lubicAo plano. SBC cre^; quare 
IR plano SBC crcdaexiftit. ac propterea erit IR ipCs HL KM equi- 
dilUns.fcccnt autem vilualcs radii CA EA GA lineam RI in pil^Qi^ 
^ '"'m. quoniam virualestadij , St RI in eodem fwjtplailoJ 

trianguhRilicet ASC. fiigirar HLIR intel)iRaturlcaib;linca\tiqucRl 
jPlam RC repreurnt^bit- Itacuciut^antur L} NT; nimirum otiendet 
Ld^.*u^™‘onc HI lineam BC; NT yerb lineam I)E. quoniam igitur 
‘ ^ piraJlcla:, erunt L1 NT irttetlr.-i ipfis BCDE 
paralletei lod LN IT lunc ®oquc paraUcl* serit igitur U^TJ parati^ 
lopammum|< qwre IT ipft NL cqualisetiflit. Q^niam autem 'MO 
IT iuint zquidiftMucs; liquidcm MK IR oftcafe liint parallela:; oWli- 
miluudmcm tnmgulprum AMO AIT, ctit MA ad AI . vrMO ad 
IT; cft. autem MA maior, quim AIj ergo MO maioreft, quim IT; 
acner concuras maior, qudm LN. quia verbi ioeatMK LH funt equi» 
dmantcsi.SC MO. tuaiorcll L|iilincz LM NO noiiciunrintcr le paral- 
leli, Iqd M patte LN intetre conqenicnt, luquc producamilf, St«pa- 
quoniam oftenfiim eft IT LN inteiitaeqaaliet 
ew, habebit MO ad LN praponionrm eandem, quam habet ad IT. icd 
■ MAA ad A{ eft. vt MO ad ll ; ergo MA ad AI cft. tt MO ad'LN..» b 

' ftmili- 


LIBER IMI I M V S. 37 

fimllimdmem autem trungulorani XMO XLNi lU cft MXadXL. v» 
MO ad LNt & vt MO ad LN, ira cft MA ad Ali ent igitur MX ad 
XL vr MA ad AI. Eodemqi prorfus modo dcmowrabitux MQ.ad 
IV itaeffc.vt MA ad AltelTcq; IV LP inrcrfcarqualcs.-tiuod fict.O 
iuneerctur PV, quxinfeaionc HI lineam FG oftendftcr. quate ficur 
Mcf ad LP, itaeft MA ad AI. Cumitaquefit MX ad XL, vt MA 
ad^, erit MQ_ ad LP, vt MX ad XL. funt ver6 MQ. LP paral- 
leli • ergo duaaW . erit QPX reflalmca. C Igitur producitur PQ ex 
P lineis OX MX occurret m X. &ira fi plutcs eOent dat* line* m- 
railcli, omnes in X fecundum apparentiam concurrere oftcndctiir. At 
vero conncaatur AX. quoniam igitur ita eftM A ad AI, vt MX ad 
XL. erit diuidendo MI id IA* vt ML ad LXp< <)u^rc LI cft 
AX parallela; IW LI ipfis BC DE FG fquidiftansoftcnfaeft.; crif 
iotiir AX ipfis BC „.r,iirla.aci>erconfeaucnslubicaoplano 


DE FG parallcbiacpcrconlequcnslubicao plano 
Sfc' iquid^ans. cx quo patet punaum X *qucaltunic(rc fupra fubie- 

,* ... tvt ri . X mn-i I in^ac M I . II ni 


aum planum, vt oculus- A. inpunaumq; X apparentes lineas ML ON 

OP infeaioneconcurrere. quoddcmonftrareopotttbAti 

APTumpfimus in dcraonfttatione , punaum R cue amer punaa SK. 
qu6d (i acciderit punaum K effe inter puniH^i ranc^atm no^ 
punao H , fcd i punao K linea datis lineis BC DE FG iwtdiftaMi 
c*teraq; eodem protfus modo ad alteram panem euenient; eademq; de. 
tnottwttbofe ollendcmut. 

J.yp »1 
t 

tut theoremttt dtmtnflrtmmus , tftttr qmqut ,/««- 
im fiquentit nan Jolum in fictione jt^teto fUn» erecu ,ieernm 
eiUm in fictione fubucto pUno inclinnu idem pariter cmtin^eH 
tilendemtu. i 

THEOREMA PROPOSITIO. XXIX. 

! iV , M.i 

. If.ljp . 

Si oculus' quotcunque parallelas viJcat lineas in fubicdio 
plano exiftences, quae non fint lectionis lineae parallcl* j Ic* 
itio autem fitiquomodocunque fita i linex in fediionc ap- 
parentes in vnum , & idem punilum conuenieni> lupra.. 
fubicduh» planpin aquealtum , vt oculus, 

Sk oculos A, cuius altitudo lupra rubicaum jplanum fit AS. line* 
vero in dibicao plano patallcl* fint BC DE FGi quf quidem, cum 
non fint feaionis line* ( qu* fit BFJ parallcl* , cum ipfa concurrent,, 
vt mpunais BDF. litqilcaio BFX. line* autem aprarent«,qu*la- 
Ucet infcaiQnc ofiendunt lineas BC DE FG, fint BL DO FM. Di- 
co piimdm BL DO FM in vnum, & idem punaum concunere. Fiant 
line* BC DE FG interfe zquales liunganmtqi CE EG ; ent yoque.jj, prjgu. 
CE ipfi BD aroualis,dc xquiaiftansi vc luti' EG ipfi DF» quod cum li tj 


4. fexti . 

11 . fWII». 


It. quinti, 
aa. hnint. 


17- qnitti, 
1. fexti. 


imus. 


A-Itxti. 

7. 

CXU.fM* 
»• .! 




S8. fumo*' 
15 primi, 
/rrfi. 



^8 P E R S P E C T I V AE 

BDF rcfta linea, ciit 
& C£G reda linea . 

Sim vifualcs radii 
CLA EOA GMA, 
qui (edionem fecem 
in pungis LOMi ia 
vt punda LOM in 
ledione oftendant pQ 
Aa CEG. & Quoniam 

f mnAa BDF in ipla 
iint feAione, inijrdi» 
met quoque punAis 
in feAionc apptrebGb 
fungantur LO OM. 

Sc quoniam punAnm 
L in IFAione often» 
dit punAum C , O 
autem i pfum E. & M 
ipfum Gi linea EO 
in fcAione iplam CE. 
dc OM ipliun EG 
oftendet.lcd CEG efi reAa linea, & feAionis linee BF ;qnidifiafM(CP> 
ao LOM cftreAa linea, & iplis CG BF fquidiftaiM. laque quoniam 
LO eft ipli CE pquidiftans; erit ob fimilimdinem ttianguloium ACE 
ALO , vt CA M AL , ia tCE ad LO. eft autem in hoc cafu CA 
ALi ergo & CE maior eft , qudm LO. Cftm autem 
fit Bp ipfi CE pqualiSi erit BD maior , qulm LO t & quoniam BD 
LO fiint interic panllei c . bnec BL DO ex parte LO intciic conue* 
nient. itaqueconcuinnt inX. At veto quoniam BD LO funcparalle* 
Ix.eritob fimilinidincm triangblortim BDX LOX vt BXadXL.ia 
BD ad LO. Cumqr fit CE ipfi BD xqualis , eandem habebit pito- 
pomonem CE ad LO, quam BD ad LO. vtveroCE ad LO, ita eft 
|CA ad AL, 3c vt BD ad LO, ita BX ad XL; erit igitur BX ad XL, 
vt CA ad AL. cademq; ratione ofiendetur in elTe CA ad AL.vtCG 
ad LM . eftvcro BF zqualisipfi CG; critigitur BF ad LM.vtCAad 
lAL . led eft CA ad AL, vt BX ad XL ; crao BF erit ad LM, vt BX ad 
'XL; funtq; BF_LM parallcix; Unca igitur FMX rcAa eft. quare FM ex 
M produAa iplis BX DX in idem punAiim X occurret. & ita fimiUtet 
oftciidetur, omnes alias fi extiterint.mXconcurrcte. ex quibus ptimum 
patet lineas BL DO FM in vnum,& idem punAum X concurrere. 

Dico gutem infuper punAum X xquealtum cfle fupn fubic^m pla- 
num , fictit punAum A . conneAatur AX . Quoniam enim ita eft CA ad 
lAL, vt BX ad XL| etit diuid^ndoCLad LA, vtBL adLX. permunn- 
doqi CL ad LB, vt AL ad LX . angulus vero BLC eft ipfi 3U,A equa- 
lis, cftm Cntad vcniccmicrgdtriangulum BLC triangulo XLA eft fimt- 
P^pPi^^ca angulus XBC angulo BXA eft zqualis. quare Unca AX| 
eft Ipfi BC, ocpcrconfequensipfis DE FG parallciaidc ideo ftibicAopla-; 
no xqnidiftans. ergo punAum X fupn fubicAumplanumcft xquealtum, 
vt oculus A i quod dem onftratc oportebat. | 

His demonftnUs , quoniam IccundtSm pofiam propofitionem varij 
poftiintcnccafus; vtomnia oculis fubijcianmr , primftm conftatnosinde-l. 
monftratione aftumpfifle IcAionem BXF inter paallelai lineas BC DEI 
FG, dcoculumcxiftercificutivtplurimdm fieri lolet . i 

At vct6 fi linex BC DE FG fuerint inter punAum S , & fit Aionem , li- 

"'ncas~ ;i 




winn 


neas BL DO FM in feOio. 
ne apparentes, infta verd fii- 
bisMitiftansim perS.fcaio • 
nisdi lineam BF tranfiens, 
exiucntes , ipfasq^ BC DE 
' FG teprifentames, in idem 
pun^m X concurrere fi« 
militer oftendenir . fi eniin 
eadem coftmantur.primunl 
oftendetur LO in IcAione 
ipfam CE oftendere . &■ OM 
)lam EG, effcqj LOM ip- 
CEG parallelam i quare 
ob fimilitudinem triangulo* 
jumrLAO CAE efit LA 
lui AC > . vt LO ad CE' f ek i 
auteiaiLA..maioi i 'quin» i 
AC; erit igitur St LO ma- 
iOiW»uii»CE;aa?ct.confe» 

"quens maior, quimBD; eft 

■^p0(l®9r iplLCE r»qua- . , , , — 

IttiafiqisidcnIijM r aUclogtntnmnm elt BCED; fimtq; LO BD patalld:^ 
Oiaq iyia«:LIi.OD interfe oonlieniont, vtin X'. At vero qnom^n BD 
LOi|fttnC)pacjllcl«i'ctit ob fimilitudinem tnangulocom LXO BXD , n 

LX ad XB. ita LO ad BD. eandem amem luoct prowionen LO 
ad GEiiqtumadBD'; vt aurem LO ad CEi ita eft LAad Aii AvtLO 
ad BU.itaLXadXBieritigimrLAaJ AC.vt LXai Xli.^Badem aurem 
canone oftendctur.LMad BFitaelTe, vrLX aiXB. etgo iatiiSa M.X eft 
re^a linea, quare linei LBOD MF in puniftom Xconcuiront. Q^ioniam 
autem ita cftLAadAC.vtLXadXBjetitdiuidendo LCadCA.urat LB 

ad BX; & ob id AX eft ipfi CB. ac per coalcquen* ipfi> Oc FG, nec 
nonlubie^to plano asquidiftans. ex quo patet pimftumXene xqueiltum 
fiiprafiihic^^nm planum , vt nculut A. Imcx igimt LB Qi^ ME in id^ 
puniftum X concurrent fupra fiibiedum planum squcaltum, Tt 
A. quod etiam dcmonftrarc oportebat, 

Cxtctum intel- 
Ugerc quoque pof 
fumus xquiiiftan* 
tes Irneas BC DE 
EG in (bbicAo pia 
no ede perS.de BF 
du^oi verum oca 
Ium Ainftafiibie* 
flum planam exi* 
ftcre altitudine 
AS. in hoc quo- 
que cafu exponan- 
turcadt. codcm(|> 
proritas modo , vt 
m.primo cafiioftS 
*detur lineas BL 
DO FMm fcdia- 
ne : apparentes in 
punfbim X coR' 


currere. 


fr ♦./ex- 
ii. 


'7. fenitl, 
Mx u. {«a 

It. 

aa. buixt . 


Jfri 


r »N 

i 


C. • ' 


40 


P E K: 'ST'e C t I V AE 



y 


currere . quod erit xquealnim (upra fubie^m planum per S , & BF dtt« 
aum.vtcft A. fii^ura coim cadein prorfuscft.lcd inuerfa. 

(^ud fi linex fiC DE FG fu^t inter fcaioacin> &punftutn S, 
idem vt jn Iccundo cafu demonlltabituc • 

Porro in omnibus ea 

(ibus fupra pofitis', fcm. " 

per (iibicaum planum 
fuir, vel’infra oculum, 
vel fiipra; quod fi neque 
infra , neque fupra ocu- 
iumiicd vt oculus xque> 
altum con(htua(ur. tue 
oculus ent i (ubieao pia „ 
no , in ouo ena fcdionis 
linea BF repetitur , in qua nimirum eritpunaum X, io quod linee con* 
currunt duflis enim vifualibus radijs CLA EOA GMA. qui lineaia 
BF fecabunt.vtin LOMiConftatdici poiTc BL DO EM intdem pun- 
fhim,puti X, concurrere. * 

Qubdfiparallelx linex fuerint inter BF, & piuiAum A, Idan pioifii* 
continget. ' 

Si vero cafu euenerit, vt linearum aliqua Ctum habeat, vt HX, qoa 
quidem produOaOciilo A occanat 1 id . quod in fefFione oft rndrr lin Ai 
HX, erit punflum X. Cilni enim refla (tt linea HX A , i quolibet pmi. 
flo in littca HX exiftente ducatur vifualis radius, femper per idem pun* 
flum X tranfibitv » t r 

Ex quibus omnibus patet , fi «quidifiantcf line* pattim fuerint inter fb< 
flionem . A oculum , panlm verp fuerit feflio inter linea» , & oculum i li- 
neas in leflione apparentes femptrin vnum, «eidem punfl^ concuneie 
fupra fubicflumpl4numzquc4^tun, vtcftocuius 


THEOREMA PROPOSITIO. XXX. 


Si oculus parcltelas lineas videat « partim in fubiedo 
plano , partim vero extra exiAen res, quee quidem non fint. 
ieiSlioni parallelxj linea: in iedione apparentes in vnum., , 
Se idem pundum coneprrent^ fupra fubicAum planuou 
xquealcum , ve oculus . 


Sitomlus A, cuius fiipra fhbieflum planum altitudo fit AS| in quo 
Kflionis Unca fit FHi fc&o<iifit FXH: fint zquidiflantes line* BC DE 
FG partim jnfubicflo plano, vt FG, partim vcrdcxtra,vtBC DE. qu* 
quidem , cum non fint feflioni FXH parallelx, cum ipla conueniantin 
^nflis BDF. linczvad, qu* in fcflionc apparent, lint BK DL FM. 
Dicohatm vnum, & idem punflum concurterc xqucaltum fupra (ubie* 
flumplanum,vt At fitpiunum oculus A fupra hibicfliun planum al^ 


Itor, 


V 


tr I B E R P Rll?M] V 9. 4jt 


tior. qu^m linccBC 
DE i vndi viBialcs^ 
radij CKA BApro*’ 
dufti fubicfto JpU- 
na. vt in pfi<^ OMr 
pccur[<-'DC • Itaque 
iungarar NO. qu* 
pio.IucaturTrqac s4 
lenonis linearo, in 
H> connedaturqiie 
MSf Qnoniam Igi- 
tur BC. cft ipii. EO 
equidiftans.qus qui 
dem EG eft in fubie- 
Ao plano i erit & BC 
Inbicao plano ?qui- 
diftans . fi i^tur in- 
icllisptur pUnu per 
BC «aum lubicao 

^ 1000 xquidiftans { 
ne* ACN ABO in 





f • I 

' .'-IJ) W 

\1^ 



M. 

fexti. 


cafdera rationes iccabonfnr ; ac prepterea erit AC ad CN;’'lW ‘‘ABad BO. 
ouarc NO eft ipfi BC *qaidiftans. Vnde fequitur NH ipfi TO «quidi 
Itantem efle,- ambasqi in fubicao plano exiftere; Quot^amattrem OBAi?‘ - 
NKA funt vifiulcs ridij , pundum O in fcAionc appfefrtj^ Vybi 
vcr6 ybi K( Icd piinaum H eft in ipfa idaionc) ergo7?hda"NON appa- 
retm linea HBK. qudd cum fit HON reaa linea; crifiSc HBK reaa llv 
iiea.vt initio diximus. At vero quia line* HK FM in feaioiid oftendont 
linea» HN FG in fiibiea* plano exiftcnte»> qu* ninfitUbvinteji^ pa- 
nllelx (iint i concurrent HK FM in vnum piin&m , pHtd X-, equtaltutrf 
fupra lubicaum planum , vt A i atqui BK eft pars lincai HK jfmea felut'iv fttet- 
BK> qu*in feaione oftcndiripfam BC , in idem puAatiiWXcdncuf-i^dow. 
tct. fimiliter oftendetur DL in idem puncram X cobuebirt. Qiuproj 
ptcrlinc* BK DL FM in vnum, dcidem punctum X COncUrruif^uod 

quidem eft 9quealtumfuptafubicctumplanura,vtoculu»A.'quoddOTon- 

ftfaaet^pqrjfll)»». ; . sit. -.5 r- ■ • ^-t ' ‘ 

A.Hfr^iVWP uun cft pr^tecbindum.qubd fi ducatur BM ipft.FH eqnidfi 
4aP5 ji crjintBC fiMipiU FG FH xqdkiiftances ; quire planum pet BG 
BM dueimnp.eiiit fiibieao plano perTG FH uanieunti pquidiftans . pla‘ I 5 .vnfe- 
«um aut^ ped ^ BMducram iiiMlIigaiur ptoduciiim , ita vt hiici A? cmn 
^ecq in Pi tmxciaqeliigipotcrit hoc pimum ptt P Jc MB duernm ,cflc 
^icaum planum iiin qua linea BM erit fcctiqnislinca jpuhaum aatciti 
P esit punqtum diflanbxi AP ver6 altitudo bculi fapra Hoc iiiBicc^m 
pUnumi critqi punctum X j^in quo Ime* concurrunt) fupra hoc pia mimi 
xqucaltum , vt oculus A. Qiiodidcmficnpo!eftpunctO‘D ,0calirsqui- 
bulcutiqucjcx quibus oftcndtpoteft lineas BC DE FG inidempunctym 
X concartcrc. , « • 

. dmonftra^o(tcafliimpfimutxquidiftar>tcs lineas omnes infla ocn-] 
i?™ . 'te 1 quod fi fticrint etiam fiipra oculum , vt in precedenti in' cafii 
fimili.imclligcretur fiibicctum planum efle fupra oculum t cademq; ta- 
,tjS(iq I viflicniindli Qftcodctuijincac in-punswm concurrere, qu(M eft 
^llcalrtim.vt A. , r- , , 

'ii Iddqupqnaqfiedetufacddrle.fi p.-iralldp linex fuerint inter (KtionF.dc' 
' ociilum.ac partim fupra, partim^i infra extiterint. ficita in aliitcafitos 

1 *^—- . 


THEORE- 


4 


4^ P ER S P E C T I V AB 


theorema propositio, XXXI. 

Si oculus parallelas lineas videat in aliquo plano exiftcn 
[es j quod per fe<5iionis lineam tranfeat^ Ctq'j uibic^o plano 
nclinatum , linesqj non Hnc fcAionis line; parcllclg, 1& 
^io autem Iit quomodocunque Hta ; line; in ledione ap* 

f iarcntcs in vnum , & idem punAum concurrent ;queal« 
um Aipra planum , in quo iunt parallel;^ Vt oculus . 

Sit ocuhis A iii. 

~ >n dibieaum pia. 
um per S BF du« 
t& altitudine AS; 
quidiftantcf vcr6 
inez in plano fu. 
biecto plano indi, 
nato.acpcrkctiof 
nis lineam ducto 
nxifteotes fint BC- 
j>E FG.qu* qui- 
dem non fint ie* 
ctionit lincai BF 
aMuidiftancesi ru. 
decuntipfacQnue' 
niantinBDF. iitqt 
(ectio BXI' <]uot 
mp4ocunque iia, 
m qua fint line» 

BL UO FM apM- 
rentes. Picp.BI, 

LO FM in vnum, fit idem punctum concurrere cqnealtum fiipra planum 
p« BC DE FG ductum, vduti cft punctum A . fint viTualcs radlj CEA 
EOA GM A. Fiant autem BC DE FG nqualet; hingatur^i CEG. De- 
, j I indc inicUigatut planum per BC DE FG ductum , cui ab A perpendicu- 
laris ducatur AP. C igitur intcUigatuc planum per P , fic BF ductum , efle 
fiibicctum plaoum linquo linc« BC DE FG r^eiiutitut, porr6 AP erit 
oculi A altitudo fiipta hoc pianum . Quarecr vigi^ma odaua , fit vige- 
fima nona huius propofitionibus maniteftum cft BL DO FM in idera 
punaum X concurrere', eflcdj punctiun X fiipia planum nqucaltuih, 
yi A. duoddeihonftrarcopqttcbat. 

^oa idemin omnibus aliis cafibus contingere oiendetorfimiliter . 

Si vero Cfiracm politis) zquidiftantes linn non fuerintin eodem pia 
JIO; hnc* in fcctionc apparentes in idem punctum X concurrere, (imi-! 
Uter vtin prxccdcnti oftendetur . | 

I 

(^Mttrum M emuU , im bis fmutur froximis tbtrenmtUibus 
dtxunflr*t4 /itnt , *litsr » •vnictq-f dtm»njlr*ti»nt fsrfirhgtvnu sm 
i¥»c medum , 

t'H E~0~lC^ 





s 




THOREMA PROPOSITIO. XXXII. 





' Si oculus ^quidiftantes videat lineas^ q^uz 'cum (cilione 
Conucnire poilint , litic; in fe^ionc apparentes tn vnuni 
puii^i^ni concurrent (queajtum fupra pTattutn lineis paral^ 
telis fquidiftansjVt oculus 

Sit A ocUhts jetiins 
AS fit altitudo fupra 
planum lineis paralle- 
lis BC DE FGparal. 

Iclum. quf quidem Ui. 
nex fint primilm in m' 
dem plano, qux cum 

mwdm. 

Dtroli>tt*B|nSdltiQn«i Illi 
apparentes in vniim S- 
piinflum concurrere ' 
xquealium fupra pla- 

tWWfWflHP.HWP/i-. 
rauili, vt oculi»? ; A 7 
Ducatur i puiiao A li 

nea AX xquidiftans e 

ipfisECDEEClCtql,'. , A A J . A ' : 
punctum X in fcctionc. conncctanturq; BX DX FX, & AC AE AG. 

Quoniam cmm AX BC funt parallclx, ctuntiinci XB AC ipCis coniun- 7. ykitci' 
p,«W4Slqep«l2pi)H!Oimquo'fupt'AX BC. quarcTiiualis radius C A 'tpat 
-'a^ pX. itaq^uefccptin L. finiilitcr oficndcmrEAiplam 
.■fe? Vt -in O I GA vcr6 ipfam FX in M. Quoniam igitur puriCta BX 
funt inicaioac.iCtket]amlinca BX in fcctiouci vnde BC in Icctiont ap- 
parebit in BL. pariq;.rationc DE apparebit in DO, GF vero in FM. & 
quoniam BL DO FM iLnt in lineis BX DX FX| erunt BL DO FM in 
ImeiSr.qiizinvnnm punctum concurrunt. quiaMfd AXcftipfisBCDE 
FG parallela; erit AX plano per parallelas iranlciimi xquidiltans. quare 
punctum X efi fupra planum , in quo funt parallclx , xqueaitum , vi 
oculus A. Jinex. icitur BL DO.FM lovxium.puiicnun concurrunt eque 
sHim fiipra plantim . in quo fiinf patallelx, vt 'dculiiS A . qiiod jaciiion- 
ftrarc oportebat. ^ ! 'li i 

Quod fi parallclx linex CntNP QR FG, qux quidem non rfntom 
nes m eodem plano . lineas in fedionc apparentes m idem punctum X 
condirrefcfimittrerdemonfirabitur. '• 

Apponentes cmm lincx fimt NL QO FM , qu.x in X concurrunt'. 

Eae Icm quoque omnibus ali|scafibusfimilitercohiingcrcoficndcti)r. 


: il)! r.:| oi|j> 
‘ ^ t ito 


j!P 
5 

i) "i ftiinv i'1'Iiii.'no pI 
•il n XA !,'j!i;i .anoiiiloq 


'^oaum dufem ftj>i ia f*qutn‘i'jus panctum nomiaart tpairtet, 
Ittt ^mo haeu in fictwnt concurrunt , proptfrc* huiujmodi punctum , 

...Ii ■ . - . V - ll. .. . .. 


fUfd 


44 P B R S-B.E C.T3 ^ (AS 


Xt nuncuptiliitur punctum concurfks . {fl iuni 
llgendu^j/e-^pif^ctut^afi^K^ '^k KPS ;Ryt J ^ alii- 

ru it ip(is tcquidiflimtium . 2(jim quamuis-.ftneu liL- -nt 
X (oufurruntj P*r*lUUumtnli(ifiiBC 





(ttone in 

neu purdlltlu } idem punctum X erit Jitmliter 

que punctum cencurjttp . «iliil oIiiiiiita.iil.ZA 

■ -alliiieT »i»nil'innrtslq 

' -ItieqOTHa^Oa *ii 

C O R O L I. A R I r 

■ /niD Kun .onciq msb|'- 

Ex his pcrfpicuutn eft, in CoGtiottc 

oculo parallelis lineis ducitur ^q.uidiftans^imtipuni^tnto 

concurfus ! 'f"'”' ' • «Jinsitiqa 

C'.nioino3 wuiinttq 

•,'.!q tnu) fniiii’Kup3; 

In omnibui enim hucusq; demonftrius, nempe lVlgfcfifhJ?bciiAt,WW 
poCtione, linea AX ipCs BC DE EG fquidiftans 

1, .loL.iintiinEsuCI 
t •• iiir >s y.K »n 

COROLLARIV M' '» IljnaDaeilqi 

T'.\ P DA A. XI /t ■ . 'niX/nnnn «7 

t;:' J..I1 • ' ' •' :mr:inq^ 

Et his ^uo^ac manifeihiin eft, lineas , quot tit 
pati^jltl^ ^'ijusr piim l’e(5io'ne conuenirc puil^nt > 
une t omnes ia ynum>^ idem pundlum concuncre.m imii 

fli . ’ «V ^ 

t *;'!*>• ‘^'lOrrT» 

THEOREMA PROPOSITIO, XXXIII, ‘ 


..ij. I i; ;i:. 


-n:jq 


Iil c^dem firdlonc infinii^q pollulir c(R,jitfh^a'toiiciifr 
fus fu^ra fubiet^um planum xqucalca,,'. r 

i, I ■ . . i\ . ni I , . 

Sit oculus Ai cuius altitudo fupra liibieOum planum Gt AS, Gt lis 
ctioniSi bnea t^p.- fcctio autem Gc <^o|nodocunqueGu,faoceft Guc/ii- 
biccfd-plano creaa , iigc miniis . Gmq; in lubiccto plano rarallclae Ii- 
iicx RC DE FCr deinde in eodem plano alia: BH DK EL; denique 
aliz adhuc BM DN FO in eodem cxiftantfubiccto plano, quae quidem 
omnes cum lectionis linea ecnuchiant in BDF rancns, in lectioneau' 
em punctum concurlut linearum BCDEFG Gt Xt itidcinm.concum 
iis Uncarum BH DK FL Gt punaum Pi linearum veto BM DN FO 




punctum 


J7a B E R P R I M V s. 4T 


jHilittttrtviOp. ‘-'I ' 
curtus fif <J- 
lunganturBX 
DX FX. BP 
DP.FK.IKclfX , 
DQ_, FCL^ex 

dictis . n . BC 

Ctionc ap-*- 
iWtPifH' 

BX DX . .. 
lincx vci6 BH 
DK FL in li- 
, nds appareat 
^PDPFPi at- 
iqc lines BM 
3WFO mli. 
ncls apparent 

jqmqi paraP 
lelk Unes Cot, 
omnes intubip 


.1 I t .3 lil n- t . : I I . . ; r, 

. j a j'; 


• t «i« ■ 
A 


a<splano>crit vnuinquodqucpunafl P XQ. punctum 
bie^m planum $qucaltum, vt owilus.vtei^nteWcW^^ 
cuum cft. At vct6 quoniam infinitis modis effe 

no lines parallelx diuerfimodi collocate (efj}Oineadenifctts^* iltfiM| 

quoque poffunt elTe puncta concurliis flipra iubicctum 
quipd demonftritc oportebat. , 

COROLI^ARIVM 

;.rl 


o it: e 0%) n o 3 i-i t 

\\/i\ 

' • \ A ' V ■ ■ • 

/W) n J n uH ■3'! 3 n T' rno hr.-> ri I j 

nqul lu; 

: FX. c , 




-tn.A tuliooii^ 
ti^iii oLijiiiic “t 
.V • tniinal i ttmfiiidiil 
\ V. tinnifl-il 1 ?A sil 
'vM sit «nil t^^rl 
-oiio sil Siiito.ftsl 
^J^^Mna»ptllnchor^ 
onr.Iq OT/ ni snil 
■ «il tiincfiiliiiipi 

,D3 aa oa san 


Ex hoc patet, fi iungantur puntSa PXQ^^tini^iofits 
■«fWtutwniT {taiohi» T8t paraifelant/^ 

fuidh!‘Tjri :/TwT: >■ . . i . »• 

«oMsr«*.oi ui ‘ ' 

fiCfcwStt fi» puncta PXQ fupta fnbiecmmplainim xqualta .vt^ 
trtint iKincw eXQU* AI id Tao, & eodem plano , quod quidemm»^^^ 

BittiTO pbiwsqmSftanst Vndc Bt^ PXQ^ etit communu t<?:u6J>l^ 

*P»^'J«hC»thtis . A feoionir, fcrgo recu linM cft ftO. 3 • ^ 
CjLtnq. At BFTooioniBifabieAldi pUni communis fcclio, en knea PXQ. »' • 

."l • 1 1tmi. 

I|;. 1 . t?:',’ OI 1 lAi • ' I . . 1 . 

c'o A*'R I y M ■ n.'; 

n. ri '. ■ i ■ntii • 

‘ "EthWq^bqdd en;, lindas in 

iuhieCi(o p^uio iCxifteatcs, fe alias jttifubicdlo plano. no^ 
exiilentes, ipfisc|; parallelas, habere pun&umconcnfftis in 
linea fc^ionis linep parallela, & ab ipla itadiftantc, vt ocu- 
li altitudo fupra fubicdtum diftat planum-.. 


ytiieei- 

■nie- 


Omnia 


4^ 


P E R S R EiC T I V AE 


Omnia enim punfta concurius in linea FXQ^ cxiAunc.i ptodufla 
licet. & opus fuent, ex antea demonAratis . ' . . . 

1 

THEOREMA PROPOSITIO. XXXiill.- : 

' ■ L' 

In eadem (rflione infinita poflunteircppnAaedncurfait 
qux fupra (ubicAu planum inzquales kabcanc ilii^udiqu. 

Sit oculus A, eu* 
ius altitudo fiipra 
liibieaum rlanum 
fit AS I leftionis 
vero linea fit BF s 
feAioaut2fit quo. 
modocunque fita : 
fint in vno plano 
icquidifiantes Ii* 
ne? BC DE FG , 
quod CTidem pl4n r 
num ad lubicwun 
plauupiiii: inclina" 
tom inangulo B-i 
fimiUtcr JH ,DK 
FL fint in altero' 
piaro xqtiidiftan- 
tes.quodadrubic- 
dum planum Indi 
nationem, habeat 

anguli Tt!'paral- ii.j: ■ 

Idzvcrdiincx BM DN FO fintin filbie£lof]ano,■omn^’Dr 9 c(atcli- 
neIcum feaionis linea conuenianf: Prxterea BH BC BM non fint in 
vno,& eodem plano, veluti DK DE DN, & FL FG FO .* in fedhone 
concurius ipfamm BC DE FG, linearum verd 
hti UX FL pundum concurius ttr Q_i. linearum autem BM DN FO 
1^- fi igimtiungantue BX DX FX.BQ.DQFQ.BF 
DP FP , parallels linoB BCDE Eli intctFioncapparebnnrin fifDX 
FX s bnea yero BH DK FL apparebunt in BQ D& PQ, lihcxdenb 
DN FO apparebunt in BP DP FF • Si icitur iunganmr AX 
48-'^*^-’ 'r' « antea dcmtmftratis AXipCs BC DE FG ^idift«* 
AQ vero ipCs BH DK FL, & AP ipfis BM DN FO pamllda coui- 
diftantcs vero Une* m,diuerfisrunt planis diucrias fubicao^^plano m5?na- 
tioncshabemibusiergopini^ XQP inequale. habebuntfiiprafubieaum 
planum aliiludines. At vctoouoniam infinitis modis line* dari pofiiint 
PYalld* in Plan» diuerCnit^i collocaif.qu* quidem plana macis, mi- 
nfisyb fint ftibieao plano inclinata ; infinita igitur pofium efle pun^ con. 

tom.2lVo^ot!“ «MualechaE^takitulm*,. quoij 



THE ORE- 


LIBER P R 1 M V S. .47 

THEOREMA PROPOSITIO, XXXV. 

* 

In eadem {^ioncinfiitittelle poflunt pundb i»ncuzfui 
in eadem re^ lioe4 eiiftenria, qu« Tup^itibieaum planum 
infc^ualea akundiaca babeanc , 





Sit A oculuit cuiutaltinddCbpnfubieftampIanam fi» AS# llrf; 
ftionitlineaBF. Frimiim^i fintpa«llel«line*in flibicteplamo BC DE 
FG; alix deinde fintlinexpanllclz BH DK FL. quxiavnxiinc plan(^ 
qued tamen fit fubfubicAo plano inclinatum in angulo R.. prattctca aliai 
adhuc fint parallclx Une* BM DN FO invno plano eaifteaic*. quM 
<|uidem planum fit fiiprafiibicAum planum inclinatum in angulo Q.. 
autem omnesiinex cum fcAionis linea conueniant in BDF ptip^as» fint 
pexterea BC BH BM invno. St eodem plano; vnde& DE' DK' DN in 
vno.ScFG FL FO in aittio plano exiftSti eruntq-, triahxepi»n*u>tcile,p»r!**>i'*»* 
lallcla. Sit pun^him X punctum concurfus , lineanim fciliper.BC Ui detmi. 

‘ FG. qux fani in icdioK Ili 'BX DX FX appareant. Sit aitemiunaum , ',:V 

T punftumconcuriuslincarum BH fiK FLi atque puntturo V fit pun- 

, ftum concurfus lineatum BM DN FO i ita vt BH DK FL isn fcdione 
appareant «a BT DT FT';-’linex ver6 BM DN-.FO /n B'V'DV FV 
appareant. Stj inqiM iungtiMut AJT AX AV. cik AT ipfis BH DK 
FL xquidifianst AX vero crttspfis BC D£. FG parallda, oc. A'V ip-iai. 
fi» BM .DN .FO xquidiftana.. quare Cpint AT AX AV' ipfiaiBH B<Cl 
BM XquIdiMmes.-plaiuiin' igitur pet. A t AX ttanfien$eftplanDpcrBK| 15. >«le. 
BC ttanieiinti xquidiftans . fitmliterqi planam; p«f AX A V tranliens «x. 
entiplaoo pe» BC BM ttaoMinii xquidiftana.itrc^ vetA Une* BH BC 
BM in.tnoifimt plano i ergo Sc AX AX AY ifi vno plano caiftunc .1 
1 '0 ' Q^niam I 


i> E/R/S] P>ierc T I V ab" 


Q^ioniam autem punfta TXV funt in fcaionc,& funt in plano ATV, 

cmdufl«vTXV'Coit\mMiii«^eAiVJ>l»f'i.ATV -- - - 


|i» hmiu. 


patet bunAa XTV tfem 
pta planum BH DK FL *i 


. lau)- i 

iz.bn> 

m, 

-l.'t ■ 


a V . «c,<i^Lipma. u quibus i 
us meaaem eiicTcft* WiM i XV’; fu-^ 

qucalmm. vt eft oculus A< X vero ctit Tu- 
ra fubicilum planum xquttltum.vt Aicdt^; V fupt^ planum per BM 
FC <lil^im«cqiieiAuft;^'Aa ni^djiitfeqoiw^unai XXV fu- 
lua/ulMedum planum diucr&i iiahcrc alfttudincs .■ Ac v«6 quoniaro in 
liTacmplhms Mr paralldaj linMS DE-^. FO FG 

FL tranTeumlbus infinita; pofluntdaUlineifc^piiidMitefqttscuiltKubleAo 
plano diucrfat femper inclinationes cfficianti infinita ergo poflbnt cOe quo< 

3 ucpunaaconcuilus inpquales altitudines habentia, quz quidem in ca^ 
em Tempet ctunt linea teaa . quod cft id , quod demonftiate oportdaat. 

= THEOREMA PROPOSITIO. XXXVI. 



In eadem reda linea infinita poITunt efie pun^a, in qoi« 
bus, fi collocetur oculus, zquidiftantes linex, quad canu 
fitifiione conucniantiinTeAionein ijfdtmmct lineUlmget 
appareant. . 

Data fit TcAio 
BXF } «quidifti- 
tes vero line» 

Cnt BC DE FG» 
quz cum leftio. 
heinpQftis BDF 
conueniant ; ex 
parte ver6 CEO 
infinitqintclUgi- 
fur.Ponarfi/oe® rftn.-^iqmj 
ktsLbldunque-ii»' ' a r_ ' 

A .■'infoaioneaUi y.i 
ftm fit X'pu*QA ■« 'rflf lli» liUh 

concuiliis. ita vt ..V . .,.r, ,i 

BC DE' BG-iifc ' 

Tedione apparcAt 
In BXJ JXC’ FXl 

fi igitur iuBoatui 

XA. ctitiAX ipi 
As BC DE jFG 
«equidifiani.pio*. 
docatot 'i autem 

XA ex pane A iniiafinStifthl; Dico parallelas lineas BC DE'FG» vbi. 
cunqub pdnatilc omlus.in tinea' XAs infeftione fcsiW' apparete in ijl^ 
dem lineis BX DX' FX . quod quidem petfricuum Nasi u ocnhixpo. 
narut Ttin H, idempuh^m X erit punthim concutfiis, velnti fi po- 
'natur etiam oculus in Kiiiheaetum duAa XHAK, Temper cft ipfis'^ 
DE FG xquidifians (cfl cnimfempercadem linea^qoarcfinrocnlnsiaA 
ntin H, fiucin A, fiucin K, luiez BC DE 'FG in feAionc fisapec 
in lineis BX DX FX apparebunt . Itaque quoniam in linea XK. Infinita 



n; il :..'! 5 U' ^ 


i\»tttMiiir> ,inIino A j;?. 
prmiinnT . ■12 tinil: 'toJi 
I TomlirM) obnhl' v - i' 

•.lll- r Iflll 

,>• I." ■. «<iim.'T .. 
i'U - ■ Kil/in I 

VII K-: 'T tr 
O- <-■.-• 

- 

‘ iVi i > -I' 

- . iri 


I 1 


• • 


L I & E P R I M V S. 


49 

pofTunc cflc punaa,in qdibusocaluscflcpotcn , ita vt diicVi linea ab oculo' 
id X femperCtipfis BC DE FG pquidiftans » ergo in infinitis pnnais 
line* XK poteftcollocariocului.&idcni pnmaum X in legione pim- 
£lumconoulti$fcmpcrcjiflet. Cenare infinita pun£ta in eadem linracxi- 
ftont .dn quibus oculus collocari rorcfi.lincaq; BC DE FG inicdionc 
in i jrdemmet lineis BX DX FK femper apparent i qno«l demonfirare 
oportebat; 


*P4rtitoxum /irtdjfe yiJebitur problema propofitum tamen n. e- 

fiftimum , (y demon firatione confirmatum . quamuis fieri non prfji 
yideatur, <x»f ofuius modo ftetioni propinquius , modo i /cetione ent 
/olum remotius, y erum etiam remoti/simus, collocatus pt , (ydat7!ic \ 
Utdtm paratleU linea in itfdeptmet lineis' femptr appareant. ^ am\ 
fi oculus fitum mutat .^id quoque, quod in fectione apparet , manente 
eiieeto , manenteqi fectione , fitum apparttienis in feitioke mutaiiopar- 
dam«nfirafivte,ptfpfi/c_uMJte,eflfineam BC ttiatn^ 
id^iti pHiductam > 'vbicunquo fuerit oculus in Imea ^Jict , /impeiA 
in appare're\‘ Huiufihodi aidetft‘afpirt^sf^ipujfiOr,t^facile lioe 
pacta conciliari poterit , 

fi li 1 ?' I ;j4 


lj(3em ramqne politis, fumatnt in linea BC quoduis punanm C. 
Ducanturque Ch CA CK, qux Uncam XB Icccntin LON» Iccabunc 
enim , quia oftcnfum cft , lineam BC in BX femper apparere . pr*te. 
tea quia XB coniungit parallelas lineas XK BC; erunt KX XB BCi in 
*no, & eodem plano, quate CH CA CK lineam BX difpclcent. Ita- 
que esiftente oailo in H, Unca BC apparebit in BLi exidente vero 
oculo in A, apparebit BC in BOj oculo veto in K, BC apparebit 
in BNj Quare dum oculus fitum muut, idcriam , quod in icdionc 
■pparct, fitum quoque mutat, cum BC, modo in BL, modd in BO, 
snod6 in BN . piout oculus vel in H , vel in A, vcl in K reperitur, 
appareat. PunAum autem B fitum non mutat , quia in ipla exifiit Ic- 
Aionc . At verd problema qnoque propofitum vetiflimum cft ; nam 
BC ("vt diaum cft J vbicunque fit oculus in linea XK, femper appa- 
ret in Unca BX . Quocirca ad apparentis repugnanti* concilium , li- 
neam BC • dum apparet in Icaionc , & fitum mutare , & fitum non 
mutare intclligi poteft . primum quidem fi Unca ex C infinita intelU- 
gatur , fitum non mutet , ipfius vcr6 partes mutent i etenim vt infini- 
Icmpcr apparet in BX, partes vero non Icmpcr apparent in codciii 
fitu. Nam punaum C in fcaionc fitum mutat, ctlm modo in L, mo- 
do in O, mod6in N a|^rcqt. quod idem accidet, fiimptoquouis alio 
punao, vt M, quod dc in P, & in Q, dc in K apparete poteft: dum 

K ali c a t nrnins :'«‘l 'n H , t'>-l in A. «/.lln V rvfti>,.rlr. VnMo lin,- . Mr' 


•^tir vo 


G 


qu* 




T? 



qux eft portio 
Imcz, modd in 
LP • mod6 in 
OQ .1 modo in 
N R. apparebit. 4c 
hoc non folum 
cuilibet portioni 
contingit, verum 
etiam cuilibet pii 
fto ; quod qui- 
dem, dum ocu- 
lus fitum mutat, 
dciprum quoque 
mutabit litum ; 
cum punftum C 
in LON, & M 
in PQB. appa- 
reat. S^ ita in om- 
nibus alijs, pra:- 
tcr B, quod in 
felUone reppa» 
tur. Deinde dici 


tur. Deinde dicr . , 

S uoqne poterit, quddterminattIJnea BC. qnamuBdum oe«lu*, veim 
I. vel in A K repetitur, litummutat.cummodoappareatin BL, mo- 

d6in BO BN. tamen vetiim cft quoque allcrcic tenninatam lineam 
PC femper apparere in BX. 


PRIMI IIBT<,I FINIS. 


ff. 




ic i- 


\'i anu J 
iT'' j"’ i> 
n -iS. ■> ; . i '■ 

, ■' .X.f” ■ ’ 

!l m boijp , iin.. 
Ol.ViUlJ-' t!l 


n -npmtn rrn*' 

.! ly. ■- ‘ ‘ 1 .'“■‘i a > allfii'- 

1 '..T i:. w>fl t- ...nil ,ft 


! y. . n: 

• f' : / ■ 

■ 'J ' 
r 

, 't.iri 

:.ori 


:ll> 


liv-M inos 3X v 
• -jp .dr: r 'irsbov ; . :.i.. 
’ ,H Oi o; -o 3Jt:j*!!ra -j 
O® jid-i f f ,A ni <!i!: ■ 
i itiiuMi rr^i tittup ; v-ii 
1140." Op'"i; /iiini> .ij: 


n-i 'A ni ia/ . A m b/ 1 1 .ai lar i- iO iimit,- , IJH n' • ' 

' ■ j( r.\ n< ;i ruiuil tl T..wi. rnt-pn^l .n ’ 

, nurnifi. ■/ Moiiloioiq H r.‘ ■ '•Jvvj' ■ ■.•iA 
.XX «nil ni zu'- i- lil -r/pc.Ti.dv 
4 003 ioai.:4rjqai «iina: . , (t be ran-! 7>. . 

i i.-tl yi , 3 it . n ttrnfl A tnnotftai i>. j.;.m . ' r • 

' linitai D « J«ii *! «--l' . .. ai. ; . '' >i u -- .j> 

I 1 niinji>i a<n”jtu laltci I.).5V • /Tl lyUir,, 'i Ju tno'.'! , a. : 
. 1 , (iiMi. , , ‘iTi ■ ; iwn ■ • 4 * "i' "?rn‘j. 

" i [:1n 






GVIETI- 



G VI D I VB ALD,I 

E’ M AR CHI oklBVs 

MONTIS 

PERSPECT IV AE 

LIBER SECVNDVS, 

VONI A M « ijs , (j^ux fijnt, fads < ni 
fallor ) pcrTpicuum eflcporpA;, quomodo da- 
tx lincx in data fedlione appareant > iam ad 
prazim proxime acccdcrcpoccqmua; cum prf- 
fertimcx thoorematibuspropofitis, tanquamab 

exuberanti, & fecunda propagine multx, aevarix fpetSa- 
bilium prato germinare , ac prodire facile ppflint. tn quo 
negotio ablolucndo , non mediocri opus cft jnduftria, dum 
ia yno , eodemqj plano dux occurrunt deferibendx figu- 
EX , quarum altera obiodum pftendat , altera vero in ic- 
dioncobicaum reptxfontcti ita vt, aliquandp planum no, 
bis pro fubie<ao dano, aliquando autem, C vf pontingee ) 
idem planum nobis pro fc<aione deffruiau stwnpli gratia . 

r qux iiuelligaturin 

lubicfto plano {• in qho iit fcaionis linea DEj ineodemdj 
plano uc pundum S *pun<ftumdiftanti*,in <ju6d nempe^ 
cadit perpendicularis io oculo in lubiedlufti planum jocu- 
i vetb altitudo ibpta punaum S fit quantitas SA. Intel- 
ligaturautem fupcrDEfcaioncm Tubiefloplano credam ef- 
lc debere. His ita conftitutis, oportet in hoc eodem pla- 
no deferibere figuram, qux fit xqualis ei{immo fiteadem) 
qux in Tcdionc apparet , vcliiti FG; ita Icilicct, vtfi fcdio 
rumt DH, eadem DH iti rubiedo plano proilrata,& in 
eodemmet rubiedo plano efle intclligatur, in qua deferi- 
benda elt figura FG, qux ipH-im BC tali artifi cio reprx 

1 G 2 fentet,. 



p E R S P B C T I V AE 


H 


- % 

— ~ ^ — i 

* 


- . A 

X 




A. 



l •' • 



t 


\ 




H 



. .1— 



lentet, acfi IcCiiocl- 
f<*t fubicfto plano 
creita. Vtnimirumi 
Ii manente DE, in» 
telligatur DH vni 
cum FG conuerti, 
donec fiat fubie<ao 
plano eredaiint^U- 
gaturque manente/ 
pumico S, linias A 
fimiliter fubic£ko 
plano erciJa; & itu 
in telligatur ocu-J 
Us. tuncitaqucocu. 
us A alpiciehs fi- 

igurT in ftaionc appareat , vt atque ita in eo^nu 
pfano , & obicaum, & figura in feihonc 
)ta erit J vt in fequentibus praxibus mullis modis pofle fie- 

ri perlpicuum etiu . ' j 

Caeterum hic animaduertendum occurrit , quod nrp«- 
xibus conficiendis multas , ac peni infinitas quandoq; li- 
neas ducere oportet, ita vt line* q^uodammodo interle im- 
plicari videantur j vnde ad aliquas ^uiulmodi meas «unan- 
das, praxes quandoq; altero moJo conftruere non erit i^- 
tile; nempe , vt obieaum , figuraduc appaiens in diuerfas 
partes dclcripu proueniant, veluii hoc mutatt^lci- 

licet fitu obieai, vt in altera figura , in qua fit fimlit^t.^G 
figura in Ibaionc apparens, obicaura vero fit BC, .m vt 
fcaionis linea DE habeat o.bieaum ad yu^ partem , fi-J 
guram vero apparentem ad aliapn* vbi confiderandum cit, 
duandofeaiovnicum figuta FG intelligitur fubicao pla- 
no erefta , vcluti etiam AS eidem plano perpendicularis, 
quod tunc figura FG non oftendit , neque rcpr^icotap. 
obic<aum BC oculo in A fupra S cxiftcnti , hoc cqmu 
efficere non poteft,vtperfpicuum cft. Quare, vtconcipia/- 
mus, quomodo FG obieftum fcprxfcntat.mtcUigcndpro.’ 

ell obieftum BC in altera Icaionis pane efle , vt j q HL ; 
cohucrlb 



l: E R SB C V N P V s. f) 



cgnucrro tamcD ino« 
p dcfctiptuqQ,quaiu 
it BCj vc fcilicct. 
iunftis pungis » 
fit h*c linea BH ip- 
fi DE perpendicula- 
ris, duxqi line* BD 
DH intctlcfint?qua- 
csj fitqj punftum H 
oco punfti B , pun- 
dum vero L pro C , 

& ita in alijs . atque 
loc modo fi intclli- 
ratur fciflio fuper li- 
nea DE fubiccfto pia- ^ e cr> 

no erefta.in qua fu apparens 

intelligenda ^ oftendere non obieaum BC , fed ipfunu 
HL, oculo fupra S cxillcnti alutudine SAj quamuii iru 
inucnienda figura FG non fit opus figura HLj vtfuis lo- 
cis manifeftum fiet^ . . 

Ex hac conftruiftione hoc nobis commodi continget, , 
quod cum in praxibus ( vt inueniatur figura FG ) multas 
Sporteat dneere lincasifigura BC a4 feaionislincarnDE, 
deindealias multas a fijdHonis linea DE ad patrem FG(coq, 

inanis, quo bbieaum plqtibus conftaret angulis ) cxiltentc 

Bc'’adKnam,& FG ad alteram partem ipfius linex , 
pacfat?.lines interfc miniis implicabuntur ; quam Ii obic- 
&um fuerit in HL-ad eandem par«?m FG. line? enim. 
quasi^bHL ad DE, «i i DE ad FG ducere oportet . l?pc 
lipiii^ (ibi ihuicem oc?mrcnt.apparcnsqj figura cum 

cto fimilitei conuenitef?pecontin^et. vnde non finealiqiu 

confufionc operari potcfts nifi forte, ^umfit operatio, mu^ 
linee ex vno in alium locum ad euitandam confufionem, 
jrausferahtur-, vt fieri ftpfefolct. Quoniam autem vanjs r^ 
gulis obiectum in fectiono reprefentan pote » P^°P 
maxibus conficiendis! quamuis non in omnibus) vtroque 
modo vti quis poterit , prout vniemque 
!brforfliqum4(ie‘^ ma gis vifum fuerit, - & qux de fecuoj^ 

— ►i:— -i— — fubiccto 


itcfi , 

6. yniecii 

i»i. 

Ex 9. *»« 
ietimi 4 
J. tor. }Z. 
frimi b» m 
hi. 


f4 


P E R S P E ^ T I V AE 



iubiecco plano creda diximu5, dcindinata quoque, ac de 
alijs fctSlionibut incclligcndum cft. vtihlcqueiitibuspatcbic. 

problema propo-itio. i. 

I ' ■ . 

Oculo dato, datisqjparallelislincisihrubiedtopUnocxi- 
ftcncibut, quz non nntfcdionislincZparallelzjinpropo- 
Hta fcccione fubiccto plano crccu punctum concurfosin 
ucnirt/ . '' •' 

Dams fit ocolut in A J 
CUIUS altitudo fupra fubic^ 
planum fic AS; parallele 
ver6 linee date in lubieAo 
plano fint BCDEFG>que 
(eQionis linex BF non lint 
parallcizi feftio autem inteU 
ligatur ful^iedo planO ere* 

&I 4 oportet ih leoione pun« 
dum concurlus inuenite. 

Primum enim cum cquidi. 
ftantes datz linex non fint 
Tedionit linex parallelxa cu 
ipfa conuenient , vt in pun* 
ftis BDP. fi intuti 5 ipGvBCDEFG ducimr in fitbiedo plano equi* 

dillans SP.inxc fedionis Jinex Bf occurret quoque, vt in P; inuen* 
to^; pundo P. ab iploin fcdione ipfi FP a^tur perpcnicularii PX, 
qux fiat f qualis ipfi AS. Dico pundufii X eiTcpundum concurfus.ita 
vt BC DE FG infedionc appareant in dudii Uncis BX DX FX: iun* 
gatut AX. Quoniam igitur XP cd in ledionc . quz eft fiibicdo plano 
cteda, & FP cll boruni planotum Pedio communis, cui perpendicula* 
rjs eft XP; crit XP fubiedo plano credat ftd & A5 iiibiedo plano 
creda cxilUti. linex igitur AsXr funtparaJlelx.quZaCumfintetianiequa- 
lcs, fcquctur,qu6d AX ipfi SP, ac pet confequens ipfij 'BC DE FG 
erit parallela, ergo X eft putidum concutfiis. quod facere oportebat. 
Idem quoque fimiUrerinucnietur, fi data unturq fttqrit lippa, vt BC, 
Eadem ycrO prorfus raiiq dl, fi oculus fijerif infra lubicdum planumj 
velmi fi patillcix datz linex inter fcdionem , & pundum 5 extitetinf . 

p R'd B LE M A TR OPO SITIO., il. 

J ' 4 . 

; • a / 5 - 

Oculo dafoi datatjjlinca in fubiecto piatio infinita, qu? 
non fit fcctionts linc^ paAlIe/ajin propofita fectionc fubic' 
pto plano erecta jineam apparentem dclcriberc/. 

Datus fit oculus in A; cuiuialtimdofiiprafiibiedumplannmfit AS; 
datari Jit fcdionis linea BF » Icdio autem fiiprafubicdum p lanum per S, 

&BF~ 


4 


LIBER SECVNDVS. 





£x prdee^ 
deiut. 


& BF tranficni intclligaturcre- 
aaifitinfubieaopUno data li- 
nea infinita DC, quz , cum non 
fitipfi BF panUda>iplamfeca- 
bit.vt in B. oportet in fe^lio- 
be Unca m deferibere . qu^ often- 
dat lineam DBCt quemadmo- 
dum fcilicet in fedi one apparet . 

Inucniamr in fc^bone puu^um 
Xi quod fit pun^mconcurTus 
line? DBC, quod quidem fiet, 
fi ducatui SF ipfi DC paralle- 
la ;& in cre£la feftione ducatur 
FX ipfi BF petdendiculans ; 
fiatqi FX ipfi AS equalis . Cum _ 

itaquecuq^lum X fit punfb»mconcqtfu$, ducatur XBG, quz ei parte 
G JnSmta intelligiwrj linea vtique XBC 1“ lc^on<^ lineam DBC to- gxzi.ii. 
p'rjlcnl^lr. Quemadmodum fcificet in fedione apparet, iu vt pars BX. prim b»- 
daz'eft'fapn rubie£lum prahumsOllendar datam lineam ad panem BC;,ui,. 
MTS‘Vmr '8G, qui infra fubieCtum planum exiftit , Uncam ad panora' 

BD repr?fcntattlr. fic quamnls linea BC ex C intelligamr infinita, icm- 
pertamen in linea BX apparebit, non quodopotteat producere lineam 
BX ex. parte Xi -proprcrcatiuod fiinlnnnica linea BC quodlibct iiima- 
tuFpunaum. apparebit hoc Icm per inter punfra BX, ita vt neque inipfo , 

X apparere pofiit. puqftum enim quod in X apparrt, oportet, vt iitin 

Imca per puncta AX duda, quz, quoniam elllTlpfi DC cqmdi- j. cm.ii. 
fiant, niiliiim puncium linee BC cnniduQa Unca AX i^nenire potcfl. p„mi bi 
diWpatSnmlum punQum linc-e BC fctiamfiin infinimnxprodu^aiij, 
teOigatur J appareto polfc in -X. Ifcd iitter XB . quod facete Qpottebat . 

Ijj C 0-,F^ l ^ R I V M. 

Ex hoc patet, il darz fuerint paralIcI?Hn;C BC KL, 
ductis lineis XE X^, ’lideas FCX BX EX iplas,KL rtC 
Eti in {e^tioaeoileniiero. 

.iiatlribf' ■' ril.- : . J 

Line? enim KX BX EX paralfclas lineat ofteodentes in idem pnn. 
ftum concurfiis . puti X concurtete neccire 'cft. ex vigefiraa o£uua, 
rigcfimanona, & ttigefinu fecunda pcopolicibnibus primi buiiis 

P R A X I S. 

Sitpunftnm S, vbi aboculoinfiibieftum^anum cadit pcrpcndiculv 
cis. hoceft fitS punftum difiantiz : oculi vetQ altitudo intelligimr quan- 
titas SA. Data fit fettioms linea BF . dataq; fit in fubicdio plano Unca 
DBC infinita, quz Uncam BF lecetin B.planumlraque.inquo funt li- 
ne? BF DBC. ocpunftum S, ptimumaccipiatutpto fiibicdo plano, in! 
quodacamtipun^o S ipfi DBC zquidifians SF. His iu confriniris . 
inuenrisdipunfris BF, quzinfubiedoplanoIbnt,dCinre£lionciCum fic 

T : ^ ^ bfT 

«Hv ■■ 




> 


Jd PER S ' P g C T I V Al^ 


BF, & fcaionis, & fiibicdi plani com- 
munis fcftio . nunc accipiatur planum 
pro feftionc . idem enim prxftanit no- 
bis fubicAum planum I ac fi ellct Icftio 
creGa j eodem namque mOdo in vtro- 
qiie plano a pundis in linea BF exiflen- 
Tibus , cafdcm ducere poflumus lineas, Sc 
cafdem abfoluerc praxes. quare in hoc 
eodem plano.tanouamin fedionei pun 
&o F dneamt FX ipfi BF perpen^- 
cuUris i fiatej; FX cquabs data; oculi al- 
titudini SAi ducaturq: XBG: often- 
det veique linea XBG m (cflionc iplam 
DBC. quemadmodum fcilicet in feftio- 
ncapparet. 3c pars BX ipfim BC, pars 

vero BG_ipram B» reprffcntabit. q„od fani perfpioium fiet. C.ma.; 




. .. * hocnamquei 

XBG lineam DBC «pralcntabit. quod faccre oportebit- 

CORQLLARIVM. 

Exdiaisconftat.fifiierintdatatparallelt linct BC EHi 
KL, iundlis.XE XK , lineas KX BX EX liqeas KLl 
BG EH canquaiii in fcAionc icpr^/entaro. 

PROBLEMA PROPOSITIO^ III. 

Oculo dato , dataq; in fubicdio plano linea tcroiinanu^ 
qu? cum feftionis linea conuenlre polllt^ iq propoliu 
diionc iubiccco plano crecu lineam apparentem delcribcre 

Oculus datus fit in A. cu.’; ^ 

IUS altitudo fupra lubieOum 
planum fit ASi fit feflio- ' 
nis linea BCi data ver6 li- 
nea terminata fit DE, qu» 1 
cum fcaionis linea BCcon- ^ 
ucnirepoffit. oportet in fe- 
ttionc lubicao plano ere£^ 

Irneam apparentem deferi. 
bcre. Producatur DE vf- 
que ad fcaionis lineam in ' 

Fti Punahqi DE vbicun- 
que ducantur line* DG EC 
> dummo- 
doicaiomslincx occurrit. 


P' 



nin 


« • 


■r 


irt in piinais GC. Inueniatur deinde panOiun X, qnod rpnaum'», trtci* 
coocurfu»ipfiu5 1'E. quod vtiqwe fiet, doA» SH ipfi ff. parallela, in u-.fL_ 
fcftioncq; duQa HX ipfi BC p^ltpendioniatiK&ipC AS zquali • finiilir 
tcf Inucniatnr punaum V, quo4 (it painauin concnt&s linearum. DQ 
EC; duda fciucASB parallelis EC zquidiftantc(,waaqi BV Iit fci 
aioneicfi BC perpendiculari, ipfi^; AS equali. Ddodeiui^ 

CV GV . quoniam igitur ex prcc^nti conflat lineam FE L 

apparaeinTX; CmUitcr lineam CE ajiparcirinCV, lineaufverd Gp 
in GVi pun6kum igitur E, cim fit in vtraqne linea CE FE. apparebS 

inviraque linea CV FX" e. — r ... r_ — « 

E apparebit. C' 

FD, apparebit __ 

quitur terminatam lineam DE ialbaione'ap{iqKtcin XJt, 
oportebar. . t 

Qu6d fi data linea DE fiierit in> 
c BC, Sc punaum S, eodefia 
snodoinTeaionc inuenietut appa- Y 
xens linea LK infra fubicaum \ 
planam 


LIBER" SECVMDVS. 


f 7 



Ex quibus fi data iin.eafartift ad 
V nam . partimqi ad alteram partem 
JeaiW‘s qstiterit, fimilitcriniienie- 
j9u.apg^ci}i|rineai;^7 p^Alin . 

.pxa. partiat' intra uibief^m plafr' ' 
Vumcxiflff . . 

* Si veto ilofudo oculi raclii infla 
Fubicamn planum, tunefl^urae in« 
tdligahtiinnucrff, nempe voluan- * 
tur , Ita vt. qua; funt rupra.rCeeriil. ^ 

luriofrai omniaq; fimilitetinuctItaerBnt, 



f 

4 


1 eil ilqi 

J. IllUIllIi.;: 

noifl tuA tl L"';^ 

, :J! eilioii:-.- T :ni 
■in rri^boa , t ur.ft 
:nt| ,n*nr»j'' 


A X I S 


Sit S punaum diftantip , vbi (cilicct 
ab oculo m fubicaum planum carpet* 
pendicu laris ; oculi verd altitudo intelli- 
gatur SAi fit^jleaionis linea BC. da- 
ta veri linea terminata fit DE. Itaque 
intelligatur nunc planum pro fubieao 
plano, producaturqi DE vlque ad 
aionis lineam in F, & i punais DE 
quocutlqucducancar linea: DG EC in. 

terfe parallela:, qua: quidem, «ripfie cum c 

BC conucniant in punais GC; i pun- 
aoaitem S ipfls DG EC parallebdo* 
camt SB, ipfi vero FE parallela dnca« 
turSH.inuei)tisq; nuncpunaisBFGHC 
mx quidem in fubieae plano, Sc in fc- 
woneexiflunc (trt in prceedeiuj quoque 
dixinyus ) nunc acctpiamr plapum pio 
feaione, ducanrur^i ipfi BC perpendi- 
culares BV HX, qua fiant aqualca ip fi AS, inngamnSj FX, dnoa - 

■ H tnr4; I 



!• 




[ - - 


^ p e"r s p e c t Tv ab 

ifnrq; GV’CV, qu« ipft» ^ 
iA Ik. Ciionwm^.nir pandum V^' •'• , 
pnnatim cortcurfos ipfanMn OQ ^V* , 7 ' 

^ DO «C i5-C^CV app^D^7 V ; 
ti jn pr*ct«fcnB diftum ftilf. firtiilrttt 

■ ^ linea vtfque FE apparMilt In ’’ 

idc'/wWtt't‘piindum rr fli Xv puft^ ' “ 

^aro'Ver6 l^rt <ppaf«t. ao'J*0' 

ertt 4 Tk.‘ »M>?i » *PP*: ' 

rens .a nuitfetti' manifcftnm«ft» fl 

tIrtdiWTO^ •lew<S' Ilii co’*' 

ptMO «•**' 

da > fucritque AS fupra S fuWcSo 
pUno itidem creda , peferipta cft igP 
turiinea IX in fcdionc apparens. <iuo4 
fiic^c oportebat . 



A I- I ■!!: 


E 'RV^^ 

itlif.- 


ri^itfpe 


V. 


ruvilioris operationis janti» hoc v 

iifdem EofiflJ. inucntoquc pundo X7faunf PBttvM 
tur pundum V iquWman^i Unca BC,- Vt X; xd^iticrtdoto VB ^ 
BO pcrpemfeulati, fit BV «qualis HXj iungaturqucM.ducamut^^ 

DG tC ipfi BS parallel*; eodem^/tnodo ducatur FX GLV CKV, 
ent nimirum KL Unca in fcdionc a^irejJS. qipd fteere opoittbat. 

Qimd fi data fuerit terminati Unca De ^ 
inter (cdionis Uneam , 5c pun^m <U« 
ftantix , eodem modo in Icdione mu* 
mr apparens linea LK. qu® erit tan« 
im infra fubicdum planum. 

ia quibuspatcr.quomodolnnenmpOt 

inea in fcdionc apparens in omnibus 
caiibus .vbicunquclalicct fuerit data li- 
nea in fubicdopuno* dummodo non fit 
fedionisftiex paraUela , ycluti fi oculus 
quoque fuerit infra fubicdum planum 
confiimeus » erunt quippe exdem figu. 
tx.fed iniicrCx . 

Qiix quidem omnia ('ne Ixpius eadem 
repctannir) confJderari.ficriqipotctunt 
in fcquentibus problematibus. 

PROBLEMA PROPOSITIO. IIIIs 

Dato oculo , datisqj qu^otcunque lineis in fubic^ pla,- 
no infinitis, qux fctaionis lincxfintieqiiidifttntcsj in pr<> 
pofita feiaionc fubiefto plano crcdla Unias apparentes in- 
iwniic*.: ■' 

-r — ^ Sit i 





% 


LIBE R S EC VNDVT ^ 



Sit rurfiis datus oculus A, cuiiis alti« 
ludo ASj fitquc/baionisJme* AF(d» 
f*vcr6line* qubtc^nquc indetennina. 
iifeaionislinc* BF patallcl*fint CD 
£(j . oponctin l^iooe litbtcdo 
crcflalmcas inucnirc,qu* parallelas li- 
neas rcpncfcntenr. fuinanir vtennquein 
Bf pun^um B. duQpirq; vndeaimqt ' 

BGDi qu* parallclaslincaslecetinpun- 
ilis CD- Deinde in lenone inucniatur 
ex prxcedenti apparens linea LK, qu« 
iplam GD oBendat. dc quoniam lineae 
CD EG funt (eaioms line* BF paral- 
leli . line* , qu* in feftionc ipfax EG 
CD oftendent, erunt ipCs EG CD, «f 
BF parallel*. Quare Ipnndlis LK ducaitur LH KM ipfl BF paralle- 
tu'*» LH KM infeioneoftendunt 


p IV A X I S. 


Primum aecipiatnrplanum pro lubieflo 
plano, in quoiitpundum S, ebicaditib ^ 
oculo in fubieaum planum perpendicula- ' 

^ 1 ell Iit S punclum diBanri* / ocu- 
li veto alomdo lopra iiibie&uni plamiin 
intelligatui AS < Cqtqde in hoc plano 
quotcuneme dat* line* ex vtraque parte 
lU&iitx CD EG ipp feHionit Imc* BF 
^callei*- Sumairir in BF quoduie pun* 
tom Bi ducaturqi vtcunque BGp.que 
datMfeeef patalldaiin pun£lisGP, Nunc 
vero intcl%itur planum reitio.dcex pne- 
cedemi (inuentis pundi» yx concurTus) 
inucniatur ip hocplanb.fanquam in ft Aio. 

oftpidatipfam DC > i 
pun&sq, KL ipfi BF paraUel.* ducan. 
lurlin» J.H KM ex vtraque parte inji. 

fe.Aionc ip, 

CD japp^ttbitin KMi EO ver6 
no fi intclliwtnr fcdio fiibieAo pia. 

M* w' intelligatur in A. hoc enim 

raoOocrunt KM LHlineeinfcctipncapparcntcs. quod ftceie oportebat. 



H a PROBLE- 


a5 

iMmi\ 


Digiti- 


P E R S P E C T I V AE 



PROBLEMA PROPOITIO. V. 

Oculo dato , datisq; in AibicAo plano quotcunquc li- 
neis tcrtninatis> quz icdionis Uocx um parallele j in pro- 
poli ta fcAione TuDieAo plano er«^ lineas apparentes de 
fcriberc/ , 


Sic A oculus I cuius alcirado AS; litdue lefttonis linea BCj dacz ve- 
ro iint primum duz in fubicdo plano finepDE GH parallel^.quzflnt 
etiam ipfl BC pquidiliames • oportet in fe^one fubiem) ^anocreda li- 
neas apparentes defcnbcrc. lutantur GD HE . qn* ptoducantnrvlque 
iniitt, ad re£bonis lineam in CK> Dcinoeps inueniatur linea NO, qnx in ie- 
diione oftendat ipfam £H. quodfiet, fi dneantur vteunque que 

ipfi BC occurrant. Icd ob lineandi facilitatem •, fiiiht f L HM ipfi <.Q' 
Ex prxet^ parallel», inucniatUurque pnnfta VX concutfus > X fcilicet irfius KHj 
dnt). V vcroiplarum CG MH LE, dudis nimitum SFFX,& SBBV.du- 
canturq,-in fcdionc linex KNOX LNY MOV • ita vt LE in Icfhonc 
appareat in LN. & MH in MO. Ducanirqi linettCV > qu* in feftione 
miam CG tcprzfcntabit. AtVet6 cum line» DEGH Cnf (e{Upnis littec 
» 5 . primi :nC parallclzi lincz.quz in fcQionc oftcodontDE GH, cAtm ipfi BC 
InuM . parallclz . Qjiarc i pundis NO ipfi BC pamllclz ducanniT NP OQ., 
quz ipfi CV in punctis PQ occurrant. Iinta igiior DE in lectione aw 
patebit in PN, de GH in QO< quiitc lincK liP fijnt mfettoneajv 
parentes, quod fiiocte oportebat. • ■■ 

Sivero date lincz pluict fiictint, quini dn^, todem modofku ' 


• i>a * -A 


■p R A X I s. 

f 

In fubieflo plano fit BC linea feflionis; fitdj S punAum diftantiz. 
lupta quod oculi altitudo intelUgatuf SA. datggj fint line; parallel; DE 


CH-’i| 


LIBER : SEC VNDVS. 





GH tcrminatf t ipliq; BC 

f arallclz . lungantur GD 
iE,auxproducaatiir vf- . 
que ad fcAionis lineam in 
CK , & vt in prxcedccibus 
factum fuit, ducantur £L 
HM vteunque, fed facili* 
tatis uatia fiant £L HM 
ipli CG parallelx ■ duca» 
turdi SF ipfi KH xquidi- 
lians, & SB ipfisGC HM 
EL parallfla . Itaque in- 
nentis infectionis linea pu 
ctis BCKFLM, nunc ha- 
beatur planum pro fectio- 
ne fubiccto plano crcctai 
atque in plano, tanquam 
in lectione inueniantut co 
curfiis puncta XV , ductis 
nempe FX BV ipfi BF 
perpendicularibus , ipfiq; 

SXbqiiititnsil&auitncqt 
itmOX UJV JlfOV . ex 
quibut'COi4u MH apparete m MO> & LE in LN, lunatur deinde 
CV, qux in fcctione ipfam CG oftendec. 4 punctis vero NO ipfi BC 
parallelx dncantut NP OQ^qux CV in punctis PQ, occurranticmnt 
vtique NP OQ, in fcctione linex apparento, ita vt appatcatinPN, 
& GH in Qp. quod patet , fi intclljgatur fixtio fi»bie«o plano erecta, 
oculusqi fuprapunflum S quantitate SA conltituou. hac enim raiiont 
linex NP OQ. in fcflione lineas ED HG rcpr{fentabuw . quare defcii* 
ptx funt linex apparentes . quod facere oponchac. 

PROBLEMA PROPOSITIO. VI, 

PRIMVS MODVS, 

Oculo 4ato , dataq} in fubicdlo plano reAi|inea figura, 
in propofica letiionc lubici^lo plano creda figuram appa« 
rentem deleri bertj. 

Problema vcio abfoluere oporteat pundko diilantic , 
pluribus punt^isconcuifus. 

■ fit oculw in A , ' 'cnini sdtkfido fit AS fispra fhbieftum planum, 

in ^lo fitta fit GDE rikqifcAionisUnca BFi oportetiq fefiione 
(bbirite flano cre^ figuram appueniem deferibere. Producantur Uj 
Iteni 'figurx datp CDE. qnx quMcm omnia primum cum BF conuc^ 
jtaaiu , vtCOC £CH EBK. Deinde inucniaturiefius KEpunftumcon' 
IcUirus X (dntoi i'i fitpE difluin e&, SF FX^ m&ilita linc; CG inue 
auaiBr poii^ium..y .qqocuifits ; dnflisSBBY. liocp ve»4 HE fimilicci 
Ipunclum concurfus inucniatur Y; ductis lineis SO OY. lunetis igitut 

' ' KX 


HrJ.fira, 

hiimt . 


txi,hu- 

im> 


tt u& Xi 
puiia. 


ff *. 


tx )• biH 

mt . 


7? P E R S P E C T 1 V Af 


TCX GV HY. appar' 
rebit fani KE in le- 
ftionein IfX, CG in 
GV , & HE in HY . 
Quare cym fit pundW 
C in vtraqu^ Unca GC 
HE > apparebit C in 

L . vbi nempi G V HY 
fc inuicem fecant. ob 
eandemq; caufani pun 
flum £ apparebit in 

M. ac pungunt D in 

N. vndc^araLMH 
ipiam CEI3 in feftio- 
pc oftendet . quod ia* 
ccre oportebat* 



Qn&dfilatera'figur*data!prodttfta,nonomniacum BF conaeniaoti 
vt ii73cm pofitis.^ta fit in fubicdo plano refUlinea figura DECG.in wa fit 
linea CG tcOionis linea; BF paralletai producatur CE vi^ue adicOio. 
nis Uneam in H> ED in I* 


GD ip K . dt qaoniam CG 
produda non conuenit cum 
BF. cum fit ipfi nquidifians, 
ducamr CM ipfi cl paraUe* 
la. Itaque linearum HC lE 
KG (imilitcr inucniantur in 
feftione puda cocurfut ; qu6d 
fi cafu etiam cucnptit. vt HC 
fit ipfi KG nquidifians , 0t 
erunt duo punua X V > hoc 
cft fit V punQum concurfe 
linearum HC KG, X verd 
linearum lE HC. Itaque du- 
<Hs KV HV, «f IX; linea 
vtiqne HC appatebitin HY. 
KG inKV.8crEinIX.acpro- 
ptcrca p&daDEcx4<fIn appa> 
rdjunt in LMr D ftUicet in 
L, 8c E in M. ftdvtinue- 
niatur , ybi apparet punAum 
C in linea Hv. quoniam du- 




C/ in ICCXiCjllC ipiuiu Vrf rcpif ivMl4Ui^v * vatj i^uwumui v*vj cii 

pfi BF xqnidiflans, ducamt QP ipfi BF a:quidiftans|Uncavtiqac OP' 
pfam CG ofiendet i Otrocir;» cum D in L. E in M. & C in O, 
ippareanti figura LMOP in ieftione ipiam DECG reprffimtabit. Oe> 
cripta 'cfi igitur figura LMOP in leOione apparena « quod fiiccre 
>portcfaat. ‘ ' 


P R A. 


L I g£ K. VS^E C V R P V Sv tfy 




P R A ;3r I 


xi^jl A 1*1 : 

I» ■!! Lirj V/ . 
»r » ( .J 

/.'I l^il lil mu.' i:’ 
of:‘ " i ilUl-llt . 
.n I Hqi 'r'0 ^ 

^ Dti .V ' 
-n*nni oiiptil . 

txiine 

(Olt' • 

I n .jiiuiiiii 
.,i A* 

Q?" fr!;’’-' , 



J lUti '.IJ 
ffll 

*7iil 

< :t!-> o ' 


Sit puaAum S, vbi ca« 
dic ab oculo in fubieOu^ 
planum perpcndicuIarU i 
Dculiquc altitudo inccUiga- 
tnr SA ;.^t IcAionis linea 
BF« Dit^iinfubicdc^»* 
no tcftilinca figura CDl^i 
producantur latera figar* 

CDE> quatquideprimu)^ 
omnia cum BF conueniant 
in pungis GHK> i pun> 
doque S ipfi GD paral- 
lela ducatur SB, ipfi vero 
HE parallela SO, 3t ipfi 
K£ pAallcIa SF. Inuen- - 
lisqt pundlis BIGdGOF in , 
teaiocislAeaext}t(3Atib(ft,t^'' 

<]iueiiqnT)IuinirUubit!A4' < 
pbnoiverfim eum tiv it-' 
cti OBt ne p criu ntufi peopto- 
aeaiumcplaihitn proibotMt 
aei^Cenutc po«tlb^Q){^- 
propter in hoc plano tan 
quam in (cctione fubiecto 

plano erecta ducantur primfim BV OY FX ipfi BF perpendiculares, 
euz fiant & interie. &ipfi AS zquales. deinde connectanrar GV HY 
KX. Cplrfiljlque -pirfippiteat in ,GV. HE»ci)6in HYy^ KE in 
KX, pnneram C apparebit m L> fiquidem C in vttaque linea GD 
HE r^eritur, quas in-foccionc apparent in GV HY, qux fe inuicemfe- 
cant in L. ob Mndtm'4uc cauiam D appaMrit in K> & E in M, 
ex quibus icqmtur figuram CDE in LNM apparere, vt confiat intclli- 
gendo ^ctinnetn » m qua fant Une* BV OY tX. GV HY JpC, fubie* 
t^o piaro erectam >U(4ue oculus fupra S perpendicuIariterallitudincSA. 
hac ytiqno*aqoiie aunitefti apparet figuram LNM eOe 'figuram in (b- 
ctibne apparentem i qu^V^UKlcm ihuentaeft mediantibus punctis S VYX> 
hoc cft puu<bo difiairox , ac pluribus pun^ concuruu . quod facere 
opottebat ‘ - 


Qu6d fi datx figor* latera produOa non omnia cum ie^onis linea 
conucniunci eadem confiimanrari nempe fit punflum S vbi cadicin fii'- 
bicdum planum ab oculo perpendicularis i oculiq; altitudo incciligatur 
SAv .fiblmiohis Unca BF‘> 'data ver6 in fiibiceco planofitfigura recti' 
iincaiDECG; cuius quidem latus CG fit ipfi BF parallela-, producan* 
aut <^,SD GD vlquc ad fectionis lineam in HKI, 8( i puncto S ip 
fis irC IB KG para ilcix du cantur < quAd fi HC KG cafu lun t para! 


• ^ 




P E R S 


ViAB 



lelx, (at erunt SB SF, hoc 
eft fit SB ipfis HC KG v 
cquidiftans, ic SF fit ipfi 
:I parallela, tc quoniafi 
CG produAacumBFhon 
conuenit. cum fit ipfi pqui 
4ifiant I ducatur i pun(to 
C linea CN ipfi EI pa> 
paUcla>quz& ipfi SF pa* 
tallela crit. Itaque inucn* 
tia pungis BNFIKH, qn( 
in fubicdio plano , & in lc> 

Itione cxiftiinti fi quidem 
lunt in lectionis linea BF; 
nunc planum pro Icdione 
Kcipi pocert i Quapropter 
in hoc plano tanquam in 
fcdioncduftu FX BV ip* 
fi BF pccpendiculatibus» 

f |uz ipu AS fiant cqua« 
esjduOiKji HV KV, IX 
KX{ patet punOum D in 

feaione rvbi KV IX fe . 

inuicem fecant^ appatere in L > £ (midem in. M > -& C in O . At ve* 
ro quoniam CG cft ipfi BF aequidiltans , ducatur OP ipfi BF patailc*’ 
la.oftcndetduc OP in (eaionei vbi apparet CXi. cx quioua (equitur fi>| 
guram DECG in (cdione in LMOP apparete • quod liquet inteUigea*! 
oo fcAionem fiiptr BF fubieQo plano ereOam ■ veluti SA> hoc enim 
modo clart conEpicitut figuram LMOP clTc. figuram io fc<hooe appa* 
tentem. quod fiiceic oportebit» . . 


PROBLEMA PROPOSITIO. VII. •. 
SECVNDVSMODYS. 

Oculo dato dauqt in fubiedo plano redtillBca figura } 
in propofiu (cCiionc fubic<Ao plano crefta figuram appa* 
icntem deferiberv. 

Opof Kat autem problema abfoluere tribus puodUs , nem* 
pe pun^o diftanti;,acduobuspun€bitvbicunque infedio- 
ne pofiiis (^ucalds fupia fubic^um planum , vt oculus. 


Sir oculus In A. cniuiiltitudo AS« fitducfisAionis linea. BF; inlc. 
^oDC autem duo vrcunque (innantur punita VX fiipia (ubicQum pla> 
num tqucaln.vt oculus A. Tt (ciUcecpcrpendiculaics VT XF ipfi.Tf 
^t ipfi AS «qua les . daa vetd figura in fubieflo plano fit BCDE ; 

oportet , 



LIBER. S 


cet<{uc XJX ‘P®» ^ 

T n — primum pMftum L in fcaio- 


oportct in (b£bionc (liWc 
Cto pUno ereda figuram 
apparentem 4efcnbetci 
tti^s4i tantam punftU 
SVX vti. lunganrarSF 
ST, ddncCTs m feftio- 
nis Unca Br -vtcunque 
fiunaxurpun^^m K.dc 
i punao K alteri ip&« 
rum SF ;ST mjuidiitaju 
ilncamr KM. qua fimfc 
fitipfi SF parallela >lu* 
catutd; Kx. Verim H 
punao C ipfi BF ?qui» 
diftans ducatur CO> qu( 
ipfi KN occurrat ihOj 
i punaUdue CO vt 
qiic ad fcaionir lineam 
ipfi TS Mamut paraUc- 
te CP OO i iunganr 
turdue P\r 
cetque . 

RX. qtwipfi PV occurrar m L. Dicop 

ne oftendere punaum. C. CJupniam enim SF ^quidifiat KN. dc FX 
in fcaione ipU BF perpendicularis exifiir, quqs etiam eft ipfi SA zqua- 
'lia, apparebit KN in KX . eft enim X punftum concurfiis . fimilitet 
cum fit ST ipfis CP OQ.souidiftans, fitque TV perpendiculatitJF, 

A ipfi S A aqualis, erit pun^m Y punaum coDCuriqs ipfirum CP 
OQ . quate OQ_apparebir in QV , dc CP in PV. Cilm itaque fitpun- 
Qum O in vtraque Iii>ea KO QQt apparebit punaum O m R; ybi 
iciiicet k inuicem fecant KX . At vcr6 quooiarii OC eft ipfi 
BF parallela. & BX eft quoque ipfi BF zquidiltans. Unca OC appa> c , 
rpbit in R.L. quia vcid punaum C eft in lineis PC OC, appaccW 
punaum C in Ls Tbi nempe fc inuicem lecanr PV RL* eodoiidue 
motlus modo inucoiaur punaum >n qup app^at punAum D i 
Tndd iiinfiU I.M, linea LM in (caipne iplam CD reprzientabit . & 
quoniam punaa B£ funt in fcatonc , iunais LB ME , figura BIME 
in fcaione iplam BCDE rcpi.xreniabu. ac ptoptccca erit apparens figU’ 
u> fiuofi kutac oppntbat . 

* i». R A 

. V . : Y I t 

Sit in fiibicAo plano punaum S mmaum diftantif , fupra quod oeor 
U aidtudo inteljigatur $At fitdue feffionis Unca BFi figura ver6 in fu- 
btdftq plano fit BCDE i Accreiatur aoietQ pbnum pro Teaionei A vbi* 
conmre^dnoromanmcpunaa.VX:. itammcti.vtduais VT'XF ipfi BF 
perpendicularibus, fit vnaqufque ipfi SA fqnalis, Rurfum autem ha. 
Dcatut planum pro lubieao plano, iunpnturd; 'ST SF; A in icaionis li> 

Bca Br’quodaiS fumator punanm K,' dqubatreti ipfariitn ST SF equi. 
diftabxJuotur KNi quf quidem fit ipfi. SF fqpidiftaos. DeindeipunT 
ao C ipfi BF ■quidiRans ducatur Cp> qui^lpfi 1^1^ orctirrai in Qj 
«Mndcaptmais CO ipfi TS paralWar ducantur CP OQ.. Itaque in. 


Eir g. 
kums. 


ucnps 






r # 


< * 





~T6 p ERS P ECTLVAP 

nentis puoftis 
TKPQF rurfus 
pUnum intclli* 

Kami fc&io pct 
TF, fcVXtra- 
ficns ; iungati- 
turq; KX PV 
f j fccetque 
^ J ipiam KX 
in K.i&4pun- 
fto R. ducatur 
RL pquidiftans 
ipfi BF , qu* 

J?y fc<;ct inL» 

{{ quoniam pftt 
fltaVXfunt pu- 
^aconcucfuStX 
fciliccc ipfius 
KN. Y vcidiR. 
iarumPC QQf 
cfiqi punQurri 
O JD linei; 

focfcunt. ? _ , _ _ . . 

qiftans > apparebit CO in LRii quia veto punQum C cftiovtnqueliiicii 
'OC PCf apparebit punQum; e in L, vnifdUcetfciniucemiixant AL 
PV. cadcroqu^pfptlusration^inucniemtpunaum M. quod inlc^oiui 
punihun D reprxfcntct. vn<fc(iuaal.M,oftcn<fcthiciplam. CD. Cuni 
vet6 pun^a B£ in ipfa fintXc^ione. duOis LB ME, apparebit 
BCU£ in BJbME. Vt patet , il jnteiligatui Ic^o iubicAo piaao leleuSMti 
& e4^,vcjuti.SA, utqi in 4 ocplus. quapsopter figura BLM£ infiH 
^onceftitgim apparens, quod fieri oportebat. i . 

■,3(iii «■' ' bi i' ' ■ : 

J^MOiHdia tmm in ipjk frmti linetrum fttftwdmUnim 
ffiHlum affirt f(K\lit*t(n$ i iJ*o vt frdxm J>fdktrt 

* fnnetis QC td/ntimU Jrntm ftif$t!ditnUmii 

PROBLEHAj P|.0P05JT.]0, Y1JI« j 

TERTIY 5 MODVS. * 

tr.' ’ ■ "Tt» *■ 

Oculo dito , ^aug}, in fuhi^^a ^giirati 

in piopon^ ic^onc (uWAo plano ctq6i8>.fisuninKppaM 

rrentem dcfcribcrc.. ^ r ' ,t":f 

ConRcae autem ptoblwa oporteat mtur pu»6tisybi(^ 
jftopempe diftand«,ac duobus ppn<^t in le^ioocfdlj, 

‘ tis , vt oculus, cqucaltfsj ita »mcf y t pcrpcndictHiii» di- 

" ^ ^ 


d: ■- • • 



m yelKf v s. 


£Ha ab altero didorum pundorum ad fcaionis lineam iiU 
illud pnndlum cadjtj PeiHo- 

occucric,. 


nis lineae perpendicularis 


I' «; ii(j r,fjiU -I IU 
rnfiitr - j 
iZ/ oLi' 

in > , *»ml <' 
,} 1 ‘' ■, uaLkrntI: " 


Sk ocnhii^, eo- 
ius altitudo. ASi 
(it4ac fe^'onis li- 
nea BF. Ducatui 
i ponfto S ipfi 8F 
p^edicttlar}sSR.i 
Stila BF~ ^Wn- 
quei fumatur poo- 
Ouib ‘^ScifaO’ 
£tis i &T ip fetUo* 
ne perpCdieu^es 
erigantur RX fV, 


isOioM -tigunn - I KnTM" ' t> tii 

apparentem deferi i 't*' ' 

bcrcitribus^i pun- c *" ^~F\ ' ar ni: - ;i; ’ 

^^.iyiJ^vnufaij-- i.iT f>t ‘*'> 1 .;’ ■ ' IH ' 

^nis SXwiifci» ftAiooiS liofa altetom quo^uM-ibmatur ptinAum H| i 
nopi^ ST jequidiftans ducatur HEiiiungatui^tUVi Deiildtd panAo 
Ci jptwTT.paxiuicia dueaurCE v qiueiipram UEtfecet in E j d punAi&4> 

n* t. 


^ r 


'i "pil-ivi ]At '' 'i 




■•■an;' 


J OM*.c<JC 1 -‘.J 


!, wL: 


-r&nuqL..;'. 
. jiiiuax» siJ SAiui -ita 


Sit in fubicfto plano S 
punAum diftantix, ocnliaa 
ti altitndo imel Ugaruc AS: 

|ii fcccionis linea FT , cui 
pctpjdiculatis ducatur SR| c 
«in FT vtcunque lUmatuc 
pwctuin T . nunc vcrd'^ 
planum incelligaturicctio: 
dwanturquC RX TV ipfi 
FT perpendiculares , qua; 
fia^t ipfi SAxquales. nunc [ 
ruifus accipiatur planu prp 
fubiecto plano, m quo da- — 
u lit figura BCD. iun»tiu 
ST , X in fectionis lit^ , 
qiXKluis alterum fumadu ‘' 
punctum H , iquo duca- . . 
tut HE ipfi ST xquidi* ; 
ftahs . Deincgss d puOfto . r 
C ducatur CE ipfi FT 
xquidiftans , qux lineam , 

HE fecetin Ei Oed punQis ■ • _n 

CE ad FT perpenuiculatcsducantuT CF EG. InuentM[a^]ninQii Nl 
planunatfuritiggturfcctsopo FT,iaci>cfpwidfa XV.mnfinmc taqt 
«ungatut HVi' demdt: ducaqic GX, qux ii£m HV /tatta IO A' 
pun4h> K ducatur KL' ipfi Fr>,cquidiftwtir iiin|piat4i iRXi qi 
ipiiun iCL ftcdt in Li erit Adi in dnbooc poo<hia i. podftum « 
^cns. 'in quo fialica appaiM punctum C« >dtmUid« moda imieniti 
nemm M ' 



dtmUidi 1 

ipfiim D rqpcpleiiunsn cfini^uc-fii 1 in iectionc, iu 


pun . , . 

EL LMditJI, ctit BLM «i AaiOBe :q>patau figura . <qnod quidcM I 
quet, fi inteUigatur ieetto erecta liibiccto pUnoi Vt «fiM 
«culus m A conflitutuiv quodfiurte opnnfcbat, 

; . ' .-lii 

Vt rj/tro fluribn^ fiiSm 
fitrt pftmt t 

P ft O B L e M A ^ P R O PO I T I O. VWI» J 

, 'i; 

^ Q.VARTVS 

'Oculo datb i 'daUq; 'ih fuliiedo ptaQ'o rcfti^R<S i' ^ gu 
in propofita ic^ione fubicAo plano credta figoram appaj 
rciucnt dcTcribcrc/ . 

Oporteatqj problema pcrficetc ijrdemmet tribus pun ^ 
yt in prcccdcnti . 





«{fii» «Biiui Av-*’’' 

AS»idc{Ai <a' 

pmUM' 

WMldK 'STAit TH MW B^i W 
bris SR ; & in Bt vbican» 
me Aimaiur punctum T. 

K ab RT in lectione e^ 
eanraratpCAeiiflfS RICO 
XV «lualrfipfi SA.IH. , 


tkec feVsEc ^ A I) V si 6^ 


xqualesipli 
uq; fit figw 
lerea in l^o 
tetum quoduis fumanit 


punctum K , i (V(> tpfij q 
TF perpendicularis duca- 




* 




Z._ 




.oYa» 








Ita 


\r >Mr 




in^atiioittalrqAia^ 
uI^KX lecet in Hi dc 


O^.nS 


cii-:‘s '.ibs 

ISa^t&rMw^ ^i^»'^u*tcCet'Rii'iA’'l.T Dico priJ 
‘^^ypf.atei?^ 'EP*4|*trii *mrt%**M fint ST^ 
idltltbofiWltcue puaAtt» copoiti^ jpfiu% GE. 








LliSu 




'terca <n- 
® MC, 

& NC m NX. ci^migiiiir.GE oB^ GV, 
um £ apparebit in H. dc quoniam HI, 
linea EC in HL apparebit, led CN 
» crgoDunlhim C in L a[ 
um M ipfum D ipficndcns 


vnde K£ in KX apparet i 
dc KE in KX appareant, pt 

EC lunt i^ TF patallelz > linea EC in HL apparebit, led CN ap- 
paret in NXi ergopunOum C in L apparebiiir wrfeinA Mtioneimie- 
nictur punOnm M iprum D ipficndcns, B tutem IhAGione eriMti 
iundis igitur punOit BLM;eritBLM figura iq<Hft(«tie appare»»^ <nod 
facere qponebatt 


: «qponebatt 

In prhsi eadem > Tt m 
prccedenti exponanepr , 
deinde in reCrionis liri>a 
vtcunquelumatur pnnctfi 
Ks docaturqi KE ipfi TF q 
pqtpcncEculariSi dea pun- ^ 
M C ad KE perpendi- 
cularis ducamr CBj ad 
TF verb perpendicularit 
ducatur CNi ducaturque 
£G ipfi TS zquidiftana. 
His inuentis nunc planum 
accipiatur pro leaionc t p 
innganturdue KX GV , 
Quae fc ditpefcant in Hj 
alditur(|iie'Hii liF'> 
jemddifitfit.inaaiKK NX 
IpTaitv HL decet ; in JL i 
tit denionlbatirTunittuia 


.. ?!■! “fi* 


Liplum 


1 . Mu, 



T 


4 






TTg-ft S t» E t 


• .1 




L ipfum C leprxfcntabit. p»rig;ra{ionrmucpi«u»rpiiBfii5oTWripl{I!i 
D Kprzrenrans. qaddcum B litii|^feaione> i(iq£ti<;BLM |mnailk«etii 
BLM figuninTcaioneappanni.- vtBt maniitihu»>fiinteUigantttrJiaq 
SA, ncc non fcctiorubiecto plano ineii^tAeiilwiniAloOiiaitai 
tut. quod&ccicppottcbat» • ' «imidrirmlB 

,T munniiT iintmiA ^lo 
•ir> anoi« '■>) ni 1 dt A 
Vuiliut Uhnt tinis KB Ki^)9r;v W tfj 

" *' a friioifipx St 

■ problema prop 6 s^i^Lp nuim 

tuitmi/l onp tuum 

ev I N T V S M O ;• m n.Mi 

Oculo dato , djju^J *® fubiefto pla^p 
in propofiu fcaione fubicdo plano cnd* fieutam apbai 
rcntcm dcfcriberc., a ["Vr ^ 

Oporteat adhuc autem rutius opccaniiM«ea> mbucf uiv 

{«fucaltis iriu.wmw vt pqipetidicuhim dij^ ^b jltcip ^ 
Aerum piuiAofom ad-ftAiortns-lineani iB;i|lud cadat™*^ 
Slvihi J^wbi .^pupfi^d 

dicularisoccartitu* m '• ' l .i> ns > ' A » 

iH '•: »ip* .11 n: 

Ift V > '• . :i ‘1* 

...S«(o«ttlis» A.:«aiaialt ->i.'r'T 
pMdo, ASt.iki&aioaja , 
linea BF, w perpendis m,. 
cularis ducatur SR) dc i 
pundo B. inTeaioneen 
utut ipfi BF perpehdi- 
cqjaris BXiquxfiatft^ 
lis $A. fumanirque vbi. 
cunque in Ibaione alteiil F 
punitum Yi i» 

)ciidiculatii VT ad BF 
pluai. fit fimilitei ipfi AS 
equalis. Datavcr6 figura 
tot BCI). oportet in fe> 
aione figuram' apparem# jj 
defcribcrcf opprtcat^i ni- 
busvtipunais SVX. ifi- 
gatut ST, ducatnrque i 
poiiao JL ipfi KT pet- 
pendiculaiii RE. vel quod 
idem eih ptoducatqr SR. 
ad £i danmtqiie ipfi RE 


' •l- ■ ;n,K / 

1 T’ . t -dc," >4 ii AX A 

t (>■. • acl-slii.ua iT 9*;i Jiuil >T 
I ' i;ifVi’uvt»;ri-> "fA tur-k-r 
X'! M " lUT 111’.« 

AIS 


fi :V i>> 

'.• J '.'' sVj 5 t 


rn 


; iLHd rr il 
h n TA r . .* 


.obrA 


'j-if: 


. *•< -I. 

liaris CE^ ifUe nlmirafliiipfi h 


-ouidiftabit. deinde ipuiiao E ipfi ST patlDela ducatur Mi dno*. 
mrdue GV, qu« lineam BJC ia H dil{>efcat. k. itponao HUpn B1 
zqufdfibns ducatur HL, rutfiuipunq p C ad TF peipcndicnlanSida i 




-4 








r 

4 ’ 




'• / 


• 41 ■» 

4* * . 


,— -»4» I-- 


« 

"A^V 


"■' ' fcT liFKi ^)b:c V (!J i» V s. 


7 ‘ 



f id 

xqtului crifpun^m V punOum concurfus if>liiis' (jE. yn-li.ia/ai. 
<lc*C£ apparebit guqniqD^J| fll KC xquidiftu J 

& RX inlc^pnccft ipfi TF perpendicularis. Se ipC AS x^alis;crii 

TF, pKpM<iiculArci I 9vX «i ft* XB >in KX hpfibfcbit* 'Qi^ 

S appjfreblrlh' HL'i Se quo- Mx 5. Li 
in L>codaqq ,ni6- “>s. 

_ vero eft in fcuionc: 
;%ilcftiorie'a^arei4s.' quo< 

facere oportebat. 


punAum X , pun^W 
Rantitlfh / Vt ipfius 
TF, perpttidieuUre» i' q_ 
circa ciim Ct punffum E in vtrjquc linea GE R£> yippatcbi(( 


’ /;i 

Sit in liibieAo plano S /j\ 
punAuin diliamix; oculi • ! 1 
vero altitudo intelUonur/^ } 
AS. fitqucrc&ionl»iU>u ^ 
TF> CUI pcrpcndicnjadS' 
ducatur SR,- fumatur in 
ET vbicunque pun^^nli;. 

T. Inuentisque puniFisi. 
RT» accipiatur plan fi pro 1 
icfiionc;aucanturquemfl - 
XF perpendiculares TV 
RX, qux liant ipll AS 
equales . nimirum linea 
RX cum RS 'Coincidet. 
Rutfut habeatur plannm 
pro fubiciio plano-, dau4; 




: 1 : •b-Talt) ,,I' 

e ad,R!E 'i da in fubic-j' 
f dueattit-'c4j,|4,'ad TKi 
„ ST #hiiidiltans ducaqiri 
Xti flua' V 'RX ; intH 

jfX 

i^cam, JJL fcc« m L i cjc 
l2i^*P(&0h-Vi‘ inucnjetm 

affisT^cRrcinfi nt RSn IFoionc , iunftiS 
kitur BL LM' MB, etit BJ.M apparens fiip.ita. vt patet. It intelligatut 
fcdiofubiefto plano er^a,vt etiam linea Sa, ocujusqne fuerit in A 
quod facere oportebat . 


Vi<H 




PItOBLE. 









72 P E R S P E C tTv AB 


PP.P3LEMA PROPOITIO. XH 

5EXTVS MODVS. 

Opulo 4>to , dattii^ io fubic4o pUno re^lioca figunt 
in propofit» fcfliopp fiibiedo plano cfcda figuram appa 
rentem defcpbctt/ . 

Problema vero abfoloerc oporreat pondo diftanrifjttauo 
alijs duobus tantum pundis vbicunque in iediooe pontis 
fopra fubicdum planum, vt oculus, s^ucalds, 


Sit oculat A , cuiut 
Cipn fubicflum planum 
altimdo fit AS i litf^i Ic'' 
ftionis linea BF. in le* 
Oioiie autem vbicunque 
rumanrar pun£U V X» 
luonim tamen nerpen- 
licuUrej VT XF. ipfi 
BF| fint ipfi AS c<)ua- 
Ics, Data fit in fubic^Q 
plano (inua CGH. opor< 
tet in Icftionc figurant’ 
apparentem dcTcnberc , 
ttibasq; tantum pungit 
SVX vti oporteat, lim» 
|ur ST SF. dedpun- 
C ipfis ST SF f <^i* 
dilVantes ducantur CK 
CB. lunganmrq: KV 
BX , qu;p fe inuicem fe. 
cent in L. Dico primum 





punaum L in feftione ipfiim C repraelentaie ; Quoniam du» ST 
«quidiftat ipfi KC. cftque TV iq fcaione ipfi BF perpentBeuUrft, ft 
ipfi AS xqualisicrupuniibim V punOum concurfiis linex <^. finu- 
litciquc offendetur punftun» X cffepunaumconcurfusipfiui C®* 0“*^ 
te linea KV in ftdione ofiendet lineam KC. to fi ycro BX ip&m BC. 
At vero punaum C cft m nraque linea CK cB, cnrojpdnc^ L> 
ybi XV nX fe inuicem (ccsnt , in feOionc punaum C reptanentabit « 

“ inquopunaam 
>ii . 4r quoniam 

_ __ _ apparebit CH ia 

JlJL , * Qu ue figura CGH In fcBdotat m LMH appa» 

rcbit. eft igitur . ;,MH » feOione apparen» ngora . quod inoenirc 
oportebat. ' -jj .. 





• t 


> -• 

. iini*!!-: 




In TubicAo plano datum 
fit puii£him S, quod'in- 
tcliigatut pun^m diftan- 
tiz . data<)uc fitfcAionia li*> 
nca BF. figura vcrd 
iinca in (ubiedo plano da* 
ta fit CGH . Nunc acci- 
piatur planum pro legio- 
ne i in quo duo vbicunque 
fiimantufpunfla VXi ira" 

'vt ambz pcrpcridiculatci 
VT XF ipfi feftionis li- 
ne* BF duftz.fintequa- 
lesipfi SAj qu*intdliga- 
tur altitudo ocuU fupralU- 
bicduin planum . Nunc 
veto rurfus accipiatur pla- 
.num pro fubieuo plano , 

& conncftanmt ST SF j 
& d pundo e ducanmr 
CB .CK ipfis SF ST pa- 

rallel* . Inuemis itaque ... ?r u 

punais BK, nunc planum intellieatur (caiop«, B;F, «petppn^ VX! 
tranficnsiuiquaiunganiur KV BX, quz Tc-Ucinf in L. ex quibps lc-| 
quitur panflum C m legione in L appariit, Hac^uc ptorTus ratione 
inucniemr punGum M, quod in feflione iplqpi G rcprzlcn^t - ynde' 
du^ LM CG oftendet. & qt^oniara punftum H ,ctt^ipufc-i 
iUqne iuh^lrhir LH hM , niitiinim 'ippari^it CH in hK 4 GH 
bTHM Vatqueideo figura CGH in leiUone appiircbit LMH.„quod 
lyianitcfliuu efi, fi intclligatur teitioiVipeaq; sA fiibieilo plano cretip. 
jTude figiird L.MH erit in fi^onc figura appareiu. quod fieri oportebat. 

Vt fafsitmu Uc» diteritu iffdtum CB CK ivti firpen^tlJUri , 
tdtUm fTdxii fiet in hmne modum . 


prob^le mA PROi^b s1TI'6. 

s^i i PmV i 'KPdV V s.' 




Oculo dato » tlata'(^i'ip (ubiedto plaoo rcililinea figurti ». 
in propolita (cOlibnc. liibieAo plano ere&a figuram appa ’ 
rentem deferibero. • ' 

Oporicat autem, hoc ablblucrepundodiftantiae,ac duo- 
r: K bui~ 


P E R S P ~E C T I V' AE 


74 

bus punAis lupra iubicdutn planum , vt oculus, ;quealtis , 
dummodo altera p^rp*ndi«ularis io eo punilo cadat , ?bi 
a punAo diftantix eidem fe^onis line; perpcndiculatii 


occurnto 




p R A X I S. 


£x eadetn demonftratione , 
fitfimilitec S pun£^mdiftan> 
ti«; fi«iue BT feftionii lioei; 
data<jue fit figura CGH. dt ia 

S danocanquam in Ic^ttonc duo 
umantiit puniSa VX, ita vt 
toerpendicu lares TV XF ad 
ewouis lineam duftae, fint ocu 
faltitudini SA squales . At 
ver6 pundum F ut id, in quo 
Gmilitereadit SF ipfi BT pci>> 
pendicularis. Nunc verd acci- 
piatur planum pro fiibicQopla- 
Doi d punaoq; C ad BT pa- 
pcndipnlqris ducatur CB. De> 
indc ducatur CK' ipfi TS pa^ 
rallda.ducanturdue BX Kv, 
qus Te inuicem Vecent in L.' 
ollcndct Vtjquc ob eideni cau« 
fam pund^ L, vbi pun^m C apparet in IcdFione* eademtjue ratio- 
ne inutnietur punftiiin M ipfum C rcptsfentans . vndeitin^ HML, 
critlaivil 'HML apparens figura, quod taccre oponebat. 

Vtver6 inueniatur punthim F, primum ducatur ad JT perpea^ 
dicularis , deinde ducatur perpendicularis f X squalis SA . vn quod 
idem cft, protrahatur SF in X« quod idem in nonnuilitlcqueiuibutfic< 
ri potem* 



PROBLEMA PROPOSITIO. XIII. 

OCTAVVS MODVS. 

Oculo dato, dauq] in fubicdo pUno re^inca figura, 
in propofita fe^ione iubiodo plaoo crcAa figuram appa- 
rentem deferibero. 

^^od opus confidendum fit ttibus punftis, pnnAo nem- 


t» W B y i'|j — ^ 


pe diftanri? , punaod} oculi , ac pun<ao in fcSione vbi. 
cunque pofito , 8 c ipU oculo (quealco , 


Sit A ecnlut{ AS ecoli altitudo iCtfcQionu linea TF; dcinTcOio 

R e vtcunme fiiraatur punAum V aequcalnim ipfi oculoi hoc cft duAa 
'T ipfi TF petpcadi- 
culari , fit VT cqualii 
AS . Data vet6 fit figa* 
ra BCD. opoact in eiB> 
fta fedione figuram ap- 
parentem deicribere. Du 
carar tc i pon* 

Qo C ipii TF xquidi- 
iUns dacatnr CE. iun- 
ganirq; EA • que lineam 
TV (ecet in O. fecabit 
enim, quoniam VT AS 
Ifaut pqnidillates, in qua- 
rum plano cft EOA. 
deindeducatur OL ipfi 
TF equidiftans.i pun- 
'Cto autem C rutfut du- 
catur CO ipfi SE pa- 
rallela i iungatur^- gV> 
qii« ipfam OLIecet in . , ^ 

I,. Dico^nim^puij,- ■ ' -iq ' t ,q n; 

^SjCiroaiete’ln-L.' ^ • . • : ^ . '/i, 

EA‘TiAaliiradiili, ^oii^hnn' E 

!ln'0; AquOniam o£ EC fimtipff TF pataBeias, linea EC mOL at; primi 
^parcbi^' At vct5 quoniam ST cft ipfi GC paVallda, & VT i^ TP bmut . 
^^endioilarit,& ipfi AS xqnalis , erit pundum V punftumtoncur^ 

Ibpipfips .GCy quare GC apparetin Gv, ex quibus lequirarpunduih' 

C ijSparcfe in ,Li' eadem 4 uc ratione inuenietutjmnaum M ipfitra D 
tepwfeqtiris; B ver 6 eftinfecoonei ergoductix BL LM MB,eritBLM 
ngun !ii ftetione apparens quod Eimcoponebat. 



7 . vUmh 

fUl • 


.V. 


u,. 




tu 

R 


AXIS. 


.1111 X 


In fiibiefto plano fit 'S puqetum diftantiae i'fitque Tectionis .linea BF. 
n^c planum intcliigatur Tectio , in quo vtcunque lumanir punctum 
Vi^ yc. ducta VT ipfi BF perpendicularis, fitaltitudini oculi squalis. 
rarTus planum accipiatur pro lubiccto plano . dataque fit figura BCD 
Dqcplur STE, Mti. perpendicularis ducatur SA, que fit oculi altiiudi' 

I ni Kqualis . d ptmeto autem T ducatur TP ipfi ES perpendicularis j 
I ducaiuiquc C£ ipfi BF equidiftaos. iungaturgue EA, qux ipGunTP 


K 


Iccet 


1 





u ON VS MO P V« 

Oculo dato , datacji in fubicdo plano 
in propofita (cdtonc lubicdo plano cred 
rcntcm dclcrlbcro. 




■A 


’ A. ; lultno X 

t/jf-iul 9fi 

, 1 *^ '1 TV 

a iV V.. .. 

' iS^n[ • ( 

I ■ )i 


• «'. .m- r. 

■;M . -I-». - 1 ,r ■' ■»’!!. '1 

- , » A ^ 


...i-s qr ?5-: 

C <1 

•^iji .;10 KiM 

b bUJI 

mi .iiilauip 

■ri: .1 

) >.««■) .ti (ri ry 

• i 

/ ^ ^ 


• i =1 n* i t.M. ^ V mu 

, /-0.1 i«^ 

'.'in 

• ■ ,JO 

: A 

• j t .in*'; ' ' 

i r 

■i 01 .J nj 

.-1 

,• -<«' . U 

• . > 

V S ■ ■ .. 

-1 


feeet in Vi Nune veri pUnnm pro fecrione defoaiire m^gatM. A 
linea TV fiat TO «quali» TPi ducatur^ue OI, ipfi. BF «qujjmn^ 
nufiu a puncto C aganjtipfi ES pamUcla CGj iungat^ne GV.Wi» 
ip&m OL Iccet in L. « dictis punctum L ip^ C xwr*ienttO% 
eodemdue modo innenietnt pirpcmm M ipmm D oft^dm», B 
to eft in,<«»Qnc. ergo «unctis BLM. puncti», ent figM in le- 
ctioncappfuen». vt patet , fi inteUigamt fccfiofubietso plano cr^. raa- 
nemeque SE, «iangulum AES cuna TP .fitbicao.qnoqne pl^ et^ 
«tum/oculqiqucinteiligatHtin A. 

ctumconucnicnt.petfpioitqucappatct BLM cflc figueif^a^arente^ 
quod iacccc opottebat, 

tAlttr €tUm mdus huic fimilis ptrptnMcnltrmm ^ 

y»/*« fucrit^mxt» /emtm fn^time 

PROBLEMA PROPOSITIO. XHH. 


f 


liber: secvndvs^^ 77 

Sit autem conllmcndum problema d»obu»iant»*m puaJ 
&is , punito fcilicet oculi, ac pun(2a jn fcAtorte, yt ocum 
us, xquealto j ita umen, vt ab hoc pun^iiu Jccdoifwl^ 
neam perpendicularis ducta , in eo » vW 

dem occurrit perpendicularis a puncto dSfta4b*»; ' “ 

^ r/ ’ 

Sitpeulus AtCUins al> 
titneio AS. fit feftionis 
Jinca BF. & in feftione 
lantamr punitum X fit* 
pra fabieaum planum , vt 
ocului, xqucalturo, i quo 
fi i punito S ad BF du- 
fiatur pcrpZdicuIans XK> 
fit punftuiri R» vbi oc» 
cuttit pe^ndtcularis SB. 
eiden» BEi Data vero jn 
fabicito plano figura fit 
BCD. oponctiiiicitionc 
fi|bic)Cto«>)an9 «te^ fiffll^ 



:a ‘‘ 

ittil 

A 

0» »sif 

1.1(1 IO j . tn fili 
((■•‘'■li v.p , y./\ 
nb /a ,J ii «: 
J IIIU.C;nUl t(l 

:'l£!M3ls iqvi 
.111110: oin 

.'I 

■>1) iiiUlSilUii 

^i-i aufi^iiiino 
oiifoii 




>5. prhu 
huius . 


pumto, R ai BF PSfr 

pendicularis Rw<u »>Cf -i 
pcndiculatis agatur C£ > 
qux quidem erit ipfi ^BF 

IX^ ^qu^fam in O. fccabit cnim.qaoniatn AS^XR iunt 

parallclx, in quanwnrplaaoicft EOA. dncatww ,pL ipfi BF 7- 

diftans ; deinde i punao C ipfi BF ^crpcndicnUatis agaror CKi lun- deciwi/. 
gatuique KX. qui O L fecetin L. Dico primum punctum L iplum 
e tcprsricntatc, lamenim copfiat.fi • 

punaum E apparete in Oj lunt autem OL CE ipfi KF paralleli, 
ippatebit igitur CE in OL, A quoniam rve fipi «fteofum efti-puiv 

ctum X eft punctum concutilis ipfius KC , fiquidem fiint SJf, 

paralleli, itiiemque AS XR iqualcs. & paralleli .itaque^ wrcbit i. 4«^ 

lOC i uKxlvnde' punctum C in L apparebit, vbi •OL R^felnui- 
cem fecant. eodWique modo inuenictur punctum M iptum D ollttv 
dens, B ver6 eftin fectione , iunctis igitur punctis BLM, erit, BL/Vl 
figura in lectione apparens . quod facete opoitroat . 

I ■ p R, A X I *s. ‘ 1 V 

. . , ..»J ;i .-I ' = --■ fj 

Sit in (ubiecto platto S punctum diftantfce,fit^ue BF fecrioniiEuM» 

Ocnli verfii altitudo intcUigatuf AS, oportet m hac opctanouc U. 
r#im AS ipfi BF parallelam exiftere. fit punenm» R, vbi cadui pnn- 
ctoS pefpendieularii ad BF>accipUmrnuneplanum profectione. fiatqi 
RX ipfi KF pcrpendioulatis.ficipfi AS iqu ala. Nunc narius pla num ac 
I ' " cipiatur 


hktkh 


78 


P E R S P E C T I V AE 






0:i , \ 

• i.s . 

. '1 ^ 1 : 

.-ul-.-,'- 

V Mirq c A 

\ 1UUS> 

•: 0 1' f , ” 

\\ ’U 5 18 

.1 • 

Jniin 



i.i . .h ■ 



dpiatnr pro fubieao pla- 
no, in quo' daia fit figura 
BCD . Ducatur i punfto 
R ipfi BF perpendicularis 
RE. linea vrique REX pro 
duabus lineis deieruief, ip* 
iidue RE iponftoC per- 
pcndicularis ducatur CEj 
lungaturdue EA, qux 11> 
neam Br fecet in P . rur* 
fum i punfto C ducatur 
ipfi BF pcrpcdicularis CK •* 

Accipiatur autem nuncpla 
num pro fcfkione . fiatque 
RO «qualis RP 1 duc^ 
turi^ue OL ipfi KF fqui- 
dftans . conneftaturjuc 
KX, qu« ipfam OL fe- 
fcet In L. ex demonftra- 
tis pundlum L ipfiim ^ C 
reptzfentabit . eodemque 
modo inucnicnir pun£lum 
M ipfiim D oftender», B rerd eft in feOiOiie , lunOii igMr BLM 
punctis, erit BLM figura in fe&ione apparens .'vtperipieuum cft.lt iiU 
telligatar fefrio KXF fiibie^o plano ereOa ; manentequp linea RE, in* 
telligarur triangulum EPR vna cum linea SA lobie^ plano ercQutrii 
oculusque intelligarar in A. tunc enim punlrilm 'P cum O collU^iltt; 
eruntque vnum tantum punApm. quod fiiccre' oportebat. -v- '<7 

PRpBLEMA PROPOITIO. XV.V^' ; 

' M o D V s P E C I M V S." i. ■ 

Oculo dato , duM^l in fuble^ plano figura retSHliaca 
in propofiu fcdlionc 1'ubic^o plano crcfta dguratn 
rentem dcfcribcic/ . - ' . 

In problemate autem 'conHeiendo vd opopteat puaAq 
diftaniix > ac pun Ao ii^ fe^ionc vteunque polito «ttjueaU 
to,vt oculus, 

Sit' oculus in At cuius altitado AS. fit lenonis linea BF; &inerc> 
fta feOione vteunque iiunattir punaum V ' ^qealtum, vt oculus, vt 
fcilicctduaa 'VT perpcndiculan ipfi BF, fit TV aequalis AS. fit figu- 
ra in iUbiecto plano BCD. oponetin fc^onc figuram apparentem dc- 
fcribcrc. duobusdue tantum pundis fci SV. iungantur Sj SC, quote 
ftionis lineam lecet in £. & i pundo £ in fc^onc perpendicularia 
agatur EL. deinde ducatur CG ipfi ST pquidiftansiiunoaturquc GV, 
qu« lineam £L fccet in L. Dicoprimuwwn^umLinlc^oncoftcQ^ 
perc ipfum C . cx Ocph di£Us ponoum V m punAum concurfiis ipfiua 

cgT 





.1j 


J.ltul 


CG, quircGC in regione 
appariit in GV. vnde pim 
ftom C^parcbit in aliquo 
pun£to ipiiu» GV • Quo- 
te^ autem fcctio cft &bic 
do plano crc^.&eft pun< 
ftum L in fcftione. ipfiq-, 

BF «ftucrpendicu laris L h , 

&cA cF ipfius fcAionis, k 
fubiefti plani communis fc 
<lio ; crit LE fubiefto pla- 
no creda. verum fubieao p 
plano cft etiam erecta AS ; ’ r 
lir.exigiicAS LEfiintpa- 
lallelx I qiias quidem con- 
inngit ShC; ac propterea 
AS SCLEinvnofuntpla« 
no j quare ducamr vifualis 
ndius -CA i procuidubio 
febabir.CA lineam EL. M 
quo /equitutiPundpm.O. 
in fettioncap^rere in ali» 
quo puncto line* EL. atqui apMtet etiam In lind GV-, ergo vuTe innW 
cemlccant.rtin L.pmKtum C apMebit. eodem^ne medo Innenidnu 

K um M ipfiim D oftendens ■ B ver6 cft in lectione, iuqctis igitne 
M MB, figura BCD apparebit in BLM. cric4tte.idcirco BLM 
gura appatens. qiiod facere oportebat. 

P R. A X I S. 


TiVfubiecto plano fit p& 
ctum S punctum diftan* 
tic ; oculi vcr6 altitudo 
AS, fit lectionis linea BF. 
figura vero m fubiectopla 
no data fit BCD. nunc au- 
tem accipiamr planum pro 
fecnone . & vbicunque fu- 
matur punctum V i ita ta- 
men , vt ducta VT ipfi BF 
perpendiculari , fit hzc ip- 
fi AS zqualis . Nunc rut- 
ius inteliigatur planu pro 
(ubiccto plano . iung^n- 
nirqne ST SC; Icecrque 
SC fectionis lineam in E. 
dcindeducamrCG ipfi ST 
apqnidiftans . Itaque inuen 
tis punctis TEG nunc pla- 
num inteliigatur lectio per 
BF > ft puncturo V rran» 
fica», lungatutijue GV. fc ab E ipfi BF perpendicularis agatut EL. qua 


nf. 

i. vadccf. 

MI. 

p.Mdro- 


8q 


PERSPECTI VAE 


GV ftcet in L. ex dcmonftratispunftum C apparebit in L. (invii mo. 
do itmcnicturpunAum M> quod in Tcdione olicndat ip&ni D..&quo* 
niam B cft in fc£tione , iunftis BL LM M6 i (igun BCD appatcbit 
in BLM. quod critpcrfpicuutn.fl intelligatur fc^tio -fubitdo plano crc. 
(ia , nec non AS eidem plano eteOa . vndc apparebit , figuram BLM 
cflejfiguram apparentem . quod iaccic oportebat. <i 

! . . . , • 1 , , ... 
%4lter mdus huic fimtUs , qm loc» ductrub /ineam CG i f fi ST 

^ari^leldm , Vtitur ferfen£c»larit erit proximi fiqftens . ^ ^ 


t Wit . 


PROBLEMA 


PROPOsiTldr” 


XVl. 


* -fl • #('••• 9{ . ■ 

MODVS VNDECIMyj, 

■- -iJ ' i^wCdA. 

• 91 .CIIII/ H» I. :r , 041 

Oculo dato , dataqj in Tublcdo pIgnQ'i|;^iIine;| figura^^J 
in propoiita fcdionc iubicdlo plano crcAa figuram, appa;^ 

i.p(Connccre.«uffn> 'pMiblcma opus itt duobus punclis> 
^ndi:o fciUcdt difta'ntj(a:,,.ac pnn6io^^ icAionc, vt 'oculus, 
j^tjtieahoj' ita vero potito , \f ab v^oque puo^Ao perpcqdi^ 
cularcsadrci^ionismicamdudarjjn vnumpundlum cadant. 

Sit oculus A> cuius al« 
titudo AS < fitque (cAio- 
nis linea FE , cui d pun- 
ito S p^pcndicttlaris ca. 
dat in K . & 4 punito R. 
in legione ipfi FE agatur 
perpendicularis RX.fiatqr 
KX ipii AS xqualis . da- 
u vero figura in fubieito ^ 
plano fit BCD. oportet 
in Icdionc figuram appa- 
rentem dcicribcre ; duo. 
busqi tantfim punais SX 
vti. lungatur SC . qux 
lineam FE fecetin Nide 
ab N in (caione ipfi FE 
perpendicularis erigatur 
[NL, 4 pundo autem C 

ipfi FE Mrpendicularis ducarar CFi iungaturduc FX, qux NL fcctt 
!n ^ apparere iri L. Primutn quidem, vt 

jn ptxce^ntibus dcmonftratum fuit , oftendenir pnttQnm C apparere' 
m linea NL. vdualisenim radius CA, fi duceretur, necefTario Iccarct 
tr.n’ patallelx, vt demonftratum eft. QuonUmau-' 
tem bR, FC funtipfi FE perpendiculares, etit SR ipfi FC aitiu idiltant.l 

4 punito .j 



LIBER SECVNDVS. 8i 

A f unfio autem R inl^oneaA» cft RX ipfi.FE pcrpendiaiUrls, & 
dl RX ipfi SA aequalui erit igitur puoftum X punftumconcurfusip- 
iius FC. quare FC apparet in KAione in FX< ttcopun&mi C ap> 
paret, vbi FX NL fe inuicem ficant; vtin L*> codemrinetnodoinuc- 
^uciui punAom M oftenileiu ipfiua D, B ver6 cft iriicdione , duAit 
igitur HL LKt MB, erit BLM ia ftftioac appaiau figuu • i^uodfiKc* 
le «pottcbat. 


P R A X I St . n 




Oculo dato , dauqt in fubitdo plano ledilinea figura, 
in propo^ta fcd^ione rubic(5to plano ercAa figuram appa- 
rentem dcfcribcro . 

' — — L Problema* 


Sit in litbiefto plano pun 
Aum S punihim diltaiu 
.tiaci oculi vero altitudo in- 
telligatur ASi iincaqi fc- 
Aionisfit F£j cuiperpM* 
dicularis ducatur SR . in« 
tcUigaturq; nunc planum 
iedio . ipfl^ue FE per- 
pcndicularit turfus duca- 
tur RX , qux fiat xqua- 
lii AS. porr6 perpendi- 
cularis RX coincidetcum 
pupcndiculari SR. quo- 
niam ambo (Unt ipfi FE 
perpedicu lares . Rurfiis ac- 
apiatur planum proGibie- 
&o plano, in quo data fit 
figura BCD. dueaturt^uc 
SC , qux ipfam FE in K 
di^cfcat . & i punfto C 
ipfi FE perpendicularis du- 
catur CF. luniiis<|; pun- 

ftis FN, nunc habeamr planum pro ftdione-,&ab K ipfi FE perpes- 
dicularis ducatur -NL> lungamrque FX, qux ipCam NL (ecet in L. 
patet pun^m C in fe^ione apparere in L. codemque modo inue- 
nictur pun^um M , quod oftendat in legione punftum D . & quo- 
niam pundum B in IciFionc reperitur, iungantur BL LM MBi appa- 
rebit figura BCD in BLM. vt perfpicuum eft, fi fcAio FXE fubiem 
plano erefia intelligaiur^vcluri ASi fiicnt^ue oculiit in A. Vnde ctit 
BLM apparens figura . quod ficti oportebat. 

PROBLEMA PROPOSITIO. XVII.’ 
MODVS DVODECIMVSr 


i.Faiw, 


82 


9 E R S P E C T I V AE 





%7>priim. 

J.hiiu» 


Problema vero (it abfpluendum puitAo diftantic , ac 
punClo in fedUoi^c f^mpto , yi OjC.i^iis, xqucaltq j ita vt'du-^ 
&is a duobus pua Aisipfi (cdipnirlinex perpendicularibuf,' 
parsj qur inter pctpcbdifularcj intcrijcituriffif^tqnaUs WN 
^cndrcolari a punfto diiiandc ad lenonis iincasi • 

Sit A oculus, cuiuwfc 
ritudo AS. & ab S fc- 
^onis linex BF pcrpen- 
dicularis ducatur SR, nat- 
due B.T aqualis RS. tC 
In feftionc ipfi BF pcr- 
pen^cularis aatut TV, 
qux fiat iquaTis AS . da- 
ta v«6 fit figura in fubic- 
ao plano BCD, oponct 
in ercaa (taionc figuram 
apparenti! delcriberciduo- 
bus4;tantfitn punais VS 
vti. lungatur SC, qu* 

BF fccet in E 1 & in ie- 
aione ipfi BF 'ducatur 
perpendicularia EL. de- 
inde ducatur CF ipfi BF 
perpendicularis. Fiatquc 

FK ipfi FC zqualis, iungatatque KV, quf iplam EL fccft in L-.. 
Dico primum punaum C apparere in L. primum enim iicut ii> prae- 
cedentibus oftendetur punagm C apparete iq aliquo punao i^us EL 
propter vifualem radium CLA. Ac vero quoniam m triangulo $RT tc: 
auseftanguius SRT, erunt reliqui anguli RST STR.fimiUiumpu vnj 
redo squales, cum tres anguli trianguli line duobps^cais squales, quia ve ' 
td -B.S RT fiint squales , cruDt anguli R.ST inter te squales . 

quateangulus RXS reai dimidius clifiit. fimiliqneradoDcdpaa CI^ 
quoniam in triangulo CFK rcauscfi angulus CFK. crunc reliqui' FCK 
FKC V ni pedo aquales i funt vero anguli FKC FCK squales , ptopta 
lineas FK FC arquaJcs i ergo FKC redi dimidiuf caifiic • ac prqptrrm 
angulus Kld angulo TKC cfi squalis . dc ob id iinca ST ipu .KC 
«quidiflat. & quoniam tn irione linea TV cfi ipfi BF perpendicula- 
ris,&ipfi A'S squalis, erit pondum V pundumconcuruis ipllus KC, 
quare Imca KC mlcaionc apparet in KV. vndepunaura C in aliquo 
pundo lines KV apparebit . fcd apparet etiam in linea EL i ergo vbi 
kv EL feinuiccmfccant, vt in L, apparet pundum C. parique ratio- 
ne inucnictur putidum M ipfuin D rcprsloicans 1 pundum vero B eft 
in fedione ; cigo iundis BL LM MB. figura BCD in BLM appare- 
bit . quate BLM in Icdione figura cxifiic apparens, qaod facere opot- 
pebat . 


P R A- 


LIBER SECVNDVS. 



P K A X I 


Sit in iiibiefto plano S 
pandum diftand* t oculi 
vero altitudo iit AS/ iit 
icdionislinca BF, cuipet* 
pendicularis aganix SR.t 
^que RT cqualis SR. 
nane vcr6 planum intelU* 
gatur i^o > ipiique BF 
papcndiculaiis tfucatut 
Tv I qus fiat (qualia AS. 
nirfua autem planum acd< 
piatuipno fubiedo plano, 
in quo data fit figata BCD. 
i pondoi); C ad BF p^ 
pendicnlaris ducatur CF ( 
tiaique FK atqualis FC. 
iungaturque SC, qux ip~ 
iw BF fecet in £. in- 
uentisc^ue FTEK pundis, 
nunc intclligatur planum 

re^o.ScinpI^o,tanqaani , ^ ^ iii i p 

in i^onc iungami kV'..' ' " ' '■'>"'1 . ti. 

flcat> £ ipii BF p<rpcndkataris agatut £L, qnc KV *e<t ia L. dx 
didis patet pandum -d/ in Cedibneapppicii^ Li ^tidue ratione i», 
uenietiapundum M. qnod ofttndat ipiimv D{ B vdd eitin fodioBc. 
hindii igitur BL LM MB, apparebit BCD iii BLM. vt confiat, fl in. 
tcllipiut (Fdio Cibiedo plano ereda i vi alam SA; otuUuquc fiiciit 
la A confiitutui. vtide pcrfpicud apparet , BJLM eSc (O icdione figi^ 
«am apparentem, quod dccrcoportroa;^ , 

11, ; . /i i . -jr. 

-nr} :,c . 07; - i.'!* 

» . >f . • j 

PROBljfej^X PROPOSITIO. XVlIi. . 

■ , ■' « * • 
E C J M V S T E R TJt;V S ,M'0 I) V S. .,^‘1 


Oculo dato, dac^c^j jn fubie^o plano rcAilinca figura, 
in propofica (cdlione lubicdo plano cre^a figuram appa 
r^ntem deleri bcre./. ** 

Pxoblem? ver 6 abfolucrc oporteat duobus punilis jn fp- 
>^006 poliris, vt oculus, atguealtis} tu vero conftituaii,-ait 
. P P«fp^ndicularibuf ad fe^ionis lineam , pirs Icdlii^ 
nialiaeat intercepta , fii aequalis, linea perpendiculari a pun. 


L a 


do I 


lIlCl , 
ti ,t -rt 

.V'-' ■■'.1 


• t«v»»V 


P E R -S P BiC T I V Ae 


H 

ao diftamix ad feflionil lineam duftx , in quo pundlo 
cadat etiam aUera dictarum papendicu|arium^ , 


Sit oculus At eiu$<jue 
altitudo AS i fitqj feftio- 
nis linea TF ; & ab S ad 
TB pcrpendiculaiiJ duca- 
tur SRj fiatqiRTpqua- 
Jis RSi in fcaione autem 
erigantur perpendiculares 
RX TV.qux fiant pqua- 
lesipfi AS. Dataque fit 
Bgura BCD. Oportet in 
frefta fc^ione apparen* 
tem dcicriberc figuram > 
(luobustj-, tantum vti pun- 
<^s VX. lumaturin fedio- 
nis linea quoduis punduta 
K.iquoipOTF perpendi- 
cularis ducamr KE i iunga- 
turd; RX; deinde ducatui 
CEipfi K^erpcdicularis, 

— TF erit xqmdi' 
nac deinde KG equa 


tx 

<»' 

It ImUu. 



qux ipQ TF erit xqmdi' 
ftans. naedeinde KG eqna 
ilis KE. fintducpundaK -.ni .(ni .aUiii 

IG taliter pouu.vt linea GV lineam KX fecate;poiUtt vtuv.di.ipofiff 
ifcicaftmSfc-^lWIFsxquidlfiawuintffus ipijJJii^ift ad T^ipy^di 
cularis ducanu:£K ; .hingan*i**.JiX t .QUR ttL .wftM • 

t»nm Bimlbim.C/aDDirars iU I.. ^finuu dwn 

tirM fint 



€,ftxti, l(tmii fit aiwuhts iluus SRTj tedo GK£ xqwdiFalatei^^iCu^iiRj 

iUtfit GK i^iiPrd(>oroonaUa>XBdi ftmatquai^att./QuaifliiWdspedidW 
i, U.ilcft,ollcndcmrpunaum V cITctauK^ttnt^numilfiMtfiWfc.-ttfii 

apparet in GV . parique lationp quoniam SR Kb lunt ipfi KF pei 
pciidicoUrcs , ac ptoptetea paralleli , erit X pundum concurius iplarun 
KE NC. quare KE in KX, NC verd in NX apparebit . vndcjun 

^ X apparebit . codemque modo inucnicnir punthim M, quod oftenda 
ipfum D, in iydis fiLM^itBL^ 


iHfcdionJafpiJerd figura. ?u6dfertrc olebit 

•Aiiiiijuii p dl'’A’‘^y nij(Ovtb,- '.ti’!!' 

.'nciq 'tii-t >■ ;ioqr 


>o 

iqoiq ni 
b 

ilI tntf* ' 


tobsiducatfir. SKt fimqua 

fabi;d^' glmu^ itow BCpt Peydc in leAi on* 

»■■ ■ ■ ■ ' i— I ■ - - ' ' • 


liber; SEG VNDVSi 


ir 


tjuodais (unutur pun^ 
Ki KE ipfi TF 

pcrpeiidicularisi ducantur- 
que CN CE ipfis TF KE 
pcrpcndicula^ci t fi*tque 
kU xquaUt Kl^. luquc 
inucmts punftis NKG f 
acciputur planum pto fc- 
£hone. iungatufquc KX> 
hoc tamen obfcruato i n8' 
pc punftum G ad eam 
panem ellp collocandiun. 
vt linea GV ip&m KX 
fecare pollit , vt in Hi i 
quo ducatur HI^ ipA ^ 
paralleU- deinde iungatuc 
NX, qux ipft HL oC* 
airrat in L . ex di£bs mi- 
nifcftum eft punftum L 
ipfum C oftendere. eodeji 
modo inuenietur pun3& 
M . quod teprxfentet ip 


-H' 

i aupll 

M« quod repraiciuct ip» auu ■ '' 'd ■ '”<• ■ i’ 

fcm D; B 'Verb eft in IgintT ibnmnaiT pmacu BLM. «n 

BLM'fiRli*ain icclibnt appar«b. »l ppxfpicutconftat.fi intelttgawfc 
ctio.lineaque AS liibiccto plindaccip, oculusque fiictitin^ A. qued 

; l M- • :i. : :i . V fli / 

.. Kfi txutdums tif 

ftlmir, nJtJh friis nHtm i^mmoda *lri fixriiuijiiici^ 

hoc vtuHtHT modo , txpiictiiimiis 



‘-OI t ... .1 
i) .! p'l Ol3V£-.tl| 

... f |.t 


a2?gaiSS5S&'- ' 

Wra FGHIC; .cuios duia ^ Vf'’’ 


CUPt dMSiOrfld. 


c du* 


ipuofto auteqt - 
aint CbrCE ad RHKP‘ " 


wi 

, :A 

pe^endkulares.. deindctku. 
Uiansiprui^^ in 
i i; locoTeatonts UjiexT, ' 

qn± etar^SfiSntt 'HI?'!'»» i». M'" 
vmnrur linea FG . ita vt 
KH FG wo vna linea de- 

£him Xi ducuntqueli- _ 

inde MX, inquafaniap- 
paixy pun6terii C..i dciiWla c i i 


■ «i 

lV(kW>^ .! 

r.«.t Tiv, 

vaxt'\ «laixv- 




3.tao;iq 

I > 1 a 

Eij . ojth tiTysO 
Ol!i.;l eiiioqoaq ;i 
IJjl-.l* Ii ijil.f 
nique 


26 


PERSPECTI VAB 




diftani fecac jvu. in 
exit vtique pimftuni Q „ . 
quod oftcndit in ieAioDc 
pun^in " 


uiqnc ducunt PO ipfiGF 
cquidiihnt.qucMX Se- 
ca in Q,. aiTcrumqipun' 


nifiacfi ducatut linea OS 
GF pcrpendicnlaris, 
fuerit^; OS ipfi KE (qua- 
lis I ita Iciliceti ac fi pun- 
ftum C eflctin A> iquo 
perpendiculaiisin FG ca- 
deret in M , petpcndicu» 
latis vct6 ab A in OS ca- 
deret in S. cum itaque 
OF fit asqualis OS , du< 
Aa^ucfint FV OX, quf 
(e inuicem fecant in P, fi. 
nea vet6 PQ 






Fs xqualis Klt ducatur^ue 9X, quxfecet FV in R., ducanirq; RY 
ipfi FG parallela, quzfecet ZX in Y. nimirum punQum D apparebit 
in y . quod quidem idem efi,.ac fi dui^ effet 9 * ipfi FG pcr^n^cm» 
l9nis,ni^t(jucpbie^minfiibteA«planopun^m h d quorou^ad 
FG pcrppndicularibut^caidcieqtHsinpunais Zis «ftdue ipfi ff 

xqiialis. & ia m alijf. 

fnfrii mefl inter hds dueu eptYttinti ^erentU » 
Hiji quid in hdt prnxi Hnt* FV ftmftr eQ d*dtm ^ J^eetrfAqi Jemt 
perpendienUns OS p* , iy bit JimiUs } quf tHms het en prdxi pr»-> 
prii nen dtfcribtntnr i qn*rum loco "ttuntnr ‘}if, Kl j In frptriori 
cuttem prdxi t*dm femptr tfl perpendicuUris.lCE f wt im e* fign- 
r* ) (Leur/dqnt funt line* , qie* tendunt Cy^ ey- qu* 

funt beueJimiUt,ivtiyiqu* dent* /mtddihnemenetum punitum M 

1'^ ^ - t , I krf: ; 

PROBLEMA. PROPOStVio. 'Xix7 

-II 9Uru;i. , f 

DECIMVSQ.V ART VS s, ^ 'i 

'*•***■ ■ ■ M 

Oculo dato » dacaqs in lubicfto pleno re^jhnea ognu « 
in propoHu fcAione (ubiefto plano erdfb ftgt^am.ixpp** 
remem dcfcribcrc/. ' . " 

I OportcaT 


bi 


LIBER, SBC VNDVS. 


T> \/ 

r 

Hj 

Y 1 

/ 

E\ '\ 

\\ 

C 




i^orteat rurias problema abfblucre iifdemmct duobu; 
punitis, vt inprxccdcnti. 

Sitootius A, cuius al> 
titudo AS; litque feftio* 
nis linea TF , cui perpen- 
dicularis ducatur SR . fiac- 
que RT zqualis RS, & 
in fcdione i punftis RT 
perpendiculares erigantur 
RX TV, quxiTant pqua- 
Ics ipii AS. Oacaquefit 
figura BCD. Oponet in 
erecta fc£tione figuram ap- 
arcncem defcribcre, duo- 
'usquetantum vtipunAis 
VX. Ducatur RE ipii TF 
perpendicularis , vel quod 
ideni eit . producatur SR 
ad Ei & a punAo C ip- 

fis.i^TF pcrpcqdicularcs.dqcantnt/^, (^J^. erit vtique CE ipii TF 
xqiiidiitaos. Dcindcnat RG xqualis RE, ac^'cr conTcquens |ra i 

funtcwm CK RE t- -'~ • =-■ — 

p^eiri , yt duita GV 
TF xquidiOaus ducatur , 

punAun) C apparere in t,. liingantur ST EG.' 'Ciiionumigicurintriah^ 
culis SRX ERC, anguius SRT ell xqualis^nmlo ERpj SKad Jj, primi, 
RT> ita ER ad RG, cumhzclateraUnte^aliaicritrchin^ttm SRT 9 ,/rrd. 
triangulo ERG fimile. quarcanculus RST angulo 'REG'eftxquaHtv{). /»d, 
ac propterea ST ipii EG xquidiftat. quod cum fit TV ijifi AS ptjdsi 
lis, & ipfi TF perpendicularis, erit igitur pun^m V punitum concur 
fiisipfius Q£i vnde GE apparet in Gv. quia veto SR elt ipfi KC 
xquidiitans , cum fint ipfi TF perpendiculares, fic elt RXip& AS Mua* 
tis,dcip(i TF perpendicularis , erit X punttumconcurliisipfius KC.& i, 
omniumipfi KC ;quidiltancium,vt ipfius RE. quare KC ui KX, & 

RE in RX apparet. & quoniam GE imparetin GV, punitum E ap- 
parebit in H. at vero quoniam HL CE funt ipfi TF fquidiltantes, li- 
nea EC apparebit in HLr Quoniamautem KC apparet in KX, creo 
punitum C apparebit in L. codemque modo inucuietui dunfium M 
ipfum D oltcnuens.quddcum B fit m (citionc,iunitis BL JL.M MB, 
erit BLJil in l^oncappareosfiguta.quod^ccteopoitcbat; 


P R A X I S. 


In fiibicAo plano fit S punitum diftantix ; oculi verd altitudo iotclliza- 
tur SA. fitquefeitioms linea KT, cuipcrpendiculatis ducatur SR.fm- 
«Jue RT xqualis RS. atquetuncaccipiaturplanumprol^one. dnean- 
tiitqu e TV RX ipfi TK perpendiculares, qux|fiant xquales ipfi AS. 

lutfut 


27, primi, 
l, hiiMi, 


88 


P E R S P E C T I V AE 


I 


I 



nufbs lieipiatur plumm pro (iibkfto plano» In qno data fit figura BCD. 
dl i punao C ipfi KT perpendicularis ducatur CK. iun»tur^e KX. 
Deinde fiat RG cquaUs CK, & ad eam partem . iu vt du^ GV fecet 
RX in Hi ducatutque HL rquidiftans KT, _qu* fccet KX in L. ex 
demonftratis punQum L ipfnm C remraefentabit . Paritae ranonc inuc* 
nietur punftum M oftendent ipium D-dt exillentc B in feftione.iun- 
ftit BL LM MB> erit BLM figura apparens . vt petfpiCBum eft.fi intcl- 
Ugatiit Icaio fiibieao plano cteQu, Tcluti AS, flicnt4uc oculus in A • 
quod fitccre oportebat . 

hme frtxm innuunt , fii ficund» mode, 'Vt initie 
diximus . Vt fcilictt ebintum ed Vndm , 'vifrqut figure ni elttrnm 
JictitHu iintn fnrtem dtfmbntur . 

PROBLEMA PROPOSITIO. XX. 

D E C I M V S Q_V INTVS MODVSi 

Oculo dato , datac^j in fubicfto plano re^Iilinca figura » 
in propofiu (cAionc fubiciSo plano creda figuram »pp» 
tentem deferibero. 

Oporteatd) rutius problema perficere duobus punftis in 
fcdione pontis, vt oculus , ^qucaltis, ac ita conilitutis, vt 
dudih perpendicularibus ad fc<3:ionis lineam , pars^fc^ionis 
lineae intercepta , fit xqualis line* perpendiculari a p unAo 

^fiantije 


0 


LIBER SECVNDVS. 


8p 


dilUntic ad icdionis lineam dudx , & vbi h;c perpendi- 
cularis fc^iionis line; occunit^altera quoque perpctidicdU' 
lium eideni punA* occurrat» , 


Sitocufus A; cuius al> 
dtudo AS . iitque fc^o- 
nis linea BFi ducatur SR. 
perpendicularis ipli BF i 
^tque B.T squalis ipu 
RSi &i pun&is R.T infe- 
^one pcipendieularcs aga 
tut R.X TV , qus fiant 
a;qualjs ipfi AS* ficc|; da- 
ta figura BCD* Oportet 
in Icdione figuram appa- 
renti dclcribercjduorum^ 
untum punitorum VX 
^vfii * ducamr i punito C 
ad BT perpendicularis CF . 
flasiiue FK squalis FC. 


oportet autem pun^na K 


«P< 

pd eam partem collocate, 
iuvtduws KV FX iein- 
riicem Iccarc pofllnt, vt in 
X*. Oico primum punituin 
C apparete in L . iundis 



enim ST CK . moniam in triangulo SB.T latera RS l^T fiint squa< 
lia .erunt anguli RSTRTS imctic squales. & quoniam tiesaiigulttrun- 
^li duobus funt redis squales , £c angulus SKT cfl redus. erit vnuf.,}i. 
lulCquoangulus RST RTS rcdidimidius. fimtlircrtrunguli CFKangmi 
as X.FK 5 t redus, dc latera KF FC.intctIe iunc pqualia; vnde ;quales 5. 
ifumanimli FCK FKC, fc vnurquilquecll redi dimidiusi ergo angniM: 

^ KTS cit angulo TRC squalis, acptoptcrca linea iT eftipfi.KC paj'17, 
lallela. quia ver6 in icdionc linea TV cfiipfi TB perpendicularis, d^j 
ipfi A$ squalis , cric pundum V pundum concurius ipfius KC. Qpa> i. 
te linea KC in KV appaict. CumautcnrbR CF fintipfi TB perpem 
diculares, erunt imcricpaiallcls. quodciim SR ipfi CF squidilter,& 
in icdionc linea RX iitipfi TBq>ccpenaicuUris,&ipfi AS squalis, etk 
pundum X pundum conciitliisipfius FC.. quare (JC apparet in Tectio- 
ne in FX. &eft pundum C in vttaque linea KC FC, ctgo apparebit 
pundum C in Lt vbi nempe KV rX Ic inuicem Tccant • pariquc ra- 
tione inucnietur pundum M iplum D rcprsfcntans . fle quoniam pun- 
dum B eftinfcdionc.iuiidis BL J.M MB, erit BLM infedioncap- 
paicosAgura. quodimicopottebat. 


5 ; frimi, 


frimi. 


fnmirn 


P R AXI S> 


.'k. 

Sit pnndnm S in iubiedo plano pundnm ciiflantis . vbi nempt 
cadit perpendicularis ab oculo iii itibiedum planum ', cuius quidem ocu- 
li altimdointclliganir AS- fiique fcdionis Unca BF, au pcrycndi:iila- 


M 


ris du- 


bnUit. 


I. taiiir. 


•d 1' V 


f 


?0 


PERSPECTIVAE 



1 .1 


fis ducatur $!(.• fiatque 
RT' xqualis SR. Nunc 
vcr6 planum intcUigatuc 
(cdio i i pun£lisquc TR 
ipfi BF pcrpenoiculates 
agantur RX TV , quae 
fiant xqualcs ipfi SA.Nuc 
autem lurfus accipiamr pia 
num pro fubiedo plano. 

In quo fit data ta BCD. 

Ducatur i pun^o 9 ^ 

BT perpendicularis CF, 
fiatque FK xqualis FC» 
inuentisque pundis FK, 
nuncaccipiatur planfi pro 
lc£bonc per TR , & per 
punfla VX tranfcunte . 
lungaturque FX; fitque 
K ad eam partem , ita vt 
KV ipfam fecet FX in L. 
ex demoi^ratis punilum 
L in fc^oneipium Cr?- 

prxfcnubic. codemque prorto fflodo inuenietui pundtim Mipfiim O 
ofiendens. quddcum fitpunclum B in fe£iionc,iunais BL LM MB, 
erit BLM. apparens in feftionc figura, vt patet, fi intelligatur (manente 
TR^ fcato vni cum firara BLM <Ubic(^o pluo ereila, vcluti SA ei- 
dem quoque plano ctcdU.fijctitdueoculus*inA. quod tacereoportebatt 

Q^tmuis modus hic paucis abfi>l))atur lineis;fi adhuc magis hneanim 
Gonhifionem mitarc placuerit (Vt ilonmilli fecere, qtiamuis quibuTdaiti 
diagonalibus rmeis vontur, quxpraxim longiorem cficiunt^ poflhnim 
obicfhim BCD collocare in ^ofituvnd cum linea BF, cuifiniUitcr du- 
catur CF perpendicularis ; «tfiat FK aqualis FC, qux quidem punOa 
deinde in alteram Fefiionis Uncam fcpoitentur,'dqnibus ad XV linex fi- 
mihtcrducantur; codemque modo ctitpundl^ L inuentum . & ita ifi 
reliquis, quod ranbalijs, qui didi liint, modis, & qui icendi fune, aptafi 

S Kcnt . ita vt feorfiim fiat delineatio quoufquc fumiturplanum pro fubie. 

opianoi &poftquam inucnu fime punda in Tedioms linea, tunc quia 
planum deinde pro fedione accipimr , pofTunt inuedta punda io altam 
iransfcm Uncam. qux pro ledioms Unca , plaoum^uepro ledione defer- 
nict, quibus punda, apparentesquefigurs in ledione ablque cottfiifionc 
^eferibi poterunt .vel hoc quoque modo t 

; 'It: 


Sit fimiUtcr obicdum BCD ad vnam,’ punda veri XV ad alteram 
partcmfcaonislinca^ itafciliccftvtpcrpcndiculascs XR VT fint fimi- 
Uter xqu^cs txuli altimdmi. fitque pundum R, vbi cadit i panao di- 
fiantix ad icreonis Uncam perpendicularis . Deinde fit RT xqualis di- 
ctx petpe^iculati. Ducarac CF ipfi KT pcrpcndidularis, fiatque FK 
aequalis FC, itavt ductx linex FX KV fc inuioem lecent in t.^Porf^ 
punctum L. pftcndci m fectionc iplirm C. Pariane ratione inuenietar 


puacigiB. ■ 


I 


LIBER ;SECVNDiVS 

piuic^um M ipfiiin D oftcn- 
dens. Qi^c ductis linde 
BL LM LB. erit BLM- 
figura in lectione apparens a 
ea tamen habita confideta- 
rionc , vt initio huius libri 
iuxta formam fecundi mo- 
di monuimus.' 

In hac prazi , vcluti etiam 
in alijs nonnullis , abfque 
lineis etiam RX TV pa- 
tet nos polTe vbicunquecd- 
fiitucrcpun£him X> cuius 
linea perpendicularis ad fc- 
flionis lineam duAa intclU- 
gamr efle «qualis altirudini 
^culi fiipra fubicduro pla- 
num , quz quidem perpen- 
dicularis lenonis linex oc- 
currat , vbi i punfto diftan- 
riaead (edionis lineam pci> 
pendicularem cadere con- 
cipimus. fine intclligamus pnnihun X efleid>ybiabpeuloinle£^onem 
perpendicularis cadit, deinde conftimete pofliimiis pnri&um’ V indutta"! 
Liica XV fcfliohis line* parallela; ita vtdiftantia XV Intelligatur dlcl} 
zqualis pcrpmdiculari , qn* i pundo ddlanti* ad leftionis lineam dn-l; 
Aa fuerit. Hisnamquemodispunaa XV femper conttrfiis Mnaaexi»! 
ftent . Quare in hacpraxi non Icmper indigemus Jinds ' RX TVl ncqtief 
perpendiculari^ <pue i poridio di ft an tw adlcairinis linc^jtucitur . ’ 

■ l/ j. - 1’j ; u.uUfV. i 

. ' . t ■ :•!; rnulj-,'! . Uj.) • ilifii.. ■•‘ly . .r 

Hdt ttdem , ^tnted £ctt fiatt 

fint,fimihttr confidndrlquditJa jiK inmuiit 



ftmdio prdtirmittimHs 


I tl'’! fl-j .’fir‘ 


■J I 


PROBLEMA PROPOS IT lOv XXI. -H 




DlCIMVSSEXXy s/ M O D V 'S. 

’ . il itif,, • I '"i tiv. :r ,-i 

■i • - • ‘ I ' Cl. : 

Oculo dato, dabq; in fubicdlo plano red^ilttiea figura, 
in propofica fcAionc iubie<5to plano ercfta figuram appa- 
rentem deleri bert/. , ^ ^ 

Ad perficiendum vero problema vti oporteat duobus 
pundlis in fcftionc^yt oculus ,|*qpcfi^is, ita collocatis, Tt 
mbut du^is pcrpctidiculgiibus , ab!4iis fcihcct punQis , 


M 2 


. punfto 


t 1 


h *»»»» 


P E R S P E C T I V AE 


^ puado dtlU^tis 9<1 fQ^ionis lineam , partes vtrinque per- 
pendiculari a pun^o diftati; duAac fquales. 


Sitoculus A, cuius al« 
titudo AS; (ic re£b'onis 
linea TF, cui perpendi- 
folaris ducatur SR. &cz 
vtraque parte fiant RF 
RT ipfi SR iquales . ic 
in ereda (cdionc ipfi TF 
perpendiculares erieintur 
fX TV. qua: ipfi AS 
equales exifiant . in fiibie* 
do autem plano data fie 
Igura BCD. oportet in 
1'edione fibram apparen- 
:em deferibere, duobusq; 
ranrfim pundis vti VX. 
Ducatur CE ipfi TF pet» 

r idicularis, pundo 

ex Vtraque parce fiant 



E<? EH .pfi CE *W- 
les , ^canwqi V, 

q^lel^nctn <k' D)C9 
pomjim pqndnin C afV 

parere in L. lungpitur ST.sCG, CH, & rn in pratcedenti) quo- 
niam triangulum SRT habet ledurn angulum SRT, & habet lateri 
RS RT iqualia; erit vnufqujfoue angulus RST RTS redi dimidius - 
eademquergcionetrian^luiti CEG habet redum angulum ad E, late- 
saverd EC. EQ.xquauai ergo Sc vnufquifqqe angulus ECG EGC re- 
di dimidio eft seqfialis. quare angulus GTS eftjequans angulo' TGC. 
& ob id ST eft lpC CG paratlea^- & quia in iedionc linea TV pet- 
, pendiculatis efi ipfi TF, dc eft TV atqualis Si^icuitpnndum V pun- 
■dum concurfus ipCus CG . Quocirca linea CG in GV apparebit . fi- 
nulimodo oftendetur in triangulo xquicrurc RSF angulum RFS redi 
dimidiumeffe, & in trangulo ^quieture ECH angulum EHC rcdi dimi-, 
dmmcflTc- quare anguli HFS FHC lunt interfe «quales , lineapquc 5F 
HC ^quidillanR')'vnde cxiftenre fX ipfi HJF.pcipcfidkalatElpfi4t AS 
equali , erit pundum X pundum concurlus ipfius HC • quare linea 
HC apparebit in HXj vndj requituc pundqm^f apparerq. vbi GV 
HX fc inulcem^lccxit, vt'dn<Lircadcii^uii nnioncfnucniettt pundum 
M ofiendens ipfum D. cfimquefit B infedione- dudis BL LM MB; 
apparebit BCD in ,BLM . entque ptopterca LBM figura apparens , 
(juodfiaccreopottcbat, : . - " .i| : .t 

P R A X I S, 


In (iibicdo plano fit $ pundum- difiantias; «Jcuiivero aldtudo imclli- 
gatur AS; flt fcdionis' llfaca TF, fitd pondo S ipfi TF pcrpcddicu- 
' laris 



laris ducarar SR, & ex 
vtraque parte fiant RF 
RT >pft RS fuualcs. In* 
ucimsquc puQ&s TRF , 
inccUigacqr nunc planum 
fcdio . & ik punuis FT 
ipfi TF perpendiculares 
aganqit FX TV • qu« 
i ipfi SA fiant zqualcs. 

Rtirfus autem accipiarar 
planum pro fubiedo pla- 
no» in quo data fit figura 
BCD ■ «. i puuAo C ipfi 
XF perpendicularis duca* 

|uc CE ; & ex vtraque 
parte fiant EG £H ipfi 
CE equales. inuentisflue 
punctis CH , nunc na* 
beatur planum pro fcdio- 
nc, qu* per HF, 4t pec ' 
punfita VX tranfeat . Iun« 

ganturq) HX GV, quz , 

iclcccntin L» cxdctnonltafisponaam C infeffioaei^aurijll lii L. 
eodemque modo intapnierurpundum M ippan* D reptefin^ans* efim* 
que fit B in lenone »iun£Iis BL LH MB, erit BLm inie^oaefigtv 
ra apparens, quod aperti conlpicitur» fiinielliganir (e^Eio fiibtc.Ro planq 
preaa, vtettam SAj oculusqucm A cxifiat..qiK>dfica oportebat* , 

‘ ) itti.i •’ 
uii if:. 'f; 
tlirfj.lir, . ;■ 

iff» 

' . . 

D E e I M V'S S E P T I M r M 01>y . 


PROBLEMA PROPOSITIO, 


Oculo dato , dataqi in fubiedlo plano rcdI’iUnea figunt j 
in propofita fedionc (ubicAo plano erc(5Ia figuram appa- 
rentem dcfcrjbcrc^a r, ’< •! 

Problema Vero conficere oporteat duobuspundts,pmi 
^o fcilicet difiantiz, ac punito oculi. 


Sit oculus A cuius fupra .fabicAum planuin altitado.fiti fif fe- 
ftionis linea BF. data vcib fit figuta in fubieftp plano BCPcOpoWj® 
ettOa fcRionc figuram apparentem dcfia-ibcrcj opottcat4uo dutebus ua- 
tfim punctis AS yti. Ducatur SKG ^fi BXpespcndiciMrU>i]«ai|)fM*. 
BF in K difpcrcati Aapuo^ C ipfi SQ pcrppfldioilari^wcaturfiX^ 
quzninurum ipfi BF critgqiudifiitn5..|l4eoint4^ '^C'>^'*'‘‘^^'^^ 
ao K infeaioncipfi BF pgp^icularisdpaaw KQ< ivoa«4l*f ^A j 


• «iiq -U 

Vf .P 
• iv 

,\rt 

• tM;r.C 


I 


6 - mdtd 




FER 


Si> 

I. yndtti' 

TZ-nitti- 

mi. 

Mx^f 



ipfam OK fecetin O. fe- 
cabit enim ■ quoniam cum 
fitfcdiofubicao plano cre 
fta , & in ipfa cft OK ipfi 
BF f'qu*ipfiusfcaionis, 

& fubicai plani cft com- 
jnunis icftio^ perpendicu- 
laris , erit OK ftibieSo 
plano ereaa. ac propterea 
Ipfi AS fquidiftans , quan- 
doquidem AS fempet eft 
fiibieao plano ercAa funt- 
que propterea SA KO 
GA in vno.Jc eodem pla- 
no t quare linea GA ip- 
fam ko fecabit,vtinO. 

punao autem O ipfi 
KO Mrpendicularis duca- 
tur OL, vel> quod idem 
cftiab O ipfi BF xquidiftaiuducamr OL> qua fiat squalis KK. Dico 
primum punaum C apparere in fcaionc in L : lungatur LN. Quo- 
niam enim OL eft ipfi KN zqnajis, dtxquidiftans, erit LN ipfi quo* 
que lOK Sexualis, ec xquiliftuuftA autem OK fubicao plano ere- 
^,crkigirar& LN 'fublcdK>plano'ereaa. quare LN ipli AS xquidi- 
ftatii dawiratucyiiuali radio CA, fecabit GA iplam NI», dequoniam 
punaum'br’«ft in- lenone lapparcbk NC tti linea NL. At vcr 6 'fi ac- 
cipiamus bntam GA 'pio viluali radio-. apparebit punaum- G in -O. de 
quoniam OL CG fimtipfi BF parailelx , linea GC apparebit in OL. 
quoniam autem punaum C in vtraquclinea NC GC rcpcritur, appa- 
rebit punaum C in Li vbi Icilicet NL OL Iclcdifpefcunt.codemque 
rnodoijfippiieiurpuBatmi M ipfum; D wprajfeiuans . B vcr 6 eft in fe- 
aioncicrgoionais BL LM MB> erit BLm figura inTeaione apparens» 
quod facere oponebat. 

Inucniciqns quoque puoaptu' L in jinea K(. ipfi BF. perpendicula- 
ri i£>£UfcilicctKL xquaii KO. vt ex dcniohftrationc patet 


'r ■ 
i a- 


s-niiiOa- Mf-r' 

r.qrjn rnr.irptl r-;~ 

P R A X I s; 

:iju ') 

. ' I., -r .- . 


■'‘1 

11 • ■ 


' 5 l Slf inrf&bft^pliHibptU[iaatti'S fenaunl dfftantlxi ocuIlverAaltim- 
d'Oiiv«A,.fit qnc tinca FN. Jn hoc operanii modo oportet ,1 
vr SAiW'ip(l'’rN 'afouhdifttrtf^ Vcr 6 in (ubieOO ptano fit BCD. 
puciflffi 4 <^unifto $ berpcndkulatis ^KG/ aucatur<juc CG 

jjpfi' SO ‘perpendi^laris;* 4 dh 9 ciun^htutSC AGi qqaBfcdionislincam 
j diijmahu Inuditisitai^cpuiidis NK;Pi'nuncaccipiaturpUnum 

ipc 6 feto>nc»^<tifaiuf 4 oc KO ipu FN pcrpCT^cuUrisj gug, quoniam 


M: 


cum 


LIBER SECVNPVS. ()f 



cam KG coincidic, fiat 
KO ipfl KP aequalis . 1 
pundoq; O ipC FN xqai* 
dilhns ducatur OL > quae 
Ratxqaalis KN. cx didis 

B iuiidum L infediojjc ip- 
uin C rcpracTcntabit eo* 
dcmquc<inodo inucnienir 
pun^m M ipfumD oden 
dens, quddcum iit B in&* 
dionc , dudis BL LM MB 
pit £LM inTedione fi^- 
ra apparens . vtpatet, ii in* 
iclli^tur fcdio vna cum 
BLM. & Unca OL fubie- 
do plano creda . veluti & 
inteUigatut eidem quoque 
ptanottcda linea ASj Clque fimnl manente SG triangiilnm ASG vni 
Kurn tinea KP iubiedo plano cicdum . hoc enim ihodo pundhm P cum 
P coincidet. petfpicui^iie apparet hgniain fiiLM cilc la iedione Sga- 
tam apparcncctn . quod fici o^nebat. 


A I. J T B R., 


AJio quocrae modo hSc 
operationf abrolueic rof* 
fiimus . vf ht i nonnullis ■ 
iit enim ^coi modo S 
^ndum difiantiz ; AS ve* 
i6 ocuU alcifiido ■ fcdionis 
autem Unca fit FN , figu- 
raque data ^CD . qu( qui- 
dem omnia in fiibicdo pia* 
no iacere imeUigendu cil. 
lincamque AS ipii FN 
xquidiibnccmeiTe. Duca- 
tur iimilircr SKG ipii FN 
perpendicularis , cui per- 
pendicularis ducatur CG. C 

Ducanturqi SNC AOG. , _ 

inucntisq,- pundis. NKO • j ' 

nunc planum inteUigatnr fcdioi ducararque OL ipii KO perpendicu- 
lam.natque OL xqu^is KN. exdemonfttaiispundum L rcprxl^- 
^bjtinfcdioneipruni C. codemquemodo iaaeniCcur puhdium M ip- 
wm D wrawcmns. Quoniam autem pundhiin B cftm linea SQ> da- 
Aaex B unaad A*qu7 KF fccct in P» ficrfoicanm eft pun^m B 
apparere m P, Pu^u iguueUnds LP PM Mtv erit LPM appareni 
ipira. yt patet, fi uuclUgintur SG KN, ac fiaoram BCD in (iibledo 
)l^o maotfre . Itncae veto KF SA vnj cnm OL. & figura LPM in- 



tclligantut 


S 

ir 


<)6 P E R S P E C T r V Ag' 



tcllicantur (iibicSo plano 
crcux planum vcr6 fi* 
luri PLM in plano pct 
K.N dufto , fabicao4uc 
plano ctcAo cxiftat > quod 
Ihccre oportebat I 
His autem ira conftira- 
tis , obferuandum occurrit, 
figuram LMP (qua: abip* 
fis deferibiturj non cflb cS, 
qu* proprii ab oculo 
fpcilamr. Nam LMP dum 
eft (upfa KN collocau, 

Yt diximus, ad eam partem 
vergit, qup eUverfusBCD, 

Ac non verfus oculum. ideo 
vt proprii deferibatur figu- 
ra , quam oculds cernit, melius erit fortafsi ad alteram partem ipfina KI 
figurana EPH eadem conftruOionc inucnire. nempi ducendo OE ad 
KF perpendiculari, quxflmilitcrEatactmalis KN.' ocinde eodem modo 
inucniaturpunAum H, iungantur^ne EHP. & quando concipimus AS 
KF efTc plano SGC credas, tunc mtcll^atur planum EHP ita effe con. 
ftimtum , vt produilum traidcatpcr lineam 1^, quz in fubie^ plano 
cflcintellinacbetificuti diximus, atque hoc modo apparens fiwra EHP 
ciitpropneca.quzaboculolpciiatnr. Hquidcm EPH vetat te ad ocu* 
Ium. (unt quip^ figurz LMP EPH imctfezquales.diuemmodi tamen 
funt qu6 ad oculum lineate, vtperfpicuumcft. quod quidem animaduer- 
terc accefle erat 


t/iHi fwiititer conJtn$ctioni f*rum th hte Jijfimtt •vttmtur ^ «r 
qu* vniuerJtJif rtguU tUci fottfi m btmt mMtMm t 


Eadem conftnuntur, vtin 
proxima figura , dudadue li- 
nea OE, liat KF iph KN 
equalis j ducaturque FE ip* 
u KG perpendicularis, quss 
ipfam OEfccctinEi critfi- 
militcr inpcnium punfhim E> 
vbi apparet C ■ inteliigendo 
fcilicet planum ASG Cipta 
SGC ereihim,punftumque 
F cflc in N, « FE fupra 
planum SGC itidem eteO*. 
vnde erit OE pquidiftans KM, 
Ac ipfi zqualis . quz quidem I 
omnia ex demonluationc 
perfpicua fiant. 


s 

0 

K 

i< 


' ' S 



M 

: 

f* 



"pROBLf- 


LIBER SECVNDVS. 


97 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXIII, 

MODVS DECIMVSOCfT AVVS. 


Oculo dato , dacac() in fubicdo plano rcdHlinea figura , 
in propofita fedionc lubic^bo plano crcdia figuram appa- 
rentem deferibero. 

Oporteat autem problema rurfus abfolucrc ijfdcm duo- 
bus pun<^is . 

P R A X I S. 


Sit in fubicQo plano punAum S fi. 
mUiter pun^um dJftantiae, oculi vct6 al- 
titudo AS, qux fit fc£tioni$ linex BF 
xqunlidans . data vcr6 figura BCO. Du- 
catur SKG ipfi llF perpendicularis , i 
punfto<iue e ipfi SG perpendicularis 
fucatur CG ; iunganmrquc AG SC , 
qux lineam fctiionis BF iccent in pun- 
«ts NO. InucntisqucpunQisNO.nunC 
planum intcliigatur IcAio, ipfique KB " 
perpcndicuUrU ducatur NL> qux fiat 
xqualis KO. ex prxccdcnti demonfira- 
fione punftum L oftendet in fciftione 
ipfum e. eodemt^uc modo inucnictur 
pundtutn M iplum D oftendens.quod 
cum fit B in letFione. iunctis BL I.M 
MB , erit BLM in fectione apparens fi- 
ura. quod quidem patet, fi manentibus 
B SG conuertatut triangulum ASG 
vni^vum linea KQ, donec fubieao pia* 
no nat erectum . intdligatuiquc Tectio cum figura BLM vni cum linea 
NL Tubiecro plano creen i oculusque fuerit in A. quod fieii oportebat. 
. . O 

«// nonnullis hnc pr*x!s conjscttur hoc modo . 

Sit nempe obiectum BC; fir.que Tectionis linea FK; A fit S punctum 
difiantix,d quo ad FK perpendicularis ducatur SF. Deinde aliam du- 
cunt Uncam IK ad FK itidem perpendicularem. Verum oculi altitudo 
vbi collocanda fit ,_rectc quidem noodocent. qiix tamen fupra lineam IK 
productam collocanda dtivtconftmctiollmmibrnatur effectum, itafci 
licet ^vt producta IK in D, factaque KD ipfi FS .xquali, ducatur dc- 



N 


inde' 


GijOfiu 


5?8 PERSPECTIVAE 

andc DA (eaindumocu» 
li altinidincm ipfi DI per- 
pendicularis , intelligatur- 
que DA oculi altitudo 
(upra lubicdum planum. 

Pracconcipere autem opot 
tet pun£ta SD pro vno 
tantum pnnflo delcruire, 
aefi D clTctin S, linca- 

que DG 4Bct in SF . ita- 

que Ii ducatur CG paral- H. £ 

Icla FK, deinde ducatur 
SC, qux lineam FK fe» 
cet in N> iungaturq; GA. 
quz iplam flmiliter FK 
Iccet in O , fi igitur ab N 
duceretur linea perpendi, 
cularis ipfi FKi qux fic* 
ret zqualis KO i inueiv 
cum erit pandum , in quo 
1 apparet ipfum C • fed ob 
umorem adhuc confii- 
fionem fcorfum fibram appaltntetn deferibunf, Vt exponatnr linea EH > 
jquzproledionis Tinea dclcroiet. confiituaturqucvbicunquepunUum E,!< 
quodpunIFo F relpondeat. deindcadealdem partes fiat EH equaLis FM.j 
Jucaturque HL ipfi EH perpendicularis» fiatque HL zqualis KO^' 
nimirum punftum L rcprzlentabir punUum C. quod idem fiat aliia 
pundis- vnde apparentem habebimus figuram LM, quz obicem BC 
ollendct. quod patet, fi intclliganfurpunfta EH in FN. planumqucHM' 
fu bieIFo plano cre£Fum ; fueritque oculus fupra S altitudine DA; quod 
tacere oportebat. .1 

Hanepraxim alij clariorem, aebreuiorem reddiderunt . ^iaduabus U« 
neis DI SF non vtunrur; loco enim duanim lineatum DG SF vna tan- 
tum vtuntur linea SF; lineamque DA ('quam ie£ti oculi altimdinem 
nominant ) fimiliter efficiunt perpendicularem ipfi SFj czteraciuc eo- 
. dem modofiunt; figuramque itidem inueniunt LM. quia longiwdincm 
Unez KO inueniunt in Linea Fbl. 


PROBLEMA PROPOSITI6. XXIV. 

i 

DECIMVSNONVS MODVS. 


Oculo dato, dauqs iu fubic^o plano rc^inea figura, 
in propoflea fc&iouc iiibicdo plano creda figuram appa- 
rentem dcfcribcrc^. 

Rurfuscjuc oporteat problema duobut tantum pundis 
abfoluere , pundo nempe diftantiz,ac pundo oculi. 



7 


LIBER SECVNDVS. 


bic rurfus oculus A, cuius 
altitudo AS . fltque fedioQis 
Unca BN. data vcr6 SCO. 

oportet in ercaarcOionc figu- 
ram apparentem dcfcnbei£> 
duobusque nntum pundis AS 
ad vfum afliimptis . Ducatur 
se, qux lineam BN fecet in 
N ; & i punOo N in Ilione 
perpendicularis ipfi BN duca* 
tur NL; fiatqucvtSCadCN/ 


9 ? 



ita AS ad NL. Dico primum nunAum L inftaioneipCtm C repr?- 
fentare . Q^niam enim fcdio en fiibicfto jplauo creda, in qua du^a eft 
NL perpendicularis ipfi BN,quxipfius re&onis,acfubie£ti plani com- 
munis elt fedio, erit LN fiibiedo plano ercdla. atqui ftibiedo plano 
ereda cfi quoque AS, ci^o NL ipu AS xquidifiat. qu6d cum fit SC 
ad CN, vt AS ad NL, duQa linea CLA reda erit, ac proptetea vi- 
fualis radius CA tranfibit per pundnm L. ergo pundumC in fedipne 
apparet in L. eodem^e modoinuenieturpundum bi iplumDoficn* 
dens, vtfi fiat SD ad DF, ita AS ad FMt B verbeft in Icdionciiun- 
dis igitur BL LM MB, erit BLM in fcdione apparer» figura. 


Jxjg. w, 

dtcimt . 

6 . vniect' 

mi. 


primi, 
bmiu. 




P R A X I S. 


.'lO. 


n , 


In fiibiedo plano fit S pandum di- 
fiantix , oculi verd altitudo intelllgarar 
i|AS. fit fcdionis Unca NF. dataverd 
figura BCD . Ducatur SC. qux U> 
neam NF fecet in N. deinde planum 
intelUgatur fedio ; ipfi^uc NF perpen- 
dicularis ducatur NL I & vt SC adCN > 
ita fiat AS ad NL ex didis pundum 
L ipfumCecpraercnubit. eodem mo- 
do duda SFD • fi fiat AS ad FM, vt 
cfi SD ad DF, pundum M ipmm 
D reprs^tabit. quod cfim B fit in 
ledione , erit (iun^s BL LM MB) 
figura BLM in fc^onc figura appa- 
rens . vt manifcftd confiat , fi intelli- 
gatut fedio fubiedo plano ereda, vt etiam AS, fic inAfitocolns. quod 
neri oportebat. 



tAhpjm frtftrtiems confieltrMkntfitri fottrity rvt m fi^ftenti , 
fr$f«rtio mmnirUHT m 


11 


M a PROBLE- 


1 

. ' 'n 


I 

* # 


• • 


100 P E R S P E C TIVAE 



PROBLEMA PROPOSITIO. XXV. 
MODVS VIGESIMVS.v 

Oculo dato, dataq; in fubicflo plano rcdilinca figura, 
in propofua fcftionc fubicdlo plano crefta /iguram appa- 
rentem deferibexo . 

Oporceatque rurfus operari ijfdemtnet duobus pundis. 

Eadem protfus exponantur J 
Dncaturque SNGi «infeftiA- 
ne ducatur NL ipfi NF per- 
pendicularis, quf fimiliter ofte- 
demr effe ipfi AS parallela. 

Qumc duAa AC, litabit vii4l 
At iplam NL . funt quip^ 

7. vwlm- dide Unei in eodem plano . 

Itaque AC fccetipfam NLin 
L. quod fi intclligatur CLA 

vifualis radius , pundhim L ip- ... 

Cim C in fedione reprifcntabit. ^eraquemodoinnemeturpunaum 
M» eritqueptopterea BLM figura in ledione apparens - 

p R A X I S, 


Sit fimiliter S pundum diftantie, 

BF fedionis linea . Dacadue figura 
fit BCD . Ducatur SNC, cui pci- 
pcndicularesducanmr NG SA;fiat 
vcr6 SA alritudini oculi aqualis, 
ducaturque _AC, qua: ipfam. NG. 
fecet in G. Demde tanquamin lc« 
dione ducatur NL ipfi NF per* 
pcndiculdcis i qnAliat zqiAls.NG. 
porr6 pundum L in fcdionc often- 
det iplum C . quod vtique patet, 
fi intclligatur fcdio rni cum ML 
fubicdo plano ereda, manenteque 
se, tridrigulum SCA fimiliter fu- 
hicdo .plano srttcliigacot ctedum- 

nmcenirfUinca NG cxiftCTCt ift fc- _ . l jJ 

dipne, qux cum NL prorfus conucnittS', taiilittim 

puDda GL vnum tantum puBdumexifterent. eademque rationcinue* 

nicmr pundum M iplum D in fcdionc oftendens. Dudis igitur lineis 
BL LM MB, erit BLM in fcdionc apparens figura, quod facere opor- 
tebat. 



r^iis > 


4 


LIBER SECVNDVS. loi 


F talius tt&uc fitt itt hmsc mdum, 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXVI. 
MODVS VIGESIMVSPRIMVS. 


rcntcm acicnocrt^. 

Abiblucrc autem problema oporteat duobus pundis « 
pundo fcilicetdiftantix, altetocj; puudio ia fubicMo plino 
exidence, ita vt re&a linea hiec pun<^a conne£keni ut ie« 
Aionis line* parallela, fic oculi aldtttdini rqualrs . 


SitocolM A, ^usaltmido AS. fic feOioait linea EF, cui «quidi» 
r r3“*^i‘*W4sipfi AS. dauTcrd figura fit BCD. ojor- 
rcrmerettalcchoncngirtimappircritem dcfctibcfc, bportcatdue duobus 



Oculo dato , dataqj in fublc^o plano rcftilinca fi?i 

r..- r.L- I ‘ « /. o 




Ext. feX' 


it-biuiu 




loi P E R S P E C T I V AE 



P B. A X I S. 


Sit in fubieOo plano S pM^om 
diftantiz. iitquc SG ;qualisaltim> 
dini oculi, qpx fit fedionis Iinc« FE 
parallela. fi^ravcr6 data fit'BCD. 
lunganmc oC GC, quz ip&m £F 
iopunffis N£ dUpcTcant. Innento* 
que pondo N planum intelli^tui 
tedio,&ipfi £F pcrpendiculans du< 
catur NL.qnxfiatxqualis ipfi N£, 
ex didis pundnm L in fcdionc ip> 
fiim C r^rprentabit. codcmq; mo- 
do inucnictut pundum M mfum 
D oftcndeos t B veto cft in Icdio- 
ne.iundis BL LM MB, crit.BLM 
in fedionc (i^ra apparens, vtpetQ>i* 
eoum eft , li intelligatur Tedto vni 
cum figura BLM fiibiedo plano ere. 
da; veTuti fi inteUigatur quoque li- 
nea ipfi SG xqoalis eidem plano 
creda; fueritque oculus in ca collocatus, qood fiicere'opoRebst. 


Jn frtxthms tonfititn£s defcribtnii df^trentts figura , ncctjfd- 
rium cjfe n/tdetur dliquo fti puncto , fine dtfldntU , fiut oculi , dnt 
punctis concurfius j ntqut his dd minus duobus j Vt i» pTdcedentibtts 
fdctum fmt . Jiluod qutmms in aliquibus aliqua 'vidtatur praxis Vno 
duntaxat puncto tlaboratdi rtipfa tamen ad minus duo Junt . fed hoc 
euenit ^ qxia alterum punctum operando mn apparet t ad quod fiut 
’Vnt,pue plures linea tendunt, quodquamuis tidetturneceffariumt 
attamen abfque auxilio dicturum •vllorum punctorum fieri quoque po 
teft, quod quidem apud pUtosque partdoxum fortajfie 'vOttur \ e(l 
tamen 'vtrifsimum, d mnnullts etiam cognitum s non ita tamen, 
•vt /impliciter ab/que aliquo ex prafatis punctis omnino praxis fieri 
pofsit i fed quia omnia data figura puncta abfque illis omnino , vbi 
apparent in fictione , inueniri pqffunt , quod quidem , 'vt quo pacto 
ab aliis traditum fuerit , cognofiatuty bis i nobis pramifsis Joci lias 
intelfigetur , 


Ir r M- 






LIBER SEC V N D VS. lo^ 



LEMMA. 

Sit parallelogramma figura BCDE in fubicdlo plano; 
fitvcrb S pundum diftantix; fitcjuc A oculus; linea ve- 
ro fcdlionis fit 6C; figuraque BCDE in ere(fta fcdiionc 
appareat in BCFG. fumanturin DE vbicunque>&quof 
cunque punda HK, radijquc ducanturH A KA, qui 
fecent FG in punftis IL . Dico lineam GF fimiliter clTc 
diuiiam> hoc eft in ividem proportione pundiis LI, vdu- 
ti £0 pun^s HK. ' 

Qaoniam enim DE patalleha 
cft fit;, «rit ED paiallcla 
qoe GF. quate cum GL squi* 
diftet EH. erit HA ad AL> vt. 

EH ad GL. ob candemqueeau* 

&in erit HA ad AL. vt HK 
ad LI; vnde EH ad GL e£< vt 
HK ad. U .* & permutando EH 
ad HK, vt GL ad LI. 
ntionc oftendctuc HK ad KD 
kacflc,.vt Ii ad IF. In cadein 
intur proponionc diuila eH GF ia £1, veluti eft £0 in BKi quod 
Mmonfitate oponebat. . 

r • • i ■■■ ' 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXVII. 

■ ' > v-av» W.'* 

MODYS VIGESIMVSSE.CY H 

. .. '»-V\V»,»^V\r 

Data in fubiedo plano redilioea figura, in propofica le- 
gione fubicdo planocre^ jiguranvjipparputcaade|cp||^ere. 

Oporteat autem problema abfdtucrci Vt nioflo Hiicimus. 

Data Iit FGH iri 
prima figura; fitque BC 
icAionisTinei. Defitriba* 
rac quadiaium, fiue Mtal* 

Iclograma figuta BCDE, 
qux intus contineat da.' -■ 
nm figutam FGH. De- 
inde per F ducantur U- 
nex vtcunque IFK BFL,‘ 
ita vt ad BC ED perun. 
getepoffin. fimilitcnius 
per H ducantur Di^ 


.f 

.n 

. f^- 


£ I L 


r-- 

7^'V 



s 



)\ 



. i>arv lol .loJl: 


“CHH . ' 


Sxi^ifri 
mihhim 
f* 4 i/>ar- 
li, 

ll.faiati 
16 . {MMi. 


i 


104 F E R S P E C T I V AE 



CHN . & ad cuitandam 
tincarum confufioncm 
transferatur linea BC ia. 
alium Ctum , vt in fecun- 
da fiwra. intclligaturquc 
BC fcdionis linea, inue- 
niacutq; ex przccdcntium 
aliqua fecundum diflan- 
tiam ,& altitudinem ocu- 
li datam , tanquam in cte- 
dafcdioncapparcns figu- 
ra BCDE, qux r^rac- 

(cntetfiguram BCDkpri- . 

mxfigurx. Se eft inUcnicnda>acfi BC fecundas figur* eflet m BC pri- 
mas- liquidem in hac linea BC ptimx figarz intclligitur fcfUonii unex 
Deinde diuidaturxqualitcr BC licundx ngurx in KMG, vclutidimuclt 
BC primx figuri, poftea propottionalitcrdiuidatut ED fccundxngurx, 
veluti diuifa ell ED primx :vtQaam proportionem habet in prima figura 

EI ad IL, & IL ad LN, & LN ad ND, crmdcm habeat m fccmida 
figura EI ad IL, & IL ad LN , & LN ad ND. In fccundaduc figu- 
ra iungantur fimilitcr IK BL, qux Ic inuicem fcccntin F. Dico pn* 
mum pundum F oflendcrc tanquam in fcdione pundum F wmx fi- 
gurx. Nam quoniam punda IK primx figurx apparent in IK Ictmn- 
dx, Imca IK primi figurx apparebit in linea IK iccundx . eademque 
ratione oftendetur BL primx hgurx apparere in BL kcvaax . quare 
fvbife inuicem fccant) pundum F primx apparebit in F fcranaxhgu. 

rx. Parique ratione in fecunda figura cofnnefMtur DMCN.quxlM 

difpcrcant, in H , nimirum pundum ,H primx figurx aimirebit m H 
Kcoodx . Ftarae'iunQn^r in fteunda figura GF FH HO quoniam 
pundum G exiflit in fcdione ) obicdum FGH in pruna figura appa- 
rebit in FGH fccnndx. quod nccrc oportebat, 

• X . 

quoqut modis hmu/modi dii* inunirl poffent , hos tdmmft- 
qHtniom’ dimutnmns modum ,<im porbrms tfi, m*xim*mqu* Jocum 
dffort fdcilitdtcnf , 

u. ' 

PKOBltMA PROPOSITIO. XXVIII. 

l.- V .. f . 

MODVS VICESIMVSTpR.;Tiy Sa 

Data iafubicdko plano rcdlilinea figura, iit propofira le- 
none fubiedo plano eredta figuram apparentem dclcribcrc. 
Sit autenT conficiendum problema , Tt diximus , 


P R A X I $. 


; i I. 

il 


Ad praxim ftatim accedere polTumui, quia fimul cum operatione de- 
monftratio cluccfcct. fcd vtres darior appareat, nefiat lineatum confiiCo, 


obicdum 


V 


J’ 


liber' SECVNDV Si iof 



obicem qoidem ad vnam • figanm Tcr& appparentein ad alteram ftftitv 
nia linex partem dcfcdbcmusi qux tamen obicc^um ollcndet. vt initio 
huiuaadnotauimut. Itaque data (it figura BCD£< feAioniaque linea fit 
FG> fiimanturin (nbie^lo plano duo vtcunque pundia HK> ka tamen, 
Ttpnn^ HK longiuii re(Fionislineadiftcnt,quam figutaBCDE opor« 
tet m plano tanquam in (i^lione figutam apparentem delcribere . Sit autem 
nomm pnnflum diftantix, necnon oculi altitudo , Sc ex praecedentium 
aliqua, vt magis libuerit, mucniarar tanquam in (cdione pnnflum L tp« 
fiim H reprxicntans.&puadlum M ipfum K fimiliteroftendens • His 
itaque inuenris , fi datx figurx pun£him aliquod inuenire voluerimus , vbi 
videlicet pundum B apparet in fefiionc ; dneantur HBG KBF vfquead 
fe£lionis uncam, inucntismie punOis FG, nunc accipiamt planum pro 
fcdionc, iunganturque GL FM, quz Te fccent in N. Dico primum 

r tfhim N infedioneipfom B repterentare. Nam quoniam pnnftum 
ipfum H reprxfentat, G vero cdin fit in fedionis linea, io (cfUone 
tepentur j ac proptaca feipfum ofiendit. linea igimr GL ipl^ GH re» 
prxfenubit. Panquciacione, quoniam pundum M ipfum K reprxfc» 
tat, F vccdefi in fetiionc, linea FM ipfam FK reprefentabit. ac vero 

f unfFum B in vtraqucexillit linea HG KF.crgopun^m N, vbi GL 
M (cinuiccm(ccai)t, ipfum B reprpfcntabitacodemqucprocfusmodo 
inuenictur puntem O- ipfum C oftendens , P veto ipfum D, dc Q. 
ipfum E. Quocirca iun^ NO OP PQ_;QN, figura quippi NOPQ 
eriefigurain ledioncapparens. quodftccrc oponebat. 

Eft quoque obfetuandum in hoc cafu nos pofTb accipere punfta BH, flue 
BK , qux nobis deferaiant loco pundorum HK , vt inucniamus , vbi 
apparent ponda CDE in fcdione, quemadmodum etiam nobis pun^ 
BO dcfcruicnt ad inucnicndum,vbi apparent punda £C, dciuin aliis. 

Magis enim punda BH , nccnon jninda BK diflant i fcdionii Imca 
FG, quam punda CDEi & in fedionc inuentum eft pundum N ip« 
fum B rcprxfcnransivndc fi ducanmr, exempli gratia, HD BD vfque 
ad fcdionis lineam FG, i quibus ducantur linex ad LN, fimilitcrtran- 
fibunt per pundum P, quod in fcdionc ipfum D ofiendit. parique U- 
tione, cum punda BD.Iongius abfim i linea FG, uuim punda CE , 
auxilio pundomm BD, & NP, aliapuiida OQ., vbifcilicct CE infe- 
dionc apparent, fimilitcrinucnicmus. atque iueapnnda, qux i fedio* 
nis linea magis diftant, ad inuentendum in fcdionc punda fcdionis linex 
propinquiora , optimF dcicruienc . 

■ ^ ^ ^ O cSir 




hucusjut a nobis 'vtrii multiplices, itque 'vniuerfiUes modi , 
qm^us fiiuros in Jectione opparentes defiribere pojjumus , trtditi 
fint , in inHeniendis'»Ui*~sitodisrimmoiftindum omplius minimi vide- 
tttr } ne sffectots profixitiH txdium legentibus eifferromus . cum sd- 
huc multi *lii ,-uc Jerme ( yt na dicam ) innumerabiles modt ad de- 
fcribeifdts in fictione figunts apparentes jnueniri po/sigt i ac Jaciti 
atiorun omnium demynllrationes , praxesque extis, qua dicta /unt{ 
in medium afferri pojfunt i 'vt i nobis praflitum fuit { CT* ea praei- 
pui methodi a nemine ( quod ip/i 'vtderim ) hactenus meditata, nei 
oiguit in omnibus Jere proptptis ordinibus , multa , cum in demon- 
flr itionibus , ^fim in prhxibus , repetere \ yt hac ratione qualibet de- 
\nin'lratio , tp' praxis fiorfum intelligi , perficique pofiit ; fiquideth 
ntjfue^altmaiidialmit dpppffktviMivttinerJilio nUdltiu 

iftifthVaid-ii^i)ildf^Jfe''i^MfflifPpotefi . 'S(i'ad qidktm pirinihk 

nidl-pA^ek-ttcuUribu* -,' m»dh K/tritjstei, Ke« mmtyi>>idiiyumibtifi. 

tibiitkauftitndittajjumpia Jmst-puncta i ':Bt' quamuis modi aliqui 
, Homutli rti^i parum ^fcuhtii fgnt 
atiulinptft’^, fum ‘iyt praxes ''mafis eline/ca^i, (quav- 
hrfUdhiP-medteu in bis differentia alterum ab altero diuerfum t/ffeil 

M: <0.(! .. . ■JLi. Irt -A ,-3 .iii. 

fadem. puncta., quiStts,a\bfalMuntur ,-duttrftqO’ 
ireitl9iahttar<i Cr asduu qnoniam aliquis^ modus tribus, quandoquh 
ab/oluendiim^jllUi fiieiS duobus \ianium puh)- 
ctis qu-iuMqut per f cituri . ,^mp)tua feoffupt ajttrum ab aktro colle» 
cdutmus; fvf/ejparatim oppanat operandi JacHitas , &• breiiitdspiprie 
in bti Juculiaie Jummopefi, attendenda, funt tl^lodi enim A' 

aeis 'Vtuufur ptrpenditidanffas fitum toabmot -punctorum toottUr- 
fuf. dlt^rminatuM , ma^0‘jie ixibtnt Commoditaieni'^, df fqti- 
litutem c <?• quo ad praxim. ^atsdtm operandi ficur 'itattm,./wMUt 
af erunt . 'fnfkjtr' tatita fhunetos eolloeauimus , <-vt ruSdi ib aliis 
traditi jibrfitruiipffeefiit^ur , et fi ptrpsufi fintf a quibus ea tentum, 
fele^mut^'‘P q\iavniuerJalia Junt, quandoquidem circa multa parti- 
cularia luutf uq fimput conteratur , quod propeerea factum 'dl nobis 
fuit ,-yt ex noslris oriacipiis eerum modorum frexipui rationes^ ac 
dtmonllr»tiodes'ptrfpicua quoque reddantur . ciim Jcri ab altis dd- 
monfirattones prorfiis omifafinti fiqiudem praxts tantum docueruut- 
'qttddfi‘d> aBquo tirca demenibrafronem aliquid prolatum fuit, Tiix fa- 


~ „„ , - - - 



I LIBER SECVNDVS. i 

»em i<i , e?* tbfture , ne diminnte dicem, fectum jmt . Cjuod fHidemj 

nojr/e ex meGrie printipiit f, dliter , o- chriis demtmfiretum eG . 
muUis ferCeffe retienet minus cognitx fuerunt j fitjuidcm in 
'frexibus ip/is ntnnulU edmittunt luperftnd , •vt quando circa obit, 
itum dtfc^mnt quadratum , fiut rtctangulum cum Juis diametris , 
dum autem ad praxim accedunt, multa remanent fuptrflua , ts' iuu- 
tilia \ nonnulla tero , qua necefjaria funt , quandoque emitt*nt\ yt 
AHantia punctum, oculi fitum ,<yalia. oAhqui 'vera diminute 
eperantur in deferibendis fynris apparentibus ,c>' prepterea nonexa. 
aam harum notitiam explicant . J^d quidem etiam contingit, quia 
punctorum concurfus natura preprri neta nendum erat . nam tamttfi 
tmcufque nomen puncti tonaer/us ferme fuerat tanquam ignotum , at- 
taminquianoisuulliindefirilendu perfptctiuu nonnunquam iiivtun^ 
tur punctu , quamusi abfqug 'diorum propria cognitione id effkrant , 
proptereaquideiufmeit puncta , eorumj; pracipuumhuieesegtaeubfoL 
uend» munus prafant, adhuc ignotum Juijft pcr/picuum eG. quandoqui. 
dem oonnnllihitc puncta pr* puncti hfizontidibscs dccifiuhi ,tideasq, 
hac puncta coulungentes , quas fectionu Unca par a! It Lu ftmper cjjt 
debere mtelligunt , hork:eneales huneupJnt .■ cum tamen multa , ac 
pene infinita effepefsint 'functa eeneur/iet m/ectione diuerfimodi 
eundum maiorem, minaremjue affitddmemtdlptata, 'vtin prime li- 
bro oflonfum /mt . ^dcoquf quando funt fuo ppneta concurfus, alte- 
rum quandoque 'vocodi ectlunt , c?* ‘alterum dtGantiam i minus ta- 
men appofit} , quamuii qua inter hac puncta, interjicitur diGanti* , 
*U‘ aquatis ei , qua inter punctum diGantia , adfictioniit li- 
neam intercipitur . nst in decimoquinte modi pracipud factum /uit. 
Alia quoque fient , equa con fulto omittenda duximus , neque enim 
ad emnia particularia oflendenda deucnire placuit yrre quempiam 
culpare cogeremur ymquam . ab hdb enim longe abherref- atiimua * 

autem iu profatis modes fuperius tradid^ f after altero 
ad pr axes confidendas expeAtior , facilior que jvideatur ^fijilpil fex- 
tus , feptimsu , -undecimus , deemusqumtus , dedmou^mtauus ^ -vi- 
gtfimusprimus , ac -vigefimustertius i inter qiios fadllrtit.ifillpt‘fj^pti- 
imus, dteimusqumtus , yigtfimusprimus , ac yigefimusirrtiut f non 
prepterea ahifunt afpernandii '<* praxtsyarla/Auetfh fnm-' 

ctis diuerfimodi perftdpoffe innetefeat , tum quia iitfipodl,)»Urdum< 
ftus difpofitio nobis fefe offerre poterit , <vt i» praxibus cenfieiendis' 
aliquassd» epertunites , imo neceffarium fueriifmini^ff^tdfii^ilib'^ 

milii 0 f ribus 


54-3 5.fri 

Oli bom. 


20 . b»i»i. 


.U .tu u; 


«d .c ' 


i.l 

.111 


• Vf -H 


.iv.iod -O' 


Zxt^.pri‘ 

mibiiiis. 


i.&i.bu 

m. 


751 P E R, S P E C ’T I V AE 


rihus cpcrxthnhf xtque yjus fffttU f reponere., quidtrn om. 

pif ffiiBobit recte cegnit* JtKrim-t ftd-dU ntaltA^ conducent . 'vt 
exempli gretU , pojptmus yigtfimoprim* medo ( qt^muix , &• diis ) 
ex horologio horizontdi ,qnodliJ>et n/trucde mexme focilnose dtfiri 
here , intelligendo nempe hortrus Imeos effe obtectum , gnomonem ocu 
U dtitndinem y pedem •vero gnomonis punctum ehlidati* , /ectio- 
nitque lineom effe eem, qun horologii horhtentelis , ac •verticalis en 
communis /ectio . ^wd fi ex Jiorizgntali horologio , horologium in plor 
no borntpnti inclinato defiribere •voluerimus'', per pukcta concur/us 
/aciltjis fiet . •vt ex propofitione •dgtfimaquart* feqmntis iHri dici 
poterit, diaqtee huiufinodi muUa inueniri poterunt . 

tAt vero quoniam exiffentihus obiecM figuris paralltlegrammisyfi^ 
gumen fictione apparentes ex iis, qua i nobis tradiestfunt , facilio- 
ribus quilmfdiam modis defcribi pfifimt f idcirco^ humfipedi quoque 
adiitert non erit inutile , > • < i* 


I bi' 


' 


PROBJ-EMA PROPOSITtO» XXIX. 

■ , ■ " < ' 

Oculo > dauquefiguxa cx p^allelogrammis con- 
ftans, cuius latus fit fc^tiunisjia^z.xquidiftaas » figuranu 
in cte.^ ic^qnc app^rcm^-tiflaribAtft' • 


P R 


"A. 


Sik S pdriaum diftan^ 
ti( > & SA .oculi altiiu. 
do . fit figufa parallelo^ 
gnmnta ' BCDt > ona: 
contineat oCto parallelo- . 
gramma I iWquc lincz 
cx HKL ipBs^C ED 
paraUcl*v linea- '•ero cx 
M ipfii SE. CP cquidi» 
ftans ; fitque BE. fafiio- 
nis lindr FO ^aiallda . ■ 
Primuwaquidem Unca: 
BE C;D,j^ aequas cxM. in 
^ftiOBC in Ifiicls appare- 
bant ipfi''FG' paraUciis , 
linex vet6 .BC ED. &v 
qu? fiinrcx HKL, in Ii* 
ne», qolpinpunanmcon 
curfus conucnicfic, appa- 
rebunt . Q^ptopta in-; 
Bcniartu{>iin«nm X pun- 



'>\«nn:.v.s«7\^v,i,<f , «V » 

,i»t , u -i',!, j u: 

. r' , . b\V X. 

. .Sit' — TTTTStlTTTrA.XWB bW.-. x ' 

Aum 


I 


t/I B'E R i t: ' V V 9. ^ 


Aum coDcurfusipfaram BC ED> Scali^m ipfls fqui^itlahmm Dc-l 
inccpscx aliquo prjdiQorum modorum mucniuurpundumi 
rcpr9fcutans , O ipfum H, P ipfum K, QMpfum R ipfum ’ 

E, V,iplum. M, oc T ipfum C. d pungis aorcm NQrQR lincxdd’- 
cantuf ad X, i punflis vero NVT ipfi FG' fgnidffttuirtl ducantu». 
complctaquc erit figura RT. Vndcmanifcftun^cit , fiOTram RT appa 
retitem figuram cxiltcrc, ipfam4uc BD cum ibis paratlocraraim^s repr;. 
fentarcvquodfaccreopottcbat, ■ 


.IT' 


IjrdcmcoilrafUs (iux* 
ta Iccundi modi cxcmplUi 
vt initio huius diximus J 
inucnianitinfrfUone tan 
tum tria punda>pun£him 
fcilicct JN ipfum B re- 
pr;fcntans, V ipfum M. 
& T iplum C. Deinde 
linea DE, & qu; fudt 
ex LKH producantur 
vfque ad fcQionis lineS , 
i quibus punfiis ducan- 
tur line; ad X , i pun- 
disque NVT ipfi FG 
(qmdiilances ducantur , 
aue lineas ad X dudas 
(ccwt ; completa vtique 
eritfiguia RT, que qui- 
quem figura in Icaidnc 
apparens exiftet j ipiamqi 
BCDE fea'f^en confi- 



derattone , rt initio huius dix jmus ) repr^fentabit quo4 pf 9'^cbat , 


ll^lV 


PROBLEM A PROPOSITI9, XX^, 


■ - ii-| f 


Oculo dato , dataqud in fubiciflo plano Hgura 
lelogramniis conltans , (]uac nullum habeat Jaras .^Aionis 
lineae arquidiftans, in crefta letSione ^iirafn apparc^t?^ 
dclcriberc^. .innKq-.tan'' 

. ndaJioqostOTciljotjp 'at .liiUnitrf-.i iiitJtl oriDi jv ,( 

LIXXZ . n f T fS> cAi K^Sl «f J 1 a O T 


d icaq^gfj 

ariDti) 


Q, BCDI, qiif tamen nullun^habeat 1^ 

_Wi.. 



sjri. era. 

hurnt. 


£( 6. Im: 
W. 


tus ipll BG ae<{ni(iiftans. 
Inucfiumr pundam_ X 
pun^hirn concurius ipla- 
rum BI CO > & cius . 
quzcftcx K> Deinde in> 
ucniatur punSum V fi- 
mjliter concutPus ipfarum 
BC IP , & earum ^ qux 
flintex FH . in redioneqi 
inneniannit punda £L> 
NOM, quzollcndantip. 
Ia FHICK} i punftisque 
BELN ducantur liiiex ad 
V} 4 punPlis verd BMO 
linez ducantnr ad X i 
figuiaque ex his con- 
ftans , nempi ON erit 
in fePlione apparens hgu* 
ra , qux ipCun BD oBcn- 
det . quod fieri oporte* 
bar. 


Ijrdem conftruAis (fiet» 

3 'uciuxra Iccundum xno- 
nm initio huius didumj 
fiicili propofitum afle- 
quemur , ex prinio modo 
deTcribendi figuras appa. 
temes, nempe producam 
turlinez DI, & quxfunt 

ipfi parallelx vfque ad (e. 
• 


ionis lineam BG, i qui- 
bus punPhs, & 4 punfto 
B linex ducantur ad V. 
fimilitet producatur linea 
DC. & quxeftcx K,vfoue 
ad fcftlonis lineam BG , 

4 quibus pundis.de 4 pQ. 

Ctq B linex ducantur ad 
X, quie fxent lineas du< 
das ad V. confutget ex 
his lineis fijmra ON. qux< 
quTdeiM "ent- figura in fo- 
2ione apparens , ipfamq; 
pD, Ttinitiohuiusdid^fuit,'teprzlentabit. quod &ceie oportebat^ 

P R. O B L E M' A t R o /o S'i T i O.’ XXXI.’ 
Oculo dato , dataq; lenonis Unta j 


T 


B. collocetur SA xqui^lUns £D i ducamr^ue 

t ,D3 tiin 

Cbi iauiccm occurrant in Ci Dico iirlubetitoi''''''t>ii^i) /jKi isi i 


mnr s^s: v n d \s si m 


dlionc puncto, in lubicdopianopunAum* quod appaicao 
in a(iM^¥^n<S©JSn2^S*9'^^ Ah JjyO^^'1 i 

ria^iW^OETeftiofi»Hi».JDaWr^%^^ cJ: 

uod appareat in 


-f ,, 

bicuo plano inucnirc punuum , quod appareat 


iluD© jr.ii 


BD pcrpcndiculaiis 
£D xqualis DB; ducamurque 


d^ue 

£D> & ad partem A nat 

SD -AEj igim ^c .Pg 


plano pimftuin C apparere in B> acx»nflhi> 
dionc emm quomam dufix funt lindd-CIiS-y'' :q 



7")nr.qo 


C£Ai faSaqrfcft DB ipC £D *qualiiy'A:fp«|. 'iJ IO it;n 

pendidularis , etgo C apparctin B. qUddMClt’' ' li/ •ju).ni) ;t-ifkc^ 
te oponebat . i I:-.' >ID in'-i)/3D tiitup ^lijlkii; 

Oportet amem, vt BD minorfit, qoaiii SA« 

\(/V<'r"nm 


Jf.:Priir.lnL: 

i d 


PR.OBL E M A PRO POS,ltH Q. 

, 'Ul 

Idem inucnirc pcrpundla cdittarlttsl 

* ^ inUt ’ 


r-, >> 

' fi' 


tmiiip-ji .i,„ . _ , 

•qt U i HU 31 ’n-/l ..THA .jjiA 
Sit enim Hmiliter S diftantix piin«nnt>i^p i.': > 


Aum, oculique altitudo SA, lintq, 

VX duo puncla linearum concurius i 

fitqu(^rriM<fc^<»!isi‘p«i o>t 

inlcaionepunthimut B. & vtinfu' 
biedo idano inueniamiis 


qjtdtl B ; 

SfiE . c 
quidem SA funtxqualfS.conncaan- A\j 
turque ST SR.dcindedu6anturXBD 
VBE, & i punAo D ducamr DC 
parallela SR, ab E veroducatutEC 
tpfi ST xquidiftans . nimirum pun- 
aura C infubicao plano cxiftenjap-' 
parebit in B. Kam ^omam 4 pundo 
C duAx/unt CD CE ipfis SR ST 
paralielx-,duax<|>nmt DX EV, quifr inuic^fecmt 
ttum C apparete in B. quod facere oportclMl. ’ i '>"0 A :!i • i • 

O^rw^autemin hU pftnaum B propinqMuf «ffr i^friTRi ‘quifn 



•tqqa ^ 


' 1 ^ 

i-np-j. A i‘'ii o ii;. 


COROLLA RTV'’W’r‘'.'”::;‘ a’ 

£x his, fi data fuerit apparens linM , lfiu«'figi|rftrP^ 
in fubiedfo plano obicdutn inucniri pbll&.i^ 

i^cmaiini •>nh'> 


1-, j. ip .H > 


Per data enim linex, aefigurx punQae odenifi>^ajnu>dOiflo Uu. 

ofitrjiK PROBtr 



it.iuiiu, 

-iiA.tijill 

4>bl 


I, huiuu 



I 


7 

/' 


JMf • 


Hi PBR5PECTIVAE 



PROBLEMA PRQPOSITIO. XXXIII. 

Data in TubicAo plano Unca , datacjue apparente linea^ 
in erc^a fcAione , 4iii;aquc nt .feftionis linea , pundunu 
dilbntiz, oculi^ue alcituainetn (upra Tubiectuin planunu 
inucnirc/< 

Ditafit linea BC , 'apparem ve. 
roUnea DE, fitque fcaioni» linea 
FG. oportet pandum idiftamix . 
oculi4^c altitudinem iniienire. Du- 
canrar DF EG ipfi GF perpendi. 
cuUr<-s; fiat<iue FH iqualii FDt 
& GK qualis GEi fintqi GK FH 
ad eandem partem . ducantur BFS . 

CGS, BHA, CKA. iun!;amtqf — 

SA. iam enim, conllat in lineis 
BFS <;GS efleponanm diftantiz. 
ex quibus iequitur SA efle*qua. 

Icrn altitudini oculi fupralubieftum 
planum . quidoquidem dudx funt 
AKC AhB. funtque GE FD ip* 
fis GK FH xquales. qux quidem 
inucnite oportebat. p 

problema propositio, xxxiiii. 

,1 . . 

Apparente dau linea in erecta fecdonc , aliam ducerc/ 
lineam , (]ux cum dau imperatum angulnm efficere oculo 
dato appareat. . 


Sit oculi altitudo ASi 
(itque S diftantixpund&i 
fiiqueredionis linea D. da. 
ta ver6 in eteda fedione U* 
nca Iit BC i datusque an- 
xiius llt X. oportet linei 
inuenirc,qax cum BC an- 
gulum reprxfencet, qui o* 
C«r.ia.4» ‘P*"' K aqualis appa- 

teat. Inueniatqr tanqnam 
in fubiedo plano linea EF> 
quam linea BC in fedione 
teprafentet i fiatque ar^. 
Ius EFG ipfi K cquaut; 
in fedione^ ue inneniatur 
CH 1 qua oftendat lineam 
FG angulus quippiBCH 




angulo 


LIBER. SECVNDVS. 


angulo EFG , ac pci conlcqucns angulo K aequalis apparebit . 
facete oponebat. 

u 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXXV. 


quod 


■ • t 

Idem abfquc obiecto inucaifcc. :< 






rrr 

V 3.;nil 


/ 

. f.*> V'- / . 

■ . O ;k ./ 


p^G DE per 


Sic fimilitcr oculi alti- 
tudo ASi Ic^onisdue p 
linea (it DE. dataque 
.In feaionc linea BC 5 
I datus vcr6 angulus K. 

'oportet lineam ducere, 
qu£ cum BQ angulum 
ctKciar , qui oculo ipfi 
K xqualis appareat. Du* 
catur linea FG parallc- 
UipG DE.m uxalcdio»' 
nis linea DE didet fci 
eundum longiiudincni 
SA . Deinde produca- 
tur OC. quxlincx FG 
occucracm F;&ipuu« 
di> F 'linea dncacur FD 
pccpendicuiaris OE ; As- 
^turej; DS. dcincq's 

nat angubis DSE an^lo K squalis i ducaturque EG ipfi 
pcndicularisi &4 punito C,dufanu CH, qu* tendat in .G. nimitiiia 
angulus ECH angulo DSE, proptcrcaque ipfi K xqualis apparebit, fisj 
quidem BC CH odciidunt lineas ip'fis SD bE parallelas, quxinuiccni Exi cr 6 » 
angulum condituunt ipfi K xqualcm . quod facere oportebat. bmus. 

! Hicvcroaducrtcndum occurrit, fi SE fiicritipfi DE parallela, lineam 1 
I quoque CH eidem DE parallelam efie debere, fimiliterque fi BC data'25. primi 

I . fuerit ipfi DE xquidifians, tunc DS ducenda erit quoque ipfi DE pap bjuiu, 
rallela. & in his calibusaltcroduntaxatconcurfiispundopraaisfict. ^ 

i 

e O R O L L.A R I V M I. ; 

I •’ 

I Ex hoc pcrfpicuutn eft , fi »\ix ducantur linex , vt LM 
IMN, qux in FG tendant, angulum LMN Umilitcr ani- 
'gulo K xqualcm appareto. 

; Nam, quoniam BC LM in F coniunguntur , apparebunt BC LM 
'paralleli ,vcluti quoque ob eandem caufam CH MN apparent xquid - 
dantes, ex quibus fcquitur angulum LMN apparere, vt BCH, qui at - 
gulo K xqualis apparet . 

I Eodamque modo hiiiurmodixqualcsanguliapparentcsabfquc obicd ) 
plurimi inucniti poterunt 


I VG 


COB.OL. 


tx I. 

im. 


1 


114 


P E R S P E C T I V AE 


corollarivm ti. 

■■ ■ .• I i 

Ex hoc patet Wam , nos dato prius puncto M, angu- 
um in M, qui angulo BCH aequalis appatea.r ^ ftatim^ 
conftituere polTc>. 

I)ato enim punfto M, line? ducanmr ML .MN in FG tendentes, 
ex ijj • qux proximi ilifta liint , angulus LMN angulo fiCH pqualii 
appatcc. I 

COROLLARIVM HI • ' 

Ex his inaniFetlum cft etiam a dato in fc^ione pun- 
ao datx linex vilx parallelam lineam ftatim ducere pofle, 

A dato enim punfio M dat» line» CH ftatim duci poteft linea, qux' 
tendat in G, vt MN , qu» quidem ipfi CH «quidiftans apparet, 
O^ddfi CH ipfi feftionis ime» DE parallela tuent, linea quoque MN 
ij^ D£ parallela duwi debet, qu» quidem omnia ex didupcrlpicualom. 

SECVNDI LIBRI FINlSs 


1 .. - -1 . . ; : ' ' ■ ;i 

.1 '•■r it ' w H- ■■■' ' 

i .1 Ji 1.- . I! * 

„ ttr.mi-n Ii , i .tb. • .A- 


, lij ■ 
4 : 


,i' i I A. < -.1 >i - O' 

-n U rj in-;'» i {J ^ ' 

■iK '■ 1 n: 


' . I' *n 

^ i ' . ,i»li >u»j!c;; 




,'lfc . J ^ • ■ , 'im , .. r.i 

f,- , . v- ■ ■, II'- 


GVIDI. 


l[ dA V I 'l J d q g >1 3 q 


«iiy 


G VI DI VB ALDI 

E‘ MARCyiONlEVs 







P E R S P 'JEJC Til V AE 

L I B EJrriT E R. j I V-S. 

V R in (cctionc fubiccto 
pia T^rtcta apparentes , qu« obie! 
cta^in fubiccto plano exiftenda rct 
prxfcDcant , ruperioribus demon 
Ihationibus pluribus modis inueni^ 
«e,oii(wfufli, cft J quippc.-oux^pfaijfi 
fefcruftt ttmtummoclTtll^ iindrt^ 

! planas, 

. , , . ad' comrpixltkudHies iouMiflndas‘, 

flupnibdo aj)parc^^Jj:i ^gurS foliifaVephelttnitenc , 

-1. uikni>M> > r< . . • J." „JL ^ "'ii.*-- 

I. 


•'Up.o 
lii (■ 


ft • ’v,“ E M A P ROP O SIT.I o’t 

p JWII3I , ,;a; 1MJ ' J,- 

Pc^lo darX‘j'dat6(j[uc.'^ cuius paraflelo^aiifima- 

nnt rcctangula, altera vero eius balis fit lil fubiccidjpUno, 
ili propofiu ftttionc fiibiccto; plano erecta fipuram appa> 
rentem dcfcii^ro . on . ’ 4-“ 

: ::3 53 . ' JOj tr ,1 


'■'.'i'»’ -e; 

>t w»; 

\«4i 

1 




>yn 


hirAV • “il^* r altmiil» fiipra lubieaum planuni fit AS. 
DiCtfoq; plano fit lenonis linca'fiH!. pritoa vero datum fit BCD 

nrn vr UCFC, -ac alia, fim rciUngulaj fitque balis 

fc^ioncfuhieaopfapo crcl.fi^ 

rcpi^cntn , dcfCtibcrc. Imclligatur planum 

llr ?Dfis ,Mr /«nAum^E in,feaioatC;Cxiait, isanicum EB 

perpcndicahns.rfiqujdmn pwfmajis pajalleloKiamma 
| fantroaanama.-cnt EB lub^ao 


■,U' q 


fcaione7~r • 


a 


— perspectiVAH 


CL J A <i V I (j. I v\ D 

CMjJO ji A M Vi 





OiJJl 3 il^ 


3 l<lo 3 I 0 p t A- 

j{ aiinjfli' >>n 
«oinsb 'uclii 'jijfj 

: . l.. ifl 


firflaMne, r^aio^ ; cft fubicao-<!«w<iilc ^o* e 
fcaionc , ac per confequens pun^W B 




xa, erit igiwrlinea EB» 
iniam Uaque damni cft puni 
iA, dataquccftCcaionislij 
BCD, 'aliquo prpdiaotnin 


I tundi hir 

I bumt. 


16 . yiUt^ 

ctai). 


fupraquod^o^Ualnmdo TA^ ,eo mo; 

nca ER v-oaMverangu^r-ru .f ' '^dcin niorfut nucnienir fi* 

^stsiaiati 


aliwip» 
frimi bn- 
■ iui. 

124.15. pr* 

Mt bu iut, 

Jg. yndeci- 

lkr‘-“ 



“cd!" iP<-« «« 


[plano cft crcaa.vclutienam r 

■\“f<JSon2! r SicS». pVxtereaq uoj^gngjEG,^ 
- 


} 

I 




'Lrafe/^' 1 





His ts^mtis tdprsxts ttcsdmsu i 

problema propositio. i|i 




'PtopoGrom fu problema abfoluere decimoquinto 
modo . 


Sit ftaioni» linea BH i 
fitdue BCD bali» prifma- 
tis in fubieao plano »ra- 
ius altitudo fit P • Cum 
enim propoCtum fit op^ 
rari decimoquinto modo, 
'lideo fecundum datam di* 
ftantiam , ocul^ue alttfu- 
dinem primfim mucnran* 
tut pun^ VX , vt in ea 
propofitionc diftum fuit, 
deinde duda CH ipfi BH 



dant ad VX. pundum L 
ipfum C oftendet . eo- 
oemquemodo inuenietui 

punSum-MaPlbm D ofti* 
dcnsifigdiW^ue BLM ip- 
lam BCD rcprifcntabiti 
Ad inueniendam autem al 

I’ ^ J K 



H 


' 6 

R" 


f. 

D. 




• » 


/ 

V 






ao.yirai». 

SImuu. 


K 


k ipfi BH *quidifUn.,i«vtduaaipfi. BH 
EK petpendiculatii. fit xqualu ipfi P. &ouoniampunaum B cftmh- 
nw Ii?! i punao B ipff BH ^tpcndiculariJ duwtur BE; fiatque an- 
eulus KEF anqulo HBC xqualis; fiatque EF ipfi BC xqualts, confit* 
mturducrrian^lum EFG ttiangulo BCD xqu^c.a^tlitcrpofitt^ 
eodem enim modofehabebktriangBlum EFG ad Uncam EK. «BCD 
ad BH. quate eodem modo ducamt FK tpfi EK petpendtculartSj fiau 
duc KR «qualis KF. ducanmtquc KX RV, quxfc mutCM fecem m 

N bunaum quidem N ofiendctipfura F expraxedentt. eo^mq, mo- 
do inuenietut pundum O ipfum G oftendent . lun^ igttm pun^ 
ENO, erit ENO figura in feOioneapparenstOpx^ctampttf^M 
fim teprxfeniabit , qux excomrana patte tpfi BCD rcfpo^. 
pataUda.atqucfcipra BCD P»P«<B«>H?« 

arca iuoais NLOM, figura BLM ENO datumprtfma reprsfcnubit. 

quod fieti oportebat. 

-i — Cxterum 




k 


IQ. 


1^:8 


P. E MII Pi 


«oI 


primi» 


-^xfcrtm! taro ' &cilioil.<r ot.oi;i :.rjUoi , 0;>a T j , dimil *. /Is ^ii 
opcndbao ornchiaodum, . Irine jpa/n/js .Ha Le aC..Yiv 
dK <)>>^dcumfii>£iiaoan<. .J3 <IH idqi H>1 J.n.i 
guli. nempe KEF, &an- 
gulus ad K redus , trian- 
guli EKF, duobus trian- 
guli BHC angulis HBC« 

&. reflo ad H xquales.la- 
tusque EF lateri BC *- 
quale, erit triWgulqnpKEE 
triangulo 'HBC iet|[iMlt • 
latusquc EK lateri BH 
;quale ; eft autem & EK _ ^ 
ipli< Bii xquiddhins fiii. ijjcls 
igitur ducatur KH , erunt 
BE KH inuiccm?quales, 

■ic parallel.T. Icd quoniam 

jBE cftipCBH. acpercon- - ] *" jjTTlfetsr^TlTntT 71:7 

‘fequens ipfi EK perpen- x -iminq a ‘t! sop? 

dicalaris, erit& HK ipus * -i . j *c • -f 

BHEKpcrpcndicularis.fi* ^ * 

militer oMqualitatctrian* jfi ■ . , 

f ulorum EKF BHC latus ^lateri HC eft xiyiale, quibus (quatnu^i 
.K HQ, vnde KK. HQlii^txqualcs-.&quoiuafniuntparallcl^fii^pis 
duceretur B.Q,> cftet ipE HK xqualis,.icpacallcla, ipns<Juc,£K 
BH perpendicularis . cum oftenfum ftt, KH ipEs pcrpendicularcpt' efle 



ot 


/« prtIM 
klMU- 


lendafunt punfla HQ in KR., ita vc fibi inuicem pcrpcndiailaritct axi 
fpondeant, hoceftfint linex KH & RQ, ffl ducetemur ) iplis.BH EK 
perpendiculares . quod idem laciendum eft cumalip.punflis; jpcr^ittque 
noc modo erit praxis. . 


no 


problema p ROPO siT^9i;'' 

' CjsV ..«i 

Atio quoque modo altitudipqm.ibla duneaxat punAo 
concudus inucniro . 


■V' 


,tn. 

n <■ 


Ex proximi dctnonftratis , 11 prifma datum in Icflione repxxrcntareTO. 
luerimus i oaponanmr eadcm,.qux ptiiisr eodem^iie modo inueniatur 
fi^ira BLM obicflum BCD mprxfentans. Ad inucniendam autem al> 
amdinem piinflutn tantum X defrruire poteft . dufla limiUtcr EK, in 
qua tcansfcranir. tantum, punflnni H in K '(^t diflum eft J deinde du- 
catur LN • ; qux iplis: BH EK iir pcrpcndicuiaris , duflac)tie KX,-quse 
iplam LN' Iccctin N, erit ex proximi dcmonfttatis f litmidcm LN 
Iwis prifmarisoftcndit)punflum.N punflum otofitum.codcm^ne mo- 
do inucnictutpunflum.Oi<.ftgura4ue BLM.-ENO prilina tcprxloita- 
.bit, quod Facere oponebat . - 


't :i) jri . • 


Pariqu 




rf- 


LIBER :TERTIVS.s 


»»? 




/■ tf. 


Faridue ratione in altitudine inuenienda dcreniurc MOtum poteft pun* 

^ih V, vtfeilicetm EK non uansteratnr punclum H, ted puuuura 
Q, iquopollca ducatur linea ad V. qu« ipim J_N Cmilitcr ex iis, 
mixruptaditlifunt.rccabitin Ni vtEadum cft’ linea RVi qu* lineam 
LN iplis BH EK perpendicularem fccatfimilitetin N punftos quod te» 
bixfentat itidcm punctum prifmatis fupra C perpcndicularitCt cxiltcns. 

^ C«tcrum li ptilmatu altitudo luerit xqualu oculi altitudini <in hoc calii 
puaOa VX eflem in linea EK, quoniam VX i Icltionb linea BH di>|i 
flarent quantitate altitudinis oculi, cum fintpunfta concatlus. At veto mi bmu. 
quoniam oculus eft in plano per EK tranlcunteiquodquidcm inielligitur . 
(ubieao plano iquidiftans.omues line*, acfigutx in hoc planoexitlcn- 
lesfvt in primo libro diximus J in vna tantum linea apparcimnt, quX qui- 
dem linea ent, & reaionis,& dii£ti plani communis lectio ; quare omites 
in linea EK apparebunt. Altera igitur bafis pnfinatisdpfi BCD ex ad- 
0^0 refpondens apparebit in linea KE , punflDfum 4 uc anguli apparo» 
bunt, vbi LN MO ipfi EK occurrerent. 

Qn^ 6 d lialtimdo P lue- 
rit maior, qua m oculi altitu • — iK 

do, tunc punfta VX inter 
Uncas EK BH exiftent i 
eritque oculus infra planum 
per EK pertranfiens . pra* 
xis tamen fiet eodem mo- 
do; transferendo fcilicepJn 
Unca EK punfl.i HQ. per- 
pcdicul^iterin punflis Klt; 
ducanibr^uc KX RV, 4 r 
vbilc inuicem lecant, vt in 
Nvctit N iUjfralmcamEK, 
pttnctuih quzfitum . quod 
idem liat in alijs punitis ; fi- 
guraq; BLMENO prilma 
datum teptzfcntabit. 

Idem quoque aflcqucmnrduccndolincam LN ipfi BH perpcndicala- 
rctn.dudaquc tantum KX, vel RV, qu* LN Iccetin N . qu* qui- 
dem omnia oufetuanda luncin oiunibus . 



Ex 19. pri 
miiiiut. 


COROLLARIVM. 


. 1 .- 1 1 . 


. Ex his pcrfpicuum eft , fi (upra datam prifma aliud fi- 
mili modo prifma datum fuerit* eodem modo figuram ap< 
parcucem dckribere pude. 


Imienti fit eodem modo Mparens figura - BLMF.KO> qa» prifma 
!rcprxfcntct , CUIUS bafis fic. EC.D, & altimdo'' P » fi ftipea. hoc prifma 


aliud 


i 


120 P E R S P E C T I V AE 


K 


r 

-,-- 1 1 ., 



jaliud turTus intcliigatur 
ipnfma altitudine Q> fe- 
ciinddm altirudint vtriufa 
q.iclincz i’Q_^ueatur li« 
nca FG ipii UH zquidi- 
(lans ; deinde eodem mo> 
do inucniJrur pun<^ R.T» 
«a vt R oftendat pun- 
dum ftipra C alntudinc 
PQ_, T vero oftendat 
pundum Tupra D eadem 
•?t *\ airimdne ptodu- 

da^ue BE iiTPt dudit 
quelm:is NR OT , fi- 
gura BLM ENO FRT 
duo prif iiara rcprzfeiua- 
bit. vtdidumcft. 

Eodem quoque moda 
fiet , fi data fuerint adhuc 
aliaprifmata. 


7(jtnc •veri *J alia txmpla tranfiamns. 

PROBLEMA PROPOSITIO. IIII. 

Propodeum autem fit vndccimo modo problema ab* 
folucrc/ . 


Exponantur ea'i qux ia 
decimafexta prOpoiitione 
fecundi libri expofita fue- 
re I fintque punda SX . 
quibus praxis conficimr, & 
in iiibiedo plano iit Icdio- 
nis linea BHi deinde inue- 
niatur pundum L ipliim 
C reprzlcntans > dudis 
icilicet SQC; deinde du- 
dis CH QL ipfi BH per- 
pendiculpriHus., duda^ue 
HX, quz QL fccetin Lj 
patet enim pundum L ip- 
fiim C reprarfentare,- quod 
cfi quidem pundum bafis 
BCD prifmatis dati , quz 
quidem bafis in fubicdo 
plano elTe intclligcnda cfi. 
Circa ver6 alucudincm in- 
ucniendamiVt fi pundum 



prifmatis 


i 


KM 

prifmatis fupra C rcfpondentcm altitudine P 'inoenire voluerimus, du* 
cacur flmilitei £K ipli BH xquididaus , que quidem i fc inuicem di* 
flent, vt altitudo data P, &tn EK exponantur pun^a Ki. quxpcr, 
pendicnlariter rcfpondeant fupra HQj fimilitcr^ ducatur IN iplL. EK 
perpendicularis, quam quidem IN fecetdufU KjC in N; ciitlimEpun- 

dhim N, vbi apparet prifmatii. pundum fupra C perpendiculatitcr. exi* 
flens i quod idem fiet in alijs pundis inueniendi^ figuiaquctppaieos prifl 
maoftcndensinuenta erit, quod facere oportebat. /, 

PROBLEMA PROPOSITIO. V. 

Propofitum fit problema perficere modo decimofepd' 
roo, vt in lecunda praxii - 


LIBER T.€R TIVS.^ 


t»f .if. 


,‘i;a » 



Eadem prorRlji ctpony.’”".'^^-''"! ; t. 
tur.vtinvigcfiTnafecuq^ ^ 
propofitionc' pra;cedentii-i£;i^^di£i4ir 
libn in fixundapraxi, intel* , 
ligamrqtic ba(is'priftnatis ' * • u 
BCD , cuius altitubo fit . . . it' 

KF . quare ducahir FE ip* , „ 
fi KG aiqtiidilWns.tram.-' t m 
feraturquepundum G in.. 

•E, hoceft fiad FE xqoa.'-^^ n.l , vui;*).. . . 

lis RG; dncatiit.$ue ;AE}:'OJni-'» ^ oso; ttun .a 

qux lineam FK fccet in 
H I ducamrque fim.ilitcr 
HI perpendiculari» iFK t 
fiatque HI xqualis KN , 
hoceftipfi OL; nimirum 
punduin 1 oftendet iniiet 
dioiie piinAum lupta C 
altitudine KF . eodemq; 
modo inucnictur pundu c 
oftendeus pundum fu* 
pra D altimuinc KF. De- 



rnuiilofKn*! 


Tith ?, 

au .II- /■' I ' AF 



quod tacere oportebat. ... 

Vt autem in eadem vigefimafccunda propofidone^adnotaultiius eodem 
loco , potilis apparens figura ad alteram linCx KE partem elblincandal • . 

D tiiiilqi .1 /i.abiiqi rr-Lj 

PROBLEMA PROPOSJT^1(0^^^^^ 

.T li;.r ' ■ ' t" ' i 

Idem abfoluere decimoodiauo 

• ■i.ivjn. .H i;qit..UJj- 


iiiii- 




Eadem 


vzz P E R S P E )C T I V AE 











L ifl 



exponantur ^ vt 
m Iccunda operatione yige* 

(imxtcrtix propofitionij £e 
dlndi libri buius ; intclliga- 
Hirque BC balisptilhuns, 
cttiur altitudo KP. quare 
docetur per F Unca FQ 
ipfi KD parallela ; tranl- 
maturque pun&um G in 
R, hoccBhat PR xqua* 
lis KG, ducamique 
qux lineam KP fccet in 
Ti producaturque HL, 
fiatque HV xqualis KT, 
fiue (quod idem eft) LV 
xqualis OT ; punduin 
quidem V oftendet prif- 
matispun£himfupra C al- 
titudine KP. cademque rationealiainuenicnturpunl^;critqucapparenx 
fi^ra LX . quodeft intclligcndum.ac fi EH elTctin EN, planumqne 
HX tiicrit fubie^o plano erc^m .Tucrit^Hc DK in SF, pJanumque 
DGR(L fubicito plano erefium, Uneaque DA fimilitcrcrcaa. tunc fi 
flicrit EY quoque ereila , erunt pun£la TY vnum pundhim. fi igimr 
per lineam QR intelligatur planum fiibieQo plano xquidiftans, in quo 
quideni intelligitur altera baut prifmatis, conltat lineam prifinatis fupra 
ZC altitu^ne KP in feftione apparere in YV > vt ex eadem dcmonilra» 
tioiic colligere licet . quod £iccre oportebat. 

Praxis autem , qux hanc icquitur , fiet abfque lineis DG GR KT. 
quarum loco dcfcruicnt SZ ZC FN. vt in eodem problemate diximui. 

PROBLEMA PROPOSITIO. VII. 

■ ) 

Propofimm fic deciraonono modo problema ab- 
lolucrc/. 


Sit pandum S difiantip. 

Se SA oculi altitudo, atque 
BHrXefikioaM^nea.iStvtinA F. 
yigcllmaqu wrta fecundi hu- uu 
iui ducatur, 5(^, dnatnr- y.i, 
duc C^L ipfi BH perpen. 
oiciUasisi'mt4ucfVt'.S£j adl r^ 
CQi, ita. SA ad puns :>.* 
dum quidem L ipfiim C 

rcptxfcntabit. At pro alti* 

tudme inqcniendx ducatiic< r i 
EK ipfi BH xquimfians' 
fccundfim altimdmem P, 
quf; quidem deptirmatis^U 
Htudo. Deinde fiat^ST e* 
qualis ipfi P, NuncintelU» 


M 

J. 


.. t4 

^ ,x 






gacur 


i. 


gamr planum pct EK AibicQo plano zquidiftans . fupra quod oculi aid' 
nidocd TA. quare transfcranirpctpcndicularitcrpunaum Q_in 1, v* 
fxpidi^mdl.ducatur^uc IN ipli EC perpendicularis, deinde fiatfi* 
cur se ad CC^., ita TA ad INj ea demonftratiserit N punOumque- 
Gtum . eodemque modo inuenientur alia pundi. Ex quibus apparens &• 


gura confulget l quod facere oportebat . 
Quod fi P fuerit i ' 


LIBER TeRTIVS. 




' apparens f 

maior, qtiim SA, tunccxceflus erit oculi altitudo, 

quzcft infra planum duffum per EKi aeque tunc linea IN ducenda efiet 
infra £K, hoc eft verius BH. 

PROBLEMA PROPOSITIO. VIII. 

Propoli tum autem fit vigefimotcitio modo problema^ 
pcrficcro . 

Ea exponantur, qus in 
vigcfimaoQaui propofitio 
W libri prf cedentis espofi 
ta fuere; fimiliquc modo 
intelliganmr i fitque ptifi 
matis bafis BCD iiifubie» 
flo plano, in quo fit Ibttio» 
ms linea BR.', pnfmatis 
vero altimdo fit P. Dcin. 
de fumantur punfia HK , 
qux4 Imea BR magis di* 
fient, qui m BCD - Inue- 
nianmrduc punda LM , 
qux m Icdione otlcndant 
punda HK . Deinceps 
ducitur KCR HCQ; lun- 
ganrurqu: RM QL, qup 
Icfcccntin O. patet pun- 
ctum O ipfuin e reprxfcntarc. Pariq^uc ratione inueniatur punitum 
F ipfum D ofiendenSi ira vtfigura BOF oftendat BCD, Pro altitudine 
autem ducaturiinca EV fecundum altitudinem P; inucnianturquequo» 




nimpun^ium N oftcndctpundiumlupra C rcipondcnsalutudinc 
Jta in aliis . quod facere oportebat. 

lDhac,yclotiinaliisquoquqfiducetaurlinca.ON ipfis BR EV per. 

pcndicularis , altera tantum YG , vel VT inucnictur punitum N ; vt 
antea oftcnlumcfi. 

. ■ ; : : ':vi( ' / : M ' : ^ ^ 

T^onnulti , 'vt ddtum pri/htM in /tetione reprn/tntent , Juo ft» 
mU prifmMn inntmnnt j prr. cnins iattiligencU hoc prius nmujje 
oportet . 


Ea}. 

itu. 


Q_* 


"Catum 


k 


16. yndt 
(mh 



124 P-E R S P E C T I V AE 

Damm fit pnfma FGH MNOt cu« 
ius bafis FGH fit in lubicao plano . • *• 

oportcatque prifinatis altitudinem lolo 
pundo linearum concurius inucnirc. ex- 
ponatur alterum prilma DQ EP. eu» 
lus bales DQ EP fint parallclogram- 
ma;fitdue Di^. m eodem plano FGHt 
hoccitfit in iubieao plano > amborum 
autem prirmatum altitudines fint pqua- 
les,& fubiedo plano perpendiculares ; 
erit vtique bafis EP in eodem plano 
cum MNOi crunt^ne pnfmatnm alti- 
tudines GM DE intctfc xquales , & fu- 
biedo plano cre^x . fi igitur per GM 
ducatur planum plano £K parallclumi 
, vt GILM; etitiani GI ipfi DK equi- 
diftans, IL ipfi DE, & LM ipfi IG, 
ac per confequens ipfi DK parallela ; 
vudc5r GM prifmatis altitudo ipfi IL 
xqualis cxiftit. 


PROBLEMA PROPOSITIO. VIIlI, 


Datum prifma ( vt antea ) in fedtione reprafenurt.. 


Damm fit ptifina, cuius bafis ABC fit in fiibieUo plano, altitudo autem 
fit DE. Deferibamt circa ABC parallelogrammum DTVK, quod qui- 
dem intclHMtur bafis alterius prifmatis, cuius altitudo fit eadem DE. In- 
telligatui DK fefhonis linea, X punQum coucurfutipfarum DT KV. 
firqueinuenta figura in feaioneapparens FGH, quxbafim ABC often. 
dat. quam quidem inueniunt fecundo modo,vt in docimaoOaua fecun- 
dihuuislibritctulimus. Deinde ponaturaltitudo DE perpendicularis ip- 
fi DK, ducanturijuc DR. ES, qux tendant ad X; lineavnque DR in 
ie^oneefiendet latus TD, lineavero ES parallelum latus ollendet ipfi 
TD. Deindeducatut GI patallelaipfi DK, quxfecct DR in I, dem- 
deducatur IL ipfi DE xquidifians, qnx fccet ES in Lt ducaturdue 
LM ipfi DK «quidiftans; denique ducatur GM ipfi IL parallela , qux 
fccct LM in Mi nimirum puntli fiipra B altitudinem ex difhs in leOio- 
ne ollendet pundlum Mi dcitamali;s. quodfacercoponcbat. 

PROBLEMA PROPOSITIO. X. 

VigeCmoprimo modo tpcz&tfim prilma' m (cifliono 
reprxlcntare., . 



Exponantur 


LIBER TbKTlYSH 



Exponantur ca.qux in vigcCnulcxuptopoCtioncprKcedentis libri cx- 
poGta tuere : vc fit A oculus, S pun^m ilifWibfix, 'BH ibOidms linCa, 
prilhia vero , vt antea , (taiuin fit BCUEFK. ducaturque SO ipfi BH 
zquiJi(lans,dtipfi SA zqualis. oponct figuram in IcOionc apparentem 
inuenire , quz oatum prilma rcprxfenta . Primum quidem inucniatur 
pundum L, vbilcilicctappatctpundum Cmempidudis SQC tiHC, 
ladaque QL in fcdionc ipfi BH perpendiculari , Se ipfi zquab. 
Proaltitudincautcm vtinuenuinus, vbipundum F i nl^cUbne apparet, 
ducatur in futiicdo plano linea CP ad panem SG, fi'at i^fi CF e- 
qualis.&ipfi BH parallela, iungaturque OPi qux BH' fccetln Ripr^ 
ducaturque QL in N/ fiatque aqualis HR. Dico^undtim F in 
N apparere. Quoniam enim SA sG liint aquales, & QL QH xqud- 
Ics, erit AS aT LQ vt SG ad QHj Vr autem AS 'ad LQ_, ita AC 
ad CL , & vt SG aa Q]^i ita GC ad CHi erco ita cll AC ad CL, 
vt GC ad CH. & pet coriuerfionem rationis c3a id AL,' vt CG id 
GH. Quoniam autetri CF CP fiint zquales, veluti LFf HR equales ; 
erit Crad LN, vt CPidHRi vtautem GP ad’MR’,'fti cft CO ad 
GH, hocefi CA ad AL; ergo dF-ad'LN cft, vt'CA ad' ALv Qjia-, 
re Vifiialis radias FA ^ N tranfibit (. funt quippe 'CF QN parallcTe ) 
pundum igitur F in N apparet , lincaque FC ih 'JHr; '‘^ii-ih alijl , 
quibus figutamm fedionc apparerem inucnieraus. quod facere oportebat. 

j 

.i IX ci L' t A R I 


Exi./ixtu 

|£xii.fw 

u, 

Icw. ip. 
'fluari. 

j£X4./f*. 

o. 

12. pruni 
huua I 


tOItb C 
c oai;lq't> 

' .li Jlwi e )- 


Iioc'^erfOTtatim 'eft fi '{blldi altinidinfcy CT Blf! 
DK fircriht inrqii^^s; d6dem’|)r6Tfus modoloperatronciiii 
perfici poflo. •' ' "■ ■ -i < :-* i 

-t. - prTobTet 


71? P E R S P E C T I V AE 


PROBLEMA PROPOSITIO. XI. 

•i Oculo dato, datocjuc lolido , cuius altera bafls Ht in fu 
biciflo plano , ftantcs vero flnt fubicclo plano cio^tx , qurc 
inccrfc line in^qualcs} in propoli ta Icdione lubicdo plano 
creda figuram apparentem deferibero . 

Problema ver6 fieri debeat, vt in pratcedenti. 

Sit S punftam diftan. 
tis, SA oculi altitudo ip- 
fi BH fcdionis linea; pa> 
rallcla : baiis vero folidi in 
fubie^o plano iit BCD \ 
altitudo autem pun^ fu> 
pra C perpendiculariter 
exiftentis iit ipii F xqua* 
lis I puncti vero iupra B al. 
tituaoiitxqiialis U; pun- 
Ou autem iupra D exi. 
ftentis fit ipii K xqualis . 
ex vigeftmafexta lecun> 
di huius , & ex prxee- 
denti inueniamr in ieOio» , ' 
ne figura BLM.quxipfam | | 

BCD reprxfentft . deinde 1 { [ 
ducatur CP ipii BH cqui-£UF 
diftans , &ipii F xqualis. 

Ducatur«iuc PRA t pro- . j 

ducaturque QL in N; hatque LK xqualis HR> pundum vtique N 
oilcndct folidi pnndum fupra C exittens alutudine F . iimilitcr duca- 
tur DT xqualis K. & ipii BH parallela; it Iccundiim altitudinem DT 
inueniatur pundum 0> duda MO. oIlcndet voque pundum O folidi 
pundum fupra D cxiiicns alritudine K . Quoniam autem pundum B 
. eft in fedione , ducatur BE ipii BH perpendicularis , qui fiat xqualis 
’ G) pundum quidem E olicuact iolidi piuidum fupra B cxiftcus altu 
tudine C. iundis igitur pundis MEO. figura BLMEMO datum ibli> 
dum reprxientabit i eritque propterea figura in fedione ap. 

patens . quod facere oporte|»(. 


PROBLEMA propositio. XII. 

IjfUem politis , dato vbicunque pundio l in quolibet., 
latere , quod folidi latus cretura oftendat, puniftum Ibli- 
di inuenife, quod appareat in I. 

“ ^ " Qlioniam 



liber :TERTI>V5. 


127 


Quoniam igitnt 1 dlm linea NLQ,. fiat QV xqualis QI, ducatur^ 
ducXVX, qux CP fecct in X . Quoniam enim C ap^ct in L , & CX 
cft Unex BR. zquidiftans , dufta4uc cft XVA,>dc eft xqualis Qij ; 
ergo, reliqua LI ipfi HV xqualis exiftet. quare punihim fupra C alti- 
tudine CX apparet in 1 . quod Eicerc oponebat . 


problema propositio, xm. 


Figuram apparentem , quae flmiliter datum ( vt antea> ) 
folidum leprzfentet , cuius ftantes iint in^qualesi, in 
nenirc/ . 

Problema autem fieri debeat fecundum decimumquin- 
tinn modunit. i 


. inlr 


. c>. XP! ,i J Ui 51... 


■ • 1 


X. 


.V 


Exemplum atralimus , 
vt fecundo modo ibidem 
diximus, fitenim BH fe- 
fUonis linea , bafis ver6 
(olidi (it BCD i altitudo 
autem punfti fupra D exi. 
ftentism xqualis F; pun. 
fti veto B (It ipll G X- 
qualis ipunfii vero C (It , 
ipfi K xqualis. inucniai>.‘{ 
turvtin vigefima propo- 
(Itione (iKundi libri pun- 
di VX conairfus ; inue. 
niamr^c figura BLMba- 
fim BCD rcprzfentans . 
deinde ducatur PO (c- 
aindumalutudincm F ip- 
fi BH xquidiftansi & ex 
fecunda huius propofitio- 
neinucniatur pu^m O, 
qu^ oftendat pundum 

(upra D cxiftensaltimdi» „ . . ,, , 

ne F. deinde ducatur B.T fecundum altitudinem K ipfi BH parallel^ 
inueniaturquefimilitcrpunfhim N, ouodr^rxlentetpunOTm (upra C 
exifient altitudine K. deinde ducatur BE ipfi BH pi^MndiOilai^» <)ux 
fiat .xqualis G. pundum quidem E erit ponanm (olim, ac.propte^ 
oftcMCt pimdum (upra B cuiftens attiitfdine G. iundis igitur punais 
NEO. iidisauc lil WO,. ctit BLMNEO figuta in (iJdiwc,?BBa^ 
rens . quandoquidem datum (olidum icpr.xfcntat • quod facete opottebat 
■ Omnibus aliis quoque m®dls‘de(cribendi ‘(^Msin (c^tmeupparentes 
HatumhuiufmodKblidumdefcribeteexdifhstacili poterimus.. ■ 





COROL- 


128 P.E Ris P. E C T I V AE 


CORO L L A'R I V M. 


Ex his conllat dato pundlo in TubiciSlo plano , fupra^ 
quod pc^pcndiculariter alterum, At quoque d^cum in .fubli- 
mi , in fedione fubiedo planb tfr^da omnibus mddis am- 
bo reprxfcntari polTo. 


«PROBLEMA PROPOSITIO. XIIII. 


Ijfdem poAtis , Dato in linea MO vbicunque pun<^o 
O, hoc quoque modo altitudinem punAi fupra D, quod 
appareat in O, inuenirc/ . 


Ducatur linea XO; de- y. 
indedpundto D ducatur 
DH ipfi BH perpendi- 
cularis, qu® produftaip- — 
£i XO occurrat in Q. Di- 
co pun£):um fupra D al- 
titudine HQ apparere in 
O . vt pater, fi intelliga-y 
trr I tu Q£- «quidiftaiil ^ 

HB. Nam ex didis pun. 
dum fupra D altitudine 
iHQ. apparet in linea QX, 
fcd apparet etiam in li- 
nca MO ,■ ergo apparet 
in O. quod ucerc opor- 
tebat . 




K'. : 

L 

, . V 



, ^4 • ' 

exih^Hx trd£tt funt , fiUit omnU ,qux later* fublefto 
hahtMt erecta , iu erecta fictione rtfTafintare chenerimnt > 
^oQijut tomprahenduntnr rectan^la j qma tamen fa- 
ciliori adhuc quodam mado dtferibi pojjuat ; ideo hac quandoque pro- 
fiquiplacuie. . 

~ TROBTET" 


TeRTj vs. 129 


.1 

problema propositio. XV. 

r 

Oculo dato , datoque Iblido redangalo ex (olidis re- 
dangulis conftans, cuius bafis in fubicdo plano cxiftat^ , 
habcacque vnum latus fefiionis lincz zquidifiaas, in crc- 
da fc^onc figuram apparentem defcribcrc.. 


'Da(t folkU baGs (It CE 
( cxcmplufh autem fit , vt . 
initio pricedentis libti dc X 
fceundo modo propofiu- „ 
QiusJ&in CE fitlincac* ' 

L ipfi BE MtallcU.cx M , 
vao ipfi BC xquidiftans; ' . 
deindeex vigefimanona lir . 
brl przccdcntis irt fcftioilc 
inneniatut figura -HK. . qu a; 
ipfam BD cum fuis parat- , , ^ 
Iclogtammis rcprxfenrct'; 
deinde inucniatur punflum^ 
quod in TcAione often ' ' 
datpunflum fupra D alti, 
itudine Pi ita vt P fitaln- 
, tudo (olidi data . ab arigulif* 
tjuc figutz HK ipfi BQ 



t*e— 

r 

n 

z 


•i 

K! 

r 

Y 








T" 


petpendicubres ducantur, 

&a puniloO diieatur QT. — 

qux tendat a3 X , & QV 
ipfi FG iquidiftans , quz 

dudas perpendiculares (ccent. eodemque modo fiat ab alijs angulis terit- 
que ex iis, qux antea oftenla funt, HQ. apparens figura . quod lacerc 
opoKcbat . 

Quodfi bafes fuerint parallelogrammx, etiam finon fuerint reSangu» 
Iz^rxtcreaque nullum latus Icaioms linez fuerit xquidiftans, duobus 
punftis concurfus facili folidum apparens, cxijs, qux difU funt, prxei- 
pufc vct6cxtrigclknaptxccdcntis libridclctibetqf. 

P R O P O SITJ O. XVI; 

Si pyramis fccetur plano ba(i zquidifiante * figura itL, 
jfcdionc bafi fimilis' erit, & fimiliicr pofitz. . 

i Sjt pyramidis vertex A, bafisque BCDEt fcceturquc pyramis plano 
• bali xquidiftantc ; figuraque in tedionc fit FGHK. Dico FGHK ipfi 
BCDE fimilcm efle, ac C militer poCtain. Quoniam eni m BA CA pu* 

i’! • I R 


tx prMt 
dentUms. 


blMS, 



PH* 
f . /f 

} 0 . »aie- 

flM. 


Ex^^feX’ 

*<• 

}6> 


z^.fecux’ 
dt buiuf . 



130 PER S;P. iE C J I V AE 

nis diuidimtiirparallclis.crit BF ad FA, 

Vt CG ad GA( cjuarc FG cft ipfi BC 
'arallcla. codcmqntf jividd^ olfontknici 
3H ipfi Cl>, HK ipfi DE, & KF ip- 
i EB parallelam cxiftcrc. Quoniam igi- 
.ut FG GH funtipfis BCiiD paralie,^ 

X, erit angulus FGH an^o BCD as* 
qualis 1 ob eaiidemquc caulam angulus 
GHK ipfi GPE, & HKF ipfi DEB 
iequalis exifiet. At verd quoniam FG 
fcft ipd BC parallela , em triangulum 
lABC trangulo AFG fimilc } crirq-, CA 
bd AG, vt BC ad FG. eademque ra- 
tione oftcndemr CA ad AG ita efle, 
vt CD ad GH. ergo erit BC ad FG, 
vt CD ad GH. 3cpermuwndo BC ad 
GD, vt FG ad GH. pari^ue tationc oOrnietur CD ad DE ita eflF. 
vt GH ad HK , & DE ad EB, vt HK ad KF, Cum igitur figura 
FGHK angulos habeat *qu,ilcs ipfi BCDt, & circa xquales angulos la- 
tera proportionalia; erit FGHK fimilis ii'fi BCDE. EIF autem fimilitet 
polita, quoniam &anguli ,& proportionalia iateraadealdcmfunt panes, 
quoddemonftrarcoportcbar- ‘ 

Qu6d fi BCDE fiierit bafis coni, cuius vertex A, ex Apollonio in quar- 
ta ptopofitionc primi libri pater figuiam FGHK circulum quoque efle. ^ 

PROBLEMA PROPOSITIO. XVII. 

Oculo dato , datoque folido rcdlangulo , cuius bafis Cit, 
in fubiciflo plano , vnumque latus Iit Iciflionis lincz xqut* 
didans; in cremia Ic^ionc figuram apparentem deferibere. 

Sit' daram pnnihim S 
dillantiz,ocuIiquc altitu- ^ 
do SA; (itque feaioni» 
linea FG; bafisquetblidi 
BO. cuius latus BE fit 
FQ arquidifians . oportet 
II) erefta fcclione figuram 
apparentem deferibere. 

Quoniam enim folidum 
rcclangulum eft danmi , 
data quoque erit figura 
fupra BE ad rc^os anttu- 
los plano BD. quare ex- 

f ionatur linea HK equa< 

IS BE , & lupta HK de- 
feribatur figura reilFangula 
HL, qux fit aiqualis ei, 
qux fupra BE plano BD- 
clt creCta . Deinde inue 
niamrfigura MNOP.quq 
in fcaione iplam ED n.« 


K 


H 


in M 


-.A 


prifcncct* 


jrxfentct . & quoniam BE FG fumparallclx.lcaioquc lupra FG lu 
>ic{Fo plano inteJligimi crrda ; fimilitcr planum rc£tangu!i fupra BE 
eiiftencis cft eidem i'ubie£Fo plano crcQum , eririgimr hoc planum fcf 
£boni fquididans . fi igitur intcliiganrar viAiales radij i terminic fi* 
ur« fupra BE exiftentis ad oculum» qutifcdionc diuifi intellizantut ( 
.jgura in fcaione fimilis erit > dc fimilitcr pofita , vt ca , qua: cit fupra 
SI. hoc eft fimilii figune HL. At vero quoniam MN infcttioncip* 
iam BE oftendit» fiigiturfupcrlinea MN acfcribaturfimra MNQR, fi* 
mihsipfi HL, & fimilitcr pofita, oftendet figura MQJiguram , qua: eft 
fupra BE* Pariqucrationcoilcndcturlblidingurani, qux cfi fupra CD 
cflelc&onixquidiftanKin; ac proptcrcain Icaioncapparcre in figura fibi 
fimili . Cum autem datum folidum fit redangulum , figura, qux eft fu* 
ra CD, critprorfuszqualisci,quzcIlfupra BEi quare zqualis erit ip« 
J HL. & quoniam in fefiioneinuenta eft OP ipfam DC rcprzfentansi 
fiigitur fupra OP fiat figura OTVP fimilis, & fimilitcr pofita, vt HL, 
conitar figuram PT figuram, quz cll fupra CD, reprzientare , iundis 
igitur B.V figura MT damm folidum in feftionc ofiendet • ergq 
MT figuramlcftioncappatcns cxiltit. quod facete oportebat. 




Cx prdcci 
denti. 


'Prtxis buiufiiodi omnil/us qtttque fufmuibus MctmmtdMi fott- 
rit,/ed hoc modo . 


problema'" 


Propositio. 


• VH 

XVIII. 


Oculo dato , datoque prifmate, cuius parall.clogramma 
(Inc rcdangula, quofum alterum la fubie^o fit plano, 
quod quidem balislacus habeatitifiiouislinexsequitliUaDl, 
in erecta fcctione iiguram apparetitcin deiciibeiC',’ 


g: ■ 


Sitvtinprz 
cedentis pun* ^ 

ftumdiltatiz, i''' 
SAocuhaltitu I 
do,- alterum- I 
que pnfinatis i ' 
parallelogra— 
mum BCDE " 
fit in fiibie^ 
plano , cuius 
bafis latus BE 





nez rv4 ?quf ~ ^ 

dillans. opot* 

tctinereoafc ' 

fiionc figuri 

apparentem 

dclcribete.cx- 

loonatur HK r. 

, -Y c.*. 

//Tl 

A . 

IzqualisBE.dc 



.\ unv ‘ 


At.A 






I V P E R S P E C T I V AE 



M H 


fupra HK figura defcribarar HL . qax fit xqualis baC ptirmati* t deinde 
mfcaroncfiguwinueni^r MNOP. qux BD rcprxfcntet. & vtinptc- 
cedenn.oftendctur bafisprifmads fupra BE exiftens efle feaioni equidi- 
ftans, vej^aenam cft bafij fupra CD exiftens; cum prifmatu patJlclo- 

grammafintrcaangnla.qupcffidunt, vtbafcsparallclogrammisad redos 
fintanmiosi qux quidem l^esinterfc, ac per confcqucnsipfi HL equa- 
Jcjcxilhint.&quoniaminfedione MN ipfam BE oftendit, & PO ip- 
fam Cp. fi iwtur fupra MN PO figunedeferibantut MQ PX finulcs, 
& fimiUter pofitx, vt HL, confiat MQ.baCm prifinatis Kpra DE exh 
ften^rep^rxfent^c, PT Tcrdeam, qux fupra CD exifiit ; quare iun- 
tolmeisabMgubsfigurx MQ.adangulosfigurx PT.qux anmlisequa- 
libus tef^ondeant, vt QT, &c. figura MT datum prifma rWkita- 
bit i cntqnc proptcrei MT figura in (eOione apparens . o " 
oportebat. ^ 


quod heere 


Jn dtjcrtbeniit 'm fectiont fibris , tx tblect» «ppatnttm 
r*m initenirtt*nqi4*mneccjf*rium 'viittnr\ 'vt, qucmndmaHu»» ero-’ 
lo fi offirt obitttum , in fictione defcrtbi fojsit j tj^uod querneus 'zu-l 
rum fit , tamen non eji netejferii 'mtelligendum, yt actu femfser obieJ 
ctum exiflati nam aliquando illud mente tantum concipere fufficit 
'Vt ex eo ^patens figura inueniri poftit j ita •vt ah f que tbiteto actu' 
f^ifttnte apparens figura inuenta fit , 'Vt in /equenti | 

PROBLEMA PROPOSITIO. XIX. 

Per paiK^a concurTut abique obicdio figuram in erecta^' 

fedione 


fecdonc appareatcm , /que pnrma quo(ldam , cuius paul- 
leiogramma fint tcctangula , ollcndat, iqueniro. 


LIBER TERTIVS;: 


«35 


Exponaturtanquam in , 
feaione tedilinca figura 
( vt libuerit ) BCDEF, qo; aL 
intclligatur baflspnlmati* 

■n fcdionc repnuentata . 
fontani igitur opoitet 
pnirna ofteodete, cuius 
parallclogramma funt re- 
^ngula > ducatur fcdio> 
nis iinea > vel intclliganir 
BF Icddonis linea 1 Dcin> 
de ducatur VX ?quW|« 
lians BF , diftcntquc U- 
nez VX BF iDterle . 
quanta cft oculi altitudo > 
quam concipimus elTe lor 
pra fubie&um planum . 
Deinde fi produceretur 


2 V 



BC vfqnead lineam VX, 
tendat BC in T. CD in V 
Z. ED in X, & FE in 
V. Deindequoniamprif* 
matis parallclogramma fuiTtrcaantala')cruDt latera fiibiedopianoercaai 
quareapunais BCDEF ipfi BF ducamur perpendiculares BG CH DI 
EK FL, quz quidem oftendent latela piifirutii, fiatqiic BG fecundum 
altitudinem , quam volumus cfl^ih (cAizfic . Deinde quoniam figura, qup 
cftipfi BE oppofita,efiipfizquidiflans,dcfimilitcr pofita,ita vt vnum< 
quodquclamsfitvnicuiquelatCTifigurp BE sequidifiansiprimumigrtur, 
quoniam BF ettlcQionis linea, ducatur GL ipfi BF zquidtflans, dein* 
de duc.mir GH in T, fecctqoc GH lineam CH in H, ducatur deinde 
HI in Z, IK in X.iungaturd; LK. critq; inuenta altera bafis GHIKL. 
Nam primum BF GL paralielz apparent, fimiliter quoniam BC GH 
in idem punOum concurlus tendunt, pquidifhmtcs lineas rep>ra;rcmabunti 
vcluri quoqiie CD HI, quz tendunt in Z. fimili modo quia ED KI 
tendunt in X, lineas rcprzfentabunt parallelas, vnde necellcoft FE LK^ 
parallelas quoque in fcwone oftenderc . Fundia enim FE LK termini 
luntlincarum zqualium,& zquidillantium apparentium ivnde iplz quo- 
que FE LK zquidillantcs lineas teprzlcntabunt;&:propterea tendent in 
V. & hoc modo inuentaefi apparens figura BK abfque obiero, prilina 
oftendens, quod Acete opottebat. 

J^IoJhs bic plurimum conjtrt *J praxim perfptctiure i n*m (i Jt- 

tum Jutrit puactum , <vt , «porieatjue Imetm ductrt , qurt li- 

'ne»m reprrefemet ptnUiUm Itatis , (jux lippuretit in CT> fil, *hf~ 

tput obtecto (letim dnettur , tfute tendet in Z quonum enim 

C O NM H l in idem punctum concurfus tendunt , neceffitrio ptrel- 

_ 


£xa6. fri 
hiUMI. 
Eiexj.tu 


MxiVi9- 
pram btf 


P ' Em ■£ plere y . i ^ At 


1^ 4 T— 

i tUi 'X€fTe]tnuAmt v'f «(( ^d(W» usitjnK jitu {tmt , 

VAnifefid 1 c ii ■^■- *i .1^^ >*;>I 

Si veri intelligamus prifmt h*fm hthert ptrdUtlogrummem ,foli- 
'um Afferens defcrihtmM ,njt OP . ^ , t 

Verum fertim ex obtecto , fertim 'vero xbfyue ebiecte fftfixA Jr- 
^cribemus, fi friis ex obtecto tn fecttone deJeribAtur a ff arent figura 
*iCT>EF i deinde catera {'vt dictum efi ) fiant . 

^od fi fUna FC 'BH angulum datum refrafentore 'volueri- 
mus, ab/que obiecto fex trigefimaquinta frkcedentis libri ^ fiat an. 
^vulus FBC , qut in fecttone datum angulum oftendat, extera 'veri 
^odem prorfus medo defiribantur ,tunc plana' FG BH (ub dato an- 
gulo exifiere apparebunt . quod idemreltqeus planis fieri petetit . 

^ Traterea ex iis, qua in vigefimanona, ac-trigefima pracedentit li- 
bri, irin decimaquinta , decimaque feptima' huius dteta funt , fimi, 
it modo abfque obtecto figuras apparentes , ftue plana , fiue /ohda 
oilendentes, cr ex his alias multas facile quoque mueniemus,irqui 
in hac praxi aliquantulum Je exercuerint plurima obtecta abfqut 
ichnographia in fecttone reprafentare 'valebunt . V eluti quoque, cum 
de /cenis pertractabimus , alio tamen modo abfque ichnographia multa 
reprafentare docebimus . uAmplius ( rvt dixtmus) multa oiiecta quo- 
que parim abfque ichnographia , f ariim vero ichnographia Jacili in 
fecttone inuentre poterimui < Std prtcfiptfi, quando multa Imea pa 
rdllelt rtprajentanda oeturrunt , fequenti Itbro quoque ferfipi. 
CHum erit . |i . 

Hucufque quando prifmata fuas habent bafes in fubiecto plano 
quorum paraUelogramma funt rectangula , puncta concurfus Jemfer 
j.,'. t/fe debere itr linea fectionis linea parallela , 'Vt i» l^X, ex its,qua 
dittsfunt , tanquam necefiarium 'videtur . quoniam tamen ab aliis 
alia puncta circa hae obtecta inuenta ejje 'videntur , ideo breutttr ea 
quoque eonfiderabimus , hoc eodem , quo ipfi Vtuntur, exemplo 

Cubum f" quippe qui prifma qiioddam ell ) conftituunt in IcQionc 
reprzientatum , vt ABCDEFIGt cuiiis quidem latera AE BF CI DG 
in X tendant, ita vt X punQum Ct concurfus . Deinde ducunt AFH 
PIH. a? quoniam AF DI oftendunt Irneas parallelas , funtdiame. 
tfi quadratorum oppofitorum, que quidem quadrata in Icfliooe apparent 
in ABFE DCIG , propterca AF Pl in H punaum concurfus couue- 
njcnt.duaaquc HX, erit hic (eaionis line* parallela . ut^uc fcaionis 
linea AB. eademque ratione dua* BE CG in K concurrent , critc^c 
Kin linea HX. qu* quidJomniaabipfispraaici tantum cognita, 4 nobis 
iheotict demonlirata fiint. quoniam line* BF BE AF, Aipfisxquidi- 
»_• (ftautes in uunaa concurrunt, qu* funt, vt oculus, pquzaltai Cquidcm 

wuhmusu I 



LIBER TERTIVS. 




X 


1 

K 

-1 


-,yy^ 

I . 

f 

1* 

V 

A. 


BF BE AF oftcn. 

(iuntlinusin fubie- 
Cto piano ciiftcntcs. 

Prxtcrca apparcn. 
tium quadratorum 
ADGH BCIF du. 
eunt diametri DE 
CF,quxin L con- 
currunt» cuius qui- 
dem punQi nullam 
nos recilTc mentio- 
nem viderar. Atta- 
men (I reQi omnia 
confldetauetimus , 
punftiim L Ril a- 
Jind cQc, qudm pun- 
aum concurfus re- 
periemus . Kam du- 
fta XL, eritvtique 
XL ipfi DA equi- 
diBans,eft enim pet- 

Ipcaiua altero modo conlMctata i eteninvfi inteHjgatur DA (cftionis linea, 
intelligaturq; figuram ADGE quadiatucubiinrubieaoplanoexiftcnsre- 
przlcntare,erit fani linea XL fecundum altitudinem oculi fiipra (iibic- 
aum planum ; eritque in LX punaum L ranaum concur(u»< F4tiq; 
ratione fl ducantur diametri apparentes AGM BIN, hz quQqneii^.vuum 
punaumconcurrent, qutHlentquidcminlinca LX< quz quidem ex di- 
ais manifcfta funr. Cxterum pomuniis has lineas alio quoque mociocon* 
iiderarc , nempe vt fit linea AB fimper fcaiopis linea, fit^uc HXK fe- 
cundumaltitudincm oculi, vtpriusdiaomefl; ex quibus perfpicuum eft 
omnes lineas AE AF BE, & hanim parallelas in pimaa concurfus ten- 
dere, quxquidemin linea HK exiftent. quia line* AE AF BE Uncas j 
in fubicao plano exiftentes rcprxfcntant . line* vct6 DE CF, 

BI , & quz ipfis fuerint uarallclz, in punaa quidem concurfus conucnient, 
quippe quz tamen in HK efle non polTunt, quia lincz DE CF, vclutii 
AG BI non oftendunt lineas in fubicao plano cxiAentcs. ac proptcrcal,- ■ 
punaum L, &huiufmodialiadiuctfospoflunthabcrcfitus,diuctIas4uC|12^^""* 
altitudines. ^ 


tAmeq$i*m dutem ad mH* foliit inuttjicndd , in ftetientqut rtfrt- 
fentdad* dcmtnUmus t cd , qute hdctenus in ertctd fictimt inuentd 
funt , quamodt in ditis quoque fectionihus , prxeipuique in' ftetione 
ittclindtd inuenidfttur , congruum nobis ti/tem $li oHendorei Vt qud 
/nuiniendd rtlinquuntur ^ omnibns jisnul fictionibus dpttri pofsint. 

LEMMA. 


Data linea , pundogae eitra ipfam dato, ab ipfo lineam 


duccro. 




ijitlzefl F 


nS PERSPECTIVAE 



j 1. prhm 
tx ij.pri 
mi’ 


duccrc , qua: cum data linea angulum dato angulo acuto 
a:qualcm efficiat^ t ' 

Sit data linea BC," datum vero punflum A 
extra Uncam» fitque datus angulus acutus DEF. 
oportet i punAo A lineam AC ducete» qu® 
angulum ACB dato angulo DEF iqualcm^ 
efficiat . Producatur DE in G ; & ipfi DG 
perpendicularis agatur EH « Deinde a punilo A 
ad BC perpendicularis ducatur AB,- deinde 
fiatangulus BAC aequalis angulo HEF ■ Quo- 
niam enim angulus ABC cft xqualis angulo ^ 

GEH, cum fintreai, angulus vero BAC cft 
angulo HEF aqualis, erit reliquus angulus ACB 

reliquo FED xqualis. cum fint trcsanguli trianguli duobus reOisf qua 
Ics i quandoquidem funt QEH HEF FED duobus redis squales, quare 
angulus e dato angulo acuto DEF squalis exiftit. quodficri oportebat- 

PROBLEMA PROPOSITIO. XX. 

. 11 ... •' } 

Dato oculo , datiscjuc parallelis lineis in fubicclo plano 
'exiftentibus , qua fuit IciLlionis line? perpendiculares, fc 
dio autem fit lubicdo. plano inclinata, pundum in fcdlio 
ne concurfus inuenirc.> . 

Dams fit oculus in A, i 
quo ducatur AS fubicdto 
plano perpendicularis, fit- 
gue BF in fuMcfto plano 
lenonis linea . 1'cdio au- 
tciii fit lubiedo plano m- 
clinata , cuius fit K indi» e 
nationis angulus, dati ve- 
ro paraliels lines in fubip- E 
Qo phmo cxiflentes , fint 
BC pE FG, qusfintipfi 
BF perpendiculares. opor» 
tetin fcdionc pundu con- “ 
cutfus inucnirc. Ducatut 

SP ipfi BF perpendicula- l 

ris , qus nimirum ipfis BC DE FG erit xquidiftans. deinceps a pundo 
A linea ducatut AH, qus angulum AHS angulo K squalem cfficiatt 
in fedionc autem dpundp P ducatur PX ipfi BF perpendicularis, qus 
fiat squalis AH. Dico pundum X efic pundum concurfus, ita vt BC 
PE FG appareant in icdionc in lineis BX DX FX. lungatur AX; &4 
pundo X ad SP ducamr perpendicularis XLt Quoniam enim XP eft 
ipfi BF perpendicularis, & in fubiedo plano PS cft ipfi BF pcrpcndicu- 
Zxtx.yn. laris, cftquc XL ipfi PS perpendicularis; e rit XL fubiedo plano creda. 
fUcimt’ ' quate | 


in 



.8r pTtee- 
lUiui. 


3 


XV. 


PROPOSITIO 

- - • - I . • 

- 1 ..' 1 > 

Oculo dato , datoc^ue fiilidb .t^angulo cx (olidis rc- 
Aangulis conftans, cuius bafis in fubiedo plano cxi(lat^.> 
habcatc[uc vnum latus (cQionislincz atquidiftans , in ~ 
&a. fc&ione figuram apparantem defcriberc>. 

1 ) 


4 1 B ER ^T£RT ryrsj 129 


PROBLE MA 






I cre- 


• ■ ..•! .3 

.• • • -S' 

r; Ll ^ it V' 

X-, 

.1 . • 3' '>ni 

, H . ' . ■ 

(j )i - • : 

' ;i ^iiirnTi /ih 



a 

B 

T 


M ^ 

- ‘1 r-'. -. ' “ 



. A 







. 


, r 

I *!» i ^ 

e 




iii 


Dalffolidi bafis Ct CE 
( czemplufh autem (it , vt 
initio prxccdcntis libri de 
fcoindo modo, ptapQfoi' 

OiusjT&in. CE. fitlinoa es 
L ipll BE pitiUcla'. 
veto ipfi BCj jtqurdiftansi 
dcinde,cx vi^dtimanona li- 
bri ptzdciferttis !n ftftlottS 
inucntaiurE^ura .HK>/iua;. 
ipram JSD cum.fuis patii- 
lelogranWiTs teprxfcnTfct' ; * 
demdcinucniatur pun£lum 
qupd ia r<^ionc oftep-^ 
datpunftum fupra D alti, 
tudinc P i ita vt P fit alti- 
tudo folidi data . 4b angulif* 

-^uc Egura HK ipfi FQ.. 
pupcndicularcs ducantur, 

« 4 pundo O duCatur QT. ' 
qu* tendat ad X , & QV 
ipfi FG xqiiidiflans , qux ^ 
dudas perpendiculares fccent . codemque modo Eat ab a]ijs angulis; erit- 
que cx ijs, qux antea oftenfa funt, HC2. appaiens figura . quod tacere 
oportebat. 

. Quod fi bafes fuerint parallcloaammx, etiam fi non fuerint redangu. 
Ix.prxtcrcaquc nullum latus fcdionit lines fuerit xquidiflans, duoGus 
pundlis concurfus facili fblidum apparens, cxijs, qux di^ funt, prxd- 
pue verdextrigefima prxccdcntis ubtidcfciibctur. 

PROPOSITIO. XVI,i 

Si pyramis fccecur plano bafi acquidifiante » figura ia, 
(cdione bafi fimilis erit, & fimiliicr pofita^ . 

. Sit pyramidis vertex A, bafisduc BCDE, leceturduepyramis plano 
: bafi xquidiftantc j figuraque in Saionc fit FGHK. Dico FGHK. ipfi 
1 . BCDE fimilcm clTc, a c fimiliter politam. Quoniam enim BA CA pia: 

!.i -J R nis 


•+ 


.. V 
... v.i 


Sx fntec- 


r«i. a. 

hiu. 


•P,\ 


. u 



J^O 


P E R S JP -E\ C I J V. 


19. /eeim’ 
it bmiit . 



Ijusdiuiduntur parallelis, erit BF ad FA, 

Vr CG ad GA: cjuare FG cft ipfi BC 
Bu. » parallela codcmqod moddf. ftfttwaqMr 

i. lc.tu ] jH ipll Cl), HK ipfi DE, & KF ip* 
i EB parallelam exiftere. Quoniam igi- 

*tur FG funtipfis Bf* 
fo. >*fc* X, erit angulus FGH angulo BCu x< 

(MU Rualitt ob candemque caaftmiafcigolu» 

GHK ipfi CDE, & HKF ipn DEB 
squalis cxiftct. At vcr6 quopiam FG, 
fcd ij5(i BC parallela , erit trfahgnldm 
fix- ABC trangulo AFG fimile j eritq-, CA 
ti, ad AG. vt BC ad FG. cademque ra» 

Fionc oftciidcmr CA ad AG ita e(Tc, 

ii. quinti, vt CD ad GFI. ergo erit BC ad FG, 

16. ««nui. vt CD ad GH . & permutando BC ad 

CD, vt FG ad GH, patique rapone oOrndetUf CD ad DE ia efft, 
vt GH ad HK , & DE ad EB, vt HK ad KF. Cum igitur figura 
FGHK angulos habeat aroualcs ipfi BCDfc, & circa oiquales angulos la> 
tcra proportionalia; erit FGHK fimilis irfi BCDE. Eft autem finiilitet 
pofita, quoniam &anguli, &proportionaJia laicraadcaldcmfiint panes, 
quod demonfirare oportebat- 

Qu6d fi BCDE fuerit bafis coni, cuius vertex A, ex Apollonioin quar* 
ta propofiuone primi libri, patet figuiam FGHK circulum quoque cOc. ^ 

PROBLEMA PROPOSITIO. XVII. 

Oculo dato , datoque (olido redlangulo , cuius ba(is fit, 
in lubicdlo plano , vnumtjue latus (It (edlionis linex xqui- 
diftansyia crci^a (eAione (iguram apparentem de(cribcrc. 

Sit datum pnnanm S 
diftaotiz, oculique altim. 
do SA-, fitque Icdionis 
Gnea FG; bafisquefolidi 
BD.. cuius latus BE fit 
FG zquidifians. oportet 
in crccfa fcclibne figuram 
apparentem deicribere. 

C^o iiam enim folidum 
r^angulum cft d.imm , 
data quoque erit figura 
fupra BE ad reftos anju- 
los plano BD. quare ex- 
ponatur linea Hn 9qua« 
lis BE , & fupra HK de* 
feribatur figura reftangpla 
HL, qux fit xqiialis ei', 
qux fiipra BE plano BD. 
eft crctla . Deinde inue 
maturfiguta MNOP.qu? 
in Icaione iplam BD rc^ 



V 

F 


T* 

0. 




1 




p 

\| 

V 

B 

Vi ■ 

K 


-,A 


ptxfentct. 


d /L VB 3T3E91 ^ B vas3 


pnrcntct . & quonum BE FG fumparallclz, (edtioquc luura FG liij 
bicdo plano inccJligitur crcfta ; (imUiccr planum rcOanguli fupra BE 
cxiftcnm cll eidem liibiedo plano eredum , erit igitur hoc planum fc- 
dioni pquidiftans . fi igitur incciligamur vifiialcs radii i terminis fi- 
sure fupra BE exiftentis ad oculum, quii fcdionc diuifi inreUiunturc 
figura in fcdione fimilis erit , de fimilitcr pofita , vt ea , qux efi fuprai tx prxeet 
BE. hoc eft fimilis figuras HL. At vero quoniam MN in fedione ip.* dnui. 
lam BE oftendit, fiigiturfiipcrlinca MN ucfctibamr figura MNQR, fi'i 
milisipfi HL, & fimilitcr pofita, oftendet figura MQJiguram , quz cfli 
fupra BE. Parique ratione oftcndcmrlbiidihgurani, que eft fupra CD 
elle ledioni equidiftantem ; ac propterea in fcdione apparere in iigura fibi 
fimili . Ciim autem datum (olidum fit rcdanmlum , figura , que eft fu> 
pra CD, eritprorfusequalis ei, qux eft fupra BE; quare xqualisetitip< 
n HL. & quoniam in fcdione i nuen» eft OP ipfam DC reprefentanSii 
fiigitur fupra OP fiat figura OTVP fimilis, & fimiliter pouta,vt HL, 
conftat figuram PT figuram, quz eft iupra CD, rcprzfentare . iundist 
igitur QT R.V figura MT datum folidum in fedione oftendet . ergo 
MT figura in fedione apparens exiftit. quod facere oportebat. 

'Prdxis buiu/modi omniLus quotjue ptfmttihui 4tc»mm»d*ri 
ritfjed hoc modo , 


•pKp'BtEMX 


: l '■ ‘ ■ -til 

PROPOSITIO. XVIII. 


OcdIo dato , datOt^ue prifinqtc, cuius parallclogramtna 
(Ihc ret^angula , quprum, aFt^um (n 1'ubicdo fle plano, 
quod 'quidem baflslatus habeatfedionis lineat aequidillanSj 
in erecta lectione flguraol appai;cntem dcfcribcic/s 


Sitvtin prz 
eedentiSpant 
dum diftatiz, 

Sa oculi altitu 
do,- alterum- 
que pnfnutis t 
parallclojta— 
inum BCDE 
fit in fubiedo 
plano , cuius 
oafis latus BE 
fitiedionis li- 
nee EG pqui- 
diftans. opor- 
tet in eredafc 
dione figuri 
apparentem 
'delcriberd ex- 
ponatur HK 
aequalis BE, de 





• 





\ 

a 


R a liiPi 


>n 



I 


1« P ERSPECTIVAE 





S, .A 


(iipn HK figura dcTctibatut HLi (juxCtcquidis bali priTmatu. deinde 
infeaioncfigurainucniatur MNOP, qux BDreprxrcntet.&vtinpre- 
ccdcnti,ollcndemr balisprifmacis fijpra BE exiftens c^c ibOioni ^quiefi- 
ftansivdud etiam cfl baUs fii^a CD cxiflens< cum ptirmatii par^elo- 
erammafint reftanguU , quf efficiunt, vt bales parallclogrammis ad reffos 
fintanmlos» que quidem bales interfe, ac per confcqucnsipfi HL cqua- 
Ics cxilmnt.& quoniam in feOionc MN iplam BE oftendit,& PO ip- 
fam CD, fiigimrfiipta MN PO figuiacdcTccibantur MQ^PT fimiles, 
ic (imiUtcr pofitx, vt HL, conftat MQ^bafim prifinatis lupra DE exi- 
ftentem repraefcntace , PT reto eam, quzfupra CD exiftit; quate iun> 
ftis lineis ab angulis figure MQ^ad angulos ^urc PT, qux angulis f qua- 
libus rcfpondeant , vt QT , dcc. figura MX datum prifina rcptsclcnta- 
bit t eritque pcopterei MT figura in (eftione apparens , quod facere 
oportebat. 


fn dtjmbeniis m fictione fibris , ex tbiecte efftttmtm figtcm 
rnm inuenirt Uni}$um necejfirium >videtur\ 'vt, quemadmodum ocu- 
lo fi offert obtectum , in fictione defiribi fojsit j quod quomuic 't/e~ 
rum fit , tamen non eft necejfario 'mtelligendum, yt actu jemper obie. 
ctum exifiati nam aliquando illud mente tantum concipere fufficit , 
'Vt ex eo apparens figura inueniri pofiit j ita •vt ab/que obtecto actu\ 
txiflentt apparens figura inutnta fit , 'vt in fiquenti . 

* I 

PROBLEMA PROPOSITIO. XIX. 

Per punita concurfos abfquc obic<£Io figuram in erecta., 

i- ' fe&one i 


f 

1 

i , 



LIBER TERtI VS. 153 

(Mcione apparentem , quae prifina quoddam , cuiiu patai- 
Iclogramma finticccaagula«oftcndat,inueniic«k . 


iT k. 


^ ,Vk ' .v 





Exponacnitanquam in 
fc^ione teailinca fignra 
(vt libuerit) BCDEF, qq? li 
intcllig^tur balis pnlmaiis 
in fe^uone rcprwntata . 

Quoniam iginir opoitct 
ptilina oftendete , cuius 
parallclogramma llim re- 
Oangula , ducarar Icdio* 
nis linea . vcl intclliganic 
~jT fisaionis linea 1 Dcin- 
rir duc..'’t VX ^quidi» 
dans BP , ,*»ftcntque B- 
ne* VX Bt • 

quanta eft oculi altitudo , 
quam concipimus elle lii» 
pra (ubicaum planum . 

Deinde fi produceretur 
BC vlquead lineam VX, 
tendat BC in T. CD in 
Z. ED in X. & FE in 
V. Deinde quoniam prif- 

matis parallclogramroa (iint rcaaneula, erunt latera fiibieao pkmoereaa 
quarcdpunais BCJDEF ipfi BF ducamur papcndicu lares BG CH DI 
EK FL, quxquidcmoftcndcntbtera piifmatis, fiatque BG fecundum 
altitudinem , quam volumus efle in leaionc . Deinde quoniam figura, qnp 
eftipfi BE oppofi«,eftipG*quidiftans,&fimiliter pofita.i» vt vmim. 
quoJquclamsfitvnicuiquclatcrifigurc BE xquidifiansiprimiim igitur, 
quoniam BF eft fcaionis linea , ducatur GL ipfi BF «quidiftans, dein- 
de duc.imr GH in T, lecetque GH lineam CH in H, ducatur deinde 
HI in Z, IK in X.iungararq; LK. eritqjinucnualtcrabafis CHIKL- 
Nam primum BF GL parallel* apparent, fimiliter quoniam BC GH 
in idem punaumconcutlus tendunt, pquidiftantes lineas reprzlcniabunti 
veluti quoqiic CD HI, qu* tendunt in Z. fimili modo quia ED 
tendunt in X, lineasrcpficfentabunt parallelas, vndenccenecfi FE LK-^^ 
parallelas quoque in Icwonc oftendere . Pun£Ia enim FE LK termiai 
fune linearum xqualhim,& xquidiftamium apparentium i vnde ipfie quo- 
que FE LK iquidiftantes lineas rcprxlcntabunt;&proptcrca tendent in 
V. & hoc modo inuenta cll apparens figura BK ablque obieflo, priflna 
oftendens. quod facere oportebat. 


Ex 26. pri 
m hmus. 
Etcxj.k» 
iw. 


IxxS-s?. 


SMiiits bic plurimum tonjnt *d praxim ptrfptctiux j »<w fi dt- 
tum jutrit punctum , <vt , eporieatjue linum ductrt , tju* /»• 
nt*m reprufenttt purdltUm Untis , que appxrent in CT> HI, ubf- 
qu* obiecto (Istim ducetur , que tendet in Z qutnitm enim 
C O NM HI in idem punctum concurfus tendunt , nectfptrio p*r*l~ 

ie/at 


I 


iU P-<E ^R S £tC T J (V Ab~ 


UUt rjepr*/tnulmnt . qtt« quidtm »mm* „ i rv yijr , ditt« fifPt , 

mtnifclU ■■ i ' i; .i .. , ! 

Si veri inteUigtmits fri/nu btjim htbtrt fertlUlfgnmmtm ,foll 
dmn *f ferens defmbtmus ^rvt OP . 

TJernm ptrtim ex obtecto , pertim 'vero 'obtecto f t^ifenA 

/cribemHS, (i priits ex obtecto tn fecttone de/hibetHr ttppttrens- figar* 
3C7)£f 5 deinde ctetere ('vt dictum eft ) fif.Kt. j, 

[ J^od /i pUn* FC 'JBH angulum dxtum repraferttare ^elueri- 
mus, ab/que obtecto ( ex trigefimtquinta prJjfid/nris libH j 'fiat an- 
gulus FBC , qui in fectione datum angulum oftendat, catfra •vero 
vdem prorfus modo defcribantur ,tunc plana FG BH fub datoau' 
fulo ex'tllere apparebunt . quod idem reliquis planis fieri poterit . 

Traterea ex iis, qua in vigefimanona, ac erigefima pracedetstis li- 
bri, &in decimaquinta , decimaque fiptima'huius dicta funt ,fimi- 
li modo ahfque obiecto figuras apparentes , ftue plana , /sue Jolida 
oflendentes, ex his alias multas facile quoque inueniemus ,0- qm 
in hac praxi aliquantulum Je exercuerint , plurTuta obiecta abjque 
ichnographia in fectione reprafentare 'valebunt, ZJ eluti quoque, cum 
defcents pertractabimus , alio tamen modo abfqtie ichnographia multa 
reprafiietare docebimus . vdmplius ( •vt diximus ) multa obiecta quo- 
que pApipi'^abfque ichnographia , partim vero icimograpbia facile in 
'f. y' fetxione inuenire poterimus i Sed pracipue quando multa Itnea pa- 
raileU reprajentanda occurrunt , fequtnti libro quoque perfpi. 
cmm erit . 

Hucufque quando prfmata fisas habent bafes in fubiecto plano , 
quorum parallelogramma funt rectangula , puncta concurfus fempct 
ejfe debere in linea fictionis linea parallela, 'Vt in f^X-, ex its , qu.< 
dicta funt , tanquam necejfarium 'videtur quoniam tamen ab aliis 
elia puncta circa hac obiecta inuenta effe 'videntur, ideo breuttcr ea 
quoque eonpderabimus ^ hoc eodem, quo ipfi vtuntur, exemplo 

Cubum ('quippe qiii prifma quoddam cft ) condituunt in feflione 
tcprxfcntatum , vt ABCDEFIG. cuius quidem latera AE BF CI PGj 
in X tendantf ita vt X punfium Ct concurfus . Deinde ducunt AFHj 
PIH. &quoniam AF DI oftendunt lineas parallelas . qu* luntdianicJ 
tri quadratorum oppofitorum. qu^uidem quadrata in legione apparenti 
in ABFE DCIG. propterea AF DI in H punauin concurius couua- 
nicpt.duaaquc HX, erit hic (eaionis line* parallela . Ct^ue featpnisj 
linea AB. cademque ratione dua* BE CG in K concurrent. rrittjiie 
KinlineaHX. qu* quide omnia ab ipfis praaici tantum cognita, dnt^is] 
tbeorici demonlirata funt. quoniani lineas. BF BE AF, &ipfis iquidi- 
, -.'flantes in punaa concurrunt, qu* funt,vt oculus, pq uzalta; fiqu idem 


Mx}}.pn.. 
uUimmi. I 


BF 



LIBER TERTIVS. 

BP BE AF oftcn- 
duntlinus in fubic- 
plano exiftcntcs, 

Pritcrca apparcn. 
rinmquadraroniiii 
ADGH BCIF du. 
amt diametri DE ' 

CF,quein L con- 
currunt, cuius qui- 
dem puncti nullam 
nos fecifTc mentio* 
nemvidemr. Atta* 
men Ii redi omnia 
conlidcrauctimus , 
pun^m L nd a. 
lind clTc, quim pun* 
dum concurfus re* 
periemus . Nam du* 

Cti XL, critvtique 
XL ipfi DA xqui- 
diftans,c(lcnim pet* 

(pcctiua altero modo conlidcrata i etenim (I inielligamr DA leftiottis linea, 
intclligaturqi Eguram ADGE quadratu cubi in fubicdo plano exiflens re* 
prxfcntarcjcrit fani linea XL fecundum altitudinem oculi fupta fubic* 
dum planum rcritque in LX pundum L pundum concurfus* Pariq,- 
ratione (i ducanmr diametri apparentes AGM BIN, hx quoque in vnum 
pundum concurrent, quoil erit quidem in linea LX, quxquidcm ex di* 
dis manifella funt. Cxtcrum ponamus iias lineas alio quoque modocon* 
lidcrare, nempe vt fit linea AB femper fedionis linea, fit4up HXK fe- 
cundum altiradincm oculi, vtpriiis didam CUj ex quibus pcrfpicuum eft 
omnes lineas AE AF BE, &hamm parallelas in punda concurius ten» 
dere, quxquidcm in linea HK cxillent. quia linex AE AF BE lineas ,, 
in fubiedo plano exiftentes rcprxfcntant . lineat vcr6 DE CF, & AG 
BI, & quxipfis fuerint parallclx, in punda quidem concurfus conucnient, 
quippe qux tamen in HK effc non poliunt, quia linex DE CF, velutij * 

AG BI non ollendunt lineas in fubiedo plano exiftentes. ac proptercaL. . 
pundum L, & huiufinodi alia diucrfos pofluut habere fitus, diucrtasquc l^i^^ ” * 
altitudines. ^ 

Mtemtd *IU foliJ* iautnicndd, \n futipmqitt rtfrt- 
feBtdttd* demtnUmits t it , qux htetenus i» erectu ftetune iuueutt 
funt , quomod» i» dhit quoque fectiombus y frxeipuique in' fictione 
inclittttu iauenidBtur , congruum «obis yi/nmed oflenderei vt qux 
tnueniendx rtlinqnuntur , omnlbns fimul fictionibus xpttri fojsint, 

■ u; 

LEMMA. 


f 

Data linea , puniftogue extra ipfam dato, ab ip(b lineam 

duccro , 


P.E KiS P E C T I V AE 



3>. prim 
f r ij.pri 

mi- 


er prdte- 
flemi. 


Xxtt.yM- 


duccrc , quz cum data linea angulum dato angulo acuto 
xqualcm cfficiac.* " 

Sitdati Unca BC," datum vct6 pnnQum A 
extra Uncam i fitque datui angulusacunis 

opotteti punAo A Uncam AC duccrc. quae 
ai^lum ACB dato angulo DEF xqualcnt 
efifeiat . Producatur DE in G ; & ipfi DG 
perpendicularis agatur EH • Dcmdc d punfto A 
ad BC. perpendicularis ducamr AB; deinde 
fiat angulus BAC aequalis angulo HEF» Quo- 
niam enim angulus ABC cft aequalis angulo C 
GEH, cum fintrc£ii, an^us vero BAC cft 
angulo HEF^quaUs, erit reliquus angulus ACB ' . • 

reliquo FEQ squalis, cum fint tres anguli trianguli duobus rcftisc.qua' 
les; quandoquidem funt GEH HEF FU3 duobus rcGis squales, quate 
angulus e dato angulo acuto DEF squalis cxiftit.quodfictiopoitcbat. 

r-pROBLEMA PROPOSITIO. XX. 

Dato oculo , datisque parallelis lineirin fubieiflo plano 
exiftentibus , quee fint Icdionis line^ perpendiculares j ft- 
dio autem fit lubiedo plano inclinau, punAum in feClio. 
ne concurfus inu?nirv • 

Datus (it oculus in A. i 
quo ducatur AS fiibicAo 
plano perpendicularis, fit- 
gue BF in fubie^o plano - 
lc£Uonis linea . feOio au- ' 
tem fit fubieflO plitiO 'irt- 
clinata, cuius fit K incli* 
nationis angulus, datxvc- 
tdparallcls^lines in fubip- £ 
do rdano exiftenteS > fint 
BC DE FG, qus fint ipfi 
BF perpendiculares. opor* 
ict lnfcdlene pundfi coiK “ 
curfus inuenirc- Ducamr 
SP ipfi BF pcrpcndicula- 
rii.quxnimituinipfis BC DE FG erit squidiftans. deinceps 3 pnfifto 
A lineaducatut AH, qusangulum AHS angulo K squalem cfficiatt 
infcdioneautcmdpundp P fucatur PX ipfi BF perpendicularis, qus 
fiat squalis AH. Dico pnnanm X' ciTc pAndnm concnrfus, ita vt BC 
DE FG appareant in Icdione in lineis Ba DX FX. lungatur AX; Sci. 
pundo X ad SP ducatur perpendicularis XLt Quoniam ennn XP cft 
ipfi-BF perpendicularis. dcinrubicdQ plano PS cftipfi BF Mrpcndicu- 
l aris.eftque XL i^fi ES pcrpcndicuIatiSijiltlt XI, tu etedb plano ct eda^ 

. quare '| 



Z ft flr DraE r t l?V 3. q ^ 


quircpianum XPL edtubicflo plano crcaum.vndcfcquitut planum per 
XP PS nanfiens fubicao plano ercaum efle . quoniam autem AS cft 
fubieao plano crcaa, erit planum ASH fubieao quoque plano cteaum. 
emo planum per AS SP PX duaum cft vnum tantum planum, in quo 
c(f etiam linea AH. quate linee AH XP in eodem lunt plano. Quo 
Diam autem SP eft in liibieao plano, PX verd eft infcaionei & (unt%P 
PX ipfi BF vtrorumque planorum communi feaioni perpendiculares I 
•erit SPX horum planorum, hoceftleaionis.&fubieaiplaniangulusin. 
clinaiionis. auarc angulus SPX cft pquaUs anulo K , & per conicquens 
pqualis angulo AHS. quAdeiimfint AH XP in eodem plano, ent XP 
fquidiftans ipfi AHj & eft XP fqualis AH» ergo AX pquidiftans eft 
fofi HPs qua:, cum fit ipfis BC DE FG xquidiftans, erit & AX ipfis 
BC DE FG zquidiftans . quare punaum X eft punaum concutlus . 
quod fieri oportebat . 

Si vero inclinatio fcaionis, & fubieai 
planiad alteram fiicrit partem, ducatur 
AH adalteram partem, ita vtangulus H 
fitzqualis angulo K, c.rtcra^uc fianr, 
vt diaum cft, inucniemrque punaum 
X punaum concurfus. vt infecunda fi- 
gura patet. 

Quod idem eodem prorfus modo in- 
ucnictur , fi lincz parallelx datz fiie* 
lint inter fcaionem, &p<inaum S. fi- 
militctque fi oculus fuerit into fcaio- 
nem , quod , fi rcuoluantur figuix, per- 
ipicuumetit. 



■ h. 


L. 

1)11 n 


l3. radrei 
mi. 

im. 


<S. Jrf. ra 
tremu. 
a3. frim 
'ii-frmu 

I. Car. |2 
frmu utt 

I4U 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXI. 


Oculo dato , datisque parallelis lineis in fubiedo plano 
cxiltcmibus, qux neque liiit ledlionis linex parallclx, ne- 
que perpendiculares, lectio autem fit liibiecto plano incli- 
nata , in lectione punctum concurfus inucnir&>. 


Sitooilusin A datus, d quo ad fiibicaum planum perpendicularis du» 
eamr AS . parallclz vero dat* line* in fubicao plano esiftentes fint BC 
DE FG, quzieaionislincz BF neque fint parallclz. neque perpendi, 
culares, leaio autem BXF fitfubicaoplanoinclinata, cuius inclinatio fit 
angulus K. In fcaionc inucnirc oportet punaum concuifiis. Conuc- 
niant BC DE FG cum BF in punais BDFj quod vtiquc fieri poteft , 
Iquia BC DE FG non fiint ipfi BF parallclz. Deinde ducamr SP ipfis 
' S BC~ 




\ 









I 


f-rti 


6,dtf, yn> 
iecimt • 

lo. bnius. 


i%»yndeci 

mu 


i8. primi» 
3 j . pnmi. 
Jt. Cor. 3 z. 
pnmi bu~ 
fus • 


BC DE FG xcjuidiftaiu i & ad partem inclinationis fcOionis in linea SP 
produifta etiam cx S. quoduislununitpiuiftum M, fi tamen rcaiofuam 
habet inclinationem vetius A. quod fi habet ad alteram partem > produ- 
caturlinca SP ex P, inqua fumatur punaum. Demdeapunao M ad 
planum per SP BF duaum,boc cft ad liibicaum planum erigatur pet* 
pcndicularis ML t qux plano fcaionis BXF occurrat in punao L . ab 
eodem autem punao M ducatur ad J5F perpendicularis MH, & iiin- 
Wtur HLt porro erit HL perpendicnliris i^i' BB.-a:-duoniam funt 
Mri HL ipfi BF perpendiculares, quamm qmdem altera MH cftinfu- 

bicao plano, altera vcr6 1-H in rcaionc,crit LHM angulus inclinatio- 
nis planorum. nempi Icaionis BXF, & fubieai plani per SP BF tran- 
icuntis . eritque ptoptcrca LHM angulo K cqualis. Jungatur deinde 
LP, qux erit in plano fcOronls BXF, cum inliuc plano jnirKla PL exi 
fiant. ‘Deinceps ducamr linea AN, quxfaciJt angiililm ANS cqualcro 
anc^ilb LPMi producattirque PL in X; fiatl^uc PX« xqnaili NA: 
Dicopunatiin X eircpuniwm concurlti$;ita.lcjlicct,xi£ limi BC Dfi 
FG in feaionc appareant in BX DX fX- lungatuc enim AX. & quo- 
niam ML cft Inbicao plano trcaa.cTitplartum trianguli LMP , hbcert 
planum per XP PS duGum fubicfjo planocrcfjum. fimiliter quoniam 
AS cft fiibicaoplanocrcaa, erit planum per AS SP duaum (inquore- 
petimr linea AN-) eidem fubicfto plano creaum . vnum ergo tannim pia- 
pum cft id, quod per AS SP PX tranlit. quare AN XP in eodem lont 
plano, quia vero angulus ANS cft aiqualis angulo XPS, «it AN ipfi 
PX ?quidiftans. atqui cft XP cqualis ipfi AN. ergo AX cft ipfi NP. 
ac p« cpnfequcns ipfis BC DE FG paiaffcji , quare pundum X cft 
punaupi concurfus. quodficriopQrtcbat. . ' . . 

Eodem prorfus modo fiet, e Jiiiex BC DF. FG fuerint inter rc£boncni,‘; 
oepuncLum S. vcluti quoque fiofuiusinfrpJcaioncracxtjtcriii. i i 


PROBLE 



PyLIBBR. T£K ,TI VSv 


1^9 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXII. 


Oculo datOj darisquc in fubicdo plano lineis, quae cum 
(Bionis linea conucniant, in propofita fc<Sione fubiedlo 
plano inclinata lineas apparentes delcr;bere^s 


Sit A oculus, cuius Ai. 
pra fubicthim planum al- 
titudo (it AS . fit fe<aio« 
nis linea BH . Datf vetd 
Lncz BC BD. ictUo au- 
tem fitfubiedo plano in« 
clinata , cuius incluiag'£ 
nis angulus fit K i incli- 
natio autem fit verfus A. 
oportet in fcciione lineas , 
apparentes delcnbere. In« ^ 
ueniatur punctum con. 
curliis ipffus BC, quod 
fi BC lueritipfi BHpcr- 
pendicu laris, ducatur SR 
ipCi BH perpendicularis; 
fiatque angulus SRX p* 
qualis Ki ducaturqjAX 
ipli SR parallela , qu.x 
lecet RX in X, pri- 
mum enim confiat pun« 
flum X ellc pundtu con- 



Ex 10. bM 


-- — •••• r~*«v*k* wia- 

curlusipfius BC. oftcnfum cft enim lineas AS SR RX XA invno,& 
eodem planoexiftcre,fimulque RX elTeipfi BH perpendicularem, & in 
concurfus . Demde inueniatur pandum concut» 
lusipiius bD; quodvriquefict,fi ducatur SP ipli BD zquidifians; inL_,, 
qualumptoquouispundo M, ditcamr MH ipfi BH perpendicularis ; ^* ’»•*»* 
*** «qualis Ki erigaturqucliibicdo plano perpendi- 
uiaris ML, quxipfi HL occurrat in Li apundoque X diicatutipfi 
n.. XV, ducaturque PL , qux XV Iccctin Vj ent vd« 

quepunthim V pundumconcurfusipfius BD. oftenrumcAcniinpun- 

»t vero quoniam line* AX XV fimt,_„,.„« 
pfis BC BH,hoccfifiibicdoplanopaxallcl*, pundumfaniUncarucon» ^ 

*!? I pundum hoc ob lineam XV, 

“ *‘lucMtura , vt oculus . ergo pundum V cft punduni concurfiis 
m Bv^°’ ^ apparebit in BX, & BD 

S a Qu 6 d 


p B R 6 P 3^' C ^ AB 


140 

Q^d fi inclinatio tc- 
ftioms ad alteram fuerit 
partem, 4c non verfits AJ, 
iroducanmt SR- SP^ai,. 
TQ 1 fiatd i »ngu'“’ TR.X ‘ 
xqualis K. fimiliter in 
PQ.quoduis famamr pun- 
ftum Mi extera^ue fiant 
ptorru} t vt di£fum cft , 
eadem ratione inuenieq- • 
tnr ponfjfa XV- coneat. 
lus.linexque XB VB in 
feftionc iplii BC BD 
oftendent. 



Fxponarar punSiim S 
diftantixi BH vero fe- 
£fionis linea . datique Cnt 
linex BC BD, feOio au- 
tem fit (ubicdo plano in- 
clinata, cuius inclinationis 
angulus fit K . intelliga» 
turdue ad partem S incli- 
lure , Ducatur S A ocu- 
li altitudo ipfi BH xqui- 
difians . & fi BC eft ipfi 
BH perpendicularis, du- 
qatur S6L ipfi BH per- 
pendicularis ! fiardue an* 
jtulus SRF xqualis K s 
ducaturque Ar ipfi SR. 
xquidifians. inuentaque 
Hnea RF planum intclll*- 

f iturfcftio inclinata vfiat* 
ue RX ipfi BH per- 
pendicularis , & ipfi RF 

xqualis, qux cum RSco* . , . 

incidet, erit vtique punftom X punSum concurms ipnus Dein- 

cepsaccipiaturplanumprofiibieftoplanoiducaturdue SP ipfi BD cquw 

diftansi mmamrque in SP qnoduis punSum Mi ducaturque MH ^ 
fi BH perpendicularis, rutfiis ipfi HM pctpendicularis ducatur MG» 
Fiatdue angulus MHG xqualis Ki inuentaque HG.mrfus planum pro 
feflionc inclinata ibmatut; ducaturque HL ipfi BH pcrpendicnlans , 

quai 


liber; TERTI V SV 


141 


quz cum HM coincidet.-fiatqnc HL iqualis HG4 dncaturq,- PLj i 
punftoquc X ducatur XV aeauidiftans ipfi BH, ooaripfi FJ, occurrar 
in V. trit vtiquc punihim V punftum concutuis ipfius BD. quare 
dudis XB VB, linea XB oftendet BC. VB \xr6ip(jm BD.i qu<^ 
I pcrfpicuum cft, fi intcUigatur lOC ad partem S denata in anculo K, fi- 
I mulqueeleuammfeaionis planum XVPR vni cum lineis' X% VB.tone 

I enim fcAiocritfuo loco collocata, quod fi intelligatnr quoque planum 
SAFR> manente SR> fiibicdo plano etc£ium,intciUgator4BcoculBs in 
A, emntpun&a F X vnnm punftum. quod idem accidet, 'fi manenti 
MH intcl ligatur triangulum MGH fubicaopl.inoercaumjcoincidct^i 
punAum G cum L. ex quibus liquet XB VB Uncas in ftdionc appa^ 
rcntcscxillerc. quod fieri oportebat. 

C^6d fi feftionis in- 

cUnatio fuerit non ad ^ 

{ partem S, Tedad altc- 
\ tam partem T, fimili 
modo fiat agulns TRF 
angulo K xqualis jfiat- 
que RX xqualis RF. 

Deinde fumatur pun. 
aum M in Unea SP 
produda . vt in PQ . 
carteraque eodem ptor- 
fiisnto^fiit. fimibvcr 
inucnientur linex XB 
VB in ledionc appa* 
rentes. quod'pai)cr, fi 
intelligatur feaioelciu 
uin angulo K, incli- 
nata veto ad partem T. 
i quod quidem infeque- 
' nbus quoque aiumad* 
uenendumeft. 




PROBLEMA PROPOSITIO. XXIII. 


Oculo dato , datqijuc in fubictflo plano redlilinea figu 
ra, inpropoiita fcdiionc lubictSIo plano inclinata figuram 



apparentem dcfcribcrc/. 


/ p.n . 
tit Lo.., 


u 


Sit S pun^m difiamix, SA odrli aWHicfcjj fit^ne BH dFdlonislt. 
nea. danvero figura fit BCD. Icdio autem intelligatur in angulo Kvcr< 
fus S inclinaa. oportet in fci^ioncfiguram, apparentem dclcribcre. Du- 
cantur i piinOoC 'vtcunque lidex CH CE; mucmarorqiib ^£tom 
X. quoa fitputtftomconcuriusipfius CH; inueiiiaxnrijnc pimQum V £x prtee^ 
• ■ concutfus 


14^ P K R S P E C T I V AE 

concurfus ip(ius CE ; 
duclis iginr EV HX, 
quxieleccnt in L>pun« 
auin L in (caiono oft4- 
dct ipfum C* fimihtcr 
ducatur DF ipfi CH, 

DG vero ipfi CE ftpui* 
difiansi ducannirq-, FX 
G V , qux Ce inuicetn di* 
fpcrcautin M . punfFum 
vtique M ipfuin D re- 
pr.trcnrabit. quare iun- 
ait BL LN4 MB.ofte- 
dcc BLM ipfam BCD 
figuram . critijue pro* 
pterea BLM ligurain 
(caionc apparens, quod 
patet , (i clcuctut fcdio 
vnd cum BL.M in an- 
gulo K i fitque SA lu- 
bicao plano creSa, Jc 
in A fit oculus, quod 
fieri oportebat . 

Hanc praxim aliter quoque incohare poterimus >vtialicetprius ducan, 
turvteunque SR SP, fecundum quas in (cflione inclinata inucniantui 
.punfta yX concnrfils. Deinde ducantur CH CE ipfis SR SP pai 
rallelz; iunganturque EV HX, fimiliterinucnieturpunaum L iproni 
e oficndcnsicaneraquefiant, vtdiaumcft. 


COROLLARIVM I. 


Er hoc paret nos polTc, vbi datum tantummodo in fui 
bicdo plano pundum in fcccionc inclinata appareat, in* 
ucnire./, 


Datum enim punAum C apparet in Li vt inuentura eft , 


COROLLARIVM' II. 


Patet etiam nos pofle, dato in lectione inclinata vbicun- 
que puncto, in fubiccio plano punctum , quod in alTum* 
pto puncto appareat s inuenirc*. 

Ijfdem enim conftruflis, datum fitpunfhim L in firfiionej ducantur 
linex VLE XLH, & d punf^o E ducatur EC sequidifians SP; ab 
I H ver6 



V. 


PLfBEK DrPEaTJlV£!S5I TiT 

vero ducatur HC zquidiftans SR. Quoniam igitur d punAo C' 
exeunt linez CE CH ipfis SP SR parallelx , duftzque Cunt £V 
^X, quz (credifpercuntin L, pcrfpicuum eft punctum C apparere in 
L. intcliigatur i^tut C in fubiccto plano, & erit puncrum inuentum» 
quod tacere oportebat . 

OpoRct autem, vt datum punctum L fit inter lineas BH VX. 

C0R0LLAR1V'M III. 

Eodem prorfus modo H data fuerit in (cctione figura^ , 
vt BLM , quomodo in fubiccto plano inucniri poHit figu- 
gura BCD, qua; in BLM appareat, ipanifcftum eft. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXIIII. 

Facilius autem figuram in propofita fectione apparen- 
tem inueniemus, vt in prxccdenti dictum eft, hoc modo . 

Ducatiir/iildem.ppfitj»^, SR ad BB perpendicularis, inttl 
RP^ zqiialis SR. . lUbgauir^e SPi^ lecUqduni lineas ‘ 


ueniantur pupeta cbncurliiS XVj deinde 4 purteto C diicaftffjCW^^I 
BH perpendicularis ;fiatque HE arqualis CH; ducanturqu<, fimllit^ 
HX EV . erit vtique punc'tum L ,Vbi apparet in fcciionc ipeliijafalpruifl 
C^uqca enim CE , triangulum CHE Bmilc jHouehit triangiilo, SrP , 

quodeutu fir CH ipfi SK. xquidillans, erit « CE ipfi SP 

& ita in alijs. quod taccre oportebat. 


ipeliMfalpfuih 
ianfiUlo,SRP , 
CE ipfi SP pitificli i 


i| . . ‘ . 

tARi ittodi «fferri pajpmt defcTthndi figurtLS in /ubiecto pUne 
*xifientis in incimati» jcaion* *pptftntti , pr^apne 'Vtro nngefimus 
trriius madnt ptrfucUtm prtbtbit prAxtm,Jidin hac Jecvme inclina. 
ia adjolidarcpraftntanda^cicdamus. 


.PROBLEMA PROPOSITIO. XXV. 


Oculo dato, datoque prilmate, cuius haHs fit in fubie- 
3o plano, parallelogramma vero fint redtangula, iii pro* 
}ofita fedhone fubiccto plano inclinata figuram apparen- 
:cm defcnbert.. 

Datus 


16 . yadi- 
fimi. 

Ex to.i» 

fif. 


t 9 . primi 
buuu . 



Datus Gt oculus in A> AS ipGus altitudo iGtcjuc in (ubicdo plano (it- 
ionis Unca BH . prifmaver6 datum fit BCD EFG; Gt^uc bafis BCD 
{nfiibicfto plano. Icflio autem Gt inclinata in angulo K. oportet in fe- 
ftioneGgUram apparentem deferibere, qu* (cilicct datum priGiia reprx- 
fentet, Ducatur SR. ad BH perpendicularis i Gatque angnlns SRX q- 
qualis K; duftaduc AX ipG SR. acmiidiGamc.ninilrflcrit X pnntium 
Concutius eanim linearum, qn* ipGBH erunt perpendiculares, vt antea 
diximus . Deinceps vteunque ducatur SP t inucniamrquc piinftum V 
concurius carum linearum ipG SP iquidiGantium. Deinde intclli"atut 
planumper EFG dufium, quod ou idem AS fecetin T, XR in I, & 
VP in L. & quoniam planum EFG eft xquidiflans plano BCD, erit 
planumper EFG duftum Gibie£io plano xquidiftans. quare dufla linea 
ILcritipG BH xquidillansj erittljuc altitudo prifmatis ipG ST xqua- 
hs. Prxtcrca dufta TI erit ipG SR xquidiftans, ciim ASRX Gtvnunt 
planum .-GmilitcrduQa linea AV, erit AV ipG SP xquidiflans. Gqui- 
dcmlinex AS SP PV in vno Gintplano. quare critob eandem caufam 
duQaTL ipG quoque SP xquidiGans. Itaque intelligatur planum per EFG 
duaumcfTe Gibieflum planum, in quo Gt IL feflionis linea, pundum T 
pundumdilUntix, TA oculi altimdo, EFG vcr6Gtrcdilinca Ggura in 
rubiedo plano . porro eadem punda VX erunt pundaconcurfus . nara 
duda CH ipG BH perpendiculari, dudaqiie EN ipG LI perpendi- 
culari , cnint vtique CH EN xquidiftantcs, qux in lineis HX NX ap- 
parebunt. Gmiliterduda CM ipG SP xquidiPante, dudaque EO ipC 
TL, vel SP xquidiftante, erunt Gmilitcr CM EO intcrfcxqnidiftantes, 
cum Gnt TL 6P xquidiGames. Vnde apparebunt EO CM in lineis 
OV MV. cjquibusiequirurpundum C apparerein Q^E vero in Y. 
& quoniam B eft in feOione, iunda BY, apparebit BE in BY. dcita 

in alijs . 

~ Propter 


Ptopccr pnxiin autem ducatur£Z-ipfi^T aequidiftans, producatur* 
^uc TI in Zi iungaturqae EZT Q^niamcniin-‘^S'Zk--EB- AUtc sT 
duales . & xquidiftantcs , funtenim firmatis alckudJdi atqtnle» i Cl &b ie> 
tto plano pc^pdiculares, erit EZ^fi BR zquidiihans; lcdeX'ConRni- 
aione ENIZ cft paraUclogrammum,.9^o EZ NI fttflt^quitlctr, dt ptr 
rallelz, veluti EN ZI. eritque EZ-diihmtia lincz ll/ld^Iima ZEVilaar 
de ita Te habebit Agura EFG ad lineam EZ,rt BCD''adlii{elm.B!M,:hoc' 
ell angulus ZF.F at^lo RBC« dc ZEG angulo -RBO'- zquaiis czi^. 
vtex i;s, quaadi^ lunt, I>ct<picwlm eft. 


. ‘ L IvB e S ‘JT^ R T > 






P R. A X I S 


jii V mrbni.-q ir 
• «hnqfto . 

fl . 

> JIV, anibi.i.j i 
'U . lUUJilluq 

^. /a rfiub , 

•1 . . . rjJil YU lat; . 

. ,T -.fluaaU Hqul.r,; 

M > iiOul» i3ji: iTiiii 

• cq *ld Jii tflqi MJ 
,VX bt j>M 


Sit S pun£lum di* 
ftantiz I Iit BP le£tio- - 
ms linea ; fic<|ue SA 
oculi altitudozq uidt- 
ftans BP. Ducatur SR. 
ipii BP perpendicula* 
ris. imelligaturque fe* 

&io Tubicito plano in* 
clinata in angulo K ver 
(us A, cai xqnalis dat 
angulus SRp , duda< 
que A? ipfi SR pqi.i. 
inilaus^didlaijae RX’ 

Zqii.ari9 JRj>i ' erit X 
^uncYum conCuriM ea- 
rum linearum, iqoffip* 
fi BP perpendiculares 
cxiAent; iit datum prif. 
tna , cuius hafis iit BCD 
in rubieRoplatictiSal* 
titadoautem fitequalis’'! 

6T . dticawt^tft- TLb "‘V 
ipij SR' leqniiiiftant r * 
ftaiq; RI zqiialiSRU '' 
diicattirq: IN ipii BP / 
zquidillanst inuentadi /v 

linea INj in linea .R{> 
fiat IZ jcquald X« j’ 
ducaturijue ZE paral- 
lela IN. Deinde fiat 

cWii 

, , cn ■ M — l*»nr^iietuil£tem^?6ii?Sf- 

in- ■ & linea 1» 

JW .^Q|iop^pcap:P uautrdqu }dy } * 
Fcrptrp 






t 


i P. E '4^ S R C T 1 *V> AE 


Sc cO; 

Nunc vu» a<ccip;4Wftuii]Ii.<.i.'.'i: 
ptaniim urofcdipPCia<i;m>» J18 i; 
cUnan.iaqua lUntp6*!K1 VI o: 
da XV concnrfus.du^ -t^nu-u-A 
cantut^Uc NX OV tDH 
qnj fe lecent in Y< ol u 
mirum pundum Y in 
fedionc oftendct prif- 
maus pundomfupraB 
alcimdmc ST. Q^d 
cixtn fit pundum B in 
fcdionc , duda BY, 
oftendct BY litus prif- 
matis lupta Bexiftcns. 
fimiliter dudis CH 
CM ipfi* SB. SP M- 
raUclis , dttdisque HQ. 

MQ ad X V , qu» fc - 
fcccnt iw^r-pOBdum 
Q_^ofte sdet ipfum C. 
pah^n* tatidnc ab P / 
ad lindm IN dudi». L_ :' 

FB Fr i iplis SR SP. - 
parallelis. dudisque ad >X', 

X V liheis M •'^qti? I 
fefe di(^cant-ia..A^- '5 
pundi^tn fani ^ ofte- 
det in fcdionc inclinata 





dctmiettionc uicunata . 

ptifmatis pandum fupra C perocndicnlaritcr cxiftens . Vndemndis QJI, 
erit dv> apparens linea, quxprilmatislamsfiipra C exiftens tcprxfentabit, 
fi igimr conncctantut BQ Y^. oftendct BQ. lineam BG» linea vet6 Y^ 
oftendct lineam ptifmatis ipfi BC parailclam . atque hac ratione inucm^ 
rar in fectioncapparens figura , qu* totum prifma rcprxlmtabit , qu* qui» 
dem omniapatent , fi intelligamr fcctiq PVXR claiata m angulo K verfus 
A; intelligaturduc figura SAqR. (manente SRJ.fubic«o plano erecta t 
erit cniih 9 in X , « L in I . deinde fi intcliigatut planum EFG per. 
pcndicoUlitft fupra BCD altitudine ST , erit punctum E pcrpcndicu- 
lariterflipfa B altimdinc TS. quodfiintcUiganir EN effe indiaoplano 
EFG. erit NE diftanria punai E, &Unc* 2 E i linea IN, punctatjue 
YX. erunt tanquam infectione puncta concurfiis. quod focctcoponcbat. 

C O R,.0 L i.. ATI I V >f, 

■ Hinc pbte^i dato j)ah<ao in fubie<5o planio , ^od 
pe^pcQdiciil^ntct altcrutn fit quoque datum i* fuDlimi» in 
fpdione indinata vtnque^pimaa inueniri poflt/. , 

Si enltti datam firpnncttun ‘ C fc fubiecto plano • (up ra quod perpendi- 
:■ . culatitcr 


\ 


3/i.^ H EIRD H SlR?m V S^J 

culaiitcr in fublimi alterum fic quoque datum pun£tlHytaUn(Klin«‘£T.^fu< 
niatuiin.fc^honis linea quoduis pifnftutn'^, iungatuf^Pc BC^ituncca* 
dem latione primum inuenietutpunfhim Qi vbi Inftcci ippataoipium 
e. Deinde eodem modo inueniamt linea £f , pupda Vtincii Fjt 
Fr inuenictur fimilitet punfhim quod quidem loacbUct punftiMa 

lupta C altitudine ST • , . uitupa. ufj 

TJ. iinuuli • ; 

' 1“ -iCi . tntlir. . pcK 

•O nqiil tt ni . . , oj 

PROBLEMA PROPOSlTl6Jn^kv1t‘'‘'’‘i 

i u,- 

•aniisni JJl^' iL i j. 

Idem aliter inuenii&>. -oiusi tulujnt ?;i c t 

-JjKu i) ,7.:i.riibiii in 
•nuq 0 «i«|Ul 1 I.U.J.I 
, 1 '' smbmiilc m.i' 

Ijfdero enim poGtii Ggnram apparentem inueniemus.iiiioteUisMat^BJ 
xqualis RS; cfteraque eodem prorliu modo conAnianturidudatariliK 
CH ipfi BP perpendiculaeis ■, fiatdue HM cqualib CM JUmibcerinuc- 
nieturpun£lum Qi quod quidem oftendet ipfum iG. Dbindcfiat 
qualis F/&> eodemq ue modo dudis Irneis, pun£tum / qftendctpun^nk 
lupra C altitudine ST. bocenimpatet.quiafuppoGtOiqndd HMi 
fintxquales.fc F$ ftr itidem zqualles, ii iudgercnnir GMrFr» cGbbc 
CM F> ipfi SP parailel». vtantea oSenlmn eu. quatoinnda:Q4 ait»! 
tudinempriTmatisrupra punOum C tepnereoabiudc 4 uo<l 

facere oportebat < i i) fu 

:ii vtii'irn rnu;.;!(jq 
iijjinoqqul Jv ,iV; 

.Tiu/inti'; ■ T; 

C' o K k t V "mV ^ 

. I /T A, .1 -T O .S . O D 

Ex hoc patet fi ducatur CA p^epdicularis s 

ducaturque ^X, putidum iqpraX;:jtituduic 
rere in linea . i „i.u u 


RcOa enim linea ell C/IF, quz ipfi K1 petpcndtcuUtixcsiftit . 

problema >ii6^6iiTi'b.’ 'xX^Vii*. 

' ■ R: r- ii 3^. . , r?;b o’ • 

Ijfilcm pofitis, fumpro quouid pun^ dl iti litlM Q^» 
altiludincm pum^i fuptla C qaot^.sppatdat 'in in- 
ucniro . 

T a Ducarai 


,pais. i«> 

■Uttsl! 


.?r .>»■» 


I 


j’ U8 P ^ V IAE 


lip }tl ir.tr.. 

U noiiiJi: 
■~urtr.Tj-; 


w\ .tlKt 
Ctr.- fr/itr 
itmit. 


Ctr, 1{. 


Uncicut /h, «i«MS 
tendat in Xi <H*ip|>C^Tji ,}“ 

<]uz Uacam CF Kcec"! / , i ■ m 
in fb.Hiducanuque )kl 4i , i.i tonii 
cquidiAaiu HR.»viV>t7Qiiip Lcpp , 

duc B.i! .xqualis RIj X 

denique ducatur LT — 

xquiaiftans RS . Di- ^ 

co punAum fupra C 
altitudine Sr appare- ^ _ 

re in dtttX Cx eonftiu»! T liO 
ftione patet . etenim 
cum fit SRL inclina- 
tionis angulus fcftio- 
nis inclinatic» fi intcl- 
ligatur fupra C Pun- 
^m altitudine ST , 
quoMtuti dHftteft TL-.tr,::nt 
irauitiifians SR. £i-oj oSorn a|j’ 

^queeflnRI «qualia uox MH 
RL, dcieft iU equi- ■ ■ 
dillancj^RHf ipfique uT 
$1 perpendicqlaris i‘ii tiup <»: 

C$, por&imum elk d tui 

pnn£bfin (wta C al- • i./ lui linfo L.)jaci 
ritudine STiappwie 

in (iX linea'- fed iden^ 

puntium apparet ii) ^ 

QJt. vt fupponitur ; 
ergo pun^m fu pra C I 

altitudine ST appariit ia 4, qjBO^iniieaire oportebat. | 

COROtLAUIVM. 

^ 'hi$ [HeHpicuiun cll« fi fiantes fuerint inzqualci, in^ 
propblTta (cilione fubiedlo plano inclinata figuram appa- 
rentem eodem modo dclcribere poiTo. 

Eodem enim modoex altitudinibus in SA exillentibns quodliba alti- 
tudinispimduminaeniripoteriU. . ■ 

?RO^;.EMA^ ^PROPOSITIO. XXVIII. 

Oculo dato t dataque figura redilinea in plano , qu6d 
perTe^ohis lineam tran(eat« fitque fubicAo plano iacli- 
natqw fe^bpne figuram appafco.tem de- 

(cribcre.> . 

— : siT 



/ 


LIBER TERTI VSv 


H9 



' 




y/- 

:il 1 


V j •' < 



r-J 


Sitocului in A, cuius Tupra fu- . 
bic&um planum iltitudo (ic AS, in 
quo pUno fic BP rectionis Unca. da- 
ta vcTo figura fit BCD , qux fit in 
plano, quod fiibicito plano fit incU* .. 
natum in angulo K. ut^uc BP ho< j) 
nimplanoiumcommuniaieftiosin- 
tclligatutque planum BCD efle fii« , . 
pra lubicOum planum . oportet in 
icdione figuram apparentem defcri- , 
b<xc. Ducatur SP ipfi BPpcrpcn» , 
dicularit . iut^tur^ue AP, K in . - 
plano per BCD tranfcunte ducatur . , 

PQ itidem ipfi BP perpendicularii.- ,jJ 
eritvtique SPQ inclinatioiiitangu» ^ 
lotplanorum,&obidangulo K ae«- .. , 
qualis tducaturquc AQ ipfi ’PQ perpendicolarii. Quomam Igitut AS 
eft fiibieOo plano ereOa, & SP ad BP perpendicularis cijftat, rat AP jj. 
d^m BP perpendicularis. Cum Ct BP »IiWP4#rt 

duOaquecft PQ itidem Ipfi BP perocndicularis , deni<^ <1“«» AQ 
ad PQ perpendicularis, eritfani AQ, planoper QP BP ducto , noc eft u. 
plano per figuram BCD ttanlcuntecrccta. Qja^ioptcr fi accipiatur hoc om, 
planum pro fubieao plano, fitque BP lecuonis linea, A opuIiM, AQ 
oculi altitudo, & punctum Q punctum diftanti*, quod qiuq^ dilnt i 
Icciiqnit Unca quantitate PQ; curo fit QP ipfi BP pet^ndtculaiis . C 

ipt^rfixtiofiierithocplanocrccta, omnibus modis dcrcribaidi figum In 

lectione przcedenti linro traditis operari poterimus, fi vero fcctto fuerit 
huic plano inclinata ez antedictis figura inucnictur apparens . quod ficti 
oportebat. 

SiroiUtcr fi figura data fiicrit prifma , cuius bafis fit in plano per leaionis 
lineam tranreuntc,rublcctodue plano inclinato > quodquidm panllelo- 
gramma habeat rectangula, figuram in lectione appa/cmem iouniemus, 
vt fi lectio fuerit plano inclinato erecta , operabimur , Yt initio huius , fi ve- 
to incUnato, vt in prxccdentibus diemm fuit 




P R A X 1 S. 


Sk S punctum diftantix in fiibie* ^ 
cto plano, oculi verh altitudo fit SE. 
quxfit Tectionis line* BP lequidi- 
ftans. fit vero data figura BCD,qup 
intelligatutclTe in plano ipfi fubieao 
plano inclinato in angulo K , ita vt 
bP fitplanomm Icaio communit. 
Ducamr SP ipfi BP perpendicula- 
ris. Deindcfiat SPH anulus f qua- 
lis K. Ducaturque EH ipfi PH ad 
rectos angu los. inueotisd uc PH H£, 
fiat PQxqualit PH- dcin^duca- 
tur QA. parallela BP, qux fiat «- 
qualis ipfi HE. His ita conftitutit 
intcUigatut Q punctum diftantix. 



-2L 


V..*; 7 

r» 


)Ogl' 


k 


i'fo P E R^S P iE C T-iny AE 


A oculi altitudo. BP lectionis li- 
nA, & BCD figura data . his4ue 




• ITU» 

cognitu fi Icdio fuerit hocplanocrc 
Aa , didorum modorum atiquo de« 
fcribendi figuras in fcdione opera- 
bimur, vt in praecedenti libro tradi* 
tumeftj fi vero fcdio fuerit inclina- 
ta, vt in ptzcedcntibus didum eft, 
fieri poterit. 

Q^d fi figura data fucrit*folida , 
vt antea didum eft.fcdioque fuerit 
ereda . figuram apparentem inue- 
niemus ,vt initio huius multis mo- 
dis diximus.fi inclinata, vt in ptae* 
cedentibus. 

Caetpriiin hic confiderandom oc- 
currit, qu^d linfra FH ducenda cft ad eam partem ,vbi cfl planum inUii 
ivatum i vt fi planum . in quo data efi figura, inclinatum fuent fiipra fii^- 
dum planum, redi duda erit PH. tunccnimpatshuiusplaniadpartcm 
TH crit Infra fiiblcdum planum, Cquidcm cft BP planorum Icdio com- 
munis.' fi vero planum BCD ftierit infra fubicdum planum , tunc pars 
huius plani ad alteram partem ipfius BP cflctrupralubicdumplammr.de 
in hoc cafii ducenda cfl« linea PL, itavt SPL angulus fit squalis K’, dc 
Ipft PL ducenda eflet linea EL perpendicularis , deinde ponere lineam 
FM squalem PL, duccreduc MN ipfi BP parallelam , dc ipfi LE s< 
qualem i elferdue pundum M pundumdiftamix}dt MN oculi altirado- 
cattcraduceoacm modo . 

TaH htc aIU qHoque petiontt conpdtrMdt occurrunt . primum 
(U$ttm ftqutut froblm* ofitndtmut. 

^ /It, - . ■ - ■ 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXIX. 

Sic primum datum pundum S diftantix , Htque SA 
oculi altitudo ; dataque (ic linea EF (cdionis linea , quz 
non fit ipfi AS zquidiftans ; figura rcdilinca vero in fu- 
biedo plano fit BCOi oportet in ereda ledione figuram^ 
apparentem deferibere* . 


Hac conftrudione vigefimoprimo mododeraibendi figuras in fedione 
apparentes vtendo operabimur. Itaqucducanir SCiquxfcdionis lineam 
fccetin F. ducaturduc FG ipfi AS squidiftans.-ducaturque AGC-clc* 
indefiat FL ipfi FG perpendicularis, dc ipfi FG squalis, tunc videnir 
fundum L oftenderc iulum C. Nam fi intelligatur FL fiibicdo pla- 
no ereda, intelliganmrque duo plana, planum fcilicet fcdionis per FF 
Ii,,. i rranfiens, dc alterum planum per FG tranfiens^qus Cnt fiibic do plano 

*' • creda. 


'a 

r 


I 


LWBEK >raRTtvS.' i^T 



Mcaa,fi FL imdligatur fu 
^uedo plano crcda , tunc 
FL elict ipiotutn plano< 

^um communis Ic^iio. 
fi igitur FG intelligatur 
cOc Ibaionis linex; cum 
Gt FC ipG AS xquidir 
flans , pandum L in 
hoc plano ipfum C rc- 
pixfentabit . codcmque 
modo inucnicnir pan- 
dum M ipfum D ofle- 
(iens. Aduertendum cft 
iamen, G lungantur pun- 
da BLM , flguram BLM 
non efle Ggueam in fe« 
dione proptib apparen* 
temi namqtumuisqiltV. 
do FL cfl lubiedo pla.- 
no CTcda , puodurn Ji.i 
tuncoftendatin fcdioBC 
ptophuui Gtunif vbi aoi 
parctwndum 'Cj: & M 

vbi D» tamen quando ni ' * u 

ijDcc FL £M hoc modo Cint in Cibicdo plano demiuXi non J5a^nab^ 

if^jcbenti nam qiiandofnntfllbicdo plano crcdz>Gint quoque mtiow 
linc* EF perpcndkularesiitavtLFEMEF Gmangulirccui quod in fla, 
bioctoplanoexiftcntcsanguli LFE MEE. non (untri^.yndc neque pof. 
rthjus.roancntc FE conapere fcctioocm vnicum FLME cleuaBmcb, 
Ife.ficuramque BLM efle luo loco collocatam i nam LFB non «flet an» 
rectus. Vtopone- «.a,i:-rlh,mi.(oroorii auDaretv 

lemi ducantur FP EO it.!! »-» . 

hoceftipfi FG «qualis i EO ajitcm flat «qualis EM; mnganrarquc 
puncta BPO, erit fani figura BPO proprii figua in fectionc apparens. 
Vtpcrfpicuumeft, fi intelligatur, manente EBF.fectio FPOE vnicum fi- 
gura BPO fubiccto plano creaajCttiue eidem plano AS perpendicula» 
ris, & oculus in A. quod facere oportebat. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXX. 

Oculo dato , dauque figura in rubicAo plaHo, in (e 
dione pluribus planis fubicdo plano eredis cpnftaote h- 

guram apparentem dcitriberc»» . ..lii. , 

' 'T ■ ' ; ,1 

•'II 

j Eadem intelligantur expofita, loco autm tecte fectionit.fltiocoiectio 
|nfs lineii . qnx erat recta linea^ intelligatur feetiO^loribus pland fubiccto 
plano crtctis conflaris iquSe itl fnbiccto plano emeiat EFGH, itavt BP 
FG GFI fintrcctxlinc«ti)u«quidcmtoterunr(bctioi)^linc«. oportetin 

^ fcctionc 


i: 


“ P±TC AE 

cvrrione^sniraiT' appa* jiliiiitbiibin* 


appa. 
. Du< 


lil lultaiiljin* a-i li.tfi jn . 
an m,qtt^i>of u. , ■>; ,c , 

wilI'| r* iiifpji j i 

\ j .1 . / 



• 3l tir* fi!t,uaii v:,o A 
r:..':;'; , . rmion 


i:;:::one fjuram 
ji :ntcui dcik:rrbcre. Uu« 

;i juir_ sC. quilin-vn 
|! P^4^ct in I. duutur* 

!( uc"IK ( vt in prxce* 

|( Cliti ) jpii AS xouidi- 
jl jiii 1 ducatiirquc AKQ 
< atqpc ILsipfi iK per* 

I cnd^cularis ; intelliga* 

It irquc IL in pUnb per 
]l F traiifcuntc, fubiccto- 
( uc plano erecta , pti* 

I lum hoc modo punaii 
£ ipfiim C rcprxfenta- 
bit. DcindeducaMrSF, 

t iix lineam CD fccetin 

1 BC vero in ^ j , 

ctaque FO ipfi AS xquidilhmte. iunctisejue AMi;A!n> fimilhcr inno- 
■liatur punctum P ipfum M oftendens, Q vcroipliira N. qu^fiia-' 
tclUgatur FQP rubiectopIanocici.ta, erit FP iniingMioahoccftetit c6> 
iiiunisfcctio planorum perEF FG cranl^ntiuni .fimilitcrductia SGXTi 
fc SD , Jnueniatur punctum R iphwu-T oftcndcnai-V .vct6ipflim % 
Cc Y iplum D. Itaque li intelligantur punaa QLPRYV fui$iodS;in 
planisp.cr EF FG GH tranfcnniibus, iunganturdue.. B<y QL Lr pfl 
RY^^y VBWit^Ac^ppSftdsfigiwaVVetftm figura B^PSVV m fu- 
hrtttb JflVflttltfWftciis i^6h'6(lendir Ittopnt" figuram apparentem uopottft 
CAnYi', vtiKprljgMcmidtyiitiuiitilifica^ IL Fp eflbivii FE pcrpaiaicola' 
Iw. flHBMW-tthdem' FPj &''GR'fp(i FC pcipcnmcDlarett jtidcfnquc 
I0R ' «M perpendicfilaKf •tjuzquiacinvt in fecunda iiguraapnt* 

iljc>ofeHraH>^iartcttfi5t “ «--i 

jC ;PP'ip»'PEipp»pch*- 
thcijiuris.i Bliqhdifft' fP P- - 

e licthin- Qv'VtiiWlupc- ^ 
iHfi!?'Bt*;'itiheantorq} ; 

LP liQ.- 'dilmdo' fiiuf* 

|K-GR ■ipfl*FG'- pcfpS- i 
cu Jres; riatqucFKipfi 
P xqtialis , dc FU equa* 
s iQj A- m GR fit 
unctum V, vtinfnpe. 
lori tigiir^ , mngamrque 
iR BO BV /■dcrriqlie 
ant G/ HY ipfi GH 
ictuerdicularesi fiatque. 

:i2*9qialiS'<JRi acG»»'-: m 

g«*^^? 9 !*H(^am‘que modo per partes fieiinilm BCD‘ fi^rtifthta‘ 
Bimus . etenim figura LPQ proprii^iigeni CNN- «eprafentabir. fit erit 
ea. quadeferibendaefi in plano fupra EF-, figuravero BOKRV iplanl 
BNMTX ofiendet, critqueea.quiinplanoliipra FG defcribcndaeft; 
Cguraqitcc!VS^»niiprirtPxj BTX,iutq>rxfeBtaibit r. Sfitquc VZjs figura' 
^dcdicnda Ki^lanq fupta CiHi- . Quzquideip pt]i|iiapa(gn^> (i,miclTigat' 
Mt'ptinanm> SAi tubiefh>.RUnp,<rccU, ocului^que,iuct)t,io A confiitu- 
to»d«n,demam?)».JFJ(¥«Uigatut pknum , jLPp fubicap plano ere j 

'1 K'-'. ftum; I 



i^ni ; fiimiitcr manMte FcJ concipiatur planum FKRG fiibieflo pU.' 
no crcftum i vcluti G2YH planuin eidem (ubicdo plano ercAum. ninc 
anmlme* FP FK vna tantum fiet linea, veluti GR GZ» punOad- PK 

al iiPR<OritE-MWul 

iiaisqcj* tnsiu^il tfiais oaelq o£>idul ajr'jn(Iv3 anoi 

. oisdhalab xa» 

Aliter idem inucnirc/ . 


Ijfilemeonftiu^Sida* 
camr 'S^ipfi FI eoui- j)' 
diftans i ihulligaturquc'*^ 

FI feiUonis liitca^, exvU 
gefimafexta ptarceden* 
tu libri figuram mueiiier 
mus liPQj qu^jin (<!•*■ ■ 
Aionc.oficMct ' ipfain 
CMN/. fi^ttilcr duca*~7 
tur SO *nuali»jpfi SA, / 
mfi vero/ G^ ^quidf- 
rtans}iniclligaturqi <5H 
IciFionis linea . ex eadem 
igitur inuenietur V2^> 
auz figuram t)TXollJ- 
dct. pariqUe ratione .du< ' 

Icatur SV zqualis SA,' 

&ipfi FG zquidifiai\$, 

,qqje intelligatur fetidi 
nis linea, inuenietur^ ue 
fimilitcr figura BKR in 
lc?aioi>o.rHpp«feM:»',«».".i 5l.a 5 ’ ' 



PtUib muiinuq Z ng 

obijiiiJi oiav iltTJO , 

ti) 

Iq ofaaidul 
/£d )il 

'lairtiil 
'yqui ni 
rneup 

maniSTsqljt^ti 
uai bofp . yjjd 

; noLos lumsup 
’ ,2'J iintOLt /v 
»>■51 rriilM» ilbnii 
Oi ipuiiufb 
ifnHiL ' iil )FT 
>Up1Ll 

iJosibna^^t/j.qi 
Ui i)'ii lup ,Vh lr>j| 
• ''Q .rilciips ir.il 

rri:il',ill miiiiniiq ri lirn 

«..wiuvu.rnvpvnma-i.-^w.-.isi a r •-j„, 5 ,,,j .auinaiTiqsi :) 

Mibiip oemiltUAiiqiiieiae^aplaifisdicrctibeiid» rnnCinotafitiM{ttW) 
bu$c»fi*sc8n»pparep»figg«,.quodfacercaportebat> uH lumi-iiaaoi 

Q^uii>awiinvpc^pMCS>iefigurz.a(>ct>duonirki>oh iWtbt critinkR 
puulumrqjicnwdmoduoitjzjfigutq: I-PQ^BKfi. pZY-inaiiqualcaiooe 
apparci^<oftea<ktf,.qHori:fliiidgBi^qt)(vt.iia dicamij lj ««tfbeaiiz pn> 
ftoaiu.Winufincrim«s, vtf^M<gawr .^^GHl^abicft^« raduhia4o-plR- 
no i duAaque fttcBtfeftiWvliflea, vtii pla«ueii| a-,datumdue iu^ittaucR 
,di<taoti^ida#wjtJcpculi.^udpu,,..,j,,.,, ol.o ->bo> . ^ 

H>S^Qn(lruaUrquofli«D)_pitni%i LPQ tnteUigiuitBnclIiicxrpendKst-j 

! Jatitct Uipt* , anuenigtiv; fn reOipne . vbi apparctipoo^iwiupca* i qla 

j!liBldm»uJi. *i ^Wpuna»M«fi>p»».l'f •*ltilUdi*:r'FP, &vbt puaaumitb: 
fupM - ^WR^ii^iOi-SQji-^ritqueiftoiilvlcftiono apparens jjziijta, 
jiit>t(cili£et,appaccc LPQj^^iuodidcibfietiaaki^ totaoueappaicpsdigiMa 
iW*“?*f*®*** '*■ •.••■'' •U',.- - -f;ia iitiai 

i1»«9wucifl ^nInllIti3feQUC(itiwl6h^liouo6di,6c^Lpotctic•^ w 

|-;l jv - II ’ ' -* ;s T.^ iuii':. j-ii, j. ■> ;m r * 


i: 


pr6ble* I 




if4 F^E R s;PHgc ^rainy ae 


i' . ' 0)1^ ; rnnnEl'j ijlC! ;btio:> DI ajn ■ • i'Tj;.l;;nil 
: ai .f.' ont. : ( ODirjiil niobisfiiirntlq HViD iubv;r:;i', ...ji 

,i'l ■ —iij,’ »SD MD ijub/ .i.jfMli. ^ iniiinticn/ Ai 

= ?RO Blfi '1* ROl»OSTTfOi'“ ‘ 


DVjr:;. •, 
‘il C 


t! 


Oqijp djRo ^4a«t|uectg«w,i% fuMiftd fbao . ai fc- 
£lionc cyliadrica fubicdo plano creda Aguram apparen- 
tem deferibero . 


oiia:L'm nrbiisiilA 


Sit S punftum diftan- 
d« , oculi rcr6 altitado 
(upea fulncAuin planum 
fit SA. figura ver6 in 
fubic<h> plano fit BCD. 
fit bafia cylindri EBF in 
tubicAoJ)lane- operet 
in fupctficic cylindri ta< 
quam io feftionc figu- 
ram apparentem deleri- 
bete . quod facili alTe> 
quemur eodem modo , 
Ttducatur CS> qu( cy- 
lindri bafim fecet in E, 
ducamrdi £G ipfi AS 
zquidifianr ] connefla. 
lurduc CA, que £G 
fccct in G. deinde ipfi 
£G MtpendjcuUrisag^ 
tur £H, qux ipfi £G 
fiat «qualis . Dico pri- 
mUmpunlium Hiplum 


e rcprzfcnt»e. hocefiintelligendo EH eile in fiiperficie cylindri fut^e- 

A<\r\unAiY^Ari tr* CU i-»»., - 



fto pfanoaeau in w ' EH^fifii^^r p*nIld^ammi‘^*\’SS! fi'Sdm 

wncipimusEG fcaioniihnMmeiTci feaioquefijcrittubieao plano c«- 

ua. tunc EH ( cum fit cylindri fiipcrficies fiibieao plano ereSa J erit 
ctmnmnis fcaio fiiperficiei cylindri , de reaionii per EG oanleuntU. 
Ojute mtelligeodo lineam EH in Icftionc fubieOo pUno ewaa. pu«. 
oum H ipiUm C reprxfcntabit. Intellinturautcmpuoaum H efie in 
«ipoficlp cylindri, ergo punaum H in Inperficie cylindri i^um C te^ 

prxicntabit. eodemquemodoinuenietur punaum K ipfiira D oficti- 

dens. Qnando autem erunt EH FK in fuperficie crlmdri , tunc non 
eiuqitan^dapiwiU HKreaa linea,ctim fitcylmdri fiip^cies rotunda- 
fcdin CD, yeiuti etiam inCB BD plura Tumenda fiint vtcuoque punda 
TAqu6 pluta.e6 raeUfiaJ&ybiin fuperficiecyliodri apparent, inueniai- 
daruntrdcuufe ipngcnda fiint punaa lineis cmuii , inuentadae erit it- 
gura BHK wf^onc cylindrica apparens, qu* per fimilitudinem erit, 

ythxcinplano BHK. nonquddpropviiin plano hncfigaraoftcndac.n 

ID fuperficie cylindri proprii apparet, m hoc enim ptaxis confiftit, v tex U. 

neii ■* 


^ . LIBESL •'TE^RTfiVS.^^ 

’ ficis in ptano inucmis ( vcdiAum eft ) figutam iii propria (upcrfiods djlSdri 

dcfcnb«cfaciUimumfit/vtpi»tcCf ^uodiwwcorpottcbit. , f. . , 

^ titc operatio , tam cbnaexo, concaubTupcriicici cylindri de< 
fttuict. ... i 


PROBLEMA PROPOSITIO. 

, imi fioii :H 

< ' "tip i< 'T 

Oculo dato , dataque figura in fubiedo plano, in pro- 
poli ta ledkionc quocuiiquc modo dilpofita fubiedo pUno 
cretSa , dummodo lincx a fcdlionis linea fubictflo pJai^o 
perpendiculares dudlz , fint rcctx , figuram apparcntciiu 
deferibert- . 

. ■ ! -pv.- 

^ ' ... . . 1 *. 

I • . . .U - »r3 ' ' 

Ijrdcm adhuc politis , fed fc£lio in 
rubic^o plano lineam tadat EBF . eo- 
dem naododuUis SEC AC.&EGipli 
AS xquidillamc, fadaq; EH ipfi EG 
pcrpcndiculan , & xqudi, qux intcl- 
iigatut in Icdionc , & fubietto plano 
creSa, ob eandem caulam fuperius al- 
latam, punftum H ipfum C reptx- 
fentabit. vtinprxce^nti didumtuit. 
ititainalijspandii det inacnietnrquc 
per plura pttnda Cniifiter figura in lc« 
dionc apparens . quod tacere opor- 
tebat . . . 


' V • - ,'v \ \u .. I_v. ' r ^ ■ • ■ 

*•■ ,r ■. ■ -V V'. ■■ f t; 

- Z/t Auttm 'm /ictionilms /olidorum oltitudiaes iimeuiA, 

mus gintrAU rtguU, hoc modo o^tqusmw . . , . 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXXIIII. 

.•/ . : /. .o' i ! ;• -j‘i u;i i /. . .i <^;i 'i 

Sit S diftandii'pubiwm,'<« EP fc- 

c^^ioms linea . qu* h6n fit ipfi AS xquidiftansi data ve-' 

-nr- ^ ^ V a r6 

' ' — — 





PE R STTcTT^VTAE" 

r6in fubieao plano figura fit BCDw altitudo amcnT pun- 
<ai fupra C pcrpcndicalaritcr fupra fubicaum planum exi- 
ftcncis (it K; in creiia fc(5iionc huiuimodi piandum dc- 
fcribcrc^ , 


>'(q 


lOM 


Inaeniatur vt in v!g^< 
fimanona huius figura 
BPO, qu* iplam BCD 
rcpncfcntct , lineis FG 
AGC FP eodem modo 
confttu^is . Deinde i 
pundo C ducamr CM 
ipfi AS xqnidiftans , Sc 
ipfi^ K «qualis . iunga- 
turque AM. cui occur- 
rat FG produfta in H , 
producatur^; FP in L; 
fiatque PL «qualis GK. 
nunc fi intelligatur linea 
FL fiibiedo plano ere- 
(£Fa, erit ( vt in eadem di> 

£tum eft) FL commu- 
nis feftio planorum per 
FE FH tranfeuntium . 

Vndepundum L often- 
detpun^m perpendicu- 
latitet fupra C exillcn- 
tcmaltimdinc K. quod facere oportebat. 

Hac ratione , fi feftio BF fuerit cuma, vel alio modo , vt antea, idem quo- 
que fimilitcr inueniccur , in quibus etiam (olida , quomm flantes ierint in» 
«quales facili ctitinucnire, vtpcrrpicuumcfi.ijstamep adhibitis conitdera 
fionibus , vt in vnaquaque ptopofitione diflum cfl, • 


Ex his autem alia componi quoque pojjunt fectitnes , njt in fe 
quenti . poflea quomodo in planis horizonti aquidiftantibus, in came 
rts huiufmodiy oblecta reprafentantur , breuiter perjlrin^emus . 
in quibus omnibus , cum dicimus oblecta , fiue imelligantur plana , 
Jiue folida , fimper inteliigi 'volumus ea todm^quo hactenus aece 
ipta fuerunt , modo . 



PROBLEMA PROPOSITIO. XXXV. 


Oculo dato , datoque obiedo , figuram apparentem itu 
fedtione dctcribcrc j guz duobus datis planis conftet, quo- 


ran 


■ LIB^a TERTJVS., i77 

rum alterum Iit l'ubic£lo plano crocum , liipra quod fic^ 
alterum inclinatum , horumq'uc plaitbrum inclinatio fic 
data, quorum quidem communis Icdio fvibic>3^o plano 
zquidiilans . 


'Sit S punQum difiantix, & 

SA oculi altitudo obie£him ve- 
to fit BC. fitque EF ic^onis 
Unca leonis creftx . & quonia 
fcQio componitur cx duobus 
planis , exponantur linex GH 
HKi itavt GH fit altitudo pla- 
ni cremii, produ^que KH, an- 
gulus GHL fit inclinationis an- 
gulus datus plani kQ. 1 , Si incli- 
nati ; vnde HK planum often- 
det indinamm . t^oniam au- ‘ 
tciu intclligitut GH lubieOo 
plano crcft.i, ducatur G^, ipfi 
OW pctpcndicularis ; crrbvtiqi 
GLK indinationisangulirsplai' i 
ni inclinati HK , & fiibiea? pia.- . 
ni i diftabitquc in fubicfto pia- • 
no fc^onis linea plani inclinati 
i fc£lionis linea pl^ eredi qui- 
ritate OL . itaque intfUigatild 
HD communis Icdio planoruni 
pet GH HK tranlcuntium , erit HD. vt fupponimr , fubicdo plano 
xquidiftans. velutifiintcllimtur GX Icdionis linea ereaxlcdionis GH, 
erit GX ipfi HD xquidfltahs, qubte, dcduda LY communis fcdio 
plani inclinari, &lubic^ plani, erit prique LY xquidiftans HD, & per 
conlcqucnsipfi GX. Itaque ducatur EM perpendicularis ipfi £F» qux 
fiatxqualis GL, dncamtijue MB xquidiftans ipfi EFierit MB Icdio- 
nis linea plani inclinari in angulo GLK, uux quidem inclinatio imeUiga- 
tutcircverlus AS. His ita conftitutis exifiente linea EF icdionis linea, 
inueniatiir apparens figura OP , qux oftendat, vbi apparet BC in ere- 
^IcdionC' Deinde exifiente linea MB fcdionis linea, inucniatur BR, 
vbi apparet BC infcdioncinclioau,cuiu5inclinatiofit GLK- extetum 
ducatur ET ipfi £F perpendicularis , fiatque ET xqualis GH, qux 
eft altitudo fcdioniscrcQx, cumque communis fcdio plani erc^,& in- 
clinati fit (iibicdo plano xquidiftans , ducatur TV xquidiftans EF. & 
quoniam creda fedio terminatur linea TV, tunc fi contingit obicdum 
BC in vtraqueicdionc videri, linea fani TV Iccabit tincam OP. con 
tingat itaque,dirpcrcacqucin V. inucniamrddndc infiibicdo plano pun 



aUCid? -Ll: 


V • iuuciuaiuiucjuucillJUOICCCO pianopi 

du ni, qu(^ apparet in V, fiujucpundnm Z, tuncpcrlpicuumcft.liin 
(clligatur fedio FETV vna cum linea OP ctTc luo loco conftimra, hoc 
eft lubicdo plano creda, lineam BZ in OV apparere i reliquam vero 
ZC in hacfcdioncminimiapparcte. fiigitur intclliganir fc^o inclinata 
finiilitcr fuo loco collocata vni cum linea BR, tunc in pane huius le. 
idionis.quxlupra1incam TV cxiftct,api'arcbitfcliqua linea ZC.iuquc 
ji ouentum fit pundum in fcdionc inclinata. vbi apparet pundu m Z,- 

J linea” 


ytinfecun 

dolthro^ 

21.2J.iK- 

iiu. 


J_I.J2./<- 

eidibmHt, 


Er >2.1]. 

buiHi, 







J:/- jy 


HU •■ .»Ji 

:‘'. , 

::i. . 



lincj miumim (Q_R ,rcpr«cfcn. 
t»bu ipfain mt 

clinau. ncccffc cK cnim Ijheaj 
OP Bll> quando rc^lonM fiint 
luis locis conftitucz, Ic inaiccm 
diipefccrc , vt in punftis VQ^. 

Quapropter linea BC appare- 
bit in OVQR. . neque OV 
QR. indireihim exiftent.cum 
propter feftiones angulum c6- 
Ilituant. attamen Ov QR.ocu« 

Io fupra S altitudine SA col- 
locato , rcAalinca apparebit . fi» 
quidem redam reprifentant li- 
neam BC, 5c qux reda Aint, 
reda apparent . quod tacere 
oportebat . 

bimilique modo fi planorum 
fedionein conftimentium pri» 
miim quidem fuerit inclinatu , 
vt LH , alterum vero fuerit 
eredum, vt HI, line* inue- . - 

nienrut apparentes ; in fcdionibusi^ue line* EQ Vc oficadent lineam 
JBC, itlvt BZ in fcdione inclinata appareat in BQ; reliqua veto ZC 
appareat ineredaledionein VP. quzquidciu BQ. VP/ rcdionibuiliu» 
locis collocatis, in dircdum apparebunt 


PROBLEMA PROPOSITIO.' XXX Vi: 

IjfJcm pofitis idem inucnirc , vtraque vero plana , qu? 
fciSIionS conftituuntjfiitt fubicfto pfanoiiicliuara,horutncj5 
planorum fedtio communis Iit iubicAo plano xquidiftans, 
inclinatio autem primi plani ,ac iubicdi plani Iit data,. 

Eadem enim ratione idem adcquetur .duda autem GL non ad angu-| 
losredosipfi GH, fed fecundum inclinationis angulum damm,c*tcra' 
fimilimodo fiant, quod facere oportebat» 

'Ptriout ratione ex his , J! fteti» tribus, "vel adhue pluribus con~ 
(latet planis , partim uerb fubiecto plane erectis , partim 'vtro in- 
clinatis , vt dtetum ejl , fimiliter in ipfis apparentis figurae inueniri 
poterunt . | 

Ex his autem cp* ex trigeflma huius alia multa componi. poterunt 
fectiones , in quibus , quomodo apparent obiecta , inueniri quoque 
poterunt . 

— p iTo p or 


I 


aJL \BB% pTEft T S*T as9 


. ‘ ll : 

; . . ■ . i. ^ - 

iC • : fO 


PROPOSITIO PROBLEMA. XXX VII; ' 

■ .1; 

Obie^a in plana fe^Hone horizonti «quidift^iitc 
lcaate> oculus rero iic infra f^oncm.. 


1 

.i\ • 

Y> 

H 



• A . 1 1 7 


Sit ooitus A . iit 
obicum -BCDE pri- 
m6 pUnum . fit vcr6 
pUpum FH boticon* 
n zquidiftans . fitque n 
ocalus A infra pta* - 
num FH. oportcaKjf 
in plano FH tanquam 
in lefbonc figuram in* 
ucnirc apparentem . In- 
teilizantur primum li* 
nex BE CD horizon* 
ti perpendieularcs i In- 

tcRig^qUA planam 
FG bofizooticreaum, 
quod ^tn fiiit BE CD y 

hotizonfi miserunt . i/a( 

BE CD‘ inplano 
plana ver6 fG FH c- /-* 
runt inuicem etefFa , i 
quare ducamrab A ad (F 
planum FG perpendi- 
cularis AS> ducatur, 
que SK ipfi FK per» 
pendiculatis . fi^i FK i>j ri i u 
communis fefFio pia. 

nomm FG FH» eritvtique FK horizonti xquidiftani. em petpendicu- 
larcserunt BE CD> ItaqueintelUgaturplanii FG lubicfbim planum i in 
quo eft figura BCDE.punfhim|vcrbS fit punftumdiftantixi & SA oculi 
altitudo mprarubicfhim planum, in quo cft figura BD- fitque FK 
ftiooislmeatfc^ioqucintelligaturfubicdo plano ercfla- Qiybus cogni- 
tis manifeftum efi oiunibus modis antea ex pofitis polle nos in BH tan- 
quam in creffa fcAionc figuram BCDE reprxlcntate. Veluultvigefini<^/«/,n,i4* 
primo modo vti voluerimus '■ fiar SG xquidifians FK> & xquaJis 
altitudini SAi ducantutquqjPG DS. qux lineam FK lecentm LMij 
ducacurque MH ipfi >'K peipendiculatis , quxfiai xqualis MLi nimi.j 
Irumpiuufitum D apparebit in H a eodemque modoinuenieturpunftum^itf. frent 
,0, vbi fcilicct wparct ipfism E. A quoniam punfia BC funt in 
ctionCi ciiin in (edonis Unca lepcriantur, apparebunt BC inieitiw^n 
iiirdemmcr punfiU. luuganmt igimt BO CN HO. obicaum BCDE 
lin rcfiionc appa rebit in BONO . ■ • 

IT ' 


N 




*o-.' 




1„‘S 


Er ll•&» 
lw« 


u6d G fuerit BCDE 
uoicflo plano bafis 
(olidi , cuius altitudo 

(ueticMVilftJPy. (a<;*A I 

:ipienda nunceft altitu H 
do cITc ea , qux eG fupra 
planum BD perpendi- 

;flWlJaMi4emx hnothoH 
:rit Irorizonti zquidi* 'i 

hns, Gquidcm intclii-' 

;itur BD cGc horizon- 
ti etcCti , vt Geri folet 
ttn hoc operandi modo. 

(taque ducatur DY x- 
quidiftans FK» duca- 
[urque YIG; addijeia- 
:urqueipG MN quan- 
:itas NR. ■ quz Gt z- 
qualis LIi nimirum 
aunSum R in fcdio- 
i aeoGcndct folidi pun- ^ 

Juni flipra D altitudi- - 
ac DY . codcm^s mo. V 
do inuenictur pundhim 
T. quod quidem pun- 
Rnm fupra E altimdi- 


•ni wmi^h anoibolm 
-nl. rfi'..iiauq';ii3iifrai, 

•il «fjiimq aufritjiiibi 
•no.' i.ir! UD 311 isi 
-nl i -9it;inil naqwq i 

ne DY rcprzfcntct. Itaque quoniam punfta 





I • ««««(V 

||pri»i bn‘ 
:r»i. 



muriilq in: 
nosiiori H3 mui t:' 
upiii . intiijjiup ' . ti 
ilq ifini A tui lyu 
pH- ■■qo .Hi tj im 
iiiEiqulH lii ontiq r: 


quare lungantur QR ZT TR tO RN. 
dum mfc£Loncrcprzfcnrabit.quodGiccreoportcbi^.jj^'^^”.‘^^ ^ 


A 


. EJwI. 

i) lyL A - 

-iylt. 
»W... 


■ diaitnil 
nio'aiuiii )iui| 
an;, -ut; auiip 
q «J l rriu. »i'{ 
'A 


Cxterum fi per pund^a^iiicarum couoqrfvi u^fuixtiu^ 

nirc placuerit , decimo autem quinto mb<l6 

e • * •‘■•'l '■ • <.fiiirprno:> 

ii.-.osiiud >13 ■sopuviiia iH3 Oi . ni>.' 
III , mamiq rTiinj-!i . .h ii.:'<iqiii:c illajnioiipol .tl.a HH ii 
• <) A<? >i -r ! . liui-i... . J.'i .. /rn. i niiq.HCi" ^ i. 

I 'M aiip il .'.I i.u.j.ii r.' oii;> III . miin iq Hinl:: - .i..i.b ii::- 

Ijfiieitifolitis vtiivTigeGma fecundi huiof dklum efl, fieunduih^ «fetih 
Gtumilnuesianturjunfla OC V-concurfns .• Gt^trti-XjnjnfltmiieblftaiSi 
fus ImeammiBB CD. inuctiiatur^ucfi cadenvproppwione Iteira BR . 
lines nianirum-BOi CH' QR^ZT tn X ecndetir.erit^ueGmimerihDen' 
taspparens Gguu .BR . .«t.perlpicauni eftj G mMlIi^tur planam , in qiit 
cftfiHura BR, punftadu»: XV- fiio loco collowtairflOc cft cGc in FH 
quod quidem ptairam FH iiqercaam plano FG. ihquo cftfi^ra BD, 
CTitqneiunc punfluni Xi'ita'«onGfmtumiArt'dDdlra ab^lA in 3t tecta lia 
nca, erit bzc plano FH «rccpi. quz quidem ipG KS, ac per confequeris 
ipGs BE CD-zquidiftinsciiftet. Qipproptet erit tunc jpiincnim Xpfi» 
ctum concurfus, in quod lincz CN BO' ZT djR tcnacfc de bent . exi 

_quibus~ 1 


:i/t IBlE R sT^i 


q^us patet nos omnibiis rmMbi (^cmR^pclitiiDxxpd&tiigu^*) appav 
tente* inueniripofle. -tlq bt cntiujibuaqiaq 3D nv.jrCJ . sii - >i.in 
Ob praxim autem fi aiTMianguto pldnoiipin^ 'i ^tfyihv^ a 

^ horizonti xquidiftaflSbpbhWCuUpi^k^^ontft m !■ 

icatuj pcrpchtficularis-V^lQi® enthic irtiB;. OH nw »i 

vtuq®:*"'»'*'* apparensf^rit BCNO>PVtA mituli 
diS^eft.yflfpromlibuoakjtlfi BQNOi> , 

nobii-4etermtnata-in fcaione^igotawlt^» O * M> J . i « 

■tejgjHntiquodrcpraftmtthbrJeonti m-rii i) j':; 

xquldrftolt» PCi.fi!a)ialiiii<mil niob .mi 

apparen^ fibras , qu;»)dftdn4ant:xqualiaii ni ripz . H niiidbic; ii. i 
oDicaa,iihi«nire voluerimus. fiant GL- BMjial/nrjir. HH3 nuidaic-jq 
&c< xqualcsipfi BC. 'Gi iitQ 3Q3 fi traiut niubnsK 11 

MQ. quiVendantad P,ldrfcaiun^n«'J»iiBiiii/nna 3 <ia ilu-jiiaani H' 
dircSum i^ ON, qtUrtprti«n>i»K ibriuimnabeisqlivnx d nialm 
xquidifians BF, ducani^aetOO »quid]ftiiiiti.BH, niminini^fi^ne 
BCNO GLKl' BMC 2 P>l:hdit!tn. uatofft apfidrenies, iquxrobieaaoilcnv 
datctopiaiiinb oifi€ (fncHKamil£C.>CCl?<bnpatqaaksviincadueiiBF e£b 
canquaiii.rcab^is.lMMVJCDiabqqidiftam-aNidlCi qax.bftcpdtiht hneas 

uHL jUrupacailcIa* 4 . i»P^trii>aa«bieai(Vo«tyanaiKMKqD>bib>}deo~BhI 
GK mbiedbjaiqtuteottaiKluaajiqiiad iAshvdjii ^cfidrfigBra. fiMQOs 
nam pari ratione inteliigi potefi BH efle fcaioni*iinea:^;cniiMQidiilaa 
OQ,- atque ita linea» horizonti perpendiculares in P tendere nciemus, 
& quemadmodum eas. qux horizonti f quidifiant, dc funtipfi BF paral- 
lele, inpiano FH ipfi BF parallelas duximus, ita eas, qux BH y^uidi- 
Axit.ipfi BH 5 quidiftarc faciemus, atque hac ratione fi completa fuerit 
figura FH, pun^mqdl: Plfiicifc, fiife noM fiicHt in medio ipfius FH, 
omnia ex ifs , qux diAa fiint, facili defcribcntur . 


Hoc iJem mufttietur , fi oculu» fittrit fHuMtr* 

militer ttfuuUHorrr , 

exi fiunt., jiteMig 4 »t^ tnfret ; or,’T»aJ^im f ^u* inferii tolhe^t» 
funt , fufiitii-canttiiiuotur . ntnttii vj 

y C | ^ .S.TI-- ..ifi •,• .binnieiiin.a i , 

V \ *°i ' aupji) ii,f 

^ ioi4ji,t.r;'i!L.'i!ins'{i3'r ett. i' 

pko B L E M A PR 

> ‘t y v i .3 rmrlj:.7h 91 ■■ DA 9"i,iiiji 

I / / ton.i -.ofti • «iir inuFI .3 /li 

S ' y ■ I >.lq'l MOl' '• ’ 11 ni ti M.. • :ori 

ObidCUln cdncauo port^ojri|^Tp%<^'^ 

^ionc ripraefcniare, in perpantitculafi aiuetn a» OiiiuH).in< 
badm fi' centrum iraarrffc.'^’’' C ^ 

•A .nmoii.91 ili -1 t M ni oijni' ■ or- 

ii' oiv.orM m fi ■ i.rl , IT Dqi issbrit)- , ir 
ai . smni IFni fh i' 'lo^fn-Thb idv o; 
-571 iii.d aiiloiiMi Miu-mlib rnin-l, ijq 

idfi»fphaa»3ip«rtio,#f^, «>1». Wi»ifi|tCiirw\WfiB&^^ i>apj{ft 
ptipftitf Iwnilptn.^IsAs luWmirfitqHPfwlife duilaivca», A5' p«Pr 
yx^> d^enla^l>dpky>^» Afcii<«3>wro.<w4wipwrWfi>jyc3iA^». PP<yq 
jTI X tet 


■.tw.tvt 

.t«m» 

.«kavlT I 
.1*1 


‘Ex 2 f.fr! 
mibxmt. 


( 


i6t P E R S P E C T 'i V ‘AE 


tct in (ptuericaiefiionctVbi appam puocoim <C 
inucnirc. t)ucanjr CB perpendicularis ad pia- 
num circuli BEi iungatur^uc BSi emMCTtt<]t)c 
FrrrWelAS S0 BC in eodem plano. aqua! ^uidcniceet: 
mni. fcctioncmrpKxricamin BD.;Clrie vtique BDcir- 
I rBefda-xulus . Itaque intelligacut A oiuhts.i $ iwn- 
fb. entm diftanuf i ducatur^uc CA. qu( BD wcec 
in F> punctum vtiqu e C in foh^ca lectione 
apparebit in (• quod fi in BC aintd fiiniituf E' 
punctum G, ducta (imiliter GMA» puacona)....a. 
b apparcbuin H- fic ita m aliis , nrade linea BG. 
ipparebitin BHF circunfercdU».. 

Notandum autem fl BDE Dtcrn dmaidiaMie* 
ra, tunc cuculi BD centtumnriipunctum S. fi* 
quidem S clTetfpxt^ centrum.fi vetd icctionii* 

BOtfiieritdirhtdia fpbKFa a taticciKulus ent vt BK. 
coiut oontraovciat in(cc.&A. vtan i., qnddfi 
fectio jnaiorfiiorii dunidta l^fra. cimiliis ent vt BM. cuins centnim 
erit m A8 produoa i vl. an N . qu* qiudcm centra Icmper 1'unc centra 
^htrr^i&ilnaun plano por AS SB BC dacto;quandoquidemincodm 
quaqncplaaeeirciili BD BK ifiJd cxaftuat.lMiuuiiIiic coailorunicen' 
RB luac fiduer; cetMra « 



, li - iJp . • 


. i.ii rj(; 

P H A X 


I S„ 


Hd n. 

”7 


.'V" 


Expooatut circulus BDC > qui ac* 
cipiacur pro bafi fphzricc feaionis ; hu> 
jusverS circuli centrum Qc S. Datum 
fit punctum in fiiblimi, i quo perpen* 
jticulatisin planum circuli BDE cadat 
[n B, cuiusaltitudo fit BC. lungarnt* 

□ iie BS, fiiquc CBS angulus rectus :ip« 

(t^ue BS pctpendicularis ducatur SA, 
non ad eaTdcm partes BC| Mque SA 
^qualis difiantip oculi i pnnero S- con- 
nectaturtHe AC , qu? circulum BDE' 
ecet in r* Nunc amem inucnienda 
iint puncta in ipfa fectionc fphfrica > 

|utrefi lectio cfi dimidia iphcia ■ cuius 
centrum erit S.cxpunao F infphp- 
ra Inuenicmut , vbi apparet punctum 
fupra B altitudine BC. nempi fiim* 
pto puncto in ipla bafi Icaionis.quod 
refpondcat jpG B ; hoc cft in proprio Io» 
co . vbi deferibenda efi perfpeaiua . fle 
per ipfiim deferibamt circulus bafi erc- 
ctiiSiqtnfcecntTrcamdfim quantitatem BF, nimirum in ipfoappaahbH 
non (olam datum punctum ,vA<hm etiam linea ,vt BC plano bras pcr*| 
pendicularis . Qa^ fi lectio mitiot fuerk dimidia Ij^fta, cuius cessintm 

(it ' I 



4 te g ptote h t livITs 


(it L, dcTcribaturcirculiu BK. fivcf6maibrai«XiT)cdiodii)u£»(ph£ 
ta, cuius centrum fit H, «fefcribartJrdtciHii «M'.‘ eodcmdue mddo in 
omnibus inucnictut. vbi apparet in fptiiera^ ilamm pnndW. qv^diccte 
oportebat. ■ *_o' rt - 

Eadem prorTui ratione fiet , fi perj^tUcuhibd tUo MnOd noa in tk- 
cunierentia BE, vel intra, vel eztta dreuM tdda^ vtm 0> mim «m»wIk 

fuerit OE^. duOa enim OS, cifi pdpdtdicuiara ^t’OP SM, !!»■»■ 

AFP fimiLteroftenda,vbifc^oft^aiHfacft,wdijcnn«s'.exqttil^ot)«e- 

Qapl«na,4croUdatcprxfciiwcnoa^«U0idle.''r >v , ni,... 

I133i.ll/v t:uu lii 3 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXIX. 


Obiofla in concauo coni ledi > anqaam in fcdiono 
rcprskiuGruio» ab ooulo antem pe#|>Qndiculan| in do> 
^ cadat in centrutiu . 
oa.iibmip .3 id «jiloqmoa Tijp ,30 
>]juL ,taniLujnU mrnou' , 'odaiji].,, 

Oati^uc SM leqilafR ^'conl. coiiiie-^^ 

Qantur^uc BM ME, ethvtiqne BME 
cqualeconitnan^lo per axem, quate 
du4b) CFA. :fi mtcliigatur , nianenW>pmrir 

g E, triannuram BME vni cum lin^mibn' 

C SA eiK plano bafis BDE cteftumltiSjb / 
punflumqaulcnvCappaKbitin F.ck<A?| 
pundioigitoi ^'ftcilSnit mucnire (nrr') * 
ex pliccacmUoWgrpotcft J vbi in proCr ^ 
pna (eilioi^apparct punAum fnpta ni c3 
alAbdiiic & ita in alijs'^ quod ft. /inoa t; 


m rfjaidO 


ccrcbpoHcbat. 




lil.nuool . 
aupicd , imncb 
. niiiib insmtijinfc mtul r 
•ino> iD twjli; 3noi£diliii il 1 :^ 
sJX williriiii luitiub.rii' '!!-. 
3 D 3 .IXHS muiiilq aupiui,-: 

1 1 1 '\ 


\ / ~r / )F 1 Hfl IV r)i , muv ■ 3 Clj» 

P RO^L E ^ '■ 

* '■ -iiviiM.Hil i! - 'iilrrif/i-ifirail » ;iv 


onsil nqtil i> tiiiiin 1 Cihbmlp sl 
•ii nubiiuxit nioihvjn) 'irntgiibif 

Ijrdcm poGd^/ obi^, 

j.:i ; od'.Ii n* at/Uif. 
■ l:.Til 3 ur.< 


Pphrioidis, nnmam in rdAioa«im«vleatauti>/>i<f>'>i> 

* . ata^-‘-‘Jini J.:i' oD'.Ii tii 




im 


I”a 


I 


r^4. p E R S P K C T I Vt AE 


'Ijfdem fimilitec conftrofti» , fi fi?t 
SM xqoalis axi cpnoidis. fiuc fphx* 
midit » fit fi conb|dci fiicrit ref&a- 
fulutn.loco BME dcfctibatur pira^ 
u-t fi vci6 Stetit obtufijpSMum • fiat 
h*p«rt>olai qubd C fucnt4{>hftto»d«, 
<lio(W>amr ellipfi* . codemque mpdq 
Ducntum erit pun^lutn ?»• ®* % 

ha fecari poteft , vt iopeiuatut , yw 
pparet punftum firpra B altitudine 
«5. fit ua in aliji . qupd facete optat, 
ebat, 


.y.iAXX •orriEOTo;!’^! 


PROBIEMA P|U) POSITIO. 



..IO 

XXXXI... 


nt 


ap?f.i 
uji iipzijwtij 
»1,.!- >in 


Obteat in feOione, qu» coropofi» fit cx cyhndn, co- 
ni, fiuc fphxra? fuperficiebus , quorum a titudmes , angu- 
liduc fint dati reprzf?ntarc;< perpendicolani veroabt^^ 
|o in bafis p|anum 4q^4 ?idat in erttrq bafis - 

DUpJi • • 

Badem exponantur , ptimiimqun 
padat datum ptinftum perpendicula, 
titer in planum BDE in O • duAiI». 

^ue lineis, vt antea OS OC!SA, fi 
primfimiefitio componitudex fupec. 
ticie cylindri , ducatur 'IHl^fi QS 
perpendicularis fitque alfiraao Bfl 
datai deinde li feffio habet conicam, 
fuperfidem , dneatucHK , fecundum 
angulum BHK datiun.fiat^ue HR 
fecund&m (uam altitudinem datam . 

Gmilita fi in fefhonc altera fit coni, 
cafupcrficies.ducamrfimilitcr KL: 
intclligaturque planum BHKL effe 
pafi BDE creOum , ita vt BH fit 
Ipfi OSLpctpim^cularis. ^nim,fu* 
fira circulum .'BDE inteUjnMt ft per- 
ficies fecundilm lineam BH.critvti. 
que cylindrica i mtfiis fi fupra hanc 
intclligatur fuperficies fecundiim li* 
peam HK> critconica,^velutigu(v 
tSonica. efif tfipcrficies (Mitl 
KL; cx qmbu^ coinpoiiittir.fisfiiQ> i: 
t>einde in plano BHKL intcUigan* 

Inrcflcqitoouelinex OC SA.intel- 

* ‘ jjgayirq 



111.1,0 rr l.,'l 


uc 


Dig'1z0(il Googlt 


LIBER TEkTlV^S. 

|igatur4tte SO in plano ckoili BDE. iunjptur4ae AC, qute fc^i(v| 
nemfecccin F. tuacvcin przccdemibus diximus , transferendo ncrapi 
in ipfare^onc lineas BHF» inupniemus vbi apparet punftum fupta O al*l 
titudine OCi quod facete oponebat. I 

Qu6d (i in feftioncinueniic votuerimus pundnrn in linea OC. quodj 
apparet in H> ducatur AHi quz lineam OC fecet in G. erit vtique 
pundum fupra O altitudine OG > quod queritur. VndeduQa ABM , 
punOum M linez OC apparebit in bafi in pundo B. ex quibus per« 
fpicuumeftlineam MC appaterein BF, lutamen, vt MG in BH, GC 
verri in HF appareat. 

Verum (i HK, vel BH > vel alia fuerit portio fphKr; circulis fquidt 
ftannbut£bAa,cxcentrofphzt;fiat HK circuli portio Iccundum iphzri* 
cam fupctficicm. eodem modo inuenietur.vbi apparebit datum puocnun, 
Sc linea i &ex hitobiecuplaru,yci lolida. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXXII. 


Ij(Hcm poficit obieda ia data..quacuaque (ctAionc reprx- 
(eniacc , qux tatncQ circa balira eodem femper modo 
habeat, dum plano bafi c^piSo fccatur. 


'Ijlilem adhuc politis, fi inteIliga‘tnrbaCs centrum N, dc rcmidiamCMt 
KPt fcaioautemfecetur plano bafi ereao, eucniat^ue PQR, vel alio 
quocunque modo, ita vtexifientibus lineis RN NP ad ai^ulos rectos . 
manente linea RN, voliiaturlinca NP in plano bafis, PQR verri dum 
voluimr , delicribatfixtionem ; in qua figurat apparentes inucnire opus fit. 
Data veto cogniudue fit PQR. tunc in figuta loco BHKL ponatui 
PQR, codcmmodoinactiieturexiis,quzdictafunt, vbi damm punctum, 
vel data linea, ac daum obiccram.fiue planum, (tue folidumin fecrione 
appareat, quod facMc oponebat. 

pROBt AM^ Propositio, xxxxiii. 

N . 

Obicdia ia fcdlionc dimidiae Iph^r; reprrfeaure , per- 
pendicularis vero ab oculo gd baum dui^anon cadat in. 
centrum fphxrc. 

■ ■ :lj 


i , . { ■ 

Sit fccrioim bafis BDE circuitu, cttwsccatnim Q, quod quidem etii 
c enui^mfphjcr^o fil oculus jV, z qoo pgrpmdicularrf adjplanny drcalj 

Spe 




V 


P E R S P E^< 

BDE ducnnoncadaciu Q^, (cdin S.vt 
AS. Daium vcr6 punctum (it Ca i quo 
.perpendicularis ad planum BDE cadat in 
B > vt CB i oportet in lixtione dimidiae 
fphaerf , Tbi apparet punctUiti C, inue- 
- _ . , ture. lunaatut BS, planum igimt per 
^ 53 BC dttctumeif plano BDE er©, 
cta. pioducamrBSvfqueadcircunferen* 

«tamin E. intelligaturq/ planum perBE 
; circulo BDE erectum , quod quidem 
fohxramlecet, vt BFE. nimirum (betio 
BFE circulus erit, cuius diameter eft B£| 
titm enim BFE Et in dimidia f^hzra i 
eritfcmicirculus. au6dfl BE tranfitper 
Q., erit BFE circulus maximus . C ver6 
nontranfitidiuidatur BE bifariamin M; 
erit vtique punctum M centrum circuli 

^‘'^iay^^/^SJtufvttumquc planum pe^ BFE & BE, planumque 
per BC^E SA dudlum , Ium plano BDE eretla . line* BC 6S SA 
circulusque BFE in vno, & eodem plano exiftent. quare dufla CFa’ 
conftatpunaum C infcaioncappaterein F, lineam verd BC in cir- 
cunferentia BF. 

• Vtveriin fphwicifuperficte valeamusf ducatur in 

^no arculi BDt linea MK perpendicularis ipfi BE, potrdpunaum 
K eft polus citculi BFE ) fiquidem circunfcrcntia BK eft cit^nfcrwtwXE 
«qualis. dufta igimr BK. manente^, pUnfto K. linea KB circunducatur 
pcrlupcrfic,emrplm«.punaumquidcm Binipla fph*riea fu perfide cir. 
culum BFE delcribct. Idem quoque fiet, fi Aflo centro M immobiU 

'^1* • i. 



fflfJ.» 
.Ali iV 


•} . ‘ 
AW' 


■P R.-. A: X I- S, 


__"Expohan»t''’(lttJU;tet circulus BDE* 
WpendieulattSTitltem' ab oculo ‘in pl^-i , 
mm BDE cadat in Si i punfto autem 
lato unquam ab obieao cadat in B, cu- 
usaltimdo BC. lungatur BS, culper* 
leodicularcs fiant BC SAi fir<}iic SA 
onginidoocntiijiunao iS. pladucaiur 
IS vfquead E) diuidarurijue BE bifa. 
lamin M» &ecntro M, intenialloau» 
em MB circulus deferibatur BF. dcin- 
fc lunjutpr CA, qu* circqlum BP jb» 
tein Fcirrlfjhzrica (eaione px punao 
F ioucoiemusaivbi apparer diibm pun^ 
aumhocmodo. Ducatur MK perpen, 
(licularis BEi iungaturtjue BK. Dcin, 

J efecetur bafit fphzric* feaionls fecun< 
iim BK , aaojue centro eo pundo , 
4uod ifsfirK 'eefpondtt,. moneatur Unet 
l ongitud>tUs.,KB perfiipctficlcm ^wi« 



;it 


cam. 






LIBER T^RTIVS. 


»<57 


cim, alterum punaum, quod ipfi 1 iefpond«,.afculom<«kJcril)ct. <wi 
'quidem pollcateceturfecundikin cuiquc inucntuin.tiibiBppatetdii- 
tum punaum , nec non linea , qu« cawpea B perpcndioalaui ptano 
BDE altitudine BC. quod facere oppetebat < 

Circulum vero in Tphetica fuperficie hoiconoque nodo rkfetibi poto- 
titi inuentis nempi in bafi punaii, qibrtcipondeaiit ipfi BE. Muenia- 
turinter hxc pundum medium . quodquktoM immobilcieddatut. tpfiun- 
que euadat centrum , deinde fecuadfim longitudinem MU dteuTu* fi' 
nulitetinfphzricalupecSciedefctibcnic. i' > u: .ou,- 

.. ' o.a 

. '1 id M.. 


PROBLEMA P,ROPOSITIO. XXXXIIII. 


Obicfta in fphzrica (c&lptic. ;Xeprxfencare i .^iuc £t 
maior , vel minor dimidia (phxra , ab oculo autem ad ba> 
fim pcrpendiculiris non cadi^ in dehirunu. 




'."A 3; 
orn)3 


•*: 113 

mi'- 


Eadem prorfbs exponanmrj & fi in- 
tclligiturreaio minor dimidia Tphera. 
erit BFE minor (cmiciiculo . quod 
vt cius centrum inucniamus, fit Q, 
centrum circuli BDE; centrum au- 
tem Tpharp fit R. deinde diuidatur 
BE bifariam in Mj planofiue BDE 
perpendiculari» ducatur MT ad iofe- 
notem partem . qu6d ciim (it planum 
plaoo BDE creaum, erk ME £* 
in plano B)FE. iunganir^ue QR. 
qux piano BDE erk ttem i 011 liat 
cqpalis MT . Dico T tSft citiuum 
circuli BFE. lungantur QM RT . 

<^oniam igitur CjR MT mnt pjano 
.BDE crea*, erunt QR MT paral- 
lela. & funt zquales. ergn QM RT 
Ifiint zquales , k. pacalius . at qeo' 
jniam plana BDE BFE funt ctcaa , 
ia eft 0)1 ipfi BE communi plano- 
'fum feaioni pcepeqdicubrit-,’ ctir QM plano BFE crcaa. 


V 




7. frimi 
Tbttiefii • 

<S* rudttU 
ii. primi, 

derint. I 


I 


8, -nitci^ 
im • 

ixii.fri 
m Tbtii» 

fii. 


.Ti 

•u 

,UJ' 




F. b/N b il i^iv^ ^ ^ 


r68 

RT patiUtta.jjtuTO^T Tiqi Loiip . fi f;6nuq rrui^r.. - 

cft ^ino .£ili.ciicda'W'qu*i&itr:j cfliS niijibnira^V'n-j3Uo^lo>; .'-rl 
diiits-fliarf»«WB.p , r>fnl (^r. -.-.n , xruf,. ■ - n 
cft duda TBj in circunfc*eati»q«fC smsi b»t»p .D8 smtinnis ■ 

9i.ich:<quyi3i»/i 0 1 ; c.»v fiiuluc i 
^QuiVd d£jc^p inaiondiqeritsdiini^ilinijq ftcj-a Pi ^ii na a^n^uni . 
dtTwftaM>’tvnio'MTiia£Lft^>itipreHiup . 
piitera^ac<&Hb cffctvoUiqi9»t>iiitm: U3r 
effct quoque centrum fphar* 
demque modo inucnictur centrum EI 
circuli BFE 


MJ.- 95 

1 nir 


.luizy.xx .01Tlc0<I0^|ft A ’3JflO;i'! 

P R A X I s. . 

mdfK«i hMglhgBtutiauttnl yrimiimic^ .1. ‘> n> le / , 'fJ 

^io minor dimidia fnbffW, diuidaW 
BE bifariam in M, ducatllr^ut MT 
ipfi BE perpendicularis j ftatdue MT 
xqualis longitudini , qux cft a centro 
Q ad centmm fphxrx , qux quidem 
(iipponitur data . etit vtique punflum 
T centrum . quare centro T > intere 
uallo autem dufta TB, circulus dc._ 
fetibatur BFE; duftaquc CFA. xaui A 
punflo F in feflionc inucniemus.vbicriql 
apparet punQum fupra B altitudii>rp_ . 

BC. quod fiet vt in liipctiori figt)Fi , '"Tii 
nempe fi lupra BDE iniclligatur-fcc rnuiiiiai 
£iio , inueniaturque pundum T?'Vt‘'‘Uib abniii 
diximus-, apteturq; itapunSum TqVtI atipoir! ' 
immobile permaneat ,• deinde ccirtttP' bt 1 V. lui 
T fecnndum longitud*nctn'TB med’"-! I ■ 
ueamr linea , ita vl punQum Ir fempet cbhtingdt ^hxritfam lupe^cieMs 
nimimm punfhim B citculKircunfcfdnfiaift defetibet ; quit qbidem (b‘| 
cetutfeairidum BFi &faAfimeritv <^od Cfit^o mai6f fuerit dimidin 
fphxra , runc MT- ad alteram partem' ctucdnda cllet ] exteraque eodem 
modo, quod facere oportebat. •■8 ' ' | 

_j.i- i /.^1 i ■ ■! 

PROBLEMA PRObo'siT‘i6.' XXXXV.' „ 

,1 1 •• ,1 • 1 

~'-;;I)r<lem poGtis • obiedx m6 in coni letSti concauos 



a Jixn 
‘A IV ri’£i-. 

lUlLjub li 'uaibii 

.rriuvq nis' 


L 1 .BEK TERTrysr 169 


«nqiura in ic4l:ipnetcpr«{entarqabocalo autem ad balim 
perpendiculari* non cadat in centrum . 


't V i.. . 

IjfJem eonfttnflii , ducatur pc» M 
iinea MfiipUno BDE orc^,.quc 
«nt ipfi BE. pcrpcndicuUru.. deinde 
peraecm QFT,; & MG planum du- 
catur ^ quod taciat in cono thangnluna 
DHK . deinde ducatur planum per 
BE MG) quod quidem erit plano BDE 
creftum , m ieuionc autem efficiat fi- 
guram BGE) erit vtique BGE hy« 
pctbola.fiquidemprodu6is MQDH' J 
inter fcconucniunt. dufta igimrCFA, 
puniium fani C apparebit in F< 

Nouifle autem oportet, quod du^ 
linea CJMK efi ipfi BE pcrpendicu- B 
laris I ciim fit linea BE bifariam diui- 
lain M- Sc quoniam data cll longitu- 
dine QH , qux cit axis coni , data 
quoque erit & MG. 


P R A X I S. 


Duflit fimiliter AS 6C, & BSE, 
que bifariam diuidatui in M . duo 
turque QMK, cui perpendicularis 
ducamr C^. qux fiat zqualis axi co- 
ni. Ducaturque HK. fitque MI x- 
quidiftans QH. deinde nat MG x- 
qualis MI; dc per punfhi BGE dc> 
Iwbatur hyperrola BGE; ducatur» 
que CFA. deinde fuo loco applicc» 
tut bypctbola BGE in feftione pun- 
rium quidem F oftendet, vbi appa- 
ret punrium fupra B altitudine BC • 
quod facere oportebat . 




-hJl l v6 


IX 3 . fTH 

mi, 

l t. rade» 
tim, 
£zis. pri 
mi,4peii»» 


]• terta. 


Qu6d 


I 


P E R S P E C T I V AT 


Quod <i lc6liones fuerint coftoidalcs , vel alio «juocun- 
<^uc modo , dummodo not* elTc poilint , in omnibus fi, 
guraf apparentes inuenirc poterimus, veluti vcrla vice, fi 
lectiones infra , oculus vero fupra ipfas collocatus fuerit. 

Prztcrea alias quoque ftdliones jn medium afferre po- 
terimus , in quibus , ex ijs , quz diiti funt, figuras ap- 
sarentes deferibere non erit fortaffc difficile , Singula au- 
tem percurrere non expedit; ne prztcr inilitutumlongiils, 
quam par fit, fermo protrahatur» . 


• Uft 


.umi 


V 


TERTII ElBRl FINIS. 

, . i • 

.1 ■ •• i 

\ . rJlu; tioup . janotjQ iir.U'.. itiu. 

\ It,:. ,»jrj'i Jd rt^tfh ■ 

-imb jniiiiiid M cjntliil mib 
Ih '.iKb liiiinoap 'A 
«jkli , mu3 2 jie Ito xiip , Hp 

3U;. 


'M 

•. * 




.2 I X A. J «I 



>a|a 36 .08 ?.A wi.Utnft u;'.. 1 
oub .M ni luicLimb uuiuucl at'p 
xiiUusibmqia*; iio ,X1/^ oul ui 

-o'j uculsuiix isr)xu(j .Hp 
•s IM aupiii anpiuliouO .::i 
• X OM Uil bbniib .HP ^nrftiljifji 
•ab <ffinuq isq 36 ;1M niiJO 
»iuj£3ub sPthyjvd luistibi» 

•xnlqqs oaui oiil abanc .AlP aup 
-tluq ioiioiflol ni 308 eloiltoT^d luj 
•sq']£ idv .labnaflo 1 mabinp /nuft 
. OU jnitmtll* il ciqiil mufimiq m 
. udinoqu moA toui* 


Y 


’<5 VTdT 


tTtoITTz 


ITT 


- 17 » 


'■i 


'bnntr- ' 

11 T 

<1 

KM‘: 

• • 1 1 

V‘-S.^ 


; nn ifi< 


35 ' 1: 

j 


nnirr f • -xi' i;- ■) , tl;; ' : ■ , 

N j:b;y s " 

oi Ili in3ikft<|s . 5 

■OliVjflltiM; ;! ru " 3U! A . ’hjO(J Ili: 

•iaowa 'P 

ui6t ni i{ 

E iQ V' A'K 'T ^ 

i3i jv j;_i< r -,nilqi:,;ii. 7ail(ji x5 ; ; nn irn . !is 

•ilq fJi . i. X3 j& , 31- >it ■'! 

MNlS<)iittlac ^euUltfc openndi ia^ 

. bor^^ difficiitns drci^-duo] 

irtodoSf cdnfiftbre Videtur j 
quordtiiTalwr in ratione daicfiben> 
di figuras ib'(edlion«ap{)arente^, iiy 
ter Vor6eii<ca obi<d>umin i<4)ndgraT-> 
pbia dVicfibcnda veriatar)'ditnirum 
vtqnamtibec datam figafami ffucJ 
(iM A*IUdam ) in-fiibi^dlfei 
plano ita 'conftituerc , Sc fingere noicainusivt ex ijs, qu* 
in fubicdto plano conftituuncur , apparentem in (cdliono 
figuram deicribere valeamus, huiulmodi autem iii plano 
defcriptianenx^fpifnroupi, ac «ito vocabulo J-^4«»saw) nos 
Itali appellamus) quippe qua omnia tanquam in plano po- 
lita conllituuntur. Prior modus in defcnbcndis figuris ap 




parnm lunotUR id' tecuqdb libro pcrtradlata^ 

ruere ; vbi dblW»6'4n iuoieilr# pfano exifteritr apparentes 
docuimus reprxfentari figuras > pattim vero in tertrb ex 
ichnographia Iblidi bafim in fubiculo plano figentis cunu 
dantibus eidem plano erc£iis ; vnde pariter in ieftionc ap- 
patcjDtcs reprilentantur figutac. Et quamquam abfquei^- 
dographia mi^a'’4uaquc reprxfcntatf molj]lriiflm'us', a4-, 
bnc tamen d^jucraritur quasnplurima ad icbnographiam 
fpeidaiTtia valde necelTaria ex. diugHofum pb^i^qrum mU^ 


V.if .n; 


liplicica 


to 



17» P E R g P E C T I V AE , 

tiplicicacc emergenda } in (juorum explicatione non tnino4 
n Itudio , ac diligenti^ , in alij|J;^or 4 nd^ai cer^^ 
quod quidem ab alijs X quo»^ ipic Viderim ) prxteYmiflunsj 
vidcr^r> . NiH pitp Bc^trior Me^mpdu| pie^peri 
ipcAus , prior xerti patum -vdltttti»- huW-ficultari^^fferro 
videtur . quando^ui(^m-jfx i^nc^ap^a apparens in fc- 
dione figura inuenin poceft. Neque enim indrumento- 
rum Tuffr^ip iybwu^ufpri» , «IijMe.;va^ excogi- 
utis mo^^ qui quidem fi^rii>ac prxre^^roliAsin adlu 
indigent ) figu^s jn /c£|\oiyc ;^pa^n^^ycqire noftrum 
elt propofitum $ (cd ez ipfiur difciplinz principijs ( vt res 
ipfa pollulat } geometrice prazes texere> & ex ipfis in pla> 
n^ fi^bfifia(i« inuenixe, vbA parpmdicularcs in rubieduxcb 
cadant pUitMm aquacunqne dyia ^gura»fiue plana , Gue 
ToUida re^Uiona » v«l quie ad rediiiUneam quoquomodo cc. 
fi;rri ppflit i.qiMt nullam ctitua babeat regularitatcm , 8c 
quomodpeuoque ad fubieeXuan fc habeat pTanumi nccoon 
manifeftentur perpendkuUiivim aritudines j atque ita ex 
aorum plena notitia ( TupppfirU qu«di^funt)quam' 
ibet datam bguram > Sc quodcuwque datum follidum im 
pi^apofita. fjcAiQAc. ccpMfeotarc valeamus. 


PROBLEMA 

Jt: 


PROPOSITIO. I. 

'■ :pij. 


, Dau Hguia plana teftilinea, fubieiSp. pla^ xquidiftafi» 
^e , vbi ab apgulit in fubift^nm pUoqiO {etpendicuUccs 
ludupe, eorum(|^uc altitodiaes, qppf pia ut dau , iuv 
q^niio . 


Data fit fi^un BCD^ fiibiefto plano, aquidiftani. fitque data BF aU 
titudo pnnfti B. Inucnirc oportet . vbi ab angolis CDn in fiiblcdumi 
planum petpcudicnlatea cadant, eanimq; altitudinesnotas reddete. Du. 
cancut ab angulis in fiibicOum planum pctpcadiculaics CG DH £Ki 
iunganturque FG GH HK KF. ^oniamcnim.linex BF EK fiint 
fiibicAo 


LfBfeR Q^VARTVS. 17 ^ 


£ 







fiibicOo plano cicaz,cnmtiiu«ift paul 
lelae; lines VC 16 BE FK lincvcoaiungunc 
pttalleUt BF EK s Unet igitur BE FK 
funt in plano Uncarum BF EK. quare 
cum planum BK fecctur i parallelis pla- 
nis Bp FH , crunc BE FK 'teralkls . 

VndeparaUelc«rammumcft Blk. ocpro- 
ptcrca BF ElC & BE FK intcrfelunt 
squales .parii^uc ratione oflendctur EK 
DH> & £D KK tiTc interfesquale*. ve> ] 
luri DH VG. & CD GH; deinde CG 
hS , & BO FG interie sqimIcs exiftere , 
ex quibus liquitur BF CG DH EK , 
hoq eft anmiorum altitudines Imerfe Mua* 

*P“‘ fK KH squidiftantes. erit an-lio. 
*‘l“»J«-‘'™ll4ierqaeoften«fcturangulosEDCi». 
KHG, .& BCD FGH intcrfli squales efle? latera vet6, qus lunt circa' 
squales angulos oftcnla funt-squaUa; erit igmir figpta FGHK squalu' 
“SH” BCDE, atque Omilime^ta. quare perpendiculares i 
BCDE in pla^^eadunr in punAis. qws quidem coftiunaa 

^ramcos^iiwsMipfi BGDE squalem iflefinditer polita» « petpen. 



6. Mdres- 
mii 

7. Tndeti- 


Sg 17. yn 
iecirn, 
14. pruni. 


lOtfiUfct 


■ ^£J-- : . 

* awo • 

•>ll ih. 


'.:iu Ii .iJ"' i 

1 ■ 

,CI ai 

. ynV jr.fO 1 . 


5 nntm *ir 


!■> nabiep 
Jja onalq «1- 
‘^7 '11 iiqi ■ 
^ 'Otl-T 

l< ' 


'R A 

J .U' 


X 

k*. 


I s. 


DcMbaiur in (ubieao planb figura FGHK, qus 
intelligatur fiib data fignra altitudine FB , qus fit 
data, nimiiutn punaa FGHK oftetidunt, vbi 
ab angulis dats figiirs in fabicaum planum perpendicu- 
lares, qucqaidemliintinicfle squales, cum fint oote 
nes ip|} BF aeqaalea . quod ftcctc opottebat. 

Ei his iacilb erit ex fecunda, vndeqimaq,- propofitio. 
ne, & alijs multis prascedentis libri rcprilcntate ngtuam 
FGHK > cniuf atoiudo lupta fiiMeaum planum ut FB. 


:rt jsno ‘ , 
Upm. .Jl; 


B 

■? 


G 

/~ 

iT' 


3 ^ 

K 


PROBLEMA PROPOSITIO. II. 


Data figura plana reiailinea fubi«£h} plano ereda, en. 
jus , & fubicAi plani dau fit communit Icilio . vbi ab 


angulis 


.-.Vr 


.\t 


174 

langulis in lu 
non eorum 


P E R 5 P EiC T f AE 



Cx}S.‘ 

tlttimi. 


ubiedum planum berpcn4 iai tadii 
altia»4>Bcs ^uj>ra,futucdum planu^ im 

i .. ..I . ••ViU ont 


tad-uiit, ns;c 


Dan firrcdalincaFGi 


. ^rhilntq k 

, qui iiudli^rar m#i i 



i jnucnue<; 

■Viil oni.; . ' iriul 
J{{I fni-T 

; inuij , HH Li' 

loplano:intelbxi«ar^i . 

quani^ quidem 

planunvcontingcrc m 6iinaq- ft . conpipia*. . 
mus. Dcmdc dcfcribatur figura. BCDB.in.ii 
fubicfto plano xqualis ei, quam yolumus 
fc daum , & creOam fubiefto pl^np 4 c^Cpi 
namque modo l'e habeat figura. ■ 

FG ..^jpcpa^^oiuHjjCqnifipi^ > i 

creaamadfcaodcmJuBCMU^IC fui>alJ«!tC:»;,T: { . 
figura vtique ;BCpI,'%;w SU9qu‘; f G iU loror . 
eodem Plinio B cootm^ct..^oitpirpuia«.in'.. 

Qainfubieao plano., ybi ab-angulii «rea»- ••■nii 5 . ■ . -HC! . - 

figiitxM iprum terpradreiflarct qaiduntj & angulortnn altitudines (upiS 
(deni ptafiqm inuc^e .^ CDiE hoi» CF DH £0 

a'alMtam'TG (<drpendicular^, filG ca'cpuna«'»vbi cadunt pcb 

pendicularcs abangulisfigiirx in tubicaum planum}hncanique FC ald* 
tudinem anguli C liipraTiibieaum planum oftendere, DH altimdincrn 
anguli D, oc GE ipuus E. Hoc enim perfpicuum cft. fi cmm incelli- 
gamr, manente FG, figuram BCDE conuetti vni cum lineis FC HD 
GE. donec figura BGDEfubicao plano f]ac cte^i quz quidem erit in 
eo fim> in quo concipimus' datam figuram cllcfubicao plano crcaam . 
tuneffigurainhoeCtu exiftente^ line* CF DH EG ipfi EF perpendi- 
cularcslimilitcrrcmanebuut;qux quidem ('cum fit FG planorum com- 
munis reaio, planaquc fint fibi inuiccm ad angulos redos ) (ubicao plano 
«untercax; ergo FHG luntpunaa.vbicaduntpcrpcndicularcsabangu. 
^isdacxfigurxinrubicau^l,U>unG k qqppram FC HD Cb iiintfiibic- 
ao plano cteax. linea FC altitudinem an^adi C fiipra.fiibicaum pia- 
numoftendet, HD altku(finem,aagtt]rD', ,a GE ipiius £. 

Si vet6 concipimus datam figuram fiibrcamn' planuin hP*> .confingere 
in B. fimilitcrducendaeOFtipun'ao B. ad FG pctpendicid4fis,eiuae.icfi 
dempundumin FG>‘ ipflusqucpqhai B eiutudm.cm odcbdpxcc. quod 
facere oportebat . ' ^ . 

Infcaioncautcmcx.VCtdicimawdc.dccjmatcnia prxccdcntis libri pto< 

politione fiinucniatur.vbiapparctpunaum B t^nqj^m m i*Jb>capp|9^ 

fioexiftcns.dcindevbl apparet punaum llipra F aldiudinc FC, umui* 
ter punaum fupra H altitudine HD, Si punaum fupra G altitudine 
CE i qux quidem punaa , fi coniungantur , erit ptofcao inuenta apparens 
figura , qux datam figuram lubicao plano eremam rcptxlbntabic . 

■ Jn his frtxibus , 'veluti ttum In Jtquenttbus , cmnilus modis 
]itfcribtnd\figut*s in.ficiieste'.afj>ertKtts^'z;ti ffvie^hriii\ ^uid fi /<■ 
ttio fistrtt etUm fubiteto pUno inclinaU , yil alio modo, nji diximus, 
ix iis, dicta fiunt , in ipps quoque figuram appartnum defieri- 
bemus , ia feqtuaitbsss asuem ob faeilitatem exem^a lautum expo 
nemi*s ,ae fi/ectiones fiat fi/biecta-plkWerrrriel] . 

^ PRb"B'LF~ 


LIBER QJ^ARTVSH ijs 


PROBLEMA PROPOSITIO. Hfci; 


D«to inclinationit angnlo daw ^ur» plane rc^linec 
fubicd^o plano inclinate» cuius * & lubicfti plani data'fit^ 
Icdiio communis , vbi ab angulis in fubiedium planucu 
perpendiculares cadunt, corumque altitudines inucairt/» 


Data Ct in lubieAo plano fi' 
gura BCDE, qu* intclligatur 
aequalis ei, que fubiefto plano 
cft inclinata , que quidem ad 
cam partem fit dcfcripia , ad 
'quam cft inclinata . fitq uc indi* 
nationis angulus Hj Utq-.pun. 
ftum B in lubie£to plano; fit* 
que FBG linea, que fubiefti 
plani , ac date figline fit coin* 
munis fedio. oportet puiitta in 


lubieao plano , vbi ab anmlis 
fignri in ipfum perpendiculares 



cadunt, & fupra eadem punOa a' a r/- ' ' a- 

leulorum altitudines inuenire * Ducatuti punito C ad FG perpendu 
cu&ris CGl deinde fiat angulus CGK equalis angulo Hi fiatque GK 

. tTT r“r; r>f‘rL'>rndtculari&. ] nrt« 


equalis ipfi GC; ducamrmie KL ad CG perpendicularis. I^co pri* 
muinpnnOum L efle, vbi ab angulo C /quando hgurai^a cft luo lo. 
co inclinata) infubieaumplanumperncndiculatiscadit, inlupetque pun- 
iti C altitudinem efle Uncam LK. fi enim manente GL imcUigamus 
triangulum KGL fiibicflo plano eredum iliiKa LK erit (ntacao pia* 

'no creita. deinde intclligamus figuram BCDE vni cum Ijnea GC. ma. 
nentibus punftisBG , elcuari , donec fit fubicdoplano inclinata in angulo 

r. „ — /i„;V n.n,r,.nilinr.'l LK fit lublcdopla* 

no erecta , iirquc a-vj h-u vj* - — KG ipfi quoque y-„,' 

GF pcrpendiculatiS} cumque fit LGK inclimitionw angulus, ent Unca ,,4,^ 

GK fnp^nofigurx inclinate BCDE. Cum itaque GC lit equalis GK.i 

onando figura intclligiturelcuata, tunc Unci GC GK ciuntlinta vna.acr 

nroptcrca punita CK erunt vnum tantum punaum. quod cum fit LK 
fubicao plano ercita . etit punitum L , vbi cadit pctpcndiculaas t pundo 
C in fubiedum planum, & LK critciusaltitudo. codemque modo fiat 
inaliispnnais.inucnicrausquepunihim M, vbicaditpcrpendicolarisi 

pundo Di critque MN ciusaltimdo. fimilitcrmucnicturpunadm O, 
vbi petpen^cttlacU cadit ab E. & OP eius altitudo cxiilct. quod liecre 

**^Nequc aliter, fi B non contingeret fubkaum planum, innenicnir, vbi 
n fiibicdum planum ibiplo per pendicularis cadit vna cum altimdme. 

^ ” FROBl^E- 


P.<£s/Ri SiP EjO 'DII V AE 


PFlfciBLEKfA ini. 


P^^lodjtto, dtcaquc figura plana reailineaiubioappla- 
oo-inclitMa I ia propofica fitdhpnn appaniucm figu ram. 
dcfcribefc/,, . ' , . 

• l' .. ;03 ^ rt •’?■ 

ExMnannireadcm > (ic« 

^uc S pun^mdiftantif , 
occuli altitudo, Htdue 
QR rcAionit linea ipli SA 
zquidiftans. oponctinTe^ 
dionc ligurain apparen* 
tiS dcfcribete . Cum enim 
fintpunto LMO, vbiab 
angulis figurx in fubieaft 
planam perpendiculares 
cadunt 1 exponantur eo- 
rum altitudines LK MN 
OP ipfi QR xqiiidifVan» 
tes . vtin vndecima prpcc. 
dentis libri diximus . pri- 
iS.fnm. mumdjic inueniatur pun> 

^Miu, Oum T, quod in fcaio< 
ne reowfentet ipflim B. 

Deinde inueniatur pun*' 
dum Y , quod oftcndac 
pundum fupra O per* 
pendicuiarlter «xiflens al- 
timdine OP , Uncis nem- 
pe OS PA QY. Porr6 
repnefentabir pundum Y 
datsefignrx pundum E , 
quando fimracft liibiedo 
plano inclinata in angulo 
H< eademque prorCus ra- 
tione inueniatur pundOX, 
quod oftendat pundum 
mpra M altitudine MN- 
inueniatnrqsflmiliterpun* ' 
dum V , quod pun6lum 

fupra L altitudine LK , - 

*cptaelent«; punda vtique XV ^rae inclinat* pnnda DC rcprssftna- 
bunt. Itaque iungantur punda TVXY. nimirum figura XX datam & 
guram > quando eit fubicdo plano inclinata in angulo H, repraeiemabiti 
l entqucobid TX figurainfedioncapparcns.quodfitccreopor tcbu. 

Quoniam 




/• . ■■ 
f ‘ i; 

/. . ;uf . 


il*- 

iR-nibuii’ - 

i * / 

l-I JX1_ . 1 % .? 

l'or - n,./ 

.'.n»b . 


■ c n A 


-o< 


> 


LIBER Ct.V A R T V S. 177 


Quoniam amem de (olidis rc(3tilineis lermo habendus 
cft , ideo Dacum (olidum incelli^imus , ouando cius om- 
nia latera, omncsquclaccrum pfani anguli noti fune. 


Ex qua cognitione folidonim ichnographiam.vt initio huius didam 
eft,innenicnius. 


PROBLEMA PROPOSITIO. V. 

Dato folido quadriiateris contento, cuius ba(!s (it in (u- 
bicdo plano, fitque alterum planum bafi parallelum , cx 
teroruraque planorum.fum plano bafisinennationum an- 
guli fint dati} vbi cadunt ab angulis in (ubiecLum planum 
perpendiculares, eorumque altitudines inuenirt» . 

lilfc 

Daram folidum Ct BCDE fGHK 
quadriiateris contentam . fitdnc baits 
BD m inbiedo plano,' ■ FH nrd fitip* 
fi BD 'iduidiftans j qiiorum cnidem 
pUnorumditera FQ BC,. GH CD> 
ic reliqusi inrat interfe parallela ( quo- 
niam plana PH BP (ecantur plano BG, 

0c obiderunt BC FG paralielz, & ita 
ihalijs>> Deinceps darr fi iit inclinatio- 
num an^li planomm BG BD, & BK 
BD( &C. oportet vbi i pnndl» FGHK 
in fubiedum planum pcrpcpdicuhrcs 
‘cadunt, ecrumdueahitiidincs itiucnirc. 

Suuuhit iaquauis lutea plini BD, vt 
in < BB» qtioduis pnndum L t & in 
plano BK -ducatur* LM ad BE per- 
pendicularis, rurfui ab L eidem BEin, 
p1ano‘BD, hOc' eftWflibicflo plano , 
perpendicularis agatur* LN , qux qui- 
■fcni LN vtrioquc producatur, fuma« 
tur^ue MLN angqWadcarti Wrtem^ 
vbi cfi acutus t erit vtiqqe MLIn - inclinationis angUlus planorum BK, Sc 
fiibie£bpt*hlw' Deinde diucahjr MN perpcndiiuliuris ad LN; & a pun- 
do N ducatur ONP xquidifians ipfi BE. Pariquetatioiicfiimptopuh- 
do Q_in linea BC. &in BG BD ducantur (JR CJT ipfi BCpcrben- 
dicularcs ; ducatur^uc RT ipfi QX perpendicularis, d einde per T li- 
■: — ; — .,»• ^ Z nca 



e .t 

• .r 


.tV.I I’ 

. w 


Id. tnitei 

mi. 


d. Def. yu‘ 
ieemti. 


liit 


f 


7 t 8 p e r s p.bx 


n(;4 ducator VTO ipQ 6C pAr^IlcJy, 
pjdcmque prorfos ratione indcnia^tuc 
iVX XP iofit CD DE patallel». Di. 

t :o pcrpcawcu4rcs i pundis f in 

ubicftum planum du&is ih punttis 
DVXP cadere, efleque altitudines pun 
plf 


ilorum z^ualcs ip(f MN. Quoniam 
igitur FK B£ liint parallclz , atque 
BE. OB (Cidcm parallclz; crir^OP ipfi ir 
*nJeenFK zquidillans. at veto quoniam ML 
cft perpendicularis BE, ipligue BE 
perpendicularis cft etiam LN in plano 
BD, ficeft MN ipfi LN perpendicu- 
Ur ti. » 11 . laris i erit MN p|ano BD, iu- 

, bic£to plaho ereda . quate' angulus 
MNO reftus exillit . qu6d cum fint 


£r jf. pri 


OP 


FK parallclz , erit NMF reftus 
angulus 1 fi lairurflat NO zqualis MF, 
jj.pri»u.iuriaa<^uc , erit vriqut- 'FO-' Ipfi 
«. ynicch MN fczquidiftiin» . vadpcrit 

FO liibicAo plano crcfta . At vcr6 quo' 
nramponftum F in linea quo^iie FQ 


tf. primi 



iitcrollcn^r perpcndicnbJ^ FO* ca?t^*l** 
aruualcm RTilcd FO nftrnfarO •«•nn-aKc juvt - ; 


zqualcm RFr Rd FO oftcnfacft zquaJi^ MN, /ibo MN intcrfc| 
ibntzquales. conftatigiturexhispunaum T cade^c.vbilincz OP OV 

U inuiccm ftrcant.vi O «dem4uc prorfus ratione oftendetur pun- 
£him G cadere in V, & H in X, & K in Pj commque altitudines 
cnczqualesipfi MN, hoc cft omnes pundorum FGHK altitudines lii 
pra tubicuum planum ciIcintcr(cx^aK$. ’ ' 

Hinc collige^ l.cct, fi planomm BK RG CH PR qatp BD iwjiiu 
tionumangjjh fuerint zquales, tunc intiare^t?n|fina(,vt<Whinicft^ OP, 
demde ducatur Oy, qu« a^alitcrCtififtans d fit, \«luti OP i.RE, 
ducanuirqua fimilitct yx XP zqualittr.i G» DE Wlttcs , v|n(;^ 
crunthoc modoinucnca pufl£la OV^p, ybi caduuepe^- 

peniculMcs i pungis FGHK in iubicftudi plaLm . nw C aniiilus 
cft zqualis MLN. quOniarhanguU Qtil fcnpr^i,^ ^ 
quales. Iineaquc RT cftipli MN. squalis | vto^uni cft 


-J<juc RT cft ipli MN squaEsiytoft^unicdll tr 

Ium triangulo , lincaque QT igfi LN «qualis ),quacc VO «qiiaiitci 
diftata CB. vdiiti OP d BE. c(Mcaiqiic.modo pftimdetur .yX^R ■» 
qualiter i CD DE diftarc,vt OP^ B£. 

Hic quoque oblcniandum Toccurtq . canffcm poile fieri pm^lm fi‘ loco 
inclmatioimman^li RQT MLN data fuerit propfirtio RO qd QT,& 
ML 2d LN* cx hoc enim inueni^ Facile notcft .pcrpcriiJieuUuis MN»<4c 
PuH** QR*^**^”** rwuni i».iiguium fiabrepdi|.Kj^ 

%d^crdfimih»pdwro)C9lidnm,W 

rum quadrilatcra fint plano GK mclina« , eoijcin rapdo fupra pismim 
P""®®™*" altitudines, quiliiw,aiddantus altiindiri^pun, 
dotum FGHK, quzfuntintcrfc zqualti (vt oftcifiUm qft^enuitdoc fi. 


, inuqure' n^.oit 


P R A. 


a/JgBRT g^yflRTiNasg 


P R 


/ 


•a 


/ 


A X 


I S. 



Data fit bafis Iblidi 
in fiibicQo plano BC> 

DE > circa quam fint 
data quadrilatcra BK 
BG CH Dl.critvti* 
que linea Kf ipfi 
B£ xquidiftans, GZ 
ipfi BCi dc reUqux 
reliquis, entque EK 
zqualis EI , BF ipfi 
BZ, &c fiquidem 
fi intcllizantur plana R| 

DI BK^BG CHcle. , 

uata fuis locis, lincz _ 

EK‘;JE*fi’)WGl , Jhiioq i«B oboni 3ur-oiip sod bs2 

iflert»Vit<ilWl>5BE^FE-V'*M>4 •JIT m '.>ub,truclu3ibn‘.>',i.«'jpup{lqi ,K.l 

rum vcrba^kt^Sl) Mt pmidNMA^liv<dii)U> 

tur(|oe LM in quadrilatcro BK ipfi B£ perpendicularis ; deinde fiat 
YR. xquahs LM i defetibarurque icmicirculus YTR, qui l^cet lineam 
YT in T« iungaturque RTi deindetanquam infubiedtoplanoducanir 
LN ipfi BE pcrpcndiful^is .quiadearn partem diicatur.vbicft inclina- 
tioplanonim BIOsDf filtqOc tN kqbaG ra/Cfo% erit MN retia 
linea I dcipuntio N ducanir ONP parallela BE: perfpicuum eft i fo. 
lidipuntUs FK in lubiefium planum perpendiculares dufl* in linea OP 
cadere, eorumquealrimdincs efic ipfi TR zquales. eodem q ue prorfiis 
modo^G fucritplanqrum BG BD-onclipatio ,Q, inupnianir liiiea X)V 
Iffi BCJ pafailna. s'dK^y6M*T^nTiftihti^t^mTO6}ettiitrPpW?raiil^r 
pcndioalaritepeadcrein jOricmiJaattitadocrf XRis PatiqutSrafitbSe fi;^* 
fqtibanturidiquianguli,inpl^BitiQfluni.ipueniprmitluic* YX XP.ipfi» 
CD DE' pataRelaE;eritqu‘cptdptcrei V .trWcic/it^ttpenditiHiwA^pim- 
tio G: X verdvbii puntio H, dc P vbiipuntio K. quonutaquidem 
altitudines omnes fiint ipfi TR zquales. quod Acere oportebat. 

C2ii6d fi dati inclinationum anzuli planorum cum bafi fuerint intetlc x- 
quales, inuentatanium linea OP.vtdidumed, ducantur OV VX XP, 
qux amualiter dident i BC CD DE • veluti OP i BE ; erunt vtique 
nWfia l[yifXP<inuehti1'liTtltodItlei aaiefri iiniifiinilitcripll TR eqitafts. 
‘'QdAdfiloco 'dati fnrcnd'itidnls anguli- Y-y daw<ftfrrirprb^AMid Imtai! 
ram_LM ’’LN", quxqirfAmVfiiniliMrduti.is ftntdpfi BE ptiipatubaiia. 
res'."e5('fuhJW N doclfpoiHi GNP'ipfi BE xquidtfians-yderwanbeinar ' 
hjraftftrrtfopdnai MV'dlio«laiii LM edd tinca,. qux ifabtsHdfcaaijf 
Inm rtift<fm-,’e*ponaiBd Yft xqiialis LM famkiutdos V.TiYy 

in quo applicctut linea YT xcinalis LN, patet duSa .Tm-angufuw T' 
efTe re^m , vnde angulus ad V erit inclinationis angulus plani BK , & 
bafis BDi critqucoDid TR altitudo puntii M, quod inielligitur efle 
fupra N . Quapropter extera eodem modo fient; & hac raiionc,ex data 
proportione in ali js planis eadem inueniri poterunt. 




Z 2 Sed 


i8o P E R S P gjg T><I V lAE 



Ex hoc conftat eadem fiiniliter inueniri po(Te , edam fi 
balis BD fuerit vel trilatera » ?ol pentagona , vel quomo- 
docunque { dummodo« qox circa bafim funt plana « finc< 
quadnlatcra<> 


Ex his inuemis figuris BD OX, cumdatxfintaltimdinetp««fto^ 

filpra POVX perpcndicularitetcxiftcntium.qux quidem altituduieswat 
interfe.&ipfi TR. «quales, facillimum ctit data fethonis linea, ^nao- 
rfuedilUmix, oculique altitudine data , figuram apparentem deicnocre. 

Hanc quoque apparentem figuram cx quarta huius prqpofitioneinncmfr 
mus , dei^bendo 10 fc^ionc. figuras BG BK DI Cn, quarum incU< 
nationes dat«fiut, 


1' inccji'- if 
Hi 


Sed 4oe quoque modo ficti poterit , nempe exponatur TY «qualia 
y u, ipfique perpendicularis, ducatur TR, «centro Y fccundimlo** 
giudinem LM. deferibatur circunfeiencia RS, qu« TR focetio R« 
eptfinulceiiaacaa TR, qu« altitudinem pundi M oftendet. 


PROBLE- 



LIBBR C^VARTVlSi 


problema propositio. VI. 


Dato folido quadriUteris comptxhcnfo , cuius bafis fit. 
in fiibieflo plano , vbi ab angulis alterius bafis in fubic 
ftum planum perpendiculares caduut , eornmtjue aldtudi- 
' nes inueniro. 


tiffolidum BCDEFGHK quadrilaterisconftani.cnmibaCs BCDECi 
inlubieftoplano.oponavbiipunai» FGHK in&bicaumpUnum 
cadunt. commeJe altitudine, inucnire. 
tad BC perpendicularis FL, qux erit m plano quadrUatra BFGC.d<> 
inde in fublcfto plano ipfi BC perpendicularis ducamt LM. fi i 
punao F in fubieftum planum perpendicularis ducatuj, cadet vnquem li- 
nea LM. fimiliterab F ad lineam BE per^ndiralaris ducatur FN . 
quaerit in plano quadrilateti BFKE, icdpunao N ipfi BE in lubieao 
plano perpendicularis ducatur NM; eadem ratique perp«dicularisi pun- 
do Finfubieaum planum duda, cadet in NM. ergo in punao M.vbi 
linea LM NM fe inuicem fecant. cadit perpendicularis a pundo F in 
liibiei^m planum . quare iunaa FM. erit FM lubiedo pUno creaa. 
Et qu^uminuentalfuntpunaa LM. data cntpqfitione linea LM.qua. 
Te wunituli FLM Unca FL LM lonwnidine funt nota angulusque 
FML eft cognitus, cum fit rcau. i angulus igitur FLM notus exifta. qui 
eft angulus indinatiouis plani FBCG. & lubicaiplanii cum fint LF LM 

ipfi «b planorum communi fcaioni perpendiculares; ac propterw FM 

iltitudopunai F nota erit. PariqucTationcinueniemrpunaum O, vbi 
cadit perpendicula^ i pundo G in lubieaum P^num , bn^M GO 
Mkeibsaltitudo. VtautcminucnBtuc. vbiapunao K pcrpendicularss 
— adii- 


• ti 
• is 


Ez II, T« 
itdmi. 


6.Def.>n’ 
decimi . 




Exponatur bafit dati folidi BCDE 


tntelligatur 


cadit, eodem probus modo fieri poterit, tamen propter praxim omilTa 
EKHD, ducatur KP ad & pcrpfndiculM^. 
PQ^ eidem BE perpendicularis, duftaduc K 


'inlubicdop 


PQ. eidem 


perpendicularis , dudaq 


luynieti 


KQ 


■I 


-uguius eitrcaus,* coEnitus.anau- 

angulus inclinationis planorum BFlfE, 
Ptfubicai^am; qui quidem angulus ("quamuis non fit danis )ell cogni- 

quandoquidem FN Kpf & 
NM PQ Tbnt parallcl*. cademque ratione inuenietur punAum R , li. 

triangulo GVO fimile. 

Siautemdamm (olidum fuerit pyramis, cuius bafis fit BCDE, venex 
pero vt F.^cm modo inuenietur punaum M, vbifcilicetcaditi ver- 
bcc m fubicaum planum perpendicularis, cuius altitudo cft f M . 


LIBER Q^V ART VS. i8^ 

uucltigaturcflcquadritatcrunidvifojidifupu £C fxiiicmis. fi militer dc>' 
(cribaturquadrilaccnim CIHI> fuper CD: erit VtuTuc linea CI {qua« 
lisipli CO> cuinprovnadclcruiantlinea. Nam fi intcliigaiituc quadrila* 
icta CF CH (iiolococleuata. Imcx CG CI mvnamwmumcoiDCidc- 
rent lineam . fimilitcrque dcicribatur quadrilatcrum BYKE; quod ob 
eandem caulam hal>cbit lineam BV «qualem mfi ’BF. Hisita conftiratis, 
ipuudo F ad BC ducaturpetpendicularjK FL. i&dpun^o Y ad BE 
perpendicularis ducamr YN> rutfiua pundis CN ipfis BC BE per- 
pendiculares ducantur LM NM, qua vel eidem erunt cum FL Y'N. 
vel cum his in diredum exiftent { hoc efi linez quidem FI. YN Cuc 
produdx, fiue non produdz concurrant in M, cntvriqucpdndum M, 
vbi cadit perpendicularis d pundo F> dedpundo Y. parique ratione in- 
ueniatiirpundum O, vbi cadit perpendicularis a pundo G . Deinceps 
exponatur linea AS «qualis ipfi YN , Sc luper AS deferibatur Icmicir* 
culus AXS, appliceturque m lemicirculo linea SX xqualisipfi NM; 
iungaturque AX> qua; quidem (ciim fit AXS angulusTedusiDfcmicir- 
culo) ex didis erit altitudo ipfiiis Y, Sc pundi F liipra M, critque an- 
gulus ASX angulus inclinationis plani BK, & fiibiedi plani, vt patet, 
fi inrclligatur linea SX in NM. Sc pundum X in M, lincaduc XA 
eTedafupraiubicdum planum concipiamr, tunc fi intellig3tnrplana BG 
BK ilio loco clcuata.crurtvtiqucpundaFYAvnu pundum. «obideriF 
AX altitudo pundi F, s'cl Y; Sc ASX inclinationis angblus exifiet, vt 
didumefi. F.odemi^ne morio exponatur linea zqualTs IV, Sc in ic> 
micirenio applicetur fir xqualis VO, iundaque «r, erit hzc altitudo 
pundi G. dcipfius I fiipra O, eritque «jlr inclinationis angulns pla- 
ni CFI. & fubicdi plani . Ducatur prztcrea HTR. ad CD f*erpendicu- 
laris, tadaqucliuca xqualis HT, fadoque femicirculo, fiat angulus 
xqualis angulo •rftr,- iungaturque deinde fiat TR. xqualis 
utque TB. ad eam partem, ad quam cft VO; nimirum eritpnndum R, 
vbi cadit ab H in fubiedum planum perpendicularis, lineaque erit 
(msaltithdo. eodemi^t lijodqdneatnr XP ad BE pcrpendicularis.ipfiq,- 
«qualis; expf>hlto^:»X,MWcHjnoq; lerhieircnlo, fiat angulus «xA jqoa- 
Rs angnld- ASXj inngitur«)«c «Ai detodefiar PQ_ xqualis x*> utque 
PQ adeam partem, ad quam cfi NM; erit vtique pundnim Q, vbi ca 
dic perpendicularis d pundo K inlubicdumplanum;lineaq; «A erit cius 
altitudo. lnuca<aigiciic-fiiut«a<ubicdo plano puncu MOK.Q, altitudi- 
nes vci6 fimt AX «r «A. quod tacere oportebat, 


CORQLLAR.IVM I. 

Hinc paret, ex dato huiufmodi folido inclinationum an 
gulos cuiuflibct quacirilatcri , & plani baiis , & ad quanu 
partem inclinent, inucniri poffa/ . 

' ■ . 1 . ■ ' 

Plani etiim BK, Sc BD inclinatioinuentaeftangulus ASX; qnxqui- 
dem inclinatio cfi ad partem MQ.cxuabafim,dcicain ahjs. 

COROL- 



r 


J 


184 P E R S P E C T I V AE 1 

COROLLARIVM II. j 

Ex hoc patet etiam , (i bafls dati (olidi fuerit trilatera..,' 
fiue mulcilatera , eodem modo , vbi ab angulis alterius ba« 
(is in fubie(5bum planum perpendiculares cadunt, eorum- 
que altitudines , nec non planornm cum baG inclinatio., 
nes , inucniri poiTc/ . 

Simili modo (iet de pyramide. 

Vtfidata fuerit pT 
ramis, cuius bafls 
ABCD, deferiban- 
cur tnan|;ula DCE 
BCF; nimirum 
ne* CE CE la- 
tus pyramidis oftS 
dent;dudisquein 
diredum BCG , 

DCK , ad quas du. 
cantur perpcndicu 
lares FG EK.qu; 
fe inuicem fecent 
in H, i pyrami* 
disverticeinfubie. 

Aum planum perpendicularis cadet in H. Vt autem inueniamt altinido, 
fiat LM zqualis FG, fado^uc fcmidrculo LNM. in ipfo applicetut 
MN. que Qt zqualis GH, iungamt^uc LN) eritvtique LN altinido 
vcrricis pyramidis, , 

COROLLARIVM III. 



Ex his quoque perfpicuum 
cft, A(iguraE BCF CDE fue- 
rint pentagonz, ac multilate- 
rx , eodem modo pundii la- 
teris communis, & pundium 
i in fubiedlo plano, & alti- 
tudinem LN , prxterea in- 
clinationis angulos planorum 
cum ba(i eodem modo inuc- 
niri pofTc/ . 

Eft .n. in his c&mune latus CE CF. 


"*^r. 
M ^ 



PROBtE* 




L j gBfj ygf 


pROBtiKiii “li»RoV6^yi6l ^vin 


-snilifii ■ . jr. , .V 1 rnpil 30 ;! V3 

2>wep fyUxj quadiHaaetkdicftbafinii«Qi]»p«cfaGi^ 

|U5 quidem quadrilatera vao excepto fint data , reJig mim. 
quadrilaternm inuenirt,, , .. 

SHdftadHilWiA 
bafii BCDE. qo; 
jntelligacur in fu* 
bicfto pUsf>;i<Ua 
taq; fint ma qua- 
dhlatcra BEKY 
fifGC CIHD . 

<m)3tcfapi Intin» 

Pfi ifloeburt cx 
btaKxdeoti. pun- 
cHi inudhiaticur 
MQRQ.VtnfiS. 
licctipunflis FI* 

HK in fubiefbint 
, planum perpendi 
nilates cadunt . 
neteraqueeodem 
pioriiisinodoex* 
ponantur* Dein* 
de i pundo 

id ED perpendi* . n. . 

cularu ducatur QX; nirfiisdpHado X eWtm ED peipcadicutarit do* 
catur XZ; erit vtique QXZ reda linea, quoniam liiu$quadrilatcri> 
qUod queritur, cft cqualc ipfi' EK. ideo centro B, inteniallo quidem 
' EK circulus defcribatnt KZ, qoilineam XZ fccctin Z. iundaqncBZ, 
etit vtique EZ ipfi EK «qualis. Paritae ratione ducatur d-ptmdo R 
ad perpendicularia Rc,mrfiis4;d pundo k eidem -DE perpendicu*- 
laris<l<K^r «b*. ^ quoniam lama quadnlMcri^ quod qusetitur, elt ipfi 
DH «quale , idcirco fado centro D, intetualloquo DH; ciiailusde- 
. ft^batut Hb, iunganturtjuc Dl& bZt etic dni DEZ& quadrilatetum' 
qu«finim,vtezprzccdcntidcmonftntiono patet, cfi enim pundum Q , 
vbiin plano bafis cadit peipendicolariadpiui^ K Z, pun&im-vero R, 
vbicaditi pundis H|&, U enim quadruotcia BK ^ CH DZ intelli* 
gantni luo loco cicuata , ambo fimui puoda FVt GI> H^r KZ rnd 
connenient. quodftcere oportebat . 



Aa 


COROi:^ 




.nv>P klt!4*M0^<i 

Ex hoc liquet quadrilateri DZ, ac bafis BD inclina-^ 

kutcftiVevM^ » adxjuaWparwKi f «^ga^v-jnuciu^ . 

■ ffinitpiiai , ci;;: Jti.i oiqsafc; cnv cisitihl -up miniiipau 
Vtinpr«xdcntiprorfu., .ounaur r-iiaulhb.oi 

Htee , qH4C Jxxmus , omnlhut qmoq$u frifmttihns itftrmt 
lun tli mbigmdum, ttmm (n ipfn qu4Hdoqmtfutliiu^ 

— ■ ■■ i .ii iiJMgi-I" 

pioBLEMA PROPOSITIO, i' 

(H ; 

. 'i; • 

Dato piirtnate , cuius bafis (it ia AibieAo plano, 

Tcro parallelogramma vcl omnia » vel aliqua non fii» sc- 
^angula, vbi cadunt perpendiculares ab angulis 
baCsin fubicdum planum , corumquealdtudincsinuoaite. 


. .'il ^4 

■;Ty* fniJfJwi* 
••‘.r j nifilfrj 
!jUi5O5<i.l03X’. 


Sitprirma BCDEFGHK, cuius bafis 
BCDE fitinfitbieaopIano.figurxqucBD a 
FH fint patallclx ( parallelogramma ver6 ‘ 
omnia , vel (altem aliqua non fint reftangu- 
^la. oportet, vbi i pun£Fis F(3HK in fubie. 
i £him planum perpendiculares cadunt , ac 
cotum altintidm^inuenitc:. Non Bt patal> 

Iclogrammum nCGF ce^angalum , cuius 

3 uidem,&fubic(Fiplani cft communis (c« 
lio BC. vel enim planum' BG cft cre« 

'ftum fubiefFo plano i vcl inclinatum . fit 
|iquomodocunquCiipan£Usqae FG infii< 

2 . yit ]. bicAum planum pcrpctidicuutes.ducantuc 

hsiw. FL GM| iungatutdnc LM. dataqi LM» 
dcTccibatat fi^ra LMNO ilmilis , & fi< 
militer pofita , vt BCDE. iunganniiquc i 
KO HN. Dicopunaa LMNO eflepun. 

*fta> vbi caduntab angulis FGHK ioCibie» 
tbim planum perpendiculares . lincasqj FL , 

GM HN KO angulorum altitudines exiftete* primum enim excooft^ 
ftione patet LM clTcpunaa, vbi cadunt pcrpcriairalarcs i puntw FGifi. 
mulque FL GM commclTealtitudincs. dequoniam BCGF cft pat allC j 

. s i , ] ^ ■■■■■ — logramniurh"' 



/ 



i88 P E R S P E C T I V AE 


tBr4aefiniialLMNO ipfi BCDE fqnalit.&fimilitcrpofitaicrum rd- 
jqac punaa LMMO, voi ab angulis alterius bafis in (iiDieQ 
pcrpcndiculaiefculunt.quonim quidem alucudincs fiint ipfi 
[ks. quodfKctcopoimit. 


tm pii 
Mx i 


PROBLEMA PROPOSITIO. IX. 


Dato prilmatar , cuius parallelogramma Cnt rcAangu- 
la> bafis vero ficfubieClo plano inclinata , cuius inclina- 
tio fit dau , fite^ue communis fedlio bafis , fubiei^it^uc^ 
plani data j vbi cadunt ab angulis in fubicAum planuxo^ 
perpendiculares • eorumt^ue aldtudinea inuenirc/. 



Sit BCDEFGHK prifina , cuius bafis BCDE fit fubie^ pl«o in* 
clinata, qux quidem dataintelligatut, fitdne ptimUm punOum B mlu- 
bicaopiio.Ctque BT plani BD, ac lubicfti pUm reftioc^muius. 
»arallelogramm?qi BG BK &c. fint teOangula. oportet, 4 p«* 
fcs CDEtGHK in fubieaum planum perpendicrtarw 

iiSni» iirtnidines inucnite.' Ducaufut a ^diris CDE in fiibiefhint 
■ — ■ ■ ' " “ planum ' 


Sus C 


LIBER' C^VAKTIVfS^I t8$j 


]. huius. J 
1 1 . *nJtci 


vitdeci. 


5. yuJtei' 


planum perpendiculares CL DM £N. fimiliter i pun^lis FCjHK 
in idem planum pecpcndiculatct ducannir FO GP HQ KK, qux 
quidem pcrpeodiculaics omnes funt angulorum fupra fubie^m pla- 
num alutudines . & quoniam BG BK funt ic^ngula , eric BF ip> 
fis BC BE perpendicularis . lunt autem BC BE ui plano BD , er- 
go BF plano BO eft creda i quare ipC BT perpendicularis cxiftic, fi 

B uidem ell BT in plano BD. Ducatur ipfi BT in plano BD perpen- 
icularis BX, fimiliter in riibicfio plano ducatur BY eidem BT perpen< 
dicularis. Quoniam igitur BT ipfis BY BX BF clt ^pcndicuUtis i 
eruntlmex ^ BX BF invno,& eodem planoi fubic^m autem pla> 
numpettranfitper BT> fiibieftumigiiur planum, dc planum pet BY BX.,,., 
BF tranfiens erunt inuicem ere^. Sed quoniam planum per BF FO ,'j ' 
tranfienselirubieflo plano cretum, fiquidemcft FO fubiedo plano cre» 
Qa; erunt linex FO FB BX BY in vno, & eodem plano, vnde produi 
Qa BY cum FO in O conuciiict. quandoquidem Unca YB, ac pun> 
flum O in eodem runtfubiedo plano, quod quidem pun^m O dabb 
mr. etenim cumfit YBO rc^ Unca .erunt tres anguli YBX XUF FBO 
duobus rcAisxqualcs,- quorum, cumfit XBF re^us. cfi enim FB pia* 
no BD ere^, in quo linea BX repetitur, ergo anguli FBO XBY lunt 
vnite£Foxquales. angulus ver6 XBY cognitus ell, quomamefi angulus 
inclinationis planorum BD, &fubic£hpUni. quandoquidem ell UX nt 
plano BD, & ipfi BT perpendicularis, cfiquc BY m lubiccto plano 
itidemque ipfi BT perpendicularis . quare angulus FBO dabitur , curri 
fit complementum ad rcflum angulum ipfius XBY . deinde notus eU 
etum angulus BOF reAus;cum fit FO liibiecFo plano ereda . & datui 
cft prifmatis latus BF; ergo trianguli BFO duoanguliad BO dati erunt 
cum latere BF. vnde linea BO data erit . ac per conicquens punduni 
O . Deinde ducatur planum per F' lubicflo plano xquidifians , quod 
quidem lineam GP fccetin.^Vi FIQ in Z*. & KR in 1. iiu^an(ur- 
que FV2I-, enint vriquelinex FO VP ZQ-IR intcricxqrialcs,- 'ctim 
planis dinidannir parallelis, ImextiucTO GP HQ, KR fint parallelx , 
propterea quod funt fiibiefVp plano eteax. Qtiouiamiorur OF R1 fiint 
parallelx, erit FI ipfi OR xqualis,;^'xqiridifian$ . &itd a|ix. ex qui* 

Dus lequimr figuram FVZt ipfi OPQBl xqualcm, <c fimilitcF poGtam 
efleicrimdclatcra, &abgulifintxqqales. At mb quoniam B£ FK ob 
prifina funt itquidifiames , 6c XlR EN limilitcr zquidillanrcs , furit 
' enim fiibiedo plano erefta; ierit angulus BEN angulo FKT aequatis, srn- 
. gulus vcr6 ENB rcflds cfi zquafis rcAo KlF , latus^ue BE pbprirnaa 
efi lateri FK xqualej latus iglKir FI lateri B5l efixqualei Bti^idiftailS 
quoque, propterea quod triangulum FKI triangulo BEN xquidifiati 
cumlincx FK K1 fintlincis BE EN parallelx, vtofienliim cft. eadem- 
que ratione oftendetur FV xqualem , & xquidiftantem efic ipfi BL 
^6d autem IZ fir xqualiss x «qui^ftans- patet, quia DE ot 
prifma cft xqualis.&xquidilbns ipfi KH . imex vtro EN DM funt ip* 
lis KI HZ parallelx, funt emm omnes fubicdFo plano perpendiculares , 
quarum EN oftcniacftxqualuipfi KI. angulideindc ENM DMN rc- 
^rcAis KIZ HZI luntxquales.cticvtiquc quadrilatcrum DENM qua- 
‘ dy^arcto HKIZ -xqualc.&fimiiucr pqlitutn. Qqarc ImM IZ. ipfi NM 
' et^fqualis,& xquidifians. parique nrionc oftendetur ZV, xqualem. & 

eqmtfi ftsntcm clic ipfi MJL, cxqufiiuslcquicutfiguram FVZI xqy^ori* 

Kitmiliccr pofitam cllc , vt £l,M^.icd pFQfi. cft xqualis, & mnilitcr 

K a. vc E Vzl 1 ergo figura OPQR xrjualit cft, & ^umlitcr pofita , vt 
Ui. funtque viu-1 puniftis FGHK infubicfhimplarumi 

pccp^odiciilapcs cadupt j.q^QW^ quidcrii aititudincs funt FO ,G P 

qr— 1 Kli;, 


primi 
Ex prrue 
ddnti. 

6 . yaicci 
mi. 

to.ymltfi 
mi . 

16 . primi 


190 P E K S P E,C Tll V A:E~ 




.1 SJ 

•Jl tSiUIIU ijU 

>n nitino jp , . • jnj 

• 

.. ciuu , 

U .ua onfii'; ;i: Iu nr^i..; 

oOsiriin ni »iii; ' ,Xa 

'J .IMlirj 
a ail ; 
;i;ni 1 .- j«.- 
-> ■ - ■- •' 


'n ■ 



.j , ' 

. siis» 

oa 1 

. -tiu-i ’ 


KR.. fc(I 'quoniam KI eftxqualisip(i CN>«itKR miiior,quam EN 
quantitate IU., flmiliter oftendetur HQ^maiotem ede DM quantitate 
ZQ. & GP maiorem , quim >CL quantitate VP. punau.m iSUtetn 
F altius cfl, qua ni B (iipra fubieaum planum quantitate FO v Sc 
niam FO VP ZQ IR iutujpqualcs, erunt altitudines pun£lorunj, rG- 
HK maiotes, qudm altitudines pnnftorum EClJt quantitate FC)v qu( 
qiiiiFern eitdau, quoniam datiiip c(l Uianguiuni BFO. vtb'(Rdllidi'ea,. 
quod‘ 6 ectc^pQrtrbat . 

Qu6"(J IxponQum B nonietiperit planum fubleflum .Crnili modo ojU' 
nijus.^^dih^us addcQdpdltjiUdincmlp(iiis$,a otiiniainufBicn^r!. 


... V, b 

.11 -iUlI'. 

‘j ','J ICt. ' 
iU tlllp .Tjl- 

itii j/- r m 

IlOitiTIVTl'’ I. 

/<y.u 

1 . 1 . ^ MVi i< l «II. 


It!!'. . lO snoilf SI 

I li: .si .1 ^ 

> 1 iip’ flstml:. 


3 . huius. 


., ■ 11 ■. • 11 |j ... ■ 1 !§ .SS| 

•p . 

. Iqoi. i. iifi.: niiiu ;r'i ; Mi I 
ilirnni ‘ ' ‘i 'lif ■ s‘ o kS rnrjti 
iuiii»i.op s. ' ... .. ’ : ' ' I ilW tiflsi I 

ExpbittmF ^^martifeiW BCDF, tang4hfneptimftmjm<>!^uni'-'B'fil<i 
bicflum -piati, qtn . Ducatur^ ite -BX, qoziit^ptmunis.reiiHobqjjua^tlr. 
(is, &(iibieai'plani. H 6 iiirriducptanorumineWiat| 6 nis dahis-srtigoltts-fit 
A. Itaque imtenianttit in fublWio plano punfla J.MN,vbt,nempi 4 pun4 
itis C.DF/ in fobiethim platiUtrt ptrpcndietilarcf ea^bnt i quorum qqidM 
-ilrirodincs fine 'LT MS NY . ducantur^ue lintil BL'I^ MN NB. 
Deinde ducatur BO ipfi BX perpendicularia oxponaturq¥c'an^Ufijf 9 ^ 

JTja 


Dciisedi.. a.jOO‘ 



Sit ABCDEFGH ToU- 
dum > cuiut baCt AC fit 
tubie^ plano inclinata , 
cuius inclinatlofit data > li« 
ncaque K.L fit balis • ac 
fubicdi plani communit 
IcAio. plana ver6 BE BG 
CH An fint qaadrilate- l 
ta. opottet, vbt abangii- 
isfolidi AG inliibledlum 
}lanum perpendiculares 
:adunt, corum^e alutu- 
(linesiilaeaire. Ducaturi 
mndlo E ad balim AG 
>crpendreularis EMj dc- 
nde ab M ad KL per. 
lendiculatis ducatur MK , 

]nz quidem erit in plano 
balis . deinde in TubieAo 
plano itidem ipfi KL pcr- 
pcndicularisducatuc KN, 
cui i punAo E perpendi. 

tularKducatur EN, Aconneflanir EK. Quoniam enim MK KNfunt 
iPfi KL perpendiculares, &eft KM in plano bafis.dc KN in fubiedo 
^ i datus angulus inclinationis bafit > ac liibiedi plani ; fi ta« 

qddtffi cft obmiiir, produci» 
* i’ nmcciUm MKS erit angulus incUnationit . ft; quoniam 
£MK aneoluS re^us , fed MK perpendi- 
I KL, qu» quidem KL rft irt pUno AC, e«o ent EK 

4J- "L pwT<»<^ulant.aiver6^oriiam KL cft tribus Hneii KM KH 

KM KE KN in vno.dcco^m plano, 
j. paitrri-yridenne* EM MK KN NE fc smobtioque liint plano. Icd quoniant 
mi. EK cft ipfi KL perpendiculari», vcloti quoque eft KN, qun quidem 
Cx a. Tm-^nfubicao plano,* cft EN ipfi KN pcrpendicularii, «it igitur EN 
iecimi^ lubicaoplaoopernendicuhsw. quse quidem eftalrinido jpGus puna» Ej 
®^tqucpunanm N, vbiabangulo E in fiibieaumplanom cadit perpen. 
dsMlani. quodidemfietaliitpunai* PGH. VbiretO ab angulis ABCD 
jn lubicaum planum cadum perpendiculares, ex tertia huiutimteiticaciir.il 



c o a o i L A R. rv Mv ^ 

Ex hpc patet fi datum fo|iduin. fuerip pyramis , codem 
modo , ybi a mricc id fuSiedum planum pdrpcndicula- 
tis cadit, ciustjuc altixudiacro Ipubitiri poll^. 


Vffl btfisftietit ABCD, va|crver6 E 


P R A* I 


V 


LIBER Q 3 T V \ H9 ^ 


« 'i ' ; 4/;. 

J3li.3i i(Jv , ;lll. . 


P R 


•;5 rllc' 

AXIS. 


rnu!t‘ 


A j .1 (/ j: o j 


Exponatur bafis AB» 

CD,, qux intelligaror in- 
dfiiatt fabirdo plano in 
an^lo Q,. fitquc KL 
fubic^i plani» ac bafis fe- 
Aio communis ; vbi vcr6- 
i punAis ABCD in fu- 
bicAum planum pcrpcn* 
dicti larcscadunt.ca 
huius propofitionc inue< 
nietur. deinde ddcribamt 
foiidi quadtilatcrum AB- 
FE. &vbiipunAo E jn 
badm AC pcrpchoicU- 
laris cadit , punAum in> 
iicniatur M ■ quod fiet 
ex Texta huius, fi in latere 
AD alterum foiidi qua- 
drUate^ IU de< uibatur.de. 

Inde ex eadem inucniattir _ 
alnnidopiinAi B> fupra ! 
eandem baCm . qux fit . .1 

PP . 'Ducatur . deinde" MK "ad XL pcrrendicularis. fimUitefiJoic du 
catut KN eidem KL peipcndiailaris» ccit viique MKN teAa linea. 
& ad quam partem eft inclinario bafis AC, ad eandem fiat angulus MKO 
xqualis fiarque KO xqualis KM, exponaturqucT'OP>’iqus cuAi 
OK reAumanitulura conAicuar; denique a punAo P ad KN perpendi- 
cularis ducatur ^N, ccit vtique punAum N, vbi cadit i. punAo £ iniTubicAu 
planum perpendicularis; citisquc altitudocrit NP. vt pcrfpicuuai cft,fi> 
intcliigatur, manente KN , tiguia NPOK cicuata , iu vc > PN' fit fubie- 
Ao plano crcAa: intclligatur4uc ABCD cicuata in auigillo «ntque 
tunc KM cum KO linea vqa. denique intcliigatur AEFBUoiocoeieuaiai 
erirque tunc punAum £ in P. quod idcm fiet alijs punAis datt foiidi' y 
quodfaccrcoporicbac. ovi w. ■ . 

'*ni‘r.)7oDf.rnu' 



COROiLARIVM I.aidorn 




• ! . ! jis^rriL' 

-;>a . ■■ 

, K iu'' . L -■ 

Vnde fi ditum folidum fuerit pyramis, caitff; bafis fip 
ABCD, duttacjuc dlct linea BE, qu* vna cum BA' AEj 


Bb 


tria^ngulum, 


•Isq .wi 
• uutl 


f»r. frk 
mam 4 . 
hiiM» 



, 1914 PE C T, 1; V AE 

triangulum conUicucret, fimilitcr manifcUum elt inucniri 
po(Te pundum N, vbi fcilicet a vertice £ in lubicdtunL. 
planum perpendicularis cadit cum fua alticudino. 

COROLLARIVM II. , 

Si verb figura AF fuerit tnulcilater^ , iimiliter pctfpi- 
cuum efi, vbi ab E in fubicdum plantim perpendicularis 
cadit cum fua altitudine « inueniri pofTo. 


Eodem nanque modo inucnicturpundum N> cUins^uealdmdo MP. 


problema propositio. XI. 


Sit bafis dati folidi ABC, duo vero plana mulcilatera^ 
lateribus AB AC adiacentia fint AGHK6 , & ALMC , 
Itbiab angulis figurz AGHKB in lubiedum planum per- 
pendiculares cadunt cum fuis altitudinibus inuenirc/. 


Sit primum bsGs 
ABC lubicAo pla- 
no inclinati in angu 
Io D, quorum qui- 
dem planorum fit 
c6mnnis fedio EF. 
Cum cnkn fim AG 
AL aequales . quas 
quidem pro latere 
lolidi delemiunt, ex 
proximo corollario 
inueniamr punAum 
Ni vbi ab angulo G 
cadit in fubicAum 
planum pnpcndicu. 
taris. Deinde inue- 
niatur anj^lus P , 
angulus lalicet in* 
■linationis plani AK 
eum bafi ABC . 
Cdm itaqne inucn- 


tuflit 


.LIBER QJTARTvS: 


tus (ic angulus P, inueniatur pun^m O, vbi ab an^lo H^cadtt per 
pcndicularis in balim ABC, ciusque altitudo fit fimiliccr innenn Q1 <l 
His ita conftitutis ducatur OFS ad £F perpendicularis: Fatque angulus 
OFQ, xqualis angulo D; fiatque FQ^ zqualis FO; conlhtuatiir<|i QR 
ad angulos rcAos cum FQ< ducatutq; RS ad OS perpendicularis; erit 
vrique pundum S, vbi cadit ab angulo H in lubiedum planum perpen- 
dicularis, cuius altitudo eft SR. huius quidem ratio eadem eft^quxcft 
pun£U G, vt ex prxccdenti perfpicuum elfc poteft , Idem quoque het 
pun^o K. dcitainalijs. . { 

Sivero bafls ABC eft in Tubie^bo plano, ex Texta huius propofltione 
inueniatur angulus P inclinationis nempi planorum AK, ac ABC, qui 
quidem angulus P in hoc cafu erit inclinationis angulus plani AK, & lii 
biediplam.ac AB horum planorum cft IcAio communis, vnde ex iprtia 
huius propoCtione vbi cadunt pcrpcndiciiliucs ab angulis figurx AK in 
Tubiedum planum , facile cft inuenirecum Tuis altitudinibus: 

^odfi ABC fuerit fubieiRo plano xquidiflani, inueniantur fimiiiter 
vbi cadunt perpendiculares ab angulis Fgurx AK inbafim ABC, vnicui 
qucabacodiniuddaturalbcudcibwxfuuieao plano, acfaifFamcrit, quod 
ptopoFium.foorar. 'II' 

, ..iril .10 ■ .f' : • ... 

, rfvi‘-‘'i' ) • •■III ‘ ' ' 

. r .' . ;r; ni 

' ffeOBtEMA',, PRQPOSITIO., XII.;,;, ; 

■ ■ , ' i ; n-, A . ' y. > i 

!■ -Tia" tf I ■ - I, flqi y imgi liis , ti 

pundis m rubicdo plano, vlai ab angulis in tpiluin,pcr 

S icndicularcs cadunt cum fuis altitudinibus > communem^ 
cifiionem lubiedi plani , ac plani inclinati , horumq,- pia- 
norum inclinacioais ^ngsiluni im^^nirca . 


Data fit figura 
ABCD fubieao 
plano inclinata, ab 
angulisque in fu- 
bicaum planum 
perpendiculares ca M 
dantmFGHKiquo 
nim altirudmesda* 
txfint BFCGDH 
AK. oportet c6- 
munem Icaioncm 
fubieai plsni , ac 

f dani BD, angu* 
umque inclinatio 
nis hotom plano- 
rum inuenire.iun 
gatur HG, 
nex HG D 



i 


qui ipfis GC perpcndii/dlii't)JfexlRcr 
C coniunjpiyihjp9aft^H.CG;pafaUclas,-,c ri ^quamot U. 


B b 2 nex 


Cr 6, bn. 
ut • 


«1C.VQ 


fjf 7.vsir 
cimi • I 


,’Qd 



W- /■«« 
liin T»p- 
i. 

. Def.v» 


ic* DC CG GH 
HD invno,&co« 
dem plano, fi igi- 
tur tx; non cft 
fquidiftis ipfi HG 
fquod erit , fi HD 
GC non fuerint 
xqualca) fi produ- 
cantur DC HG > 
fimul ytique con- 
uenient . produci- 
tur itaque coQcut- 
tantq; in E. Quo- 
niamigiturpuniia 
E cft in linea HG; 
erit E in fnbicdo 
plano . quia ver6 
idempunaum E eft in linea DC, eritpunaum Em plano quoque BD.| 
Parique ratione iungatur HK. quod fi HD KA non fiietmt «quale*, 
producantur HK DA, atque concurrant in M. Cmilitcr oftendetur.l 
punitum M effein fubicao plano, & in plano BD. Quare dnfta EM, ( 
erit EM &infubieitoplano,&in plano BD; acpropterea eft EM ho-, 
ruin planorum feftio commuois. Deinde ducatur GN ad EM perpen- 
dicularWiiungatutduc CN. Quoniamigitur CG cft fubiefto plano per- 
pendicularis, erit CGN angulus reftus ! & eft GN ipfi EM perpendi- 
culari* , erit igitur CN ipfi quoque EM perpendicularis . quare CNG 
inclinationis cft angulus fubiciti plani, ac plani BD. cft cttim CN iu 
plano BD , fiquidem punduin C , lineaque EM funt in plano BD , 
[ineaque cft in fubicdo plano . 


Ao:. 


Data fit figura ABCD, que 
fiibicito plano intclligatur incli 
nata , Ibd non fuo loco colloca» 
ta. ab angulis vcr6 cadant per- 
pendiculares in EGHK, quo» 
rum altitudines datx fint EO 
Gl’ HQ. KK , quarum quidem 
duc fumantur incqualcsubi pro 
ximx, vt GP HQ, qu« con» 
ftituanturadrcAosaegulos ipfi 
HG ductx. lungaturque PQ> 
peindo producantur HG QP, 
que concurrantin E; ctitvti- 
que punitum E, {cin fubieito 
pUno.de in dato plano inclina- 
to. Deinceps alie fimiliter du* . _ 

altirtdineslumamur.vt HQ. KR-. qu**«ft* KH conflituantur ad an 
r_— — Rulos 


gulosreaos. quod fiet , fi hat HS xqualis aufi HQ^ & ipfi HK pcrpciv 
diculans . Dclcruict enim HS pro HQ.^. lungaturquc SR ; ptoducan 


turquc HK. SK, qu* conucniant m M; duOaq; EM; crit EM com. 
munis fctlio fubie^ plani, ac plani inclinati . Itaque i pundo G du» 
canit GN perpendicularis ipfi EM. ddndc ipfi GP ad redos angulos 
ducatur GT, qu« cum HE coincidet; fiatque GT «qualis ipfi GN; 
iungaturque TP. erit lani GTP inclinationis anzulusliibiediDlani. ac 


LIBER Q^V^\RTVi». 


197 


iungaturque TP. erit lani GTP inclinationis angulus iiibiedi plani, ac 
dati plani inclinati . quod facere oportebat . 

Hic aduertendum eft . qudd fi duda linea EM tranCret per pundum F. 
tunc figura inclinata fubiedum planum contingeret i cffctquciioc puiidfi 
abfque altitudine EO 


PROBLEMA PROPOSITIO. XIII. 


Ijfdcm poliris, opprteat figuram ABCD fuo loco ia. 
fubicAo plano coniti cucre . 


Ducamr HI ad ME perpendicularis ; deinde ducatur HL ad HI fi. 
militer perpendicularis, fiatque HL «qualis HQ^ iungaturque IL; de- 
inde fiat IV «qualis Ll. eodemqueprorfus modo fiat pundis GEKi exi 
quibus oriantur punda XYZ. bnexque ducantur VX XY YZ ZV.I 
(^oniamigitut ME eficommuiuslcdjorubicdi plani.acplaniinclina- 
lii ex tertia huius propofiiionepunduMtfigutxcnt in linea IH. qniaverd) 
ipundofigursinfiiDiedumplanumperpcndiculanscaditin H; ctitalti.i 
nido prxfati pundi in hnea HL ipli IH perpendicularis.- quz quidem 
HL fitcqualu H<L> vrluppomtnr. {iquonum IV cftaqualis IL, crit 
V figurc pundum. quodperpcodicularucr in fubiedum 'planum cadit in 
H, cuiusaltitudo eft HL. dtitainali)s . Collocataefi igimr figura VX. 
YZ fiio loco tn fubiedo plano ; qu« quidem intclligi poteft lubicdo plano 
inclinau in angulo GTP. cuius. Si fubiedi piam fit communis fcdio 
EM. abangubsduefigurx in iubiedum planum perpendiculares cadunt 
in pundis HGEK. quod iaccre oportebat. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XIIII. 


Dato folido cx pluribus daris quotcunque , & quomo. 
docunque planis redtilineis conflante , cuius quidc.m vnum 
lic , Vel in lubioao plano, vcl ipfi parallelo , vcl inclinato , 
cuius iticlinatio fit dau. dataque fic hu ius plani, ac fu- 
hiedr” 


1^8 P EJR^S_P^_E_^Ta V AE 


I 



bicfti plani fccjio comttiunis , ybi nb ;angu!H j^ari 
in iubicdum planum perpendiculares cadunt, ciorumque 
alneudines inucnirc'* ^ ^ ^ 

tslwji.ujj HH fZJL. ii ■ ! , 

; 'i ■ i> -'iri 7 ,:-j , 

* ' • J J = 1 - i .1 tOlija . 

DatumCt fol.dum quo« , 

ttiodocunquc, cnius vnunt ‘ 

pUnumfic BC; ipfi4iBC 
adiaciat pUnum CD, hoc 
autem fcquaturplanu DE. 
quod quidem contingat pia 
num Ef ■ Ac. Rurfus pia* 
num CG fitiuxtaBC.de* 
mdc fit GE , pollea EH . 

X HG ('nunc autem fuf- 
ficiat dati folidi partem ofte 
derc) fit vero BC, vel in 
lubicao ptano.vctipfl ^ui 
diflans . vel ipfi inclinatum, 
cuius quidem inclinatio fit 
data, nec non iofius BC, 
ac fubicfti plani data fit co« 
munis fettio . oportet ybi 
aBangulU dali Ifolidi in (u* 
bietlum planum perpendi- 
culares cadunt < inuenire i 

fimulque hotum -altirodi' - • . • . r 

nes notas reddere. Primum quidem imsenumreipprima hmus, ff planum 
BC cftfubicao plano stqutdiftans/vel ex tertia , tij cft mclmanim.vbi ea. 
dnnt perpendiculares ab annullsipfius BC Cunvfiiisaldtudmibtis inlubic. 

ftum planum. 'Demde, eum fiot data plana' BC CD CG. anucmamn 
Mx «. hx- ihclinatioms angulus planomm CD ^*t & o*vhdcdumhums pt<^ 
i-, rionc vbi cadunt pcrpcndieolareS ■ab angulis '"i ^ 

ntim cuni. fufs altmldinibos mucntanir i qUod idii* fiarpiano CGj. 
eft inuento mdinationis angulo plariqrutft . CO CD. vbi cacant pct(.(m.j 
diaihlres ab angulis plani CG ili (llbieauitt-planUm ^cumfui» almu^! 
Ix 6 hii. *ibus inucniatUM- Dtinde qiioitiam data Mr*pl*na GS GH . inucnidrtit 

inclinationis angulus planorum 6 e GG^ & q«mi»m 

proptetea nota fiintpunaa, vbi ab angulis figurx CG m lubicSum pia. 
num perpendiculares cadunt cum fuis altitudinibus , inucnutur communis 
' fcaio plani CG. ac lubicai plani , horumque planorum inclinationis 
quoque anguJus inucniaiur . deinde ex vncjecinw 

diintab-aiiSifisfiguf.u GE* in fuVicftto pllnulS ^drpiWinSa^rAiiim Ims 
altitudinibus, quod idem quoque fiat plano GH. Poftea eodem FfOlJU* 
modoinuenta inclinatione plani GE adfubicaum planum .fimulqi no- 
/rev! ; I^Une^nl«lrtnr FH fH inclinationis qh- 



[a lllCUIlUUUUW VJ J-. «w p f 

rum feftione communi inuenta . planonimquc FH 

auloinucnto.fimUitei.vbiahpiBfiilfa figantiM in fcbicaom-j^diium 

pcrpcndicularc>.C3ddnt«>"\.fiW^\“‘BJi9lte*,i“ra 

aliis, donec ex omnibus plinis cogmtis dati fot^di, vbi V 

lisih (ubicaum planum porBcn(iiculaec»‘eiUuiig «uni fuis altitWlmbus 


erunt inucuta: • 


lil 


Flk.J ) 





LIBER Q^VARTVS* 199 

Quddricontingctec. omnctalicuiDtplani(vi .£HJ {XfpaUiculaies in 
TubicAum planum du£bs , cllc intcifc zquales ,£gnum eHc(, pUxmm EH 
eflcfubicfto plano «quidiftatu. • >,,■ ■■ 

. . . ,• u- , 4» . 

. V> »• •> V 

P R. A X I S. 


-tuiui.iii 

I! , aA rv 
■ ,51 u :.>3 DA 

i-ftnL i. vl.; 

1-t . , ‘ 

Exponatur primum bafis BC, qiiae intclligatur. vcl ini (uBiedo plapo' 
exiftcte, yclcflc fubiedo plano zquidillqn;,, vcl ipfi indinata, cuiut qui-' 
dem inclinatio fit data . dataque fit bomm planorum ledi? cdranninis , 
deinde dalzfintiuxta £C aiizfigurx CD (1G> poficainucniaiuurpun- 
Qa , vbi ab angulis figurarum BC CD in fubic£lum planum perpenoipu» 
lares cadum . fimulque eorum altitudines non reddantur, quod id^n fiat 
cum alijs figuris, quziitntvndiquc circa bafim BC. Deinde cu ni Snt no- 
la punAa.vbi ab angulis figurz CD in fiibicdum planum perpendicula, 
res cadunt cum fuis altitudinibus ■ inucniaiut angulus inclinatioois figurx 
CD cumfubicdoplano.hortiniqucplanorum inucniamr communis (e. 
dio. Deinde collocetur figura CD luo loco vt in pratccdenti didum eft , 
quxintclligatur, tanquam bafis. & quoniam cognitz funr aljxfigurz dati 
lolidi.quxfuntiuxta CD, oportctcasdefcribeneiiaoi CD Molftebcdl. 
locata . atque his ita confiihius, inueniariturfimititervvbiab hamnt figu- 
rarani angulis perpendiculares cadunt inliibieiShinvplanom, eorumdoe aU 
titudines notz fiant . Deinde accipiattiralten figura pro bafi i qfiz lo- 
co collocaur , & ita deinceps > donec inucniatur, -sW ab OMnibus’ angulis 
dati folidi in rubicdum planum pcipcndteukAd^ udant , cbmUtduc aftitii^ 
■-'inesnotireddanmr.qnodfacereqp«t«i)atL'-f •'iipv' 'nifi; u. 

j <r.i.lintbrr.-.' • .''1 .i ' 

Ex iis , dict*[unt ,ftrfpic$udfd 'vln cidmi perfntdtcu 
rts tl) dstguhs ^^qu€ urpmifH rtffd^num.in ftd/ieastm plsmum 


111 

imua . 


ja, («au. 


Buuaire, 


too P E K .« P\E;C T i V /iE 

mittnirt , ttrum^u* dtim4i*t* »at*t*ed(ttn fojfi , yniU i)i ftttthht 
i^ptrnith fipitis defcrihnf non t/ii Verum quomitmjAct 
(iitt in Aliqmbui cAfibus dtferibi foJJiMt , idcirco hrtc quoque fruter- 
mittend* non duximus. 


PROBLEMA PROPOSITIO. 'XV. 


Daca pyramide zqualium laterum , vbi a vertice in pla- 
num balis perpendicularis cadit cum lua altitudine in 
uenire^ * 


Sit pyramit ABCD, cuius lacera fine m- 
qualia . oportet vbi i vertice A cadit in 
BCD perpendicularis, ciusque altitudinem 
inucnire. Dcfcribatur circa uiaugu Iu BCD 
circulus, cuius centrum E. PrimUra enim 
liquet, perpendicularem i vertice A in E - 
cadere, vt AE. fi enim intelligantur AB. 
'AD AC coni redi lateia , erit AE axis . 
Dcmde i pun^o E ipfi CD perpendicu- 
larisducatur EF. nimirum pundum F bi- c 


tirtS, 


eritipfiCD perpcndiciilans . I^qud buonidm AE cft plano BCD ete 
• t . aa^eritanwlus AEF fdftai,qu6d'cumfint 'EF EA lonaitudine inucu 
. w>*ti'.cHt,AE ilbt*. • 'ii -r* 


.MUll 


fariaindiuidetimeam CDa fimilitcrd puo,-.^ 
Sto A ad CD perpendicularis ducatur, 
que quidem in F cadet , fiquidem latpta • 


AC AD' Ibnr «qualia 1 dbfta igifAr^/ft,; ’ ' 





.0 . ».'I 

, j itlimr.;'! 

-J.;-.;;:,..: p j tf 


■ - 'Ii. i':. « iti 3 

• - 'i*i! *^l^f !t ' 1 

,, \ >r, 

ofiaiJi.l i.iui < 

T) tlU >i' 

iuroaa>>ni^CI 

. " '.ti ■ 

.li, .lUlWtIFj;.;: 'p 


(' 1 ' 

R ’“’A 

ini T 10-" q 

■!, - 'i.V- o ;,l o:' 

..u.‘ . ! Tlir»! n 't' , 

ExpoiwOK pvraB»i*iilatu5 1 BC I 
fiatqi ttiaogtilQiivfquiUteru. BCD< 
circa quod dercrihacuricirciilus,/CD< 
ius centrum ^,;.altciumd«iruietri3- 
gilum atqiiijaterum cqnfiituaMr 
DCA* ducaturq; Af ati CD pet. 
pendiculatisiiungaturijue EE.quai 
umiliter ipfi DC perpendicularis 
exiftet. Imicntis4uc lincjt EJFJIA 
exponatur linea KL «qualis fA 
remiatculustjuederctlbatur KM L^ ltt'tjflblippliceftrcliiiea KM aqualis 

EF. 



tn KE\Kr /i RgTJivHsn ^ 


, , qrfoi«BancnfaTr»agito(i.aMlh cftatfanstc» 

lipxtnpecpeKkcillitem^fCnioof^ntfbt iiL plaMmarBCi^ '«Aj 
ahiwrfinawg, ipii Mb«»^uilcmtXilteiOti> qiietli fiiqcr. 
icoponebu. •> .^ioji»;B3h nw i.u', 


Dc pyramide iilcliiat» ia ^ciifla Kbius propofitiono/ 
di(5tum fuit^ . 

Dc Cubo (imiliter cx i;s, qu* in prjrccdcnti libro, pr*- 
:ipuJ in dccin>aquir^^^^j^a(^^^^^ 
lunt.fipram apparc^r^i^ *AWPi.qHMJn,,Quodfi,fuW Wc- 
rit tncfina^tus, cx duiitnaihuius proj^iiiioae vbi' cadunt> 
nerpendicularcs in 

IUS inpc/iiripotcnincj cx quiotis appaream iR>'HtifttoliC-&t 
gurx ^cHfs cft deferiptio . 


.fWaBLXMTUEDRiOPCISlTK),; ’ 


linea tlp^fofrtos imgfllos conie- 
{iia%<c^^it'da, 4bt^ab angulis iffiMbicAam 
pbntrm^lietpfrndicAlBrCs cadunt i torumc^ue ain«MHne>'ia« 
ucnirc/ . 

Datnm 'fit o^edrnm BCDEFG. linea 
ver6 duQa BG fit fubie£lo plano crcAa i 
ficqucpun£lum G infid)icAo planoi opor« 
tet, vbi ab angulis lafitbicdum planum per- 
pendiculares cadunr, corum4nc alritudinci 
inuenire . .Quoniam igitur o&aedti latera 
BC BD BEBF funt aequalia, angulique 
ad B funt zqualcs; erit CDEF quadratum . 
duAis igitur diametris DF CE , linea BG 
per puteam A, vbi diamcfri fc inuicem 
ecant, rranfibit: qox quidein-crit plano CD* 

JF creda . led BG liipponitur cOc fubie- 
&o plaao ere^U , ergo quadratum CDEF 

eftfubicaa plano aqutdilhns. cx quibuafe- 
quitur pandum A in fiibicdum planum 
pcrpcndiculariter cadere in G , culat alti- 
tudo cft GA. fimilitcr pundum B cadere 
in G, cuius altitudo cft GB. pundavero CQEF in (ubieaopUno ea» 
dcrcin alterum quadraram zquale, fimilitcrquc^o(ki»itt<«*u»on»nes al^ 
timdincsfunt zqualcs ipfi GA. Quocirca quQoiapi ptORtgtavQnidruw 



/■••ino; 

-.r ir ps (i.r . 
•tr.i-; ■ i- up ioii; 
‘tn-, .ifv 


TToT 


Cc 


cft 






cft ieqiulu AD ipfi AC. cti ta ki m cU>i»fiq>i<A» &t»caa(t(miM pu»’ ! 
aotom CDU i tobieOo pbaaacqmli* AiD^-fiioaLVCTA ^ 
cflcsquolis Jupl» AO> *t dwnotftrmit Bwdi4rrjB-d«u«aqiu»ai.’f»o» 
pofinoncdecimitcnii Ubii demcntoram . . uuuioqo :.i 


onoijf- ’ 


P ' V A X’ i S. aQ 

' . muf'-! 

iiqnis.:' -:i 3it;ilii ' dUuO aQ 

Expoaaor 4elcnb*ija^^ niau^i 

quadratum CDEf» Gtquepunaum A, vbidja- ‘ 
metri CE DP 'fe inuicem fecant.’ Itaque inteiS^ 
gatut A cfle in iubiedo plajw | porto aititado . 
punaotumiCDEF eritcqiialii AD. reliqui tc> 
r6pundirupra A altitudo cdVdupiaipfiHs AD., 
quod ftMieoponebat. . ' B 


P&OILEUA PF.OPOS1TIO. XVII. 


Icofaedro dato , cuius linea oppoficos aogalos aedem fii 
fubicdo plano cicda, vbl ab aneulis in fubicduin planum 
perpendiculares cadunt, eoiumqiie aldtiidincs inucairc.».. 


Sit icoiaSJram BCDE- 
FOHKLMNO. fitijue U« 
nea BO , que angulos 
oppofitos neCht. fuoie^ 
plano cretLi . oportet vbi 
ab angulis oOafcdri in fu* 
bie^um planum perpen- 
diculare cadunt, eorum* 
A>e altitudines inucnire . 
(^oniam enim Ijnee BC 
BD BE BF BG funt x* 
quales , triai^loramdue 
anguli ad B mntxqnakMi 
erit CDEFG pentagonum 
xq^uilatcTum , & xquian* 
tUlum t circa quod circo* 
Ius dderibator. cuius cen* 
trum P.exiisautcm.qnq 
Euclides in decimotetti* 
Dfcaopropofitionc decima 


T 





neam OQ.'ge xquilcm lateri decagoni in rirculo HKN ddcriptii QP 
verdxqualem lateri hexagoni in eodem circulo ddcripn,& PB rurfiis i 
qualem lateri decagoni, hoc eftipd OQ^iqualem. erit altitudo punQi B 
liipra O xqualif duobus lateribus decagoni vn4aiui,J4J^-.hcjiagpnr?n 
circulo HKM deferipti. Et quoniam planum KM , m *, 
quidiftans, cadet^jfjitagonum HKLMN in Tubitt^rtl if^OP^nafrti); 

r»q' MtWtorum t 


pcntagonum^iqtiSlq, Similiter pofitum. aUimdjfcsqlrut^orum'|#2i 
LMW crurtxqiulei OQKhoc cft lateri dccagtffli m cii^ulo-.ht^ 
fcripH/Poftea-dinidanmrcife&nGycttti* NH biga- 

rum in punais RTVXY/ duaa-CRxnt (m ^d?m‘EuS^is 
tioncj plano circuli HLN c^cOa. cjiaTe'pClT«uly 

Tubieao plano xquidiOanf , pfinaaT 
dcnt,^nquam ih punais RTVXyI 



rbuiifltioa l: 'ii 

OiaKitni^^lt': 

3u 3 Jiuiiflno: 

H aq?Vmbvb anob"' 

Exponamrdati icofaedrUabs Hir. dc« -H.) 'JgD Jcuta^ «.-r 

feribaturque pcnragoniim dquilarcrum . •traettJu^ T. 

dcxquiangulum HKLMN^ circa quod 
deferibatur circulus , cuius centrum O. 

Cj^Bf(i{Mti*q;,,piH 

J^ifatiam d.iiiidantur;in RWXyj,- kingati*; y, 

arque HT. . cohjnat, cuai, 

Hms hexasqni-, HT Utus,4ccagoBt,n 
n,^aaicpuf;4ti ia (iibicau)n planum igaaf 
3^ in puni&J^ilfKVLXMYiSdlO.prt/H. 

TOmpquc.ppnavm,- O.ift liibieAo plano ,i, 
qbbaeakinidinecxillcrcT punaorum ve* -•• 

IO fupra Hl^.VlK;jCx^cntium, altijudi-,,),.,, 
ajcs ^catquafc^l» an Puni^oranvgu-,^".^^ 

ipfis OH HTCmul iomptis^ rc^qui ■ ri m,. i.n.- • • 
«rtc.^qu «Ictv» line* «qw. /It. *qiwli* 
&.ipb HQ» qd9$l«W«oportc|>at.,i,„. .r ; *T 

. xl P r>d Ji.jr ; . ^noni • • rr 

P.R0p'6sTtl 6.'- ,:3CVlI4i' . 

p -=v"i .';nb ! . 

JeCa^dfd' dgtq , Cuiuitla^qi fi t m YuJbie^0^|^’^7tp^^^ 

Cc~~x iagona- 



du« 


,fi„, problema 

-ID : 


t.Vfldrc». 


1 . ht> 


104 . 'perspecti V‘AE 


Z 04 rcirvjr * X T 

ugonac^ue ez veraque hoius^ laceris pirt* etifttftltia, a?qtU' 
[em cum fubic(%o plano inctinadonem h^eant) vbt ab 
aneulis in fubie^m nlannia pctptndicidares «iadimt, eo> 
rumque alatudincs j. , > „j 

. .-A. llOlf t : ■ ; '0 t-' At 


, A. ini 
^.iTi 1 .-. :{| I m 11 ... 
iji' 1 (IfiHl . 

.,.w iiuj;jt55b 2iidn:<.f I 
1(11111: ■•{ ll. 


Dodeeaedri pentagona 
rmt BCDEF BCAPG, 
bGHKF ELMKF * 

[>NOLE • fitdae Unis 
BG in (ubiefto pUno , 
pUnaque BFRHG BC« 

KPG cum fiibiedo pU- 
ho zqualcm habeant jn- 
dmationem. oponec vbi 
ab angulis in fabic£hilil 
pUnum perpendicuUics 
cadunt, carnraquc altitu» 
dines tnnenire. lungan- 
CF CN NL LF FH 
, & CP . Deinde du« 
catur HQ_ ipfi FL ?qui« 
diftans, 8c LQ ipfi FH. 

His ita conftituiis ex ijs , 

B uz in dedmoterdo libro 
cmonfirauU Euclides in 
piopofitione dedmaTcpti H 
wa , erunt CFLN CF- 
HP FLQH qiudracacu* 
bi. Diuidaamt CF FH 
HP PC bifariam in RS* 

TV i iunganturque RT VS, que fe inuicem fteent in I. deinde bii»* 
riam diuidantur quoque CN FL LQ in XYZ pnnaisj conneaantu^ 
due XY ZS, quz bifariam &iplizdiuidanmr in pn* Ciconiam idnirpla> 
Bum BFHG cum fubiefto plano zqualiter inclinat, vt planum bCPG > 
Utera^nc BF BC, & GH GP funt aqualia, cuna fint dodecaedri lato, 
ra, angulique FBG CBG, & HGB PGB fiint squales, fiquidem funt 
pentigonorum zquilaterorum Singuli ,* erunt line* FH CP ipfi BG. at 
liibieao plano parallel* , & zqualiter diftantcs . vnde quadratum CFHP fu' 
bie^ plano pquidiftans exiftit . ex quo fequimr , qaadratum C^N > 

(Icifiquidemfoi ‘ 



velud FLQH (ubieao plano ereOa effe 
&a. * ■ 


nt quadrato CH cre- 


ea. 

IT 


■Cti. Itaque ducatur B«, G$ quadrato CFHP perpendiculares ; ex 
dem Euclidis propofitione B« iu IR, Sc G$ in IT cadet; itavtIR 
extrema, ac media ratione in diuir*proueniant,fintque maiores por. 

tiones 1« Ift, qubdeumfint IR IT equales, erunt & 1« 1|& zquales. 
deinde ex eadem propofitione confiat lineam B« ipfi 1« (qualem efie, 
fimiliterque GA ipfi IA (qualem ; &prqptcrea B* G& intcrlp funtxqn». 
Ics . finuliter ducantur i puntUs DE peliugoni BCDEF in planum 
quadrati CNLF perpendiculares Dr E^, quas fex eademj in XY c^ 
dent; cruntque4X pY extrema, & media ratione diuifiein r/; eroatqi 
p> portiones maiores, qtiibds (quales funt pp ob id rP /E 


interfe , 

I 


D- 




LIBBR' AR-r tQf 


iO. ftxti 


iat^Guucqiulct. Quare diuidantur B.C RF exttenti.iiirftthJjiraao^fg 
ncin i{, Uncque Ri maiora portiones, crnht R!( pi*, R( 9/ «. 

2 uaia. in plano igimr quadrati CFHP, fed extra, dtidufM 'ii h tpii 
:F fapendiculara , qu« Aant zquala Rt R{ . Didb pdnSiim 'E ih 
plano quadrati CH petpendiculariter cadere in^ «. iuhgaritiiF JH Ek; 
quoniamigitur 4 Y (B. motequala.ficparallelc.tiimllnit' mtnWrafbi» 
nona «qualium linearam 91 RF, qux fune extrinna, ht^ikqtlc ratio> 
nediui&in erit parallela YF. fcd YF litus oublclt^no CF-i,,. primi, 
HP creOai ergo de ^ eft plano CH ete£^. quoniam iutem cft in j. y^dech 
plano CH, dceft perpendicularis lincj CF, erit plano CNLF ere- 
Oa, cui etiam eftereaa E^. vnde E^ funtinterlc pirallel«'. fcdfunt 
etiam zauales , ergo Ex ipfi ^ eft «qualis , & zquidiflans.oftcnlnm jecnm. 
autem eft ^ effe plano CH ereOam 1 erit igitur E» plano 'CH ere- 6. yafni- 
Aa . quare pun(!bim £ pcrpcndicularitcr camt in x. Partque ratione , 
oftendeturpunAum D caderem i, altitudinem 4 uc punAorum DE Iu- rr.prnm. 
^ra I» cfle lineam zqualcm FY dimidio lateri cubijfimiidcm limt FY J. 

IA aE interfc zquala. ex quibus rcquiturpnnAa pettti^ni BCDEF in 
planum CFHP cadere m «CixF . punAa enim CF in ipfbroet Ium 
plano CFHP. Nuncautcm.vbi cadunt in idem planam CH perpendi- 
culara pentagoni BFKHG conGderare pofTumus. ac primum conllat 
punAa BG in ag cadere, & FH inipfoplano exiftete. a punAo autem 
K ducatur K\ ad planum LMHF papcndiculatii,exRiHidein eodem 
locoelicimt punAum A clTclin linea BiS, quz In a txtiema, ic medu 
ratioBediui(aproaenit,maiorcmqueportioncm Cfle 5 <A, Ffleque AK 8tA 
«quala . fi igitur i punAo S in plano CH, fed extra, ducatur S>< pcr- 
pradicblaris FH, quz fiaFzqualis 9eA; erit planO LH crcAa CxjS.m- 
proptdrca ipfi AK zqitalis, A ?qnidiftahii quare duAa Km erft ipfi aS decimi, 
«qualis, Apquidiftans. eft verp AS plino CH ercAa, dlBi ilint tS LF 
pYralldz; eigo punAum K in plandni CH cadit in fii cuius altitudo 
eft pqualis aS, hoc eft iWihori portitoni linez extrema , iticdia^uc 
ntioite diuiiz. Inque habemus punAa «FsiHfi, vbi cadunt punAa pen* 
raroni BFKHG in planum CH . Nuncigimttranfcamusadpcntagonirm 
ELMKF. primiit^ue patet punAum E in planum CH cadere in x, 
cuius altitudo eft FY, hoc eft FR, fiue IR, punAum F e(fc in ipfo 
plano, A punAum K in s< cadere, cuius altirado eft AS, hoc eft «R. 
fhnt quippe RS IR zquala , Bc «qualiter diuilicin A«. deinde pcrfpi. 
ctiumeft punAum L in F cadere, cuius altitudo eft FL , vel CF; eft 
enim FL latuscubi , reliquum igitureftinnenirc.vbi cadit punAum M, 
quarcabipib M ad plartom LH perpendicularis ducatur Mr, quz ex 
eadem Euclidis propofitione m !fcZ cadet , crit< 5 uc (IZ in » extrema , 

Athedia rationediuiIa,& maiOt portio erir R»; cui quidem eft xqualu 
»M. vnde cfim finr 9Z RS zquala , & 00 id Rr ?iA zquales, linea 
fM erit «qualis, &zquidiftansipCs aK Sit. quate punAuin M In pla- 
num CH adetinidetripunAum n. vbinempi c^dit punAum K. alti, 
rado autem pun Ai M, eflm fil nM. etit siqualis Sr, quz eft «qualis 
T«. fiquidemftint SZ TR zquala.&zqualiter diuifi irt pUhAis ARr' 

& |ll*. Denique ad pentagomim DELON ferraonem conuertamus . 
lamqucoftenrum eft ponAa DE in planum CH cadere in Iit; NL ve- 
rb cadunt in CFi quorum altitudina funt CN FL, hoc eft cubi latus 
CF; vt autem inueniatur, vbi cadit punAum O, diuidjrar NL biA- 
riamin m, & m plano per NL LO tranfeunte ; quod eft diBI planum 
ipfi CH paral elum, ducatur mf ipfi NL perpendicuUrls, quz quidem 
•f Ctzqualis RI dimidio cubi lateri; patet vtique punAa m( in planum 
CH cadere in RI, Deinde ab O adpiahum per NL LC^duAum per- 


pendi cularis 


:Gdl" 




104 — Pj-H/ H S « lA ti 

-I - - - 


.•ot 


,. ■* .( 

■ -.v ■ . 


r<f>s 


E» I4.vi)< 
lUcu/ii . 


. 1 .ujLiiiii^ 
tjioitm " 
urUiSi 


aii ,;i 1/1 sni 
ni .mi/ijc. 

inoup 



ii:unj.lq 
i iH •• OUii ’ 

TiJjj 

-■• imtjuj U 
j iw' lliojoi 


jO. uam^-ijiiQa 


i^ndVaitojtt d^cf^Or,- , 

M eadem ptop9fitionc ^ _ -,,.,„-0 
glcmcprpmm. conftat , , ,, ^ .jn 
}uri(!Mm » eflc ja^mca .. _ < -«sif/r 

tatioac dpuu m eu*. .jUt,; 
ius maior poaio ctt {», 
quippe 5*35 fflgli *p 
aequalis exitui. Cuiu lUu 
que punda W.m pla« , 
num (^.'cadij^a R.I; ^ 
nimiaim^puo 4 i^.' ci-^ ^ 
dccin «..qiunudquidctn ' 
fa IR. iuut a:4ualcs,'& ^ 
ad eandem patct^icqiia» , ||?, 
liter diuifx in' e«, Illino- j 
niam igitur pianuih per 
NL LQ^elf plano CH 
xquidiftans , O», 

ell plano; per ' JstJ LQ, ' ' i 
CTcaa ,'pf6du(ia O» 'ent 
& rpfi CH ,c^-. quare j,, ,.t,„ 
manifcfliirairtrpunttum 3j, p 
9 inplaniini LH cade- .,,v ‘ 

re in Ki evUus. itUimdo ; ’,jo ,‘„m 

cft iquali^Sj^qeii fimiil. timpus'_pH _ , 

Rt ipfi CN aqualis . 'Viidc fequitur punfH ,6 aEi^dinem 
dum K ci&zquqlcm lineis Tamptis Cflai ~Eademquc 
tionc ad alteras partes,' v6i‘rcliqpaiiadccacdripiin^g cadunt, inucnirii^x 
terunt. Cztciaat^ucu^qc punfia inuentaiiiat in plano CflJ alumd»>-, 
nesqucli^prahoopununiFupertz lunt. quoniam autem planum Cljl' qtl 
fubieda plano at^uidiftails . omnia inXubiccio plano pcrpcndicnjaritcrxa». 
Ix I. l/»> dentinfiguraqaaiquatcm, «(intilitcc poiltami^ ynicuique altutidiui ij^ 
iiu. nent* neced^ cft aJtJcrc mv^ntlutcm B«, Eoe^ft 1«.‘ qiundoquidepii 
planuiii CH 4 -“Cibte 4 o pUno.dil^^t 'quantitate, .'^1 fi igitur ihtcljigaaii 
planum CH vna cum «xi< cflcin,luuic<ioj?|aqfl»p*imumqmiUnilqm 
ipforum BG punda dcfcjuient'. pundaque .erunt jii 'fiibicttq 
plano abfquc VJia altitudmc j ppiidii viiro fiipta. CtHT* Viabcbpnt aliimdu 
nem liipraiubieduhi planum aqualem I«r alip vcro .pun^ Capra 
habebunt altitudinem xqualeni b'nci9 CTF» fimiptft ; PunCti 

vcrofiipta «x'altitqdincm habcl^unt CR 1«, )ioccil..RI 1 « fimullum.- 
pris zqualqm^’ plindi autem fupta « ciit alumdd aqualis ipGs Jf 
nocefti^ Hb xqualis, alterius vero pun^i/ppra^ altitudo erit ^qua.- 
lisipfis T«'«T' fihiUllumptisidciiiqucpuuduin lu^a « altitudinoiq, fia> 
bebulincli' fimulfuniptisiqualcra. Qhoiiljqd.^tcrMpiui^ ea- 

dem conftnnniut , cum fint ( vtfupponitut ) do dcoaedqiiagqti njnc inde 
^«qualiter cpnftituti, vbi cadunt omnes ^odccacdii apguli p'er^'c|i^ari; 
ter in fubicdum pranilni ciim fiiis 'altitudinibus, erunt inuemi!., ;|p mp/nti 

Hinc , Se ex eodem Euclidis locd^Wlligitur latift 
quod cft (liai latus .c(tbi , tj^uadracf*- angulj4Pii' 

CBF pentagoni BCt)EF hi btendert/ ^ i H"> ? 

Ex quibus omnibus &cilis„ brcuis^ucconlutgit pUxishoc modo. > 

-= ' FR~XT' 


I 


'LIBER QJ^ARTVSv) 




ivr, 


F R. A Xv i *. 



'•1->vt U -. 



a i pw L«M* <>ui Jodeoedrf li» 

QU BQ. fi«q4e pc n otoni «pr 
^ui CBF{ pofuturqac BFj« 
mlit BC) tungatur^ne CF< 

DciiiBe qMdranim dctetUMOic . 

CFHP cuiut latera bifariam (U* 
nidantur in RSTV; lunutur* 
lae B.T> cnwbtfttiam duida* 
mt in I. deinde diuidatui 1& 
cxttema>ac media rabone in « 
firdue 1« maiorjKMtio.-fianrd; 

IB R» R( TX TY eqiuida I*. 
ipiinflis autem t^SXYV <ma* 
tftati lateribui fema tamenj 
icndlcnlares ducanrar il {r S«i 
CG YK VO , qu* quidem om- 
nes fiant zquales ipb Ia. ex de« 
monflratis confiat dodecaedri 
angulos , in (iibieAo plano cade* 
ic in pungis >B CFHP Iks<G‘ 

KOi primadne punaa s* efl0 q Q ' , . n 

infubiefto ^Iwo abfque altitudine ;punf}a Ycr& fiipra CrHr amtndi* 
nem habere Ia; deinde pnn£ia fupra aO alumdinem habere IR-, p<v 
(ica punOorum fupra <xOK altimdinem elTe lineis R1 Ia Cmul fumpris 
«qnalem i mtfus alia duo punfia fupra «tO ipfis Ta al fimulfumpnsz- 
qualem habere alnmdinem i aliommverbpunQoram fupra CFHP alnm- 
diocm cfTe lineis CF la limiU fumptis «qualem ; denique altitudinem 
linorum punftorum fupra «A lineis CF aft fimul fumptis «qualem exi* 
Here . Imiennim cft igitur, rbi ab angulis datidodccacdn in iibieAum pla- 
num pcrpendicolatescaduqt eu fuit akttudii^iu- quod faceta opottcbai 


tum tx Euflide , rsun ex Peffe de eerpcrltx/ rtgm ~ . 
Urihus m medim *fftrrt pcjftmut . fti ne circe etdem , cjmim f*r 
ft , nims immertmur ^ ^4. emittere duxirntu . nebis enim /nfficere 
mdfitm efi % m » fiuilitre ^vije jitnt , /dtgiffe jW eerum fe- 
efuemd» erstmem , epu dicte fimet , ceditnt perfendlctderts «* 
fidueettsm fUutm db engntti cmmbbtt cvtfens regnUrit^, tnimt /e- 
tmt fu desum , cnm fms eltitsedsnA m s meumri pefdt » tX 'qmitu 
f* in fic fient efferentes de/ctibi JeciH petenmt . “ 

4«r#M in us emnUtu» f m dicte fmet , de reiiit^is tey^ 


tkn 


■n» .eixit 
.» ; 


■^^8 Refi/HT SI R 9^1 TOTH^I! lAE 

tww 'vtrht /kcttTJtnt , omnU t*,mtn circulis , tlhpfibut , ^diisqu* fi- 
•urii curuilineis , ac etiam mixtis deferuire quoque foffunt ; etenim 
j^ura curui/inea ad uctiUne<u redduntur . propterea pojfumus quem^ 
!ilet circulum , ytrquhnltfh J^ranf' cuntlineam omnibus modis 
'tea ficundo libro expojitis in fictione reprajentare , nst cateras fi- 
uras rectilineas . Jumptis enim in circun/erentia quotlibet punctis, 
'ua in fectione repra/ententur , 
er ducatur , habebimus infectione 

»j,ia 'aotiTintnoa ;ia> ‘j.,-: 
'4 erunt puncta in arcunfertnUa circfeft) Oppfftussfud 

rit , tdttamen exempla nonnulla inmeditmi^T^iirenmt^Hstyiieitie-l 

ius appareat , quomodo facile in 



K defemifent . praxes tamen tonquam im'ertetU'^Mi6ne£entiqna»t^ 
lis ex iif , qua dscta funt , in fecthnj^‘fdcliB/Ud^'fc^j’^tp^ 
j9$o^U€ fojsirtt u n) ti iirak^uti tnt* M 

^ ■; -rno m^bi. jv , f >V X ' L>j 

• iii rt .»! f*»:; o/iuijjx • 
nhoi :l 'IfU .. ) . t ' 

:xi . * 

\ nj-iPiti M f 

, A„ .w pf,as'*rio . . , 

-07 ;Ml '<!■> ■' fi- . ii. Oi tr^nl tf.n », '' ; »I jiv’: ’ n 

: '^mui li/mii »i' i;i iiinil jT:- ni- I mji'- -l' -- ' J; i r»; 

: T. /iKjifii/' It-mil 1 » • r «. ! iuhin. m-.' ; 

iniH» THf > .r: i'.rnU7 ov- ■ n.. aiviui fi (t ■' 

citculisjcum dUirtie^ fo; 
(eiuagcntii>u$ ^ Abigite' i uuiccm in^Un^ds, quori^, iii« 
cffoarkj -ftt d*»x firque alter: cirodus 4 n fubicdlo pbno , 
in propofita fcdione figuram apparentem delcribero 


- nfvt \s>‘\nf ' 
nV _ 


'• t . 'n-t (n«7 , 'V\\ ’>i ' 'U'-’ »l'~rv'l »uV r 

. ^ 1 , . \ ' %• ' V ttV -r • 


Sit tircuiiis BfcDi in tobiefto ptano',l*b'feXUoms\ine»^ ^ 

Idiftarttik. SA^oculiiltiniHo . * ei ahtecnfflittftcnnao. libro Infcehiantf 



9* !<• t«r 
Pi. 


nalnatigalo, K» «hgahtdbtSftfthieitailTlnpB^ B. diwauirtitjeaja' 

incter BD, cui i nupjft^ B pcrocndicuUru ducatgr BH; eju* cric ii\ 
VtroguepUnohorunx circulorum , BH yuofquc cuculos con.i 

liriget ; Vudtf rbrum cdtniAutui Obm' itaguclutcUigannis 


con» 

cir- 


culum 


LIBER ^C^\rA<RTVSl 209 


cu.uin BCD£ indina» 
tum in ao^o K> erit 
BH(iibi;:£b plani, inquo w'' 
intelligitur efle alius cir- 
culus , ac circuli inclinati 
communis fcAio. quare 
inueniatur figura LNR , • 

qux circulum BCDEin» 
dinatum teprefentet; vt 
rzcmpli gratia, i pundo 
E circuli ducanlr EO ad 
BH pweodiculiris, fiac- 
qne EOF angulus (qua« 
lis K, Batq,- OP f qua- 
lis OE, ducatur^ucP^ 
ad OE perpendicularis . 
Deinde in legione ioue« 
niatur punAum R, quod 
oitendat pundum lupra' ' 

Q, altitudine pun» 

Aum quidem R oiVcn< 
det pupAum E circuli 
mclirtaii,dc ita fiet in aliis; 
veiuti punAum N oftS* 
dat punAtim D circuli 
inclinati, & punAum L 
oftendat punAum B in 
fubicAo plano cxiflrns , 
vcluri punAum M offen- 
dat punAum D circuli 
in fubicAo iimiliicr pia- ^ 
no caiftmtis . iungamur- A 
i^nc LM LN. ex qui> 
bus fequitur lineam LM 



I !•- 

'an ! ..;i. ;| i. 

• ■ 

- ,Mif< i*. -i». - 

. . - iMH ^>. ; 

; T ni » t' 

n:;« J /mbii/D tt\w < 

ar:t! :i3(c ’d ^ 

V-' '."jub . 

^ JH ilqi ■ 

. nt: Ii 

■“* i>sXiq:>l J,l I. 

• ir siioiJp 

.Ii. 


n\ .dft^ 
unw\ ui 

l.ef 4 


aitSMIII ..ii. 

®‘^,.*"“''’‘«fioplanoexiftentemoftaidere, LN T<t*diaBie- 
^“tiatum . Tnde angulum NLM incliutionis anguluat 
pttMdcrepetfpicuumeft. figura igitur ex LMI LNR compofiia^la 
iccuooc appaicm figora^ quod &ccrc oponebat» 


PROBLEMA PROPOSITIO. XX. 

' o. 

Oculo dato» dadsejue tribus circulis «<]ualibus (cie ad 
angulos redos fccamibus » quorum duo lubicAum pia. 
num contingant» alter vero utiubiedo plano xquidiftans* 
in propofita iedionc figuram apparentem deferibere. . 

Ezponararcirculus BCDE. cuius centrum qui inbicAo plano in« 

Dd tSligatai 


•tj »1 7^ 


I 


Vio R g 


fxl6. Itr\ 

III h»iHS , 


^ y» 

, uiiwi 


illigatur crcftus > coti. 
Deacquc iubicftum pla- 
um i B. fi 'Stn»Vo 
^ano circoli ducAittr bU 
ckculuQl contingens * 

erit h*c ptculi > ac fubi^, 
ai pUnjf communis fo 
^ , <mx fi erit squi^- 
ftlis f^xonis line* Fp > , 
eri p^num BCDE Wl* 
qicxm 'J'cSioni^*quidi- 
ftabs . wdc figura in fc- 
dttqqc hunc fcirculnm rc- 
prxfciitanscrit fimilis i[<» 
fi BCDE; quare circu- 
lus erit I Itaque inucnia- 
tur punftum H ipfum 
P rcptxfcntans . deinde 
inucniifur' punQum K * 
quod oftendat runOum 
fiipra B altitudine BQi 
centro igitur K, inter- 
uallo autem KH, circu- 
lus deferibarar HMLN . 
producaturq; HK in L j 
punfium quidem L pun 
Uum fupra B altitudine 
BD ollcndet . duOaque 
MKN ipfi HL perpen- 
diculari , linea MN ip- 
fam EC reprifentabit ;• 
At vero quoniam intelH* 
gimus tres circulos efle 
ad angulos redos > cir< 


-tuif-rii 

jii> . ^ „ 

.onpni .mrlq .t: 
:ic 


aU Jf n 

oliignt iii XI 


irii: 


iP.'» iLiijji.iaiiii 
xxwji; 



«.llfcPi.V.II 
i, ) A X' .f“i' 

i.u>X!'- n wiOmi-; i 
J ,n’;’’.nuq A *ii- ’ 

ni il .•nulim t Jit-’ 

, « . ‘ <1 o.itlq <jL ■ 
-iti(l'« M niaiiiiixqn' . 

. ilujTj 0 ixiiiOm:q !t 
i 'i* .imil oftiidi^ 

— r-r-r.-xui...im'>ni--"- > 
•iiip 'o ••di stip 


1 


ns; Il ’ 'iiiip'>' 
citcUlUs ' 




£X II 

Wl . 


Ejr i 
ws» 


AU » w»- 

coWmqOA I rifc.fUbieftrr. |tianoi «redU» , ------ 

{,««t^cnt in zquaicma^fixd quociiim punftum Gl. baisit in B , 

tum intclligatur BQ fiibicdo plano creOa j centro xgxmr B, cxrcu. 
liis dcfcribatur OPQ xqualis ipfi BCDE. in fcciionc autem ngma m^ 
fcenianit MNT, qix* circulum reprafentet , qui lupra circulum O, 
pCquc*quidiftanscxxllataltitudinc BC^ deinde xpfi V.Q- 

:is ducvsq: -BR.. flU* fiicatq«alis;i}>fi: Sb. xtoWtrb^ to^♦fctlba• 
air circulus BPRE . qui intclligatur creaus fupra fubicauxn planum i quod 
quidem planum in punao B contingat, intelligaturqxi^c linea BQ huiM 
Ciiculj , & llibicai plani co)nmunis fcaio . Itaque in icaionc figut^dcri- 
J,., liatur tHTvqiwcirsulum BftREj iajjqoamfnbieaopianoawaBm re. 
prasfentctj ntminirii fkuucx .MNI ctmftapf 

los fibi ipuicem ad icaoFaTi^Tbi cKiftcntts re^xfntiW punauin^uc 
fl rubieOum planarn.cpmiJiSlwM*®**’**- Inucnta fcfl Igitur hgata jn le* 

critcirculus, qui quidem in fcaionc rcprxlcntabiiur, vtfaaumcft circulo 
BPRlii -Boemdaifc^cwiilBofiewdir.ijMT^ .iIGDa ajlm ■ : •, i 

— ■ .J 7 : TT COR^i.- 


r 


LIBER" CLVARTVS. H7 


C OROLEAR.IVM I. 

Patet ex hoc datos circulos eflc in fpiuEia mazithoa. 
C O R O L L A R I V M II. 


Ex hoc manifeilum eft etiam , fi connc(S:aBtur commu- 
nia punifba MN TI LH, lineas LH MN TI circulorum dia- 
metros fibi inuicemad rc^os angulos in lc<2ioneofteodere. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXI. 


Ijfdcm pofiris, datoque in fpharra circulo fubie«ao pia- 
no credo non per centrum dudo, ipfiquc BDE credo 
in ledionc apparentem gguram dci'cribcrc> . * 


ka .£ xS 


ejuoniam intclligitur 
circulus BDE fubicdo 
plano creteus > ducatur 
in circulo linca CE ip< 
fi BD zquidiftans, quz 
intclligatur diameter cir- 
culi dari cuculo BDE, ac 
fubicdo plano eredi . ca- 
dent vtique i. pundis EC 
infubicftum planum per 
pendiculares m O. quo- 
niam BO intclligitur cir- 
cli BDE , ac" fubicdi 
plani communis fcdio . 
Bc quoniam communis 
^dio circuli dati circulo 
BDE , ac fubiedd nlano 
dcdi. ipliusquc fabk^iii 
plani clt linca ipPi BQ 


pcrpcn^cularisi eft autc 
[toK ipfi BO perpem 


dicularis, creo COK eft 
jiommunis (cdio dati cir. 
iCuliper CE tranfeuntis* 
'ac iubicdi plaiti , luque 
jin linca OB OP 
qualis OC. & PQ *- 
Iqualis CE; deinde dia- 
■imetto PQ. circulus de* 
■ftcibarot PQ.R.. quod it 
*manencc CK > intclli- 
gantut BDE & QQfiibic*' 



DI 


m 


:n: 


'IUjI 


Dd a 


do 


i 


'lii 


oo 



77T per s p.e o t i V aT 


Ixz.b» 

fM. 


ito plano crcd* . diamc» 
ter PQ erit in CE) erit. ' 
que circulus PQR. cir* 
culo BDE, ac fubieao 
plano oreaus ; cuius , ac 
fubicai plani communis 
feaio eft CK j .quare in 
feaione inueniatur rigora 
VX, qua: oftendatcircu. 
Inhi T<1R.» tanquam fu* 
bicao plano cteaum } cu* 
ius , ac fiibieai plani com* 
munis fcaio (rt CK ; que 
quidem VX ipfi LHM 
apparebit cteaa . Innen- 
tacRigirar VX apparens 
figura • quod facere opot* 
tebat. j ! 

Quoniam autem dia- 
nteter. E€ ipfi DB p^ 
pallela exiflit , VX ipfi 
^HT squidiftans appa- 
rebit; fiquidem VX, 8c 
LHT ipfi LHM ad an- 
juloi teaos apparent . 




T 1- i . 



\ f; . • r ,n- t ; 



- *i i- '* nCl 

A 




PROBLEMA PROPOSITIO. XXIK 

. Ijfdcin pofiris, datoque in fphxra circulo per centrum 
duclo , fubieAoque plano inclinaro , in itdlione figuranu 
apparentem inuenire^ . 


r«ao.'M- ORcndat, vt antea, TIN in feaione circulum PQO horizonti ?qui- 
hu. diftantcm, ducatutque diameter PQ fecundum fitumj quem intclligl- 
mus habete circulum inclinatum, cuius inclinatio fit angulus M,- dc quo- 
niam circulus PQQ intelligimt horizonti xquidiRans; eandem habebit 
inclinationem circulus inclinatusad circulum PQO, vrliitihabetadfu- 
bicaumplanum;hoctamcnmodo,vcmcdictas,pur4 QBP fitinltacir- 
cuhim, altera vct6 <^P fit fupra circulum, erittjue propterea PQ.fc^ 
aio communis circuliinclinati , ac circuli horizonti p quii^Ranris . Itaque 
fumpto pueto H in circunferctia.ducatur HL ad PQ^rpeMkularisifiatt^; 

^ HLR 


LIBER Q,V A R T ! Stj ,21^ 



HLR angulus angulo M 
aequalis > & LEt. ipli LH 
a;qualis.ducamrq; R.Fad 
LH perpendicularis. pun- 
Aum quidem H circuli 
inclinati in plano circuli 
cadit in F, cuids altitudo 
cft R.F. pati<|uc ratione 
inucniamr, vbi cadit pun* 

Aum V< quod quident 
cadat in X t cuius allini, 
do (it XY. qui quidem 
punAa HV interfe hac 
differunt ratione , quod 
punAum H intclligimr 
mfra circulum exiftere al- 
timdinc FR, punAum 
veto V clfc fupra circu- 
lum altiradme XY. At 
veto quoniam circulus 
OPQ.intelligitur(ubieAo 
plano zquidiflans quanti- 
tate (emidiametrii ideo (i 
iiuclligatur citculus OPQ 
iiffiibicAo plano, ex quo 
deferibenda fit apparms 

figura circuli inclinati , , . 

tunc punAum H habebit fupra fubicAum planum altitudinenj que jGt 
minor femidiametro quantitate FR; hoc cft, fiat FZ zquahs (citudiaT 
mctrocirculi OPCb fiatque ZG iqualis FRj reliqua ^«Icm FG erit 
altitudo quifita. quate in (cAionc inucniatur punAum C, quod often- 
datpunAum fupra F altitudine FG,- tunepunAum C oftendet punAum 
H citculimcliiuti. Sed quoniam punAum V intelligiturlupra cuculum 




Ex }> 



clinari . Omnia igiiut punAa Icmicirculi QBP in fcAione inucniantur , 
vtdiAnmcftdepunAo. H,- .quivero in femicftculo ,QOF exiftunt ,re* 
periantur, vtfaAum.cftdcpunAo Vi. habebimusq^c'® J®Aionc figuram 
TCD , qu 5 jdatum atculum iuchnatiim oftend^ • quod facete oponebat , 


111 rr^ fij ;t, 


COROLLARIVM. 

. { V ^ T J O V . ) 

Ex hoc patet , n iun^ncur communia puoila h 
neam IT vtrorumfluc.circulotum diametruoiTepraekd- 

f ^ UT 

- ■ ; 'H/ iOl Sotl .,‘J lll “I 


o 


Aliter 


.1- -i * 


Il4 P E R S P E C T r V AE 


-V' .E 


Aliter circulum inclinatum inuenirol 


• t.utll.! 

■ ■■ ! , xii iii.. 

J II 



«*4. 


Exponatur circulus 
maximus BCDEiqui 
Intcliigatur fubicdo 
ilano ctc^uSi cuius> & 
iibicdi plani flt fc^o 
:ommuuis BFi cui ad 
mgulos ceftos iit dia* 
meter BD . & huic 
iit pcrpendicularisdia- 
meter EC, qui qui- 
dem cft canquam ho- 
rizonti xquidiftans. iit 
deinde circulus BCDE 
ereftns circulo inclina 
ro I ducamrq. in hoc 
circulo linea GH.qu; 

Iit diameter circuli in- 
clinati» quz nimirum 
non erit horizonti x- 
qnidiftans . quare pro- 
ducamr , occnrtatque 
Tpfl BF in F- Dein- 

ide d punfto F 'ducarar linea FK ad BF perpendicularis. II igitot ma. 
nentibus FB FK in fubiedo i^no i^lligatur circulus BCDE fubiccio 
plano erectus , erunt HF BF ipii FK perpendiculares s qoaie KF eii 
'plano BCDE erecta. & quoniam inclinams circulus eft plano BCDE 
jcrcctus',&cft HF in circulo Inclinato; ergo erit FK in plano circuli in- 
clinati. fcdcft quoque infubicoo plano ;ctit igitur FK circuli inclinati, fit 
Tubiecti plani communis fcctioicTitdue BFG angulus inclinationis; cum. 
fint linei HF BF ipii FK perpendiculares-. Qiiarein linea FB fiat FL 
iqualis FG , & FM xqualis - FH . diametroque LM , dcicribatur cic. 
colus LMn. Iracme intclligattir cimilus LMN inclinams ip angulo 
F«.'LFGi circulique LMN, & fubiccti plani communis fcctiq FK, cxijs, 
qux dicta liinc, dato oculo figuram apparentem in data fcctionc inucniic 
non edt diSicilc . quod tacere oportebat 


COROLLARIYM. 

Er hoc perfpicuum cft , quemlibet circulum iti ipbiraj 
fubicdo pfano iaclinaTam inucniri pofl'&> . ifi. ; 

Hoc cft fiue fit GH per centrum , fiue minus , eodem prorlUs snO' 
do fiet. 

' ’ PROBLE- 


jLf^fiTU 'lLVART:V:S^.i ' 




J 57 . 


,-Ulu V! «Mivrl ;f' -iJTlhloa 

^ l o ^ , 

jzr.. ■■ ■;ri ly.hl 30 ,, 


11 


PROBL£MA PROPOSITIO. XXIII. 

'i V 1 ;i A .1 -I o ^ t :• 


£Io plano equidiftantc per cdntrum non tranfcuntqi^.||i 1^ 
trione figuram apparentem inuenirc/ . 

.wsH07 iiao^lx/jii XI ilitiio sisi<q'i iXfcb ir.im aufininiii^ 

IjfdcmenimEofitis.in»,. .. .. n •. 

ien«t»n«r<bni1liirciic«to»>A^^^ w-W\ «W 

'v\uv»»'> »>.' 

num contingatin ^ 



«'«iV ?».B 
ic.aA uV.ait»'. 

«ni a» w.a- .* 


ao.q«i 


Er t. in» 
MI. 


caB^ 4 >*<^«vetcr. w». 

fl^bne^ &Cd, qu»in(i(ln \ fcUi 
w J t»'!': 

CUIUS pUhum iit plan* ' 

BCDE cteaum,- quod qui* 
dem fubiccto plano erit pe 
rallclum . potr6 huius cir. 
culi centrum erit R. De- 
Inde quoniam in fubiccto __ 
plano •pj^birdieularci 4*fr 1 - 

circulo I CUIUS diameter cft 
EC > cadunt in circunfe- 
rentia circuli ipfi xqualis , 
proptcrca centrum R, ea*. 

dceijidiae*n intcBiga* •; m ■» " jy4ii_&iin s r: i) . ur.!t i ' j^ r~ 

‘urBD fubiccto pUnociv,i, Tl r.j- e 

era . centro Igitur B, ctt- ii 

culus deferibatur OPQ 
cuius diameter OP fit ij^ 

G £C aequalis, & xquidi* 

ftaxWs f^queitacOttBitMrjSitlul^ni xiltithib mufjnui 2 mjAnr.tjti'' 
tb flcfcrihMVr . iiai ■•iil*ifioif>->'. eil ?.*. 'neailhiriohjErl.i»- 

SKiMa’ZV.>;i|u;circttliifB .-y ■ tv ,h nitnjnv. . ^ ..lOjlI -iiar. 

oSondatyqui fupmiciraftr. i , ri‘' . v : ; iiH i i i i . ri .aTj iiijbu m\,, 

lamllWCb^fiqucxq iir ■ •)i, d'l i.lftmn r3j/.f!..n 

.Silt-|t;.cicdtar.altiilidiiie -7 7 • ' ^ l'i 7 iVii!U ;tn atmat 

BKl^^fi^airiqiw 'lV’<a- ■ :i ,Tiii *;tt ^3 / 

biAtBfJajtoparallelumcircufvBnoftcndet. dniKhttCll igiw figniain «• 

cdbnc«ppai<ns.quodicfi<>pO(tcbata'>jm!ijib' 7 :; .tni.it-v. .'■ 

-t ii 1-17 .T .ti. . .. iiv i-ifll tmr-”:iui at. 


btt. 


JL. 


.U-1 


TT* 


Jigilizettt^^oogtc 


( 


“iiiT P E R S P* E ^ V lAE 


n* .1 


Ex conllrudionc Hgura TV apparet circulus ipfi quO' 
qu« MNl xquiditlans^ 

,111X7. .u- i AU.iflOHl 

COROLLARIVM. 


ilan 


^'Eic h’^taianifcftam'‘ift', diioSKido 

-<>}■ - Vi ; 

’ . 1. f' 

Qaicunque enim dati fphers circuli ex dijUt teprclcntari pofluia. 

H*e , iict* Jtmti mm filum tlUffibmi, mirum itum omni' 
bux (uruUntis figuris quomoxtotuni^u* deferipis defiruin fojfunt 
. fiquidem fer punit* mueniri fimitiier »mni*.dtbipt , 

Huc d§ drculis dut* fuffutri poterunt , g/iqnot umtn uxlhne fr* 
xes f*r punit* etnturfus /ubiicire mifum tfi , qu* quurundum ttixm 
*liorum fuilimmjui de firment \ luiut* pnifirtm im exemplis in- 
ferendis Unt*Tum eonfuffom ; quod pr*fi*ri poterit iuxt* fitmndim 
modum initio fecundi libri txpbiotutn . 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXIIU. 


Oc(iIo dato , dato(^uc circulo in fubicdo plano» io prO' 
)oAta fc(^ione figuram apparentem ddicribere^. 


SirpunOum S pnnAum diAantic in' rubiedto plano-, oculi \Tr6ilrinr 
fio intcliintur AS| lic fcdionis linea FG> circulus ver6 iif (ubietFo pia 
poCf BCDE, cuius centrum H. oportet in ie^onc fictam apparcti' 
tem (icTcribere. Ducamur ad rcQos angulos diametri BD EC. ita u> 
men.vterpundis BE rrodu£tz fcAionis lineae FG occurrere poflint . 
Deinde circunfcrentiz iumannir ex vtraque parte BK BL xqualea , iri- 
demque BM BN xqualea, dc aliz, fi libuerit. luneanrurqiieKL MN. 
quxinicrfc.dc ipfi EC paiallcla: erunt { i pundis^ue MKLN ipfi BD 
Mrallelz ducanmr , qux circunfcrcntias afliiniem cx vtraque parte iPfioa 
xqualcsj qux deinde jungantur; erunt vtique omnes linex, v el ipfi j 

' bb. 


LIBER Oy^RTV Si 



Bp> vel ipfi EC parallcix; quippe qu omnes producantur vfqoe ad Co 
^onis tincam & i pundis EC ipli BDi i pundis veto BD ‘ipfi EC 
parallclxducanmrjdiamctriqucproduiH fint CEZ DBI. His ita inucn. 
tis , vt punAa concurfus mucniamus , quoniam obiedum > licrnpi cltcutus 
cft ad partem puncti S, intelligaturad alteram fe^Uonis partem pundum 
T, ita vt fi auccrctur HT , clfct h*c ipfi EG pcrpcndiculatis ; fitqud 
punQiim T diltans i tinca FG , vt H . Deinde intelligantur tincas TZ 
TI du£lz;ipunftoquc S ducatur linea SY ipfi TZ xquidifians, S^' 
vero ipfi TI parallela. Nunc vcr6 planum intelligamtfcaio, io quo dn« 
catur R.V ipfi FG perpendicularis, qux fiat squalis SAj crir vnque V 
pundum concurfus ipfius Tl, & caram, qux fiint ipfi TI squidiftantesi i-tS" 2 ./c- 
quarum loco funt DBI, &quz fiintipG BD parallcls. fimilitcrquc in- «uidi 
ueniatui punctum X concurfus ipfius TZ , & ipfi TZ zquidifiantium i iin, 
quarum vice defetuiunt CEZ, & quz funt ipfi CE parallelzt Itaque i 
pundis in linea FG, cxificntibus,vbi occurrant lincz ipfi BD parallelp» 
ducantur linczad pun^um Vi ab aliis vero punAis, vbi fcilicet occur» 
tuntlinezipfi CE paraltclx, litlcx ducantur ad Xt & ^ eiufdcm pun- 
Ai tincz fc inuicem fccaltt> erunt punfla in fcAipnc apjiarcmia ; vcluti B 
apparebitin O, K in Pi centrum H in dc' ita in aliis . & per hfc 
inuenta punAa linea ducatur curua. habebimusque in fcAionc figuram 
apparentem circulum reprzlcntantcm . vt pcrfpicuum efi,fi intelhgatur 
AS> dcIeAiofublcAoplanoercAZifucritqucoculus in A. intelljgatur- 
(fuc circulas ad alteram IbAidifisydReini^s-^mitio &cUrrdf1ibh diAdnvrait.' 

quod fi*«re opbRebatjW iiiiia;^‘i. '■'J ■ l , M / tiuanil au. ib 


• v . r.unr r' 


Ec 


_H anc 


f 



HancfhmiimuSln drcnlo EBCD dN 
uifioncm, vt quxlibct linea duobus pun- 
ctis deferuire polHti vtfaciliorfitpraxis, 
q iiiilrm diuifi o alijs.^gqus. modiii 


A numcri> garest fitque fcaionis linea \\/ V \ 

Hi deinde in'circnlodnoiunganturpa»'/^-' \y\ \ \\ 
cU AD , ita vt producta fcctionis linear ^'VX / \ \\ 

oiccurrere pollit. pofteainnganrtr /X \ ' V\tt 

& alia contermina puncta ierunt quidem V \A ts. \ Ng 

hseductelinexintcrrcparallcl*,rtmfit \ X '\ \ / 

drcunfercnttg AB circunferentie DC ' 'm/ 

Xqualis..&'itain^ijs, Deinde alia fimi- , V K 
litet duo fumantur puncta A^t i« vt ^ \ \' fi 

ducla linea AB, dcproductaipfi EFocj , 

currere quoque poflit. aliaque iungan* — -y // 

tur fimiliter (cquentia punaa. nimirum / / 

hx quoque linex ob eandem caulam erunt intCtTe paralletas. <k quamnit 
i)x linexfibiinuicem haud perpetsdiculares exifiant, nihiloiidnas eodem 


[uamuii S diftantix panctum datum non fiieiiti 
t FG parallelam , qux quidem ab FG iu diftet , 


. PolTumui quoc 
ducere lineam V! 


quantum 


L I B'E Kl Q^V a R; T V-S;: 

quantum intclligimos cflc altitudinem oculi fupn fubicAam planum j & 
inlinca VX lumcrcvbicunque duo panda V Xi fimilitcrquc ad V li> 
■eas ducere ab IGi de ab.alijs pundis in FG exiftrntibiH', quxi lineis 
BDi iplIqueparalielisinucniuntur.vtpridstadumeU. fimilitctquead X 
lineat wcete a pundU F Z, & ab alqs pundisin FG cxiftentibut,quz 
iltnca CE> iplique parallelis efficiuntur, etitque itidem inuenta figura in 
ftdione. rt didum cft . 

AffitmptavetdruiiK punda VX, vt lint punda concurTus, quod qui, 
dent afiumi pofle hoc modo dcmonftrabitur; inueniendo nempi finita 
pundidiftantiz.atqucoculi, ita vt oculo punda VX punda concurlut 
appareant . 

5it enim pundum T , vt ptins collocatum . ducanturque d pundis 
V X ad FG perpendiculares VB. XY. deinde ducatur linea Y& linez 
TZ dudz parallela ) linea vcr6 ducatur RS lincte T 1 dudx ;quidi« 
liant, lincxquc YS RS libi ipfis occurrant in .S. Fiat^ue linea SA x- 
qualis RV. Nunc igitur imclligatur S pundum dillantix, & S.\ ocu- 
li altirado. & ne paulo ante dida repetamus, crconftrudionc patet pun- 
da VX cflc punda concurius , linearum fcilicct BD C£, iputqt xqui- 
dilbantium . quod quidem ollcndcrc oponebat. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXV. 


Oculo dato , datoque drculo in fubie>ftt> plaitd , quius 
cetitrum In iet^ionis linea cxiftat , bgaram appatent:iu. 
deferibero . 


Sit circulus BCDE, cuius diametri interfe perpendiculares (int BD 
EC; litqUc centum F; Icdionis vero linea BFD. Diuidatur quxlibct 
qnatu in paitcs xqualcsr vt quatta BH dmidanir pundis GHK. & ira 
alix qaartx. Ducancurque linex GL KM , &c. qux ipli' BD xquidi. 
Itantes erunt, lunganturque KN GI, &c. quxipfi CE parallelx erum, 
omncsqne libi inuicem ad redos anmilos caiftcm. Deinde iunguitui 
punda, qux in BD CE reperiuntur, ducantur iciiteet EB OP OC,'&«. 
qux omnes enintintcclc parallelx. Nam cumlint circunfciencix BK 
DM ip(IS'EQ'CI aequales ; erit KM xqualitcriconitodiflans, vt GI.‘ 
Vnde FO eft ipli FP xqualis. dt quoniam F£ cft FB xquihs, erit EF 
ad FO,'Vt BP ad FP. diuidcndocfi EO ad OF, lic BP ad PF. Qua* 
re OP eftipli EB xquidiftans. Hacque rotione omnet oftendetur ipfis 
ED DC panllelas cflc. vndcfcquitut, etiam imcriefc paralidas elTej His 
cognitis ,' rt figUtam in tedione apparcmetrrdcfcTibamus, primum con* 
itat, punda, 'qux lunt in diametro BD in ilTdemma pundis- apparere t 
cftmfint in fedione . deinde inucniendum cft pundum concnriiit, ipfa. 
itim fcillcet KN EC, & aliarum ipfis cquidiftutium. fimiliter repe, 
tlendum cft pundum conairfus EB OP DC, ii aliarum ipfis xquidi* 
Itantium, di pundis, vbi hz fccant lineam, qux rcprxfcntet EC, ipfi 


Ex 14. Ur 
til 
17. fanh. 
2 . Jlrtti . 


I i 


£ e a redionis 


tundi bu“ 


Z20 P..E,R 

fe^ionis lincte parallclte, 
ducUituT • quae quidon li< 
ncc in GeOtione icprxlcB<i 
tabunt Uncas GL KM. 
BD. &c. itvbica, qn® 
tcpr«l?ntat JkM, fetuor 
n: eam , qux rcyrxfcnrat 
KN en eo punaoappa» 
rcbul.p 0 nautn K> & ita 
iu. aliis At vero ii hoc 
modo apparentem figu» 
ram dcftrtbty;e volucii- 
mtis«cAm fit BD ic£tio* 
msliaeaj.in eodem termi^ 
loco; 9l obicaum BCD£> 

& appaccni figura cxiftai 
QptKitca , Jic ociaiuiiii* 
ncarurvv confufio. , fcor» 
fum exponatur Teaionis .? 
linea QR; fitque S pun- 
Aum difiantizi oculi verb 
altitudo imelligatur AS ; 
fiatque QR {qualis BD; . 
&vtdiuiu elLSD» itadi^ 
uidatur QR . Deinde fiat 
angulus RQT zqualis 
angulo DBE. Inuenia- 
turque punAum V ,quo4 . i 
fitpnnmim toncuriusipj;* 
fiua OT; «fir enim QT ‘ 
loco Bt, Cquidcm BD 
m QR exiftere mente 
concipere oportet . Vn. 
de V erit punAum con- 


x.&uCt- 
eiinJi hU' 


»{. pnmi 

hHMS. 


.1 .*.! 


• i-.riV 



curfus ipfius BE. & omnium ipfi BE {quidillantium . & quoniam EC 
KM GI.'dcct lunr ipTr BD perpendictilareBV inucnianir punAum X> 

S uodfitpunAnmcbncurlastlmearom firllicet; que fint ipfi QR pcrpen< 
icuiares; deinde i punAis in QR oxifiicptibus racamur linea; ad pui^ 
'Auaa 3C; &ad punAum. V; Acbinificxad punAum V <dndcnte$ fccant 
'meam Y^quacrepradentctArcuIidibmodSECsab his punAis in.YZ. oxi* 
lcoatbut/\-(dpunAo 9 yipfi QR paraliclzducaiuor,qoe lineas GL iKM 
S(c.qfictld9(a ilAiiicunxtiocpaMinucnicmns pancta quwn-.src punctuoq 
^ t!cpt{fi»tabit'puiictumrqaodipfi K rarpondet. qud<l'fi'intelligatue fe* 
ctio fabiectoplano erecta. paTs.Q'yK'fi]pra.iabicctuni ^liimm femicir», 
culmnsBED icpritRntabitipaK vero QZR fcmicirculiiin BCiD often* 
dct^dunintodCincmpcrntClIigaiUr Q. m. Qi:;ilinciu|ue fiD'^invQR cxit 
ftcK rcnculoiquc B<-D& iniubicxnoplaBoelIbbqQod fkdedt«iibcidbat«i 
t Simllt quoquemodex; vtiB pneccdeniidixiinai.JiqoampofficipiU tluCdt 
ne Xy ipfi. pataHriamr Roandum altitudinem ocoliprauifianuiM 
puncto-S .'deinde in. ipG XV vbicunque fumerc pnnaa X^ii qnxiiA 
tcIligantutpuDctaconcudds; adiipfitqacpuncta duceic lineat ( ivt ^omta 


eft t appacensinuetnafi^na . quod quideda 

do demoofttabinu. } , ‘i- i 


eodem auM 


J! tl 


. .1 


PROBLE- 



LIBER Q^V A R T V S: Z2i 


i(> 


PROBLEMA PROPOSITIp. XXVI. 


Dato circulo iubiedo plano ercdo , ipfumque contin-< 
gcDtc , figuram in propofiu fe^qne apparcntcnr reprae» 
icntaro . 


^ Ezponaturciicnlus ABCD , cu« 
iu$ centrum E; qui auulcm intel-ss2_i. 
ligatur contingere fubie£him pla- 
num in A. Ducatur lin^ FAG > 

,quz circulum contingat in A. erit 
-vtique linea FA communis feOio 
etedi circuli > Sc tubic^i plani . Du- 
camrdciiiccps AF.C, quf fit ipii 
FC perpendicularis & id regios 
angulos ipli AC ducaturatteradia* 
meter BED; ducanturq,- BF DG 
ipii AC parallcix i Eantque BH 
BI DK DL circunfcicnna: ajqua- 
jesi ducanturq) IFIM LKN, qu; 
jquidcm erunt li militer ipii CA pa« 
tallcIziconneIFanturquc HK IL, 
quzipG BD parallclzerunticmnt- 
que proptcrca IL BD HK ipfi 
>G parallcix. His conftru^is. flt 
le^honis Unca. O • uii zquidillans, 
Jj^nir imei VX ita dil«'q$"d Ii • 
ittt', :p« ..qi^inta cft oculi altitudo' 
ftipr? fubicftum planum 'quW' 
qUidetH aWiudinem dirM' iWaii.' 
liuvs. Deinde ex ijs.quz diximus 
/h'vigiffi'mi fecundi nuiuVbropBfi»' r 
^nci' tonftititanfnr^piWaa V^’- ’’ 
regione 


in linea. yX, ita vt,V i regi . 

<fJd8i‘iifeti'hocelFfiP'V;^'W vi' 
ficuliWliSlltinim pdrtfeWditfAlaWs' 
iiUiriRi^c VR a^^alislidex 4 ‘“‘I 
ptM^'afltartfi» M #fti8niVIiricr '■ «« 



O duft;. Hisque Ita conOitutis , 

|in fc£Iione inucniamr linea PT , 

Iqu; ipfam FG in fubicdio plano 
'eaiflcntem reprzfcntct ; Sc jn PT 
mucnianturpunda QR.S, qui MAN oGendant; quod qiiiJom breui- 
tet hoc modo Hct , ducendo nempe ab A Un ex (j pcrpcndieularis, quz 
-dSUOJi 'i cadat 


1 = 


'itIZi 


Coogl 6 sJ 




P E R S P B .C T il V AE 


Mxao./e^ 
timii bih 

in. 


mdit (cxemplignitia)m O» &ab 
JJoc inuento punfto O ducatur 
^ca ad V> qu* Iccet PT in R . 
porro punftum R ipCini A oftcn» -i 
5ct . qiiia cum fit V punaum coh- - 

Curius , lineatum rdUceti(]uz fnnt 
feaionisUncq O perpendiculares, 
apparebit pundura A in linea ("fi 
duceretur^ OV ; fed apparet nuo* 


. . .. O ii 


t6. pfM 
Imiai. 



que in PT , fiqnidem h onetut'- 
Sit.FG . ergo pundum A in R »P* 

patebit . quod idem fiet in alijs. At 
»cr6 quoniam intclligimus circu- 
lum fiibieao plano cre£him. lincx 
FB MI AC nL GD tanqitamfu- 
bic^ plano crea* intelligcnd* 
funt. quate in fcaione line?, qu* 
has FB MI AC NL GD repr?* 
fentant , feSionis Une? O perpen- 
diculares clTe debent . Quare ipfi — 

O perpendiculares ducantur line* 

PY RZ T 9 Q^ Si. dcinde;inU- 
nca RZ , qu? iplam AC oftcfldir, 
inueniantur punfta «llrZj qu* 
tirtU k» oftendant punfta JE*C . ita tamen , 
l_, vt « oftendat punAum fupta A 
^ * altitudine A{ , B vcr6 punftum 
lupra A altitudine AE repreftn» 
tet; r autem pundum fupra A al- 
titudine AS; pundhimq; Z oft^ 
dat punftum fupra A altitudine 
AC. deinde quoniam line* IL BD 
HK funt parallele ipfi FG in fu- 
bieao pUno exiftenti , habebunt 
, nimirum omnes punaum concur- 

im fus in Unca VX . quare'ducatur , 

pT vfquc ad diaam lineam in X, & J pundis «fir line? ducamur, qn« 
tendant in X, qu* lineas prius dudas ipfi O perpendiculares fecent in 
Yg Ai lineaquc ducatur RnY^ZipA; hzcvnquc circulum lubietto 
plano creaum rcpr?(cntabit! vt propofitnm fuerat, quod quidem face- 
re oportebat . , . 

Quddfi FG ipfi O pirallclaexiftcrct, tpne PT» & omnes kA Y9 
x<i tpfi Q ?quidiftamcs eflent fteiend?! figuraquc in fedione drcului 

exifteret. . . _ ... 

Facilitas in hoc confidit , quia expedite inuenin ponunt, non tolum pun« 
da ZigARxY/, verum etiam alia multa, nam qu6 plura erunt in circulo 
ABCD eodem modo alTumpta punda , eo melius , faciliusque figura 
RY deferibetur . quod idem cucnit in (equend . rclnti quoque in pr?ce. 
deotibut contigit 4 


PROBLE-~ 



bunit 


at. I B'E ft-' tLV<A J V 5} 


N 


r'15VlA - 


'U t ■ 


Ali t}‘L 


-J^OBLEMA- 

\ ' 

\ 


4»ro:pjqs^uo; ' 


;^r ' • -A Zi-inOt., , : 
‘jj; n Rin^wu Anu<! 
:niJ) JI Qii yiH 

if- 


Dato circolo fubic^ plano incIin:^o , cuius & fubic- 
di plani data fitcoramuQis fcdio> in fediono l^gutam ap 


parentem inuenuc' . 


a/r. 


i: u ■ 


^ ni 

>. <r, X 

q / /.h yui .ii 

. X ni rnebmj % 
nr.^ • 



}llj -• 

a.j 

jii fi.j . ; 

XUVxJl j., 
;Hliq 

. A tonil if: 
iiinltmh anoiji 
ni *n. r^nilinj onilq m 
. ) oli 


Ijfdcm pofitiSf nempe 
rircuid fimilicci diuifo , 
cuius • Sc fubicdi plani Iit 
communis Icdio FG.in- - „ 

;clligatur autem ciiculus*^^^ 
libido plano inclinatus, 

^iusiitiainatio Iit atigu> 
flus y.“5Itauc linea O, 
llineaque VX > punfta4i 
V^X, vt in procedenti con- 
pituta. Idcoquefimilitec 
inueniantur in (c£tioae 
punSa PQRST , oiix 
jftendant pun^ FMA* 

MG in fubiedo plano exi* 

Dentia . deinde inuenia- 
tur Unea PY , que often- 
dat lineam FB lubie&o 
piaubM((riihataininarl|)u>'. ' 
o e« 'iimilitcrquc inuo' "r, 
aiatur RZ , qu? oDen* 
dat lineam AC eadem 
anguli g inclinatione in* 
dipatatn j (Kin RZ pun* 
da iitueniannu «/tr , qu; 
oDcndttnt' piirtda {£• i 
hoccft j^tc pftendat Ai 
inclinatam in angulo g, 
lineo verA Ri Rroften* 
dam lineas AR At ea.*,^ 

^em inclinatione inclina- . 
tasV Hii inuintis , quo- 
niaiedr Ifnes FB MI -AC 
NL GD liint parallelo , 
in fedione in vnum > & idem pnndum concurrere apparebunt ) qitare pto- 
dudz PY RZ conueniant iu deinde d pundis QST lincz ducantur 
QWI St Tj quoin u tendant. Cum enim omnes in^em pundumcon 
pirrere debeant, ergo vbi dux PY RZ mterfe c onueniunt, omnes quo- 

- . - ■■ ' que 


ff. 

fi 



-t s: 

l: Cor.fii 
primi is* 
iiu. 




t]uc in idem pundum 
toncurrent. Atver6 quo- 
niam FG HK BD IL 
funt pquidiftanat , , n; 

qooqa j in fcai6nc in 
dum concurfiis tendere 


Ipparebu Ot- que 
tem HK BD 


jpfi JG parallelae i qux 
qffkleiii TG' H» fiAieftdi-n^^n* 



pl«i|Orpv.ftte> ttirvtieme 
(larum linearum pundu 
Car.) }. concurfus in linea VX. 
prinu im- auare producatur PT > 
pu. donec ipfi VX occurrat 
in X. per punAaq; 
jinex ducantur kA Yp 
i^, qux tendant in X . 

C^oniam igimrline; PT 
KA Y9 </lf in fedione 
oBcnduntlmcas-£G HK. 
pD IL\ Une? vero PY 
Q/ RZ 5 * Tp lineas rc- 
|>rxrentaut FB MI AC 
nL GD j vbi nimitum 
(einuicemfecanti nempe 
pun£Ia RxYd<Zif A rc- 
prefentabunt punda AH 
piCLDK. perpunila igi- 
tur ducla linea RYZ9 in 
feflione circulum fubie- 
£Io plano inclinatum in 
angulo f reprxfcntabit . 

• ' ' iquod facercopottebat . 

} Obferuan^um autem cft, fi FG fefUonis linea; O patallelafuetk. tunc 
af-' prM^^t alixquc rA Y9 ipfi Q panllel; quoque dTcnc Bicienda; « ^ 

ihuw. 


^smmt Mutem figur* /» fictUne circulum rtfr»ftntmx , •vt 
plurimum fit tllippi ; tAmtn tHqutndo ctrculus quoqut txiflert f»~ 
uH , 'Vt dictum til in 'vigefima hmut pr^poptione , *At 'vtti qmu 
qutnd» in cono fectio ytrunquo Utut trUnguU per txtm fec*t , trian- 
gulumque ud 'verticem trUngulo per dxem ftmile , /uicontrarie ye- 
ro pofttum , efficere potefi , in qus tunc fectione circulus tpptret , O' 
Er ;• pri- txifiit\ 'vocetur que fectio fuheontrerut 1 quomodo b»c quoque perj^^ 
mi ^foUo^ ftiuu deferuUt , explicere Ubmt . ' ' 


luinsinami 
ipl innu' 
littLr.,-. ' 
ni • 

. riii 


PROBLE' 


LIBER Q^VARTVS';i Z2S 


••i ■ • 

ri 

• - - h 


ii 

• 61 - : 


'ti - 



& 



.{j; 


PROBLEMA PROPO^ITJO. XXVIII. 


Dam circulo in fubicdlo plano , dato<|} puntflo dillan> 
d» , datague fcdionc non (olum fubicao plano , verum, 
edam linea: a pundlo diftanria; pcr'ccncrum circuli duft» 
ereda f oculi aldcudincni inuenire , iu vt figura in Icdio- 
ne circulum datum repratfcntanr fit circulus. 


Datus fit circulus BC , datum - 
quefitpunaum S diftantifiac 
per circuli egtrum ducatur BCS 
rcfta linea, data vero fit feflio 
per DE tianfiens, qucdcfiibic. 
ao plano, &ipfi BS htercaa. 
oculi altitudinem fupra punaii 
S inuenire oportet, Ita vt figura 
circulum repr;(cntans fit circu* 

Ius. Inucniatur inter BS SC . j 

media proportionalis SA i fit- 1 ll . \ ^ 

que SA fubieao plano ere^a ,- I- 
intcUiianirq; oculos in A< Di- ,7, 
copunO>im,A clle altitudinem ' uj . ,„„rr 
oculiouffitam. rntelligaturco- . 

rus ABC , cuius triangulum 

peraxcmCt ABCj erit vtiqnc planum trianguli ABC fubicao plano , ac 
pcrconrcqucnsbafi, circulo falicet BC ereOum.cim fit planum ABC 
in plano ABS j miod eft fubieao plano creaum propter lineam AS . 
<^oni.im autem ibaio per DH tranfions eft, 6t iubicao plano, & line* 

BS ercaaicritfcaioplinb AK, hoctft plano trianguli per axem ABC . 
erraa . crit(|ue linea DE ipCus fcaionis , Jc plani ABS communis 
aio fubieao plano crcaa,&ob id ipfi AS xquidiftans. Quoniam au-, 
teni angulus ASB vtrique triangulo ABS ACS communis exiftit , & 
citra hunc angulum laKrafiint proportionalia, cum fit BS ad SA vnius, 
vt AS^itf SC alterravl d9t‘ trn(Rgulurri‘‘ABS- triangulo' ACS '■fafailc 


Ex It.Vll. 
Jetimi. 


quaie aniQtlus ABS.ahgiiof/GAS c(b «tqual» imig«io^vft^’|GAS cft 
xqualis AFE angulo; ergo angulus ABC angulo AJFE eft iqualis. 
angulus BAC efi vtriquctriaifgalb ABC AFE' *qWaIis,'^IlqBUS i„ 
turangulus AEF angulo ACB eft xqualis. quare triangulum AFE fi 
mile eft triangulo ABC; eft autem fiibcomrarii pofitum, ergo EF figu- 
ra in feaionecirculus erit. quod facere oportebat. 

Propict praxim etiam feiendum eft, lineam FE diametmm efle circuli 
EP. Atira efle BD ad DEv vr BS qd SM K vt CD.-dd- DE ita CS 
ad SA. eft enim. DEitpfi SA «quidiflant ;--■■ ■ tiobai.-. JA 1 r. H 

iuu,.,io, - ~T? p'r"X 


6. fix Iit 

fed . . 
,gi 2,.prn»r, 


S» primi f0 
fucorS ^ 


^i6 P E R S P B jg T1 V 'AE 


• ili 


P R A 


O 




I S, 




i 5 


Ditas fitin filbicfto plamJdt» 
cnius BC', datiunqucut.pun£lu 
S diftantix. Ducatur pct ccn- 
tfum circuli linea BCS. flttjue 
fc^ionis linea GD ipfi BS per- 
pendicularis, feflioque intelliga- 
turTubic^u plano ercAa. opor- 
tet oculi altitudinem inucnire , in 
(edioneque apparentem figuram 
dclcriberc, qux fit circulus. In- 
|)« /ueniatur inter BS SC media pro- 
portionalis SA, qux iiitelliga> 
tur oculi altitudo lupra Si & vt 
ftxti, BS ad SA, ita fiat BD ad D£; 
vtvero CS ad SA, ita fiat CD 
ad DF; & circalincam £F, tan- 
quam circa diamctmm circulum 
deferibamr; cx dcmonllratiscir» 
.jt culus EF circulum BC repr^- 
(entabit . quod quidem perfpi- 
cuum cft , U fuper GD intclli^ 


id.' 


Luum cu y u vjx.' 

tur fcdiovna cum circulo EP, Uncaque EFD fnbicftopUnp crcftai 1 i- 
miiitcrquc AS fuprapundum S rubic&o-'qtioiE|uc plano crc£ta;oculusq/ 
in A otiterit. quod fieri oportebat. . 



‘iti. 

Mil i . 

A ojj 

rn/.i, 1^1 i! 
fio 


^ jupo/in*» • 

15 ex t. in1<wfnio r; 


L E M 


ndut 

m.?a: 


•Oir 


:i ir 

.njfpisn ? -IO 

. •■'IA . (q . 

i:;« "'. ifio ' 

'I Ti7J : 1.7 --‘T* 'JiU 

‘■jif: . 


Duabus datis rei!!Us lineis , lineam iuuenire , quz vaa 
cum altera data ad reliquam eaudem habeat propottio- 
ucm , quam haec ad inuentam.. . 


SintdatxrcAxlincx AB AC. oporteatUitcam inucnire, qt^Tni cum 
AB ad AC eandem habeat ptoponionem . quam AC ad inue ntam . 

: exponantur 


r 



Bxit.fix 
!>• 


cxporunwr AB AC ad re^ 
ftos nbi inuicem angulos \ di- 
uidaturq; bifariam AB in D, 
iungaturquc DC ; atque ccrt. 
tro D , intcnulloquc DC 
circulus ddcribatur ECF, qui 
lineam AB ex veraque parte 
produdanifccctin EF. &o. 
niam enim DE cft asqualis 
pF, & DA ipfi DB, erit 
BF ipfi AE aqualis . cft au- 
tem FA ad AC, vt AC ad 
AE, hoc cft ad BFi ergo in- 
uenta cft BF , qu* cum BA 
eandem habet proportionem ad AC, quam habet AC adinuentamBF 
quod facete oportebat. 


PROULEMA PROPOSITIO. XXIX. 


Dato circulo in fubiedlo plano , dataque oculi altitudi- 
ne, pundrum diftanuz inucnirc , ia vt apparens figura ia^ 
dataicefione lubiedo plano , & linez a pundo dillantix 
per centrum circuli du^^et^a^ fit circulus. 

' ' i ,M 

Sit datus circulus BC cuius dia 
meter BCidataq; fit ocuh altitu- 
do SA; dau vero fit le^o per 
DE tranfiens , vt diftutn cft , 
punflum diftatiximienifeopoi. 
tet, fupra i]uod collocandus fit 
oculus, CUIUS altitudo fit SA ; 
ita vrapparens figura m fcAionc 
fit circulus . Inueniatur linea 
CS, fitque BC vni cum CS, 
hoc cft BS ad SA, Vt SA ad 
CS. cngaturqucluprapun^him 
S linea SA lubieflo plano ere- 
Aa 1 intclligaturc^ucoculus in A ; 
fcAioquc per DE tranfiens fit 
fiibicAo plano, &lincx BS ere- 
fta. Quoniam lalnir SA media cft proportionalis inter BS SC, eritap. *x preee- 
parcnsfigurainicAionccirculus.quodfacereopoftcbat. ' dttti. 


F£ a P B. A. 



Lemmi» 




XlL^ 



LIBER Q^VARTV.S. 219' 


i : ’ or . 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXi 


Duabus ia eodem plano datis redUs lineis, ^uas con- 
iungat curua linea , quarum quidem planum fit fubiccto 
plano credtum , cuius , Se lubiedli plani data fit commu- 
nis fcclioi in propofita fcdlionc figuram apparentem do- 
feribero . 


Daw Gne 'tede lines 
QC D£ • quas eo niur.« 
gat linea curua CFE, qu; 
fit , «clclliptit, vel circu- 
li circunlucnua , vd alia 
quxpiam. (it^i com. 
inunis fcdio plani eredi 
BFD > ac liibicdi piam . 
fit vero S dillantix pun» 

; & SA oculi alti- 
tudo; fi|<]ac G fcdionis 
linea, oportet figuram in- 
ucnirc apparentem , quz 
obiedum BCFED fubie- 
do plano eredum often- 
dat . a pundis qiruz Ii- . 


. r uwYitk 





.1 


,1( *»ii . 


nes CFE ad.BD plures 
ducamur linea: perpendi'- 

cularet , qux quidem ex ^ 

(ccunda huius propofitio r 
ne . erunt altitudines pun- 
domm ipfius C FE lupra 

fiibicdum planum. Inucniannir igitur KLiMV, 
ncw ^ DE fuiquam lubicdQ pl^po ?rpdiW ' 
niattii: XQKi G*'=f : rcprxiautcr 

iens figura.; 

Cqcicrwm G’ liiiea 
fcdio " ' 




-If; 

; (>k 


A 


qu* in Icdione li' 


<4PP<»’., 


ICWP.G lirtea Jin fppdr fri5(Ptiii7inVs G raraJle*» J fiMfiitduw 
f WP itPriliawt iul>16 I 

do 


Ex 1 1. It, 
!II tkiiig . 


-••efl-iiiEt, ■ , V . 


tritf. tn 
tokmiu. 


V- 


.430 P E R S^P E:C T I V AE 


Qo plano crcftum.crit vti- 
que Icdio huic plano x- 
quidiftans . vn<Jc conftat 
yjparcntem figuri KOM 
umilem ipfi BFD pto- 
ucnire. hoc namque mo- 
do Iccamtpyxamisbafi X- 
quidiftads. quire fi CFE 
ftierit femicirculus , tunc 
iungatur LN. qux bifa- 
riam diuidamr in P,ccn» 
troq; P femiciiculus de* 
(cribaiur LON . nimi* 
rum femicirculus LON 
femicirculum CFE in fc* 
flione oftendct ; critque 
KLONM apparens fi^* 
ra> Qu6d fi ^FE fuerit 
ellipfis vel aliaj & LON 
dcfcribenda fimiliter erit 
ellipfis, vel alia, quod fa- 
caeoponebaci 




E 

c . 


c 


0 


l? n 



i-oao.n N 

T 

iyi f ' 1.1 




D H B 


^iici» o 


j.ft . 


Ex his ptrfpicmtm efl , 4rcn4t* tdificU , que mm foliim in ptr- . 
ticibus , & ^iis construuntur , fed etum , qux inter columnas exi-\ 
ftunt , reprafenuri pojje . ea ytro facilius punctis concurfus ( pra- 
cipue quando plures funt arcus ) reprafentari pojfunt hoc modo . 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXI- 


Plures lineas cum fuis arcubus in planis fibi inuicem ad 
angulos redos exiftentes in Icdtionereprarlcntart/. 


Ezponamr in fiibieflo plano Ichnographia tantum AB BC ad rcQos 
angulos i fuprai^oe ABC, hoceftin AE FB BG HD IC f qualibus m*j 
telHaanmr aequales fubiedo plano credx linex, quaium altitudines Cnt ip* 
fi K xqnales, hoc eft vftiuc ad initium arcuum, intelliganturquc Inpct, 
K GH DI arcus , qui fint femicircnlii fiia4ue EF GH D I egnalM . 1 
' quart ) 


LIBER Q^VARTVS. 


quare diuidatur EF in par> 
tes X quales in pundis 
LMN; in totidcmque di* 
uidacur GH, & DI; & 
quo plures erunt hx diuU 
(loncs , eo melius erit . 

His ita conftitutis, data fit 
Icdionis linea O , cui x* 
quidiftet AB . Sit autem 
rcprxfentanda in feOione x 
figura , vt Iccundo modo ' 
diximus initio fecundi li< 
bri huius ob cuitandam li- 
nearum contufion{ . qua- 
te ex datojjunaodiftantig 
B<> & ex data oculi altitu* 
dine Rp , inucniatur pun- 
£lum X, punaiim Icili, 
ect concurlus ipfius BC, 

& omnium ipfi BC xqui- 
dillanrium , Se. vt decimo 
quinto modovtaraur, al 
tetum loucpiaiur pOflum 
T, itavtduifia XT Ctip^ 
fi O xquidillans, difian 
tiaquemter XT fitfqua 
lis difiantix a pun Ao Rt ac 
lineam O. Itaqiic pri- 
mum puntlis TX' con- 
curlus in feffione imicnia- 
tur PQ_, qux ofiendar AB , 
punclaquc RS ofiendant 
punfla EF. & quoniam 
luper pun£la AEFB intel- 
liguniut lincx lubiuClo pia 
noctedx. ddcahHu: igitur 
RV SY QZ Icflilfnis li- 
ncx O perpendiculares ; 
punctaque iiuieniannir 
VVZ. quioftcndantpfi- 
fta llipra EFB exillcntia 



■ 



J 

K 

.. 1 

r ' 1 

D- 

i 

; 


S 




lO.feeua- 
i> biims. 


jalutudme R. Uemdcdiuidariiif RS Iti tot patres «quales in punftis «ftf,' 
ificuti diuifa cft LF, qui quidem punaa «flP oftendent punfta LMN.' 
^«quohtuq AH cft ipli iioiallcla; erit* PQ_ ipli O xqnidiftansi',- 
,«Ktplaom»v,quadidtdligttTtDmTc1iipr3 AB, cft Icftioni aquidiHansj er a’’ 
gorr.uidixunusi) tq^ia PZ wirIinuJii ei, qux cft fupra AR. prop 

i olifti' «6»! tct^eiauabuno LMN- Demde faao diametro VY dt 

^^anuHciTiKiiraalae VAY, qui leprttleatabic temicirculuni fupra EF exi- 
fittwmilupta alfrtUdiacm Ki Dooamiirquc i punAis «fle tinex ipfi O 
^'crpendicularcs.lincaquecx « pertingatin i, ex fi in & ex r m 
sh^aniurdoc qfj_.0 paraUclx linea M ix vfquc- ad lineam W. qpod 
^cuWfff Rfc '^qiwhs CS; .cn^' ctfc'nii*rt il.clu5* ciTcrtt Ii» 

Jiei «i r eflenr hi interfc zqualcwtwacnfitfrtnti^e lincx '«« 6A r{ 
yincas fiibicdo plano ctctftas, qux d punQis LMN vlquc ad circuntcrcn- 


j.Urtii b» 
mt. i 


primi 


tiam 


I 


P E R S.p E G T I V AE 



K 




tiam pcmngacnt. Dciiu 
de quoniam punOum X 
eftpunflum concurius ip* 

CusBC.Iinearuqi ipfi BC 
zquidiftantium, icleo du:> 
catur ad X ; inue> 
zo- /«»«> <'>^^''4»^ punila X«i. 
ithams, quzqftendancpQaa CH-, 
punda vci6 llmiliterinuc* 
nianmt >fr> quz oftcn*X 
dant punAa>quz funt in- 
ter CH. ducantur deinde 
lincz Is XT^ Zx'*'aquz 
tendant ad X i i pundis 
vet6 ipfi O per- 

pendiculares ducantur, vt 
ftX i‘'*i duAzque imel- 
ligantur fs pa- 
tet duflam lineam xTS*r 
arcum oftendere fupra GH 
exiftentem.fupraque alti- 
tudinem K. B quidem li- — — — 
ncz, quz tendunt ad X , 
oftendunt lineas ipfi BC 
parallelas , quz fecant cir- 
conferentiam fupra GH 
cxiltcntem ,& fiipra altitu- 
dinem K. veluti ^1 i{x 
VZ oftenduntlineas ,qu; 
fecant eodem modo cit- 
cunfcrenti2 fupra EF exi- 
ftentem , Sc fupra altitudi- ^ 
nem K . quod quidem fi- 
militer prorfus demon- 
lliabitur.cadem^uecatio- 
nefietinalijs. quodfaccrj { 

pportebat. 

Obferuandum aute cft , 

C PQ_eflct linea (cflionis, 
quod tota figura P I ab(- 
que pcrfpcQiua deferibi 

poterit. In hoc enim cafu linez PQ_AB eflent vna tantum, linea, que 
quidem fefbonis linea exiflerct. ui 

Quod fi aUp linep cum fuit arcubus ipfis iam deferiptis tefpondcntcs & 
ptnqum latitudinem, fiue crafiitudinem inucnirc voluerimus , ducantui 

K fis aVB BC parallclz linez it •slccundilmlatitndincm,quaminrcn- 
mus, qnz quidem lincz iu prorfus diuidantnr, vtdiui& funt AB BC. 
deiudeinfedione omnia fiant eodem prorfus modo,vt fiifhim eft lincii 
AB BCi erunt veique omnia in fe^onetcpxzfcntata,vt propofinua cft ■ 

Hzf 4Htem /ortdffe *dhut /uitint *lU mttbeifo 

faternat. hoc tamae primt dtmnftratoi 


PRO- 


p 


i I B 8 RT ft R T yiSq 


\_..i 1*4. 


..ID 


PROPOSITIO. XXXII. 


Sit rcaangulum ABCD, diuidaiur<juc AB /ccundunu 
datam proportionem In E} iungaturque ACj deinde du- 
otur EF ipfis AD BC parallela, qux lineam AC fecet, 
in F5 ac per F ducatur GFH ipfi AB zquidiftans. Di- 
co reftangnlum BD fecundum datam proportionem AE 
EB diuifum clTe linea GH . 


Cum enim Gt EF ipG BC (qoi- 
diftans , erit AE ad EB , vt AF 
ad FC. Gmiliterqac quoniam GH 
ipfi CD ■ cft paralicla , ent AH ad 
HD, Tt AF ad FC. quare 1 ea cft 
AH ad HD, ficut AE ad EB, 
fedvt AH ad HD, ita cft parai- 
Icloftrainmum AG ad HC 1 paral. 

Iclogtaniinuin igitur AG dmiliim 
eft lina GH iecundiiii) datam prot 
poruonem AE EB. quod demon- 

fttare oportebat. . : r. 1 

Hincicquitur.fi AE eftatqiialis .li 

EB, ftmiliter AG ipfi HC xqualcmcfle. 

Quod fi AB diiiilafiieiitui AK KL LJH duOatquefiierint KM LN 
ipC AD parallcte; & ab MN linea: ducantur OMP QNR ipfi AB 
paraUclx, fi militer pcrlpicuumcQ, iucfll- AP OR. QC, ficuc AK KE 
LB. Qupdfi AB m alia» quomodoamque partes fucntdiuUa, hac ratio- 
ne, & linea; AD BC, ncpcr conlequccis paraUclogramiiium fimiliter 
diUitum proiicnier. 

Ptjrteta fi AKMO fiicrit quadratum, deinde diifta diametro AM, 
pPoduOa^ue, fi ducamur EF FH ipfis AD AB parallcl*,'eht& EH 
quadratum, dcita LQ,. dee. • • ,n,- 

Haec autem pcrlpcdiox dclcruiciu hoc modo. 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXIII, 

■■ ^ ■ '.IJI ^ - T ^ . 

- - ■ . I . ■ ' r * 

In feftionc fit apparens figura ABCD, qu« ofiendaC 
[rcclangulum , oponeati|uc linea Ipfis AB DC parallela^ 
Gg dinidere 



a. /«»». 


tt. fuiiite : 

i. fixit. ' 


'^'.•1 .0 rV 


'au ^ t* 'E.1i:'T>rf! V Ate 




diuidcrc rctaangulum BD lecundiim apparendam in dau 
pioporuonc/ . 

X .0 i : ? O O 1 



Jn ptJtce- 
itnti. 


tx ptxct’ 
iaui. 


SitpunAum X, vbi AD BC conuertiunt. raju'iuaihinpuntlUMc«>B 
curfus. (imqi AB DC fcaioais lincx S pcrpcBiiiculare*. Dciiwio lu^ 
^atur AC; diuidaturque AB fecundAm datam ptopottiontm ia-E^oc 
apunao E ducatur EF, qiixtcndacin X, quippaquxipfi AC oecur-* 
ratin F. demque per F ducatur GFH ipfi S perpcndicobrisj crirvo 

que ABCD fccunauin datam propoitioncmdiudiim IccuBdiim apparen- 
tiam ; Ita vt AG HC appareant , vt le Itabent AE EB. Ka m q uoniam 
ABCD parallcIoBrammum rcprxfcntat, Aiius appareor diameteteftAQ 



ea proami^ dciBondratis in' eadem cft ^lOpenionc AE aU EB, ficui 
fecundum apprarentiain cft AH ad HD, & vt AO ad HC. quando 
quidem Afe’Hp par.Ulelogramttiaapparcnt.quod ftcere oportebat. 

. Qppd fi AB ikuidamr m Ri- , ducaniurque KM Llfl itt X itndttu 
tc%,qtta;ipfit AG occurrant jn-WNi ipunaisAn*- 
perpendiculares ducantur P.VIO RNQ. pcrfpicuum cft ira apparere BPi 
ffR. RG, de AO 00 QD, de AP OR' QC. ♦Hoti Au«i cft AB^m 
ppndda KI,< Quod fi AK KL' tB fiitrint cqUate* v dt BP PR 110 . 
deinde AO OQ Qp. ac denique AP OR QC apparebunt cqoalca . 
quod idem omnibus ali>«i^bnfi:unquc diwfioniboa limibwr contulere 
oftendetur. 

Citerum fi AO apparet cquatis AK, duftaqucfit OM S 
pcudicularis , KM verb in X tendat; pcifpicuum cft AKMO quadra- 
mm apparere . quia lincx AK OM pquales apparent , vcliifi quoque 
AO lOvti Jcd At) aftircdctplalis AK / ergo ioincsqitimor l^uutpap. 
parent interie pquales. reflui ver6 angulus apparet KAO, vt (upioni. 
tur i Igitur AKMO quadratum apparet. Itaque iungatur AM . qux 
produMtUr^dttnde ducatur 'EF ad X> q*« AM lt(Jct_in Ft dticamr- 
que FH fimifitcripC S perpcndtcularisvfigurfqtioquc AEFH qua^-l 
tum apparctiic, vtluri quoque ALNQ. oad. " . . 

’ '• . _ PtatettA 


i) 

\ 


dt 




LIB ER; A R T V si 


QVTD quadrau apparebunt ; AippoGto 

'OM^OA^nT'’eo,i?i« apparere. Pctrpiaiiim cfteiGm AK 

vtdcri, vcliiti quoque KM MV VT. ex ouibus 

IaM O^Or «auana'"»'^'' . ver^m eJam quTd^^^^^ 

, magi?a«edamu?“ quoque intcrfc apparere. At vero ad particularia 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXXIIII. 


Aliter 
inucnire^ . 


ea 


qux in trigefimapriraa huius propoGta funt, , 


Exponatur eadem fi- 
gura, hoc eli defetipn fit 
tantum figura Pl.inuen- 
taque fine fimihter pun- 
Aa >xZ in linea CLL-pu* 
faveto TX eodem fun. 
ganturoflicio. Vtautena 
linuenianturalix lincx te- , 
Iftxcum fuis arcubns.quo - 
I rum planum ad redos aii- 
igulos cum Pt appareat. 
iDiuidatur linea in A; 
Ifitque QA xqualis QS. 
‘deinde fiat AC' xqualis 
ipfi SR, & CE i(^ RP. 
Deinceps vnuin tantum 
ex punAis GHD m 
£lione reprefententur; fit- 
que exempli gratia in fe* 
Aione inucnnim punClfi , 
It , quod quidem ipfum 
H teprilentet . ex antea 
demonftratis linea Q/t 
oftendit lineam BH> qu( 
quidem Qj; apparet x- 
qualis QR . Icd quoniam 
iii Pl res delcribuntur, vt 
iunt , abfque pcrfpeAiua i 
fiigitutbnea Qit xqna* 
lis apparet ipfi QR. crgo 
eadem ipfi quoque 
apparebit xqualis; 
fiquidem Ci£ eftipfi Q_R 
xqualis. Itaque ducatut 
primum 0* IcAionisU. 
nexe perpendicularis 1 de< 
inde ducatur linea CL , 
quxtendatm X; quippe 
quxlincamn^recetin L. 



ii 


°;r 

H' 

ni 


Gg a inanifpa 


** pr»ce> 
dtmi . 


fx prtce- 


/« Irigtfi- 
maprima 

pKIMS . 


I 

I 

t 


, 1^6 perspectivae 



(nanifdhun cft QCL/v 
qiuiltatmn apparere. (i< 
quidem CL 0.M appa- 
rent parallelx , Ce QC tt L. 
parallclxi ac propterea 
qualis apparet QC ipli 
ifLi Icd QC apparet 
aiam zqualis Q<<. tres 
Igitur CQ^ Qi< ap- 
parent equales , & ad an- 
gulos rcaos , vt fupponi" X 
tur.ergo QCLi» quadra- 
tum apparet . quare linea 
ducamr QL . pfxterca 
fupponantur pun£ta Ar 
inuenta , vt in trigdima- 
prima huius . deinde du- 
catur AO ad X , qux 
fecet QL in Oi duca. 
turqueab O ledionisli- 
nex perpCdicubris vfquc 
ad lineam Zv in x. h;c 
proculdubio cadet in A; 
quia QAOA quadratum 
apparet; lineaque QA ip- 
fi QA xquatis apparet, 
quandoquidem QA ipli 
quoque QS apparet x« 
qualis , vt antea fadum 
fuit. Citerumvt arcum 
inucniamus , diuidatut 
AC in quatuor partes in 
FlKi vcfntidiuiucftSR; 
i punQisque FtK linex 
tlucanturad X. qux QL 
fcccnt ; i quibus pun£)is 
fcdionis linei perpendi- 
culares du£fz intelligan- 
tur i Cc qux ducitur , vt ab 
M > lineam xtp in X 
tendentem fccetin T.erit 
Irtique punAum t pun- 

fltum apparens in arcu j .n 

quxGium. Idem enim eft ducere lineam Mt, vt »t. eadem d®i™ cit 

petpendicularisfeaionislinex, fienimdufteeflentline? FM M», umH 
(itet oftendetut FMrQ quadratum apparete . atque hac tatkmc pnnfta. 
inucnientur ; & huiulmodi alia ; eritque inuenta figura A «sit qufi 
ipfi R-i^S apparebit pqualis. Vltctids autem prpgredicndo, Iccetur linii.| 
Uter linea Et in N pi Ctque EN pquaUs ipfiiCAi ac per conlcquen* 
ipli SRi litquc N 9 aiqualis EC j diuidatnrquc EN in quatuor parte* 
partibus AF FI IK KC xquales ; 4 quibus omnibuspunais in EN exi- 
Hentibus lincx ducantur ad X, qux lineam QL ptoduftam fccent j cx* 
teraque eodem modo'fianticruntquc inuentx alix linex cum arcuj qn« 
quidem apparebunt xquales ipli Aa« . Qu6d fi adhuc alix lincx cum arcu 





J ' ' ' « ' 

1 







4 




• ■ i 

} 

H 




S 


■ 






, 

1 




(• 



muenire 


I 


]' L IBBr ' gv AK.rv^. 

inucnircvolucnipus, dmidamrcodenTmodoTmcri^TT^uirjropurfiir. 

*it, protrahitur, citcriquc fimilirerprorfus fiant, oniniaquc, vt didum 
eft , apparebunt . quod facere oponebat . 

Pctipipuumefthinc, fi V>^Y non cflct fcmicirculus, neque »»» fc- 
niicirculum apparere. & huiufinodi alios . 

Obicruandum autem occurrit , quod pofiquam inuentum fuerit pun> 
dum I, linea fcilicct dudad pundo N ad X, qu* lineam QL fccet 
in i. mncabfqnediuifionelinci EN, & gi, vtdefetibantur linea; cum 
arcu, hoc quoque modo efficere poterimus, nempe 4 pundo ■ ducamr 
linea •{ fedionis linei perpendicularis, deinde producamr CL, qui li- 
neam Iccetin <r. primum quidem patet »<Lcr^ quadratum appatac 
iqualc QCLu. vtexpriccdcnticonllat. Itaqueiungamr quiipfi 
QLiquidi(lans,&pqualis apparet, fiquide quadrata K»inijfdemfiint 
lineis conftituta . Vnde apparens diameter mt ipfi Lt pquidiftans , & i- 
qualis quoque apparebit. Quamobrcmijfdcmmet lineis, qui ducuntur i 
pundis AHK ad X, fccabitur u<r, ita fcilicet,vt AO produda fccct 
UT in 1 /, &c, entque v» in quatuor partes diuifa , vt Ot. & vt ;t. 4 
quibus pundisin n* exiftentibus ducamur line* fedionis linet perpendi- 
culares, eodem prorfusinodoinucnicfiturpunda, quibus poterunt arcus 
fimilitcrdclctibi. perpendiculares enim lincp fedionis lihep dudi 4 pun- 
disin vr exiftentibus per punda quoque in gt inuenta tranfirent. fiqui. 
dem gf v<r zquales, «paralleli, dcpciualiterdiuifiapparcnti 

Vt vero inucniantucaliilincicunraiirsarcubusfccundum latitudinem, 
fiuccraffitudinem, deferibantur, vt in trigefimaprima huius, linep «fJr, 
auibus eadem fiet praxis eodem modo prorfus,vt mox diximus, diuidcn- 
donemp4 fimilitet linea, qup in fedionc lineam fuprapundum g, fubie- 
do plano perpendicularem rcprpfentabit. quippe qui fi mili ratione diui- 
dcndaeft,vttadumeft in linea Qs, linepque alip, vel tendent 'in X, vd 
fedionis lincp pcrpcndipilarcs erunt. 


PROBLEMA PROPOSITIO, XXXV,- ' 


Ijfdein pofitis, deferibatur fcjlicct PA, vt antea in tri* 
gcfitnaprima , & in pnecedenti , determinataQue fit figu- 
ra QABC , qux vcl cx ichnographia ,vel ad libitum quo- 
que determinari poterit, in qua oporteat deferiberc lineas 
cum duobus, vcl tribus, vcl quatuor,&c. arcubus, qui ini 
{crfc appareant xquales. 


SintverAdeferibendi tres arcus eum fuis lineis. Diuidatur QA ita, vt 
Qp EF GH lA fint iqualcs interfc; itidemq; intcmalla I^ FG Hl 

fint 





fint tria , & interft xqualia » qux quidem fiiie (int diuifiombus in PQ «1- 
ftentibus. lluenon fint xqualia, nihil refert, Ducanirque primum . 

Deinde ad X tanquam ad punfhim concurfus ducantur linexa punctis 
DEFGHIf &vbihilincx Uncam QB difpcicunt, ipfi PQ. lincxducan- 
mrpctpcndicularcs,quxquidcm PQ. lincaintcili^atutlcfUoniSi prxfatf 
veroJinex perpendiculares ducantur vfquc ad QC, Se ZK. Hx quidem 
linex diuidunt fpacium QARQ fccundiim arrarci^iam, vcluti diuih eft 

^ cxdemonftratis. vtpatctfiditlipcrpendiculareshncx vfqucad AB 

^ucnirent. Qiyrctrialpactainrcrhas lineas perpendiculares exuentia, 
apparebunt interie xqualia; fiquidem xqualia furi mtctualla DE EG HI. 
Hisitaconftitutis.vtdderibantutarcus.diiiidamur DE FG HI in qua- 
tuor partes stquales» quandoquidem in totidem diuifiim cft intcwalluni 
RS. dande a pungis inter DE FG HI exiftentibus ducantur linex ^ 
Xi exteraque eodem prorfus modo fiant, vtin preccdcnti, arcusque u» 
militer deferibentur; i fadtum erit, quod propoutum inerat, 

^6d fi plurcs adhuc lineas cum pluribus arcubus inucnirc volucnmuf , 
dtifii^iur umilitci QA iccundi^m pluics diuifiones , rcliquat^uc eodem 
modo femper fiant. . . - 

Obl<^^i^dum autem cft arcus in Qj\BC ifiucntos » qcamuis intcnc 
appareant xqualcs» tamen arcui in PA cxiftcnti xquales, vt plurimum 
minimi apparere, nificafii idacciderit. 


Latitudo, fiuc crafliiudo arcuum , Si linearum fieri li- 
militcr primum poterit, vt antea, ex ithnographia,inucii. 
us enim 


■ .LIBBRI' jlj^iVARTyls!? 

tis enim figuns,qux iuxu PA QB apparent, tunc quem- , 
admodum diuila cft QA, ita fimiliter erit diuidenda li- 
nea , qux oilendit lineam inxta QA exillentem . extera-' 
que eodem modo lient, ad qux plurimum fequeutia pro. 
blemata conducent, ex quibus ablquc ichnographia hxc - 
omnia £enc. . 


PROBLEMA PROPOSITIO. XXXVI. , 


Arcus.c diametro inueniro». 



_ _ i 

' Sitdeinde AB fisAranis Unca, veUeAionu linee parallela, fit X vbiab 
oculoinicAioncm pctpendicularucaili(;ac per X ducatur HnerXP ip- 
i AB *quidiftan*t ducanamjoc' AC BD ad X; ducaturtjne CD 
rallelaipfi AA. primum quidem ACBD paialldogrammiim oftendrt. 
ranquam indhbicth) plano. Dendc ei^mur AE BF zqualrt, A per< 
^dicnlarcs ipfi AB; defcribamrquearcu» EGFi fimilitetAnedocanrar 
CH DI «di AB. ,ae per conlcqaciu ipfi CD j>cTpandioutatei ; flutfan. i 
tpr^uc EH FI. qna^ tendaatin X. firmliicr AEHC paraU clof.rammum 

1 -■ . crcQum 




I 


>40 Tili ViAE 


r» ji. 

«<. 


lu 


. c' -'i'; iC ^ ^--’ » 2 "' .1 • “ 

i: , .., ' .ii , n> i-iiliffiil tu ftj .Jiuib rn-L 

; . maia-Jiiza A_» ) t:x^i ni; jn bn:;}'j -■.!'^i 

• i rij tiirnjp-.} m{rfrh:jlf| x:){&s 

rl r.iii jnijjf.»;! -t Oi.’Adt zudijj/^a . o 


J 

— -'I 

. 

E 

•IV,././ .OITldO 
P X 

uC 

.R'1 


• ■> " 

TV 

vr. 


^ :j mrib 

'-.aiJjlA 





Zi 


au 


u- 


M L K 


eredum reprsfcntabit : C^iJem AC EH pamllcl*_apparciui quia in 



| 2 .for. 

'primi 

im. 


cqiules. quare liclcribaiurfimilitcr fupee HI arcus. -planum enim CH 
ID rcprxlCTiut planum fcdioni parallelum ; ac proptcrca arcus fuper HI 
ircum limilirer rcprrfciuar. Vr vero deferibamr arcus , cuius rermini fint 
EI i diametro pofitijaltimiiovcrb fit fecundum altitudinem G. Diutda- 
tur AB in plures panes aquales, vr in pundis KLM; a quibus perpendi, 
iularcs dudp inrclliganrnr ad AB, quz arcum £GF lixrnt in pundis 
lOGNi &dpundis OGN linei ipfi AB ducantur paralleli, quxfcccnt 
lineas AE BF produdasiupundis QjfSTi erit vtiqucfvtanteadidum 
tft) SONT rcdalinca. Hisqucitaxonilitutisiungatur AD; apnndisdj 
lILM ducantur ad X linei , qui (cccnt AD in pundis VV'Z; procul, 
diibio AD apparebit diuila , vt AB. nam linei KV LY MZ BD pa. 
tallelx apparent i &ob id AB AD incadem propordoncdiuifiapparcnt. 
Itaqnc produda intclligamr AD, quz ipfi linei pet X dud.x occurrat 
fn P. Deinde dudainTelligaturapundo V perpendicularis ipli AB.cut 
occurrapliniKi. ad - P dudiinpuodo ra'uinca.'retAa.pttndtoi:Y 
itcrdiT^ occurrat linei in H. ad P cciidcnci..'pcrpciidtallaris4ao 
ipundoi 7t. occurrar Irnea; in. r‘. liNc^oe ducatac Euibq b simiB 
rnm oftendirt .BnArl arcooiiqiLlfiuitn rtnam'quonianiiin*a.'AIiX .ofteivi 
dit lineam In fuluedo plano c.<tiiicnrcin!.oinnes linca']iuit:JiDci arquidis 
liantes habebunt punduiff Concurlus :ip lincd iXP i f<d['Ad> : tendit in £ w 
rrgo pimduimf cft ponduah ix}nenc^didaiainlincattiin;r^ale A£r 
appataui. Vndc puridwmnA-iJBqticplnif b ii ppMct . Y«j 
• ii.u' y'i putidum I 


•- r. 


1 


■ 


l!' -tlBHRT 35i,VaBXVi35 w 

lOBn^m Q, qu* eft altirado pundi G; -pundbiquc «r' zqucaica , v‘i 
l|iuaaumS apparebunt, quxefialtitudopundotum ON. oQendic igitui 
X«/krl arcum quxiitum . 

Pa^uc ratione fi conncdatui BC, quz Uncam XP fccct in 9, q 

S uidetiv BC fimiUtcr djotTa proucniet i Une» KV L¥ -MZ,- v* Ao. 
)cindc i punflis RT lincx ducantur ad 9 , quar fcccnt fimiliter Uncas 
dut2asapun&u in Unca BC caiftcntibus, ipfique AB pcrpcndicutarcs ; 
eodcmptodusmodoalccrinudiictur arcus, cius termini erunt FH, alti* 
tudoque itidem G. 

Quomodo autem inueffiantuc arcus fiiper £H FI, ex trigefimaprima 
huius pcrfpicuum cR, lidcz'cnim , quz in punRum concurliis tendunt , 
omnes in X concutrercdcbent» fiquidcm ipfis AC BD parallclz appa- 
rere debent. quzquidcm AC BD mquamoifimiUtcr partes diuifieappa- 
tebunt,ducoiaphneaspct,pun^ VYZ Ipfi AB paraUclas. cztcra vcr6 
todem rrornismodo , vt in trigefimaprima htuns fiant < quz quidem o 
oia penpicua fiint . 

Hi ver6 arcus inueiiicnturquoquccx trigefimaquarta huius, diuidendo 
nempe Uncas AQ^BR, velutidiuiia'cft AB; ex quibus diuifionibus non 
foluminucnicmur arcus fiipra £H, «■ FI; verum ctiam&multiaUj ipfis 
tudircRum. 


^ r A-, , . . rip,i';(jOf. . . 

¥ problema^hpropositio. xxxvn,. 

■ I... i(,«. j jnir T 

irjt i.i 


L;: 

ivnv. 

II 


'- .,1^0' ' .111.1) ( 
'I/ ini.-,i 


jni) 
i;j , nii. 
iii.-ii.mr.' . 

I iit'i 


Vc vcr6 prcfact ointds.hictis , & infuper (inuiuiiim 
latitudinem , fiuc craMludlncm iblTq^c Ichno^bpfi^^de- 
(cribaatuiy hoc modo fieri poterit/ , 1 : ' : , ' /1 . 


.U JLiiri/l 

a/. 




’ uiih.iU' . i 11 ' :r.- :: 

>• .ui-i ^ ‘ 'ir . ni ■ ii 

!•'. jr. iij- j iJuJsv . M - .i I M/l . ir 1 • , jvi 

• ’ . -ic..p- .F t sl f i. ,x m 

J Jlluin I ■,/: S 

/upeji cfiiiCi .H ;i>.< 1 

1 . j! muj /./.M x;//ij'> iiii n ti' 

^fi"' r. - ■ J .iulq auribs i; I /11 . 



u.vyy' .n^Tieo 


Sif yt ii ijyuBB dfliMi linea >XP4.q^»i»tdIiti«nwgfeftcn«dttm:a^ 


Hh 


dinem 


I 


i4l ' P'E‘'R SP E<E A£ 


.'i: - . - ■!) ; 

,i rri:. ; •(.' s.U[>’ 
i — A , t ' 


I <J. illlU 
■r:n- J ■■■ 


? .. , O tr. 1;. i i;i i 

. r t -luj Da f>;ii 

.H-l II u: ilKli 



. I jsmil^giij ,H KH wqi;! 
q: liilioaiio’,' 'HOlinu^ m 
^ ‘'allf::q t?" eilqi iio-- J| T) 

nm jrjii.’ . nilKimi.ur' -i 
V LM1X5 .»£l2Uati ; a/i il'?! / < 

xu;> .iii JiJuiuaonn 


^ ‘•r>ib,juioil .•.nr.nprmlngiii ■ . 

1 a'^!!-'px3 illA ■■ h 

i*..' ijlmn A<n«n:; truhov ili ^ 


dincm oculi , qax quidem reftionis linex eft parallela t dcfcribacutque <i*| 
iniliqn ^gjra. A cDB parallelognmmamre{fxlcotaiu,cura (iucx 'AB 
CD' 'umlcclidnislinexparallclxi apparentes vero diametri At) TC ten- 
dant in punda Pp; ducaturi^ue linea £F ipfi AB xquidiflans ad libi- 
tum , fecundum nem pe apparentiam latimdims , fine cralliiudims arcuum, 
quam apparere volumus ilccctquc £F lineam AD iq G, & BC inH; 
ipwchsquie GH ducamurad X linex-Gi HK<fixctver6 hK liniam 
AD in K,., lineavero GI fccpt BC in I. Deinde ducatur in.iqucap 
;>arebir i eritauc' parallela ipfi' AB, liuexdue 'yfi^ue ad AC,DB‘pmin 
;ant. Pollea producanmr lineas AC GI HK BD,. qux qqident omnes 
enduntm X. dande ducatur QL, qux tendat in Pi & vbi CL pro- 
lufbas lineas lecat, ab his punAis linex ipli AB parallcix ducamuri 
•aque CMLD parallelogrammum odendet aquale ipfi ACDB. Nim 
llinex ABCD ML xquales, &xquidillantcs apparent, & AM BLitidein 
Mrallelx vidennirie^o ACDB CMLD paralldogramma apparebunt. 
Icd quoniam linep CL AD limiiiter;quidiftaniesapparcnt,qina tendunt 
in idem punftum P, apparebit ACLD parallclogrammum. quare lincx 
[ac DL xquales apparent . fed DL CM , veluti quoque AC Bl) ae- 
karent xquales ; ergo AC C M , & BD DL xquales apparent . xqualc 
igiturapparet ACDB ipfiCMLD. parique rationeoftendetur NO pa-- 
tallelogrammumappatercxqualeipfi GIKH . DuQaitaque DM, exijs,; 
qux in prxccdentiaiaaruntilupet omnes lineas creflx linexcum fuis arD 
cubus deferibi poterunt, quod idem fiet, ii adhuc plurcs fimiliicrconftim- 
(X fuerint, qu^ facete oportebat. 


fROBLEWA PROPOSITIO. XXXVIII. 


^Dtta-tircro fir finta feaiiPiTidpc^ fit 

^ ■ di' ^ ^ Sum ^ 


i 




I 



tlBERr Q^VAIRTVS. 71 % 

aup.vnacum oculi altitudine} linese V^6'AB BC fintvt 
antea in tHgcfima^itna , & trijefimaqt^tahrauidifpofi. 
tx^fo^ j^rum neutra fit fcdio-nis lin«B jwraUeft 5 (0001- 
ica^ue Cmnia fitailiter inucnirb; nu,/., , 

N*I «Oiljll UlTjJ 3/:„ . 

, ■ ■«'( 1 mfif>nu-jia , . 

M • 

Ducatur BD feftio. 

nis linea: parallch.ipfi. '• --iti- 1*1'’ 

M 04 -*** 

bi. 

«Juc A& Aqualis,- qua; u ^ </u<a ' 

midem diuidanir , vt *-i 't : > - 

AB. in icdiionc verd ^\.AG i • ‘ -b iu 

defcribanturlincxcum y 

arru (rninHi'im linmn - 'X ‘ : ■iH 

DB. «cfccundum alu. ^ ^ ^ ^ XXT:..?" 

tudinem propoOtam , » 

vtinfuperioribus tadhi ' ' ' 

f , deU in feoto^ 5 : 

dmidatur linea, que ^ ' 

neamfupra B cailfen. ^ l . 

tem oltcndit , \t antea ..ici. ,.i„. , “ 

i»»n^njjiu«*a hu-ifil/irabi linrrn.timqi-n W *') ' 

lut^arorf. e*quibui<liuJa«fl,Usdcind.,fi ianenian^ 
j**®* AB>.ic BC> inneqiijquc in 

pUDftfat,jq^dftcndarit ponite* AC,- ex vnaque parte inuchieniw jihtiita 
acMi^i^tiiieis^o|ajtOcoiv(incBdcmttkclto htuopifei^ni 

•**? linds FG (^, duua lciiiMt;|inoi 

*?qu»>i.*?qaalit«diuila. quod&ccreoporfcb^ 
yu 6 d a AB BC non fuerint ad angulos reAos, eodem piotfus mo. 
do eadem inuenirc poterimus . 

«/</!;/ quoque modis huc omnis inueniri fotenmt . ftd huc dictu 
fufficUnt . 

PROBLEMA PROPOSITIO. XXXIX. 

Datis fitniliter lineis , vna cum linea curua. quarum pla- 
num fit fubictflo plano inclinatum , horumque planorum 
data fit communis fcdlio, datusque fit inclinationis angu- 
lus, in propofiu fedione figuram apparentem deferibere. 

- Sit.BEJD. fimiSLdata. hocrAfinr Rr DP /-ce i r.. 

-IUI /T> Hh a curua. 




1 


P.B.RrSig AB 




cuxua. 

tUiromitiBntf ^ » tfni' 

nim qui4<^j$La#»otuJB„jl ^/>1 l j,'! 

inclinatio ut datus angu- i 

Ius I. Inucniaturcxpro* ' 

pofitionc tertia huiu* 
libri , vbi punflum F per- 
pendicularitcr cadit infu* 
bicdum planum . duda 
nempe FH ipfi BH per- 
pendiculari, ftftotjue an- 

tulo FHP fquali angu- S 
o Ii fadadue HP equi» ' , 

Ii HF.ldenique du«a 1^ 

|d HF perpendicula Q .> 
nimirum pun£Ium F ea- • 

Jetin Qj^ cuius altitudo 




_ aiif, 
yi . -iiicLitiib ntabii' 

«' -uoiOal IU .£L*. 

rriiij ir-nilimiu lil ’;* 

<IU,. .Ili fll'',li.' 


cft QP/t^ocirca in fe- 
aio^inucniatur punfttt 
O, vbi nempi apparet 5 
punflum fupri Q aldtu- " 
dincQP. eadcmqjpror» 

Gis ratione alia inuenian* 


I j! ."traalji ,fl' 
, iiii.)awiotq msnil»:- 
f)f nrurj jul ni I 
, 1 . ; Ii' nbnrab . , 
Ji f.oniliLuttjii, 
-fr, l!i -a fl tr^iilfrif • 

Li', ‘ • . l‘- ’ ,fl 


lusiaucinc a*!.* 

torpunAa inarcu CFE eriftentia, quod idem fiat. punSo Dii quatiquii 
dcmiimittllflfcAioneaippttrcancjh LOHUt denique quoniam j^dum 
B in robiodopkno exiftitrinuenianir K..'Viii (cilicet inifubudo plano 
pundunv B appatet-inoBamrduic K-Liycrafiuic ICLONM apparens fi|* 
Mm<qu«obie^m BCfED' ■KUnatumin angulo I ofteulcc.. quod fit' 
Sat oportebat.- - — ■ = i' •: 

■ .7i(B’iO"o j —-- .1 , . ■ 'laii 

ofii tuiJoiq luji . • ■ *' I ii fic-" ■ ■ •■■■i.' 

QVAKTl 1.1 BRI FINIS, 

S*!i ..lUM' 1 *i l.S';.. xv\ 

. rnt’.;'' 


,xi::x>: .o;t i 2 i a 


[JilOTl 


i! i i.'.iaitijr> ,i,iiii<->*»i3iiil w • • tiiv , tbnil uiilimil riicCi 
iiiiont!" 7:’;>fri;njH , mui iiilaiii onc!q . Tt itiiil u) niui 
•'.ii. Ti!u.._i.il3ni 5il 3Lij. _i;'.b ,oiiJ3l .•|..ii.iiiiiio'3 ul r i 
:v ''{no1-j'' i! .tmttjqr rr:- ^il aiioiflol >.iil.'(joiq nt , 

- i VIDI- 


iiii\ nTiiOii 




3 AVlTD 3 q 2 ^ 3 q ^ 


G V I DI VB ALDI 

„..i .oiTi 205 p;ii 

E MARCHIONIBVS 

u 1 ni lil jlleiJ jniM» , 9errtfi<j sriiinui oitQ 

iO!!'jptiBfw inil twncTpfiblUicn^av ?t/i3 ,qnc!q oii-id 

LIBER Q^V I N T V S. 

I S pertrahatis , & abfblutis, adhuc fu- 
Iccpto congruere videtur ncgocio non- 
null^dc vmbrarum apparentijs breuiter 
attingere, & rationem iDuelligare,vtno- 
fcamus quotTum , & quoufque a corpo» 
ribus lumini obiqhis vmbrar in fubie- 
hum planum jproijciuntur. Quocirca il- 
lud in primis lupponendum ell , lumciu 
c(Te tanquam punhum , xadiosque proptcrca luminofos 
tanquam ab vno punho prddcuntcs in dirchunr tcbdcre . 
Deinde quoniam totam vmbram (njH quid impediat) in> 
fubieho plano produham inucniri polTe non uubiumus, 
ftatuendum erit lumen ipfum oportere a fubieho plano 
corporis fibi obichi diftantia longius abelTe, ne fubichum 

f danum propter vmbram ipfius corporis alioqui in&iiitam 
Mnidis iUuftraiioBC proifuscareat. fi enjmdufiocm^fubic- 



ho 

j-i 

tunc 


««lui i ae aliqua pars corporis obioftl j 

c^inbra e;irct fubiectd pl.a^to *quidift?i»sX.b“<,Y%.^r* 


hO'inyrubicho plano, omnes vmbrarum terrhihUiiTlietiirii 

'p6ficriti'?44“® ni.Wt6’ j(^'ius> l*' coiporis p'4jK xrtJif; 

gis aifubie^ plano » quam. 'tumon ipfum dularet ^ quam., 
quam hoc; gupqiw dato ( Vr^ei diCCifdis conflabit ) vm' 
bram noo quidem totam. quorfumi talis efi 

(c contineeret . ‘notv clT^'ih'ueiiium'dificil^^ 


i:,. - Ji.. 

_ UliJ-1 «ILi-luiV 

!fl ' itrri". . >ij jlbo.iii.i. . -.lufri 

.! o i: I'. ni ■fiG'5 ■ -lymY oir 

. mi. iwntao» uiut i /i», l <-T;r ; X’ < fn>-dn ^v' 


PR 0 BL 1 - 


rwW* 

. 'm 
onbnv >6 
.*rf» 




PERSPECT IV AE 


1 a j A a V I a I V 

PROBLEMA , PROPOSITIO. I.,„ 

?Y.l 

Dato lumine /datocjtfc piWinaQ , Afius baHs (ic in fu- 
bicaro plano, eius yeip pa/alldograroma fint reaangul^ 
pri&rutis'#ml>ram wfu«ic2» fSair» imicnrc/. 


ipiius pr 


, 2 V T X I 7 ^ ;r :i .i i j 


•iH ourfbr. ,abi l Otlc iS , jiirftE-m3<j - 
-rioii oijogsn iiiijl.iv DrMnjifioj o3(j3 
'isiiuaid 2 ( 13-1 .'i jE <imv 3 ' 

-in IV ,3itgiil3Uijc inanouei >8 
. i.)D £ auplu.i ip , 

■ vKlut ni xidr V :ij 

li . 3 . . '■ ^y-\ 

’tli -n.ifV- 1:- /fltlipui 



•• 

i j 

i 

u 

’ 

^ ' 


!. 

Ci. . 

* i- . ■ li 1 ■ 



' 


.i:aid'/l» i: 
of33idui 
!' ri^idiA •>n , 
inilni i. ■' 


iNio-^o rrt!;;'|i n irn' ! 
’b ?uig'fiol Ki./i.Jiib 
; ■ qioo -uibu if 



lOiit 


4. ***« 

w . 

6 - rmieti' 
j 7 i ynieti 


)5nnT'| rn.'.'; . 

bitunt flt hmttn B, (ulas- AibieShitA pUinam abintdoUtiBM t 
Datiun wJt6 ptifpMfit CDEFXSWL, «iwstaCi C| fitanfyf)if{V>plaT 
no ! pajaliclograinma veto ■ CH DK EL FG fint rcchnguja . opottet 
iti wbifcAo^anoprirmatis CK vmbraminuenirc. Qupniamrtflin in^ 
li GCD; CCF fiant «ai, erit CG rubioSo ptanoerca.»,-ip4.JiMifftfi«T 
bieaoquoq^acpljnocrcdUiCrao CG ipfi BM cftaouidiftMS, U jiaque 
uihgarftiW BG MC, 'etunt fiG MC in eodchi plmo.ia tfoo fuirt BM 
O0:'-ipuci6:qabiiia>i BM' maior eit.GOij<produaU M<i)iiioterfe 
coquement^ vtio ctk«me QJ. yrnbja^cw CG* quod 
erit tattquam gnomon, cademque ratione duZGs 'uHO MdO , acmon- 
fttabHUr‘DGf MfeVmbra*i latct« DH'.' doais^e BKP- WBPricfli EP 
vmbram latetis EK.' CmiUtcf dualis BLQ^BQjj.often 
vmbram latetis LE. Quocirca, iunais POT)N, pars filbicai plani lu. 
mine carens, ea cft.qux continetur CDEPON, Nouillc autem oponct, 
nos vmbram CDEF in fubicao plano infra bafim exiftentem ,nccnoi) 
vmbram FQ^miilas facere; cum non appareant. 




cum tamini TmbrxCnt EP PO 
ON NC. in folidobnex partem liiminoCun ab opaca diuidemes. erunt 
Ime* ipfis tcfpondMtes; vtfunt EK KH HG GC. fiquidem FP cft 

^ ilKua&G. &%C vmbral" 
tjns GC cxiftit. foUdj partes lUumuiatac erunt plana FK FG 

a'i.SKTSuu]iSi&'n3»y ^ la» 



I sr'f>>ifirib .titpPT ff-K':! 
Tiin oborr: (lub , aiipriniv TiF 
;IM ilfii Jff iinr-ulubniiO .iti 
Vi iO ;; •, nleiir.j i;:r.ir;h'_ i 


O': i -jUliniti . la 3ni‘uj;i!i Ci i, 

' v'i ■ - f- X flM ;piD . . 


:p’i 

^ori 


Eapohanitdatiprifinatisbafis CDEF. ftamartirqne punftnm.vt M, 
vbi in (iibicaiim planuin 4 lomine perpendicularis cadit . Ducaturduc 
MCNj I punttrtdBe CM pereendicularcsipfi MN dlicantuf MB CG; 
fiatqiie MB fabalis altftndini luminis fppra fubiediitn planuov; C(5 ve- 
tdfiatfqiialisaUitudini dati prilinatisj ducamt^c »^, qai ipll MC 

ocentrat in Nr Pbrrd' CN erit vmbta latetis dati piUinans Eipra piuir 
aum C petpendioriaritercpflcmisahitudinc GG. vr patet fi inteUi^ 
tor triangulum BAfN. hiiiifinte MN 'conuirti, don^ BM GC fiiWe- 
QopMo fiant ereOe. tuoccnim.aclnmen.dtlaius prifhlatls eibnr foli 
locis collocata. Eademduc ratione itaearar MDO, 'ctif perpendiculares 
ducantur DH MR. fitque DH ^qualis CG ( fiquidem nuiufinodi dati 
ptiimatis latera funtfquaW RM autcmipC MB tqualis. duQa^f RHO, 
erit ob eandem cauiam DO. vmbra laterij fiipta Q exiileotis, pun^m 
enim. R-inhoccafiiproJOininciiercmiet, & itafiet inilijsi eninttjuc in- 
ncntasvmbra: EP FQ_, qlurum .FQjoniittcndacil:cumst(Wi appareat, 
proptctcaquodipfit infrabafim FD repcrltur.qu* quidem vmbra termi- 
liaturlineisfigurx CDEPON. IniubicaoigiturplanodatipriimatisvRl’ 
irainuciuaelt.quos laccrebpotieBai.' ' - 


A L 1- 

1 — 


-■■A i 


. i't iiif ,n 


Vt4- A*' 

tf. 


n>inin>. 


$4t • fl ^ i yrw 


n 

• ' ■ M mi: iid?'’ ' .mihiw inu) boiip .lini.jjo .:;fo> ; 

■.,'')iriH;!ij;b .'.jt' ;o di; rntloni/riiil minfifj i.< uit-liiioi ui . Jf' -. > 
: 'i II ' ibiiiiiil DII II-l Ai mtil I/ iil I - , ,I 

i. D/I jL .tJlAf-nilt* I.. M.iy 

/I >H intlq jiiina siumnulli »-)»isq ibilol 31 - li' ■>./ i i 

• ...iuiio tu mjbi boiip ;01 ritiij 3 UUJK , iXJ A'\ onv titqo , vj-> 

iul.oj,ctb:t.*p 33 l«lii; 1 «iioii’ non .j /1 M(I D) i.i.i!i.l ibilol Q bu 

.iui3itnuuioni.l'jol)3idu^ii i vJj^vpbonj -uiio: i 



Iifdem pofitis, duais^uefimUitcr MEP MDO MCN. conftimatur 
idB vtronquc , dummodo cum lindtsMP MO MN angulum confli. 
Mt. Deinde ducamr DL ipC MB paraDeU. fiaque DL altitudini da- 
,i pnrmatis f qualis; ducamrque BLO; erit fiiiritcr O vmbra punai 
Tupra D altitudine DL. nam fi ipfi DO ducahmr MR DH perpendi, 
culares, Ctq: MR «qualis MB, & DH «qualis DLi ducaturq; RHI- 
pntcxdemonftratis 1 vmbra pundi fupra D cadem altimdine DH & 
jt^uonum txian^^ MW DHI funtfimilia. fiquidem cft DH ipfi MR 
,uuidiiiUsicrit MI ad ID, vt MR ad DI^. at vcr6 fimilitcrcum fit 
MB- «niwKiangula MBO DLO fimilia^quaeiiac® 

«.9 “ .ii' ySH' MB ad DL . eadem aurem cft ptoportio MR ad 
t>y. « MB ad ^1 c^fint ^ MR «quales, itidcmquc DH DL 

OD, diuidtndoquc ita cft 
r — ^9 DO. caquofcquiturLO efle vnum tantis 
punOum. fi imtta ducanmr EK CG ipfi MB parallclr , fiamq'ue EK 
CG altm^mrokdiequiUea.duait BKP BGiJ, ?runt Pil CmiUtavm. 
tetpumtu, iquQd fec«ic oponeba». . 


ir : 
,< ■ 


.1 I app: i ifl 


. Quod fi Tolidi taten eirentincqualia, eodem snodo fiet» 
faciendo nempe E K DL CG in^quilcs, ' ' 

( ■' ^ ' - 'V 

i H«cpfaxi»i‘i»quoqne.^«dicendaIimtdefanaepoaCTk. I ■ 

— Li_ ' 



ir. 

I Ojioniam auKm huiafmodi Tolida abfque icjmogiaphu inueniri pof* 
faat » rt in dccjnunona teni) libri huius p ropofitUm c oftenfum cft t vt 

1 i etiam 




^Mwodo (tutem ex bu 'mftetitue munittur ufftrtHt fiturty 
St, qu4t (Otttd dicu fuut tftdH etmftdt. * 


ex 


NamunouaminrabiedopUnopun^ollendentar CDEFPONt alia» 
4ue punOa^rolidi rcpnefcntabunrar fupra CDEF fcoindumfuasaltitudi. 
•>« CG DH, &c. lumen veri oftendetur punao fupra M altitudine 
MB • lucquc tadone omnu cx ichnognphu inucnicncur • 


iriU 


; nr-2 


ir,4-. 

M. f« <17 

7 t:.. 

■ 'Ui 


M 


i'.' t ■ rr 
, - 1 •• 


d..: . ' . .. 


Venun vmbra hoe quoque modo inuenicniri nempe pollquam infc- 
aione ifvt diaum eS^ inucntum fuerit folidum CK, & lumen . vt B. 
mueniator etiam in icaione punaum M tanqnanr in fabieao plano i' 
quod ouendat punaum vbiiluminecadit in liibieaum planum pctpen. 

' Deinde ducantur Unea: MCN BGN, MDO BHO.i MEP 
BKP, erit.vtique folidum icpnelcntatum cum Tmbta. viea iitkqux <fi* 
aafuntpctlpicuumeft. 


Vmbram abfque ichqugtaphia inuenire» • 





P E.K SiP CrC T'I ?’AE 


2fO 




‘j; 'c inifi-liiwno ;.flnc7 

,-jU! 't . iuli::, 

MubumlB M Hili' «jinin 
t luinsLr^i;:» 



etiam vmbn omnino abrqueichnographia inftcnianirtpoftquam fa^um 
fuerit roUdum, rt CK> polTumus pun^m M coailitncie ad libitum . 
intcliigerequcid eife, vbi d lumine m fubie£him planum perpendicularia 
caditidcindclimilitcrlumenfecunduiti quamlibet altitudinem collocare, 
ita tamen, vt BM fitiplis CG DH dcc. sqnidjftans, deinde linez BCM 
BHO BKP fccent lineas MCN MDO AIEP. pata igitur vmbraiu efle 
inuenram . 

Quod autem punfhim M ad libitum collocari poflit, perfpicuumefli 
quiam fubicao plano tanquam in ichnographia punAum rcperiri poteft, 
quod appareat in Mi vt in trigefimaprima, trigclimadue fecunda Iccundi 
libri huius oflenfum fuit, quod idem depunflo B ex duodecima , &dcci* 
maquaru tettij Ubrihuius oici potcfl . 

ratione in multis, quzlcquunturi«in<|Uim plufimis alifs, huiu£ 
no^puh£bun M. aciumen.nccqon vmbneinuemtlpoteianf. 


•^‘■hproblema propositio, n. . 

.... jtl 

Vmbratn quoque in alio caiu , quando fcilicec cou itu 
ubiei^utn planum petucniie «on ponftj inacnkc/. 

Sit in TubieAo plano bafis CDEF , Tubledodue plano fint ere£)a plana 
■9-Mdrri CG tJK HP, qabrumqul<tertiftintet<'t)0 B)F*‘ Ac. fimfbbleQQpla-l 
nbereaz, fine fint pquales, flue illf quales ^ Ot B lumbni <BM veri eM 

altitudo I 


. 4 . 


akinilio fupra Cibie* 
pUnum ; opor> 
tcat4ucvmbtam inue 
«i(c. Ducatur MOK> 

canir KL ipu £F 
pcIt^^kUlhr ; ehV' 
vii^ie Kb in pUna. 

BM GD LK liibic- 
(Xo plano ctc£he i li> 
ncaquc MK didi pla< 
ni , ac lubicdi plani fc« 
dio communis» Ita* 
que iungatur T I /> 0^1 ' • , 

qu* fccet KL in Ll* UdU 1 - 
nimirum vmbrapun- 
di G erit in L.vnde 


in HL..\-nibramqu*'.j j;^j 1 ; ■ ;l ->Tiiuiov . ■- •- onRi 

Ibf ipCiR 
fpo* 

HF pars FlbKL ciit invmbraiplanumquc DH totum vmbtoIuiQ erit/ 


■ L I B E fr N V S'J sf f 1 1 


sunvi n', 



?rlp/ 

i&.MdK> 

w* 


t 9w)iouJ! .-limul onsn 


i • ■- 

ipCns GD ede in Ln. KP I .itaytduda qt|? ipAin GD GkCtia 
1> vmbra LK fitpotntrnis GPf ItD.Vtrb fit portionis IDl' mqiiep laril ] 


fiibicdi vero plani pars D£K in vmbra fiiniliicrcxillcr. 


P R A X I S. 


Sit in fubiedo plano ba- 
lis CDEF , plana vero 
creda (upra CD DE EE 
; facilitatis gtatia^ candens 
iltitudincm habeant DGt 
umen vcr6 in fiibicdutn 
ilanum pcrpendiculatiter 
radat in M, cuius allitu* 
lo fitBM Ducatur MDK» 
rui ad redos angulos i 
lundis MDK exponan- 
ur linex MB DG . & 
CL» ducaturque BGL • 
lux lineam KL iccet in 
Li erit (ane KL vmbr* 
erminus eted* line* (u* 



rninmus 

Ita K, & EDK in fubiedo plano vmbtam 
terllneam DK dignofciwr, eredum plmumf^pra 
imcffc ..quod facere oponebaN ^ H.) > 

- .or;fcl'.of - : I 


Ex iis , t}ux diximu s in frMdtnti j tmflut > sjMmm- vMsH 


IjL a ju. —d» 




s. >■<»*• 
mi. 


SitfotnTO^, cniuilfnprafubicftumplanamaltitudofit BM. fit (bli- 
“•**” CDETCHKL, cuius bafis CDEF inlubicAo plano exiftat. fint 
Tcro CH DK EL FG quadrilatcra. oportet dati folidi CK rmbraraio 
V'*^^*''*®* Ducatur i punfto G in rubie£him planum per- 
i pendtcnl ans Gl. ic quonum BM GI fim t fubicfto plano etcte . cmnt 

interfc 


P E R S P' E C T I V AE 


-I 


'O Qt 


modii inHtniri fo/slt in fictione tfftrtnt •vmbr * , dter fiilicet ex 
ichnogrsfii* , nlttr 'vtro ex /olido off arente d/qne ichnogrofhU . 
bot umen eft adnerteninm , quod hoc meJd. ( yt ia pretcedtnti fi. 
gura ) poftquam innent* erit *f>p*rens figur* CHF, <f M'£, , tunc 
ducend* tfi MT>Ki deinde KL fieri debet perpendicuUris Julio- 
nit Une* i qui* reprnfinttt lineam Jubiecto plano erectam , dncf*^ 
BGL iunctaque HL , omntt rvmbrx termini, erunt mutati . rvt 
perfiicunm eJI, ' A. 


PROBLEMA PROPOSiTip,. 111. 

Dato lumine, dacoc^ue (olido , cuius buHs (it io Tilbic 
Cto plano ; qur vero circa baiim fupt pitna , (int quadri 
^ateta* Yj^btam ib rubic(^o plano inucttir:^ . 




. IJJ. ...*U ; 


LIBE R iQyiNTVS. 

luarcparalle|«^ duai«i|ginu MI ^G* in eadem plano exiftent. vnde Gh 
producamur. m(er(cconueiUcdt‘>4iufe conaeniam in N. critduc ex di- '1 
Wt IN vmOra ipfius IO, * punftum N vmbr* rerminu* pon. 

duda Cii. ^rit CN ymWUtcda CG. qax'niim 
«jm funr.iwplano redam p«j)ainttvinbrami «militer in alifr ducantot 
Ky doeanturd; MQO 

MRP MFTs deinde ducantur BHO BKP BLT| denique dudis DO 
EP FT , TP PO ON( erit DO vmbta Uteris DH, EP vmbra Uicrii 
EK, at que FT vmbiaUteris FL;IblididivmbrainAibiedopUnoinueA" 
CDEFTPON cziftet, quod facere oportebat. 

•ii 'i', i. . ' ^ 


oupnuso. ■:A oi!b , fnul t/i. 'J 


iiciJrav oiii.., ojjjiuui ni tut.jiii 


iijir::: 

• ori. 



Cadat perpendicuUris i lumine in fubiedum planum in pundum M 
cuius altimdo MB; fitt^ueinfubiedo plano dati folidi bafls CDEFv U- 
disque quadrilateris FL CH fuper lateribus CF CD. inueniaiur vbi 
ab anguloalicriusbalis in fubiedum planum perpendicularis cadit; Gtdue 
pundum 1. Gmuldue inueniatui altitudo IG. Ducatur deinde M^N; 
ezponanmr^ue IG MB ad redos angulos ipfi MN. ducaturque BGN; 
iundaque CN . erit CN vmbra lateris folidi fupra C eziftentis . quod 
idem fimilitet liat in ali)s , ex quibus vmbta in Gibimo plano patebit . quod 
facere oponebat. 

; XxUt 


t. furti 
Itmia, 




k 


7^ i> E R S P fe,' C T r V AE 

fithtriari figwTA , ftlidf i C. it »», fictunt ■, ftmctotiue i Af £ v 

G , dxtmxr MIHn^^^kx »n4*^S^ ^ ^ 

^ U,m. CC. 


ii; -. Ii-- y ' 
■u^iii' ■ ! .'ioJ 


;C1 >ii^Jtl ttd(D/ Ot. Jn< O'’ ST 1 ' 

\1 .;*.- '.pibllu^sJI 'IS p*- • /* ■ 

, ii.b3iiooo‘9n3(.il«oi';< • J3 '!1 i-vOt] 

PROBLEMA PROPOSITIO. IUI. 



Sit datum lumen B, cnius altlrodo (tipra <ubie£him planum (it BM 
Datum vcr6<bIidumCt CD rcSilincis figuris comprrncnfom. oportet 
infubieSopbno vmbram ihucnire. Ducatur i punOo D irifubicihttd 
pjanum perpendicularis DF; ducanrarduc MFG BDG-/eritvtique et' 
diftis pun^him G vmbra: terminus punfH D . Ducantur fimilitcr FH 
LN in fiibieftum planum perpendiculares; ducanmrque MHK MNOv 

deinde BEK BLO; iunganturque GK GOi erit GK vmbra lateris' 
__ 


Dato lamine , d^to^c illido quomodocunque figuris 
rcihlinds comprxhcnfo . in lubicflo plano vmbram in- 
ucniiC' . 



LiBBRi 'Qjy m-pyr-E.q 


U>E, GO autem vmbra lateris DL exiftet. & i« fiat omnibus angulis 
omnibusq uc lateribus . hoc cil in fubicfto plano inucnianntr omnes Une* 
quz dati iolidi cuiuflibct lateris vtnbram oftendant; & exteriores line* e 
nint termini vmbizinucnicndz. yt in figura patet. 


Praxisvtique fietivcinptccedentiquoqucdiftameftiinueniendo Itili» 
cet ex decima, &dccimaquana ptopofitionibus praxedentis libri, vbi ea • 
dunc ab angulis in fiibieAum planam perpendiculares cum fuis altitudini- 


Jn fictunt Mttm fimliter lUobut mnHs (fftrtnt 
hi ftterit. 


PROBLEMA PROPOSITIO. V. 

Daco lumine , datot^ue cylindro rcdo,cuiuilfi^,l^ri'^ 
fubiedo plano >vmbram in fubieclo plano inneoirh. 


- vA .\t 


1 

' ■■ 

- •‘..x:up . 

m 

, 

•i.< 1- 

fi: 



1.; 

a o'- 

■ *.1f l.i '1 . Ii 


.Ull 




Danimfitlumen B, cuius aldnidofliprafubicaum planum fit BM. fit 









:p gvj: 1:* v m 

i«u. : .1 ■ :. . i.n>i.nil. i .Ui ..i. ..it'!.!. . . 

. .ii4i;o - " •: onr.l i-iii ni ii> :.ori »{■ ; .■• 

• , - -..il ■>': ./ HI io' ly^h^iL: i?.!n'l;., >iL,ii- 

.xldoin-Jimi 3. r; ,i( 


«i!h1 oSfcinsi.Tijfli /rurflib^Mjpoir 
idv,ii..:,l uiivj'. r^j.i(i <u(jHioi:i 
'ir.iLuJj:& 4.131 tmij niiitnibnr) 


17 . tertK, 


6 , fnitdt 


4.1 privd 
ccmtermt 


cvUnf^?icftu$ CDFF, niiusajisCt PQ. bafisijuc CFG fitinfuhitflo 
pUndi*dpottefCylhidtiS’rtl)rim mfulwe^ ^rabo Imiirnirc. FxiftitWir 1 
punfla M.liaec.MCoK MKt, jcwtMlvwiQC unKnf«ipj>»in<l>,4 GJH; 
1 pungis vero GH ducanfur cylindri latera GN HG. 4c i;t oruarr. cv- 
lindruseftrcaus,eric GN baii.acpcr conCcqucn* (ubie£lo pianocicrfa, 
cft autem & BM ercfVa fubicflo plano, erzb GN ipfi BM scqiiidiiljns 
exiftit. ^aredudbi BNK conucnictcum MG. ob candeinque canianp 
dqQa BOL, cum MH conucnicts crit^uc propterea GK vmlua latcj 
ris GN. & HL vmbralatcris HO. Itaqucparsc\lindri OFN Hf(i ti\ 
in opapo, ODN HCG vero illuminata . quandoquidem plana '-MK 
BML nipdtiicicm cylindri contingunt in lineis GN HO. itaque oucan- 
tur MQR BPR, iSc centro. B. circulusdclcribatortranficnsper L. lli< 
coacpcrMnOimi K tranOre, ac cylindri vmbrani cfle iecun<'uir. termi- 
nos GFHLTK . Primuni quidem fi concipiamus i pundlo B radios cira 
culum DOENiContingere.infubicGumq.-planumcfficiatlmeam 1 KTj 
erit LKT tirci^us.ficnimintcUigaturconus, cuius venex B, bafisvcrdr 
DOEN , deindb fuperficict coUica ptodudla icectur altero plano KLT 
plano DOEN tequidifiante • ledio KLT circulus erit / quem quidem 
cominguntlinc» ML MK. quoniam funt extremitates vtnbrse, Vnde 
lineatab R ad- LK du^hefiintte^les.quiafumacentroad circunferen' 
tiam . pertranCt igimr circulus TTCL per K. ex quibus pcrfpictinm eff 
vmbram contineri circuli portione GFH, reflaque HL, ac portione 
LTK, reOaque KG, 


sil t.Tfnuflf '■ rnufV.i^ii-lanuyobtniilirniir? ,S r:r-.,lv^ -if uG 


^l!Y^ 


COROL- I 





i', 





Q^VMM?nV^. I gyj 


c o Tt o 111;» R J V M . ;n 


Hiac pate^ quomodo vmbra circuli iubic^o plaao cqui- 

diftantfelnuiBiri pbffit.' p • ' '•’ 

■ i.>.joiq ■ii^^:t,on«l ^uj jI fii i il i " 

;.-n ” 'j . ii; r.u;j , .li iiirm <. jqt oii-j i 

!’Cu6iln»aiim KLT idttdU.tJlN virtirattlftit,' 

ni , mn- . I •.•rriui a mi.jcfp rr.-iii ininaisi Oii» 

■>' , n-y .1 c! ■ t-ij)- , m. i j iitr> , iniimaj aufjnis!> 

. Jn3]p:>!xi' 

P R A X I S. 



Sit pundum M. vbi cadit i lumine pcnendiculatis in fubiedum pla- 
num .cuius altitudo flt MB. litcirculus CHG bafis cylindri refli. cuius 
altimdo (it GNi ducantur MHL MGK citculilin contingentes, ac per' 
centrum circuli ^ ducatur linea MQR. exponantur deinde MB GN 
ipfi MK perpendiculares, ducaturduc BNK; duoantur deinde HO MV 
jmfi ML pct^ndiculatcs j iiatque HO altimdini cylindri , hoc eft ipfi 
;GN iraualis, MV autcnripfl MB aequalis. Ducatutdue VOLrpoftca 
fiant QP MX ijjfi MR. p« pendiculares ; fitque QP ipfi GN xquaUs. 
& MX ipfi MB fimilirer «qualis t ducatunque XpR.; denique centro 
R, dcfcnbatnrcirculus KLT per L tran(icns,quioa dcmonfliatts tran- 
fibit quoque per K; cruntvtique GK HL vmbraslatenimcylindd fupra 
GH cxiftentiuHiitcnninivciovtnbTaeruntetiam GFH KTjli touigitur 
rmbiacy lindridaticoneinctutfiguia GFHLTK: quod facete oportebat. 


17. tertii. 


K k 


PROBLE* 


rri'*r- 'f.tn » . 

, ot.”:: . r ■ ? , 1 

1 1 


g^8 P ENRTSVyiBi} 


17. tertii. 
E* 26. fe 
hniHi . 
Ex t.ipur 
ti b»ms. 

Ex n.fiti 
di hm»t. 


PROBL®lHA;iinUDHaJLTIO.i VI. 


iur^onE!.) -^idol iluDiiJ tidrnv oLomour' pisji :jnii . 

Oculo dato , datoque lumine ^ 
cuius bafis Iit in fubicao plano , figuram in propofita le- 
t^ione apparentem inucnirc» quot lumen , daturoque cy- 
lindrum cum 

dro termini panem opacam a luminofa diuidcnrcs , itk* 
demque rermini , qui partem , qua: oculo fe o£Fcrc , re- 
prxfcntcnc . 

I /\ X ■' 


Sit S punaum diUan- 
tix, SA oculi altitudo, 
fit D feflionts linea , 3c 
fit M , vbi*4 lumine ca- 
dit perpendicularis ip fu- / 
bieaum planum . cuius , / 
airicudo Qt O . fit deinde eJ 
cylindribafis CHFG.cu» l 
IUS altitudo fit P. opot- \ _ 
tetin (edione figuram ap- 
parentem defctibere.qux 
lumen, datumouc cylin- 
drum cum vmDra otten- 
dat, in cylindroque fint 
termini diuidetes partem 
luminofam ab opaca, ter» 
miniq,- appareant, qui par 
tem vifam oftenda t . In- 
ueniantur ex pricedcnti 
vmbiz termidii: GFHL-- 
TK. fintr^ue GH pun. 
aa,mquibuslincscx M 
circulum contingut.' De- 

indeidiftantii punao S , ■’ • e a. •_ 

ducantur SG SF, qiiz circulum contingant in CF,- in le^oneqoe m 
ueniatnr figura QXNV ciim NRQ, qu* circulum CHFG cum «L- 
TK Tcprxrentcr ,&fccondnma'titudlticm Punueniamrfiguia EIZ,qu 5 
circtilnm fiipta CHFG exiftentem altitudine P oflendtf.atycrdpunaa 
QN repriicntent punaa GH , punaa veto H often^nt punfla lupra 
HG altitudine P exiilentia . iungannirquc QE NI . dcintte ntueniatut 
piinaiim B , quod oftendat uuidem punanm uipra M altirodmc O. 
Denique inuenianmr punaa VX, qu»-CF oftendant.punaa q ueinu e» 
- — r ' " niannir 



i' LIBEli Q^VINTVS. 

Biantiir YZ. qux repnefmtent punOa Aipta CF altiudiM F. mngaii.| 

.‘turquc VY XZ. erit vtique in Icftionc appaiciu figura, qu« Uunen Uu 
B, cylittdium^e VZ cumvmbta VRQ_rcpBefco»bit',infitp«fiaequc .r 
cylindrilincae OE. NI erunt termini partem opacam i luirkinoladiuidcfi* 
res ilinex veri VY XZ cylindd partem, quz oculo <e ofiert, oftendet. 
Vdualeacnimradijabocnlo A fupta S cxiftemecontmgurrt quidem cy< 
lindruminlatcnbtufiipra C F^caincntitMU,quM£KCfcopoitcbat, 


*t» 9 frh 

mIthnSf 


■-'jps. "Kj tti' 
. a auijjio wU. (i> 


C'!! J/. 

, XJd 3iiD . 


lemma 

Daustnlius-IincS-AS ^k^^^^^ fin1tfuc"^AC BD ia« 
quales, lineam inuenire ita , vt AB cum inueuu ad in- 
ucniam eandem habeat proportionem , quam AC ad BD, 

lU; filii-. io?f , .1,1'- :'•! ojr.C' 

■ ‘I • nti ,c'V, jil oiaii,'n 

Exponantur AC BD 
intetfe parallela I iungatur- 
duc CD; producannird; 

CD AB , qua libi inui- 
cem occurrant in £ . erit 
Ttique A£ ad EB, Tt AC 
ad BD. inuenta eft igitur 
BE, vtpropoiitum elt . 
quod facere oportd>at. 


LEMMA Ilr 


Duobus datis circulis, lineam, qmc ad eandem partem* 
vtrumque contingat, inucnirc/. 



u3 ,’ii' ; 


nDuo finiorcuU, qu^qjCQ^.ABi unguot^w A& qq« prodo* 


I .'JI i 


4*Awi 


catati inueaiaturquc BE,nita y^AE^adii 


, ttiiiiu.17 


Kk a ad 


02 


kK' 



iiij .y/. Yv 


moj 


tUilUitjl J V 


-tuuk i'.il xii)' . UA 
jtij . 1 m jnuuojo 
Oh .. .8.1 bs 

. <17 >■»■ 


^vx<V>t 


oiiuouiii. Ji;g»‘in'>3 


cuius altitudo Gt BMi Gtfcafenus cylindrus CDEF.as- 
ak ^)tt^dHd^t^Ha^^ iWiblb* fagctiti; D* iofcibiea*» 


planuin 


TthiYM 


ad .^aaidiaticsnuai I KDi.J 
Puo^4uc i^O.ci^Uwi .'ris 
eoiuio^cas inu9 <i Ptcn-j; 

^neaia.BO, «Jcsiuini«B<i*,» 

qitc^ainoluta contino:ie*i:ui 
iiMgMltt J|£>V ducatUMM:. 'II 
rcmidumetetj fiircuU..iM«p . 
iqaidiftans BDiiungatui* 
que DC. Quoniam i&tur 

eft AC ad BD > vt At ad , » , . 

EB, erit EDC rcfta linea, it anguli ad DC rquales. qnddcumGtEDB 
teaus.eritic ECA reftus.vndcfcquitut lineam £DC cuculos comm. 
gere, quod facete opoaeba^^ {/.' ^ J 


'u.iininjtil 

dnaitlntm-i- 


PROBLEMA PROPOSITIQv VII. ,, , 

,ni €ia DA lu .jnu .CUl DA t-sn-- 

-m Uajuaum aw= sv . tn a...«u<n . — n .. 

.Ca U JA.nicu' . tnsn-.oio.ioiki ita.y • ^ 

Dato lumine , datoque cylindro Icalcno , emus balis in 
ubic&o (ic planoj vmbrara in fubic^o plano inueniio. 

(lil ;)A lumsnoqtd 

•iuic?.nf»! if ‘j 


•V. 


f 


HLl « he T«VUSH 2^t 


planum , qux in fubicfto plano circulum ciKcunt HLKl’ Y'cnt cnTm^C; 
kP circulus , propccrca quod planum per 0£ tranliens (iibicdo plano 
xquidillans cxiltirj Intrlligatut KHDE cylindrus redus ; idcoquc circuli 
DER vmbrainucniatur ION. fincdeindcradiilumiois BQIllVX BZp.l 
qui cylindricam lupcrticicm ademdem partem contingant inQVZ . Con.j 
Itat ex vigefimanonapropofirfqncpriitu libri berenipunda Q^'Z clTc m' 
vno , Se eodem latere qdipdri', (^uarc ducatur linea QVZ viuue ad T 
pundumcirculi CFG; lundisqnc Bundit T9XI, erir vtiqiie TpXI re* 
da linea. Namfircdalincaeft TZTQ^petquaknuanfctintraditluminis, 
qui liint in vno. Se eodem pUob per pundnm B. lineamque TQ tran- 
Icunte, (equitur T9XI c(B:aHt(qcplaqo . Icd puiida T9XI liint quoque 
in fubicdo phtno, ergo TI qlt communis Icdip .didi. piam, ac lubiedi 
plani, quare Tl re£a.4iyiiica. At verS quoniam planum per Tl IB : 
|TQ tranliens cylindricaftai luperficiem contingit , omnes linex in hoci 
plano cxillentes, qiweapU XQ occuircnt, cylindricam contingent fiiper- 
ficicm. cft vero linea IT in hoc plano, linexquc occurrit, ergo 
IT cvlindricam fiipeificicm continget in T . quia vero TI eft in plano 
circuli CFG, continget IT cirailum CFG in T. at verd quoniam Tl 
«flterminuscxteriorisvmbtx, continget TI circulum quoque ION Eo- 
dcmqiiemodo ad alteram panem oftenderur GO vmbrx tetminum re- 
Idam biviam cBc.circuIqsduc. CFG ION contingcre.in GD. ccdntigi' 

. "sj.ii i» ,tn.- ; Ifcj.,.. ; ;i.^i .1 „'t ’ :u-jb 6 u\> 

liiiia lira , m^' isia onx<q oriaidi.’ , Tl aironcm , inunr.lqTi' 

fhtnf .»ncDi!:iupT_Jl,tiit:'pa:oi ;ii • ■!. T<1 jiOfj' ‘jv.-i q>UH t . 
i'jv mamfcmiJlt .‘(.Iprl axo liidmi «ii;j..jiiijjj i iibuilys^opniiini, 
119 it.MtinaijRi , .1 oblunliflft .W Tr1iicl> tiiKinoor» A ,Hi 

.npxup ,VlOl siomv tlH an iiiilstiinallix-. ‘lil.lH xiquTib 
l OiJ tolimo aup ,DO Tl »1 ul im.noobal fji^.G .tulmii})': 
;■ .DOm 1 iOlnuisi.ii.-nair'!','! / ,OD TI «..jiiuq ruineiBnnrto 

. 3 it;-jiHi^o>i-i 


ynJeci', 



ici t'A 
■a^ •« \ iftiii r- 

i'.n k\c»itssv.i i. *.'u 
00 \T tiii i'i 


.mv .oiTF?oqo;i<i AMajao>i«f 


I ntelligatur cylindrus pet axem fedus ; fedaoqu&Ccfabte)^ pta»° e Wda . 
■ ■ ■ >. — i — ^ — qux 


uil,? .sc' 

.IH 
C •tixr 


t 


\ 






PROBLEMA PROPOSITIO 


Diito lotnihe , daioi^ue corib , cuius bafis fit 
iiiq, vmbtam inucaut'. 


mn 

lemmt.* 


prqdnQaque CF, du- 
.,H circulus defcribatur 
m.i^r. qubdcum fit DE ipfi HK iqualis. 8t sequidiftans, fi intelliga 
tur planum CDEF , manente CK , fubiefto plano ercftum , ciit cirw 
lui HLKP dtculo circa DE dcfcripto aiqualis , & «qowjftans . Intclli 
~itur itaquccylindrusrcftus, qui bafim habeat HLKPf alntudincmvcro 
pH, {c quoniam datum eft punQnm M> dtaltitudo Bi inueniatur cit“ 
, culifiipta HLKP caiftcntis altitudine HD vmbra ION. qu»^i^ 
prit circulus . Deinde ducantur Imc* IT OG. qu* circulos CTO ION 
contingant in pun^lis IT GOt VmbrxtcrminicruntCFTINOG* «jnod 
fieri, oportebat • 


Ex hoc quomodo /» fectione inueuUtur of>portns figuro fotiU di’ 
gno/citur j in quo etum oflendtntur liuto in cylindro portem opo- 
tom <i luminofo dimdtntet , fi ytin fuptriori figuro inuentix in ftitiont 
lineis T l GO ducontur IB OB^ quo boftm T>ET{ /icent in 
t itmgontur^ Tj^ G Rf ho quidem ofiendent portem TCG 
lumno/om , tpocomquo TFG J^ET^. 


)< 

l 

r 



3LlBEg 





.nil ii->»in»u«i»li!ir/(no!,.''ij.rjrii'n 
i’ ‘ ^'iiuiiDub OH iiinirftiij - j. : .. tui irii 

. ,11 , r. >v r'<ni ,vM . i • -i .1 vq Knnuiiiii )n« 

Sitlumcfl Bf cniusfnpraiiibieSnln planatnaltitndofit 
CDE, cuius bafis CEG Tir in iuUIeao plano, oportet coni vihbsahi-iW 
nenirc • Ducatur i vcnicc coni in (ubiedum planum pcipcndicularis OH i 
ducanmr^ue MHK BDK, critcaijs.quz fxpi di^ iunt> punftum K 
terminus vmbt* verticis D. Ducantur piares radi j luminis , vt BVX 
BZYt qoi conicam fufcrficiem ad eandem partem contingatit in VZ. 


pnecedentidiximtis , 
pUnocxiftcre,UncamMC KXYT rcaamcflc,citculumqnc €EG con- 
wgercin T. eodemqucmodooHendctur KG rediam cITc lineam , cir> 
cummque CEG in <j contingetc.dl igitur GETXG Vmbradaiconi. 


.:ii .oiT;ci'-sC; -i M J .1 1: oii i 

P R A X I S. 


<oi 






;r. b , 1 ' ■ .\n\ j j 1. 

Sit M pundhim , vbi cadit perpendicularis i lumine in fubiedbim pla- 
num» CUIUS altirado fit MB; fitque iii fubiedlo plano coni balis CtC.lTo/i 29. 
InucniamrpnnAum H, vbi fcilicct i vertice coni in fubicdlum planum'fj,^ 

I ; perpen. wi. 




Jf 




‘ai' iti 


^ PeFKlS PV^ H3(VT AE 



perp«ndlrahriscaditi cuiutaltitudofimilitctinueniatur HD. Ddndediii!' 
catur MHK, cui perpendiculares ducamur HD MB; ducacurqi BDK; 
erit nimirum punuum K vmbre terminus varicis coni. Itaqucducan* 
Ciiailnip CEG contingentes in TG< erunt vttque CET 
TKfKG. vmjMC.tccminiidati/Coni) quodfacacoporrebat> ,j , 

,Hi: ‘ i/ .;i :t ■ ;iii - l 

' in;)bnuq .■ iiii t, I- 

• i J ^ 

Ex bis tifpdrtuj ht Jtnhmt figurd ftetii mxexlri fett0 i inu*. 
xieaii&jkf' ih cw Urmini opatum it lumino/o dimdnits\ fi ;*in 'in 
/itptriori f jnutntis lineis TK GK in .ftcuent ^ ducdutur pdr 

fttd TU GDf pdtet enim DTCOT) fertem r^t luminejdm , 
pr ECO 'va-S 'vmbrofdmi o 

PROBLEMA PROPOSITIO. IX. 


Dato lumine , datoque circulo lubic^o plano inclina- 
ro , cuius inclinatio (it data , dataque Er circuli , ac fubie- 
di plahi fci^io communis { vmbram in fubict^O plano Ia- 

“««•rc- • ■ ■ , 1/ .. 

. „ Sit 



Sit lumen B.fupta rubieOum, planum altitudine BMj fit'«ireulut in- 
clinatus CDE>' Oportet in liibieftti plano citculi CDE Tmbiam inue- 
nice> fumantut in circui\fcicnitia circuli CDE plura punt^> vt CDE i 
& vbi ab ipfis in fubicfbiiri' planum perpendiculares cadunt, inueniantut 
panda LNP. ex quibus, vt antea vmbrxtcrouni inucniri pofliint, lineis 
nempe MLR BCR. &iiafiatpluribusputo,inucmaurqj vmbraRTV. 

Prxterca punda quidem LNP in efli^licxiftunt, vtdemonftrauitFe- 
dericus Commandinus in libro de horologiorum deferiptione. iung^mtur 
itaque CL DN EPi intclligamrque PC cylindrus, cuius baCs iit circu- 
lus CDE , qui (edionem habeat LNP elliplim . Deinde plures ducan- 
tur radii lumiiiiafiCR BIb> qut-cylindricarti liiperfidem contingant in 
Cl- erit vtique) fVt antea quoque liiximns) CIL cylindri latus. deiudC' 
{■agaot^ phnda LSRi. Quoniam igitur CL eft litbicdo plano creda,- 
vdttti BM, eruniiBM LG parallcXe i vade lincz BCR BIS BM. CL 
in vno^ &ct)dcm>plano:cepcriuntuti in ouo etiam repetitur linea LSR , 
qu9 quidem/ lit in prauxdentibus ) oftendcturcile reda . Quoniam autem 

S ishdani M :<{tquQqiicitivlTOqueplano,tiquidemeftinrubiedoplano’i 
ciin plano;MRRii cck lani pundum M in communi redionc horum 
j phnomm'l' qliato hk in iiaea LR. iunda igiiufML. erit MLR reda 
ibte*c At vti^quoniam;:MLR eft in plano BMR, occumtque MR 
ifdfiiijGa ;cqnti|)|>rt;Mft tyhpdticam niperficiein inpundo L. qudd 
cum Iit MR in plano quoque cilipiis LNPiergo MLR elliplim in L 
' cnDei^ta'Quapropteraddltcn[ii;parttmiidiiCanir MPT clliprim chn> 
tingens in P, exiftenteque P.B'JajereqrJindriWpiedoplanopcrpenrf«aw 
lan , ducatiirqiic BET, oftender figura KTV in lubieUo plano vmbraifi 

circuli CDE, qu* quidem intra lineas MR MT conti netur. _ 

* L1 Eodem 


apt 
Sertm. 

6, *nded> 

mi. 

7* nsdrri. 


49. fean 
di 


fnj-' . 'I iiiiifjlidm i<i_» iuluari’j il.inclrii/ lumnuiiTi Loir; tirv' u . f 

.r>TJi(l,l'i, ; 

,m -jnii if!; iiicLai T>1 ini.ifliji/ -ifio i irjjfimi.u i:> i 

;i!ui . I(JJ il:i3irjoiui'{m',txomiii5u’li'l iorriul<>liii;up , i.ii Ciail < • j. 

; < '.iiiuriiDj odjil lUJ iiu'./U) irialq ji:,iriLiq ii>M'iui i- li-i 'i Jl tu.: . 

‘ f^iil Lh-ji ,Lii / 



TJIHWiaE 

i; £oJcm modo inucnictvu vmbta , fi circulus CDE lubicchim planum 
Ikonimgeret» 

■ AducncnJum cft contingere poffc vnrbram RT reQain cfle lineam, 
quodlani fiet, quando lumen Bfueiit in eodem plano circuli CDE. tunc 
cmm RT effet lubieai plani, ac plani circuli CD£ Icftio communit ,• 
yndere^ linea cxiftctcc. 


ittnn .V. 


.nU.iniiUuq 
yi cid.TV 

if -af-v^i;!! . . :io.' 
- 'Ti- ii '■ 


I ni injnsmiil .ann 
nuitqidcii:'/ :5 
.TriJ .i 


Sh "M Tbi'eodtt In rabRAum ptaniun perpemlicuUrit i lumine, cuiiii 
altitud«fic MI) < fit Circulus CDE inclir)anusn angulo Ft cireuli vci&i 
ac fbbtcfib plani fitconiiimmislcftio AO. litigantur 'in circulo plnripuiw 
i^ilnit’, vbi in ItibMcbMn (danam perpehdicnlti-ct caduM.cx tmia' 
tprcecdontit libri propofiiiona>irHienianir,vrpMR^m C peipcndiculani 
lctcaditin!‘'L(,Cum$altktid(viLG. A itainulijt.plnritnndueimienptl^ 
infiarKiipunRIsinrobieAopianoollipfitddbribi potcR LNP'. Deinde i 
punRo M’ Daramc linea, qaai tranicat per pnnDum ,1^. .exponanrurqild 
lincc Un LO ipfi ML. perpendiculares f dncattiFtjoc BGRjctitvtil 
que puiuEutn . R vmbtapunfti C circuli intlinatiiapqneHoc modoplul 
rainuenianturpunOai porquzfignradef(ribatuF,vr RTVi ajuxqoiqciq 
inclinaticiicnlivmbranvoftendct.quodlaeereoponetiat 
Deftripta vct6«llipfi LNP, A ;MI.R MRT ellipfim ^niingetott^ 
patet vmbram RTV' hma lineat MR MT contineri. H 

• . i .• V;L - . • , l' ■ ' • ’ 

. -i 


LIBER QJVnWTVS. U7 


- r. , ! 


«... 


PROBLEMA PROPOSITIO. X. gu 

. O^cut (tt cylindrus AB, cuius baib ACD BEFj fit. 
(jue cylindrus fubicdo plano inclinatus in aUgulo G ; fif 
que baiis ACD, ac fubie^ plani cotnmuni$;lccUo HK} 
oportet bafis BEF , ac fiibie^ plani comiaunem ieftio- 
nem, & incliriadonem inucnirc/. 


. ODA ii)- i 

Ducatur in baQ , ac. -•)*> • - ■ 

per'cemtum circuli ‘ ' • • Tft 

ACD' Irnea CAH , - ' ; ttiiif- l, 

qux occurrat linex 
HK in H/ itavtCH 
fit ipfi HK perpendi. 

Ollaris , Deinde inrel-% 2 
ligatur cylindrus Tellus 
per axem ; fitque fe. 
dio ACBE , qux fi: 
fiibiedo plano creda ; 
fitque planum AB pri. 
mum plano bafis cre> 
dum. Iiaqucducatur 
AL in plano AB; fiat- 
que angulus EAL x< 
qualis G i nimirfi AL 
erit fiibiedo plano x* 
quidiftans , cum fit 
EAL indinationisan- 

f ulus cylindri , ac fii< ' ; . 

icdi plani, ex quibus 

fcquimr lineam HK plano ACBL etedamedei Ducatur autem 'per H 
in liibiedo plano linea HM ipfi AL xquidiftans, qux quidem' erit ipfi 
HK perpendicularis I quia HM eltin plano AGbL. deinde producatur 
BE vfquc ad HM in'M; & pcr M in fubicdvPUno ducaiat 'MN x- 

f inidifians HK, (Suoniam igitur propter bafcsci-Wnidribatallela CH BM 
nntparallcix, & HK MN parallclx.crit anguMs CHK' angulo BMNJio.»»d«ri. 
xquaUs. quare BMN c^fcdus. Atverd quon&iWeybndri bafes funtpa.',^. 
tallelx,commum»earumfcdionc$.acfubicdip4lani;'erunt paraUclx;'tff , 
autem MN xquidiftans HK; ergo MN cftcoinmanisicdio bafis KEF, 
acfqbicdi plani, Q^d fi planum AB non fuerit bafi ACD 'eredum , 
qiioirixM datus elT^liiiitiiJ/rducamr liiiicd AP. • ita vt planum fdr AP 
AL HM ifttelligatur credam pUoO 'bafis ACDy fitque LAP itXliiia' 



L1 4 


tionit 


p?S^ h: « j[ i (V^ 


tionis 'ihguTus^lin- 
dri . ac fubicfti plani, 
kioc cft fit angulo G 
leqnaUsi fiatdi MHO — ^ 

«qualis a05»l!o P«&.T 1 ?• O W , 
iqui cft angulus quan» I 

tum decimat planum ' ' 

AU , ita vt non fit ere» £■ 

ftuptba^ ACDi iyt* n » 
duc tiO’*qtiaM HM, ‘a»**** ■ “ 

«eper jQ<dttCafutM<iL • uitruij. 

tof-i » 

fcftionem bafis BEF , " 
ac fubicai plani, ex \V;,, 
quibus patet , produ* 
aa MHl, angulum V 

AHl efle inclinationis o 

angulum bafis ACD , 
ac bafis BEF cum lu. 

quippe ^AH°HI ipfi^HK perpendiculares} planadu^CD BET , qno« 
niamfiint parallela, adfubicaum panum eandem qabent anclinatiOBcm. 
'' .O 






DefcFiWiw^Undri pa; — 

rallelo|(Mmmum per axe 
ACBE; Iqiiod quidem in« 
te ligatur ^in^m clTcbafi 
cre&miT[itquc cylindn, 
ac libiea iyl ^i in clinatio 
data angaqrf~^ r fiatqUC . 

EAL */uaRs G; produ- 
caturqitc CA vfque ad 
fiibieaum planum in H ■, 
ipfi4ue AL xquidiftans 

dacatutfi HM i: prodnca-iTii rnt 

itar^UC BE.vfqueadHM» j 
Stpet. HM. ducantur HK,^ XI 
MN ipfi HM perpen^* 
culatcs 1 pfQducapirqde. 

MH i fianquo HP ?qna» 

Ut HC,.*;HI.am»aliv 
HAi.fiaiq; MF ipfi-MP» 
a: MV ipfi ME «qualis, 
Pfffuibanturqne circuli 


>...,..1. !1‘'' _ ’ X1--T ' . - . 

DXP EVS; imeliiganirquc HK comnuinUffi8iftfubie^PW?ftS.«^W 
liPlg. ac MH fimilitcrcitcufi W.S^.ii^fBbiii;aiplanife^fiowcjuqA 



•V 

-7 


quonun 







2cxqn:»lis M£B 
culus (l^lc 


■HL I B B RT 'JSIV fINE W-S.4 


__/fiirtjucitKMnci‘Tr«i «?titU£ 

^batuc . intclligcndum eft lineam OQ. clle communem leftii 


nem fubiedi plani, ac circuli TRX, quorum inclinatio eft angulus itidtmi 
AHI . fiqmdcm cylindri bafes ad idem planum eandem habent inchnatio- 
nem , eirculusque TKX pro al^a cv^dr^ bafi defexuiet. quod facere 
oportebat. «• * r* ■•l 


PROBLEMA PROPOSITIO. XI. 


I . 

1 Dato lumine , datoque cylindro , cuius bafes 

(Int fubicdlo plano inclinata: , vmDtam inuenirc/ • 

' .r-f' / 1 

lumen B. (mius alti- ■ 
tudo BM; li» cylindrus, 

CD, CUIUS bal^s CE DF , 

TubicAo plano inclinati * / 

fint { oportet vmbram in / / 

fubiedo plano inucnire , 

Inueniatur circuli inefinatiV ■■ 

CE vmbra GH i circuli * 
vero FD , ac fubiefti pla- 
ni communis inucmaiurlc 
Ctio cx pricedcnti , ex qui- 
bus circuli. Df .vmbra fi- 
hulfeflhiichriifur KLVra*iiuic?.' 
dii autem' BPK BOL scyaiamti?^ 

HhdrlWtW EwcrficiertKon'»'!''^ ’ 
tlhgiilfiyelftVr^udijuttttu-. ^ imc _ 
dir BNO- BTH. iiaqisei; i Tai 

Hmaidtiit*J6K‘HL. Quo*^m!./.Rr.<i.:ajU.oiq 01 _ . ~ 

dlamVmnt f^Vrfepe diaifr-T'’’''* ‘ au. .•rnrr.oa intlq ij^aidiil 

^>'rlSlj-«lsnlituaj rniij. .':'iiil Ui. ■jutiwtl tinnontmlatiiniab 

rihbeMt^tMtteVnojJccodem^UndritareriistiradlidgittiMlyllhANunirofli 
dnge^tlddaiS Uncis Ut TOp-qMppciqaiobidlaiwtfC^itdtiexUVnt] 
Bt^in priccdcnbbas dEdadniln^ni CuMvruiUli(er'(>fteoildtdr,>di«£faM 
GK rcOam lineam effe, ficuti etiam HL; qux quidem 
■I» :€QHi’tQLRil contingeUa jCinidnta>«ai9iuBvtibn>'H(^KM^. 
dbddflcitedbonebatam joil aai labirnt otqo dr. .naltiq rfitiMiui.uHOib 
rf').:c>uu ,J!i 'A,j aianil anoiiaal m iituaimi itiu;;il iiom-]iii_ui IV ,aq 
j fV.iU y->u._- *1 ,aiidilcd iibm. i . . tlX 80 >!.fuab 



I. Fantr.' 


iun*M. ab 
'wiia lulsgillaini 


.livi 




Etdem 




170; P.^i R S P E'X T I V AE 

~E*dtm prtrfifi rdtknt , fi loc» iylnubri d*tnm Juirit cyimdri •. 
^fi (o»f iuHtniri p$ttr!t. 'vbi tnjm ptrptutU- 

tJ/ ipfkin /mHectum plvmm etdtmt ^tx iis , qxx pifl 'vige- 
j^jmim/sptimtrn pi^xctslentis Lbri JUtum tjt , perfpicHum tfi ^ ex qui' 
fut tx iit, qm X9t*4 'P»h* mxeniri /tciU pstenmt. 


■r- j I 


i- 

; o ip 




k beiui. 

tx prdt§‘ 
Ifti. 
kxiiu, 


P R. A X t $. 


.IX .ClTIiOU >I‘! AM J.Uj'. 


‘J El)itT3 4 01 L;: 
. . itnsar; 



M 


Exponatuf circnius CTE| quiinteUi«turcy)j|idri bolis inclinata in an* 
gulo i- i huius vcr6 circuli, ac lubicdi i^ani fit communis icftio AI. ca. 
dat \ct6 i lumine in liibie^um planum perpendicularis in M, cuius altir 
cudo MB. circuli Igitur CET vmbta inucniatur CH. Inucniatut dein. 
dciiterius bafisdacicylindri,acrubie£IipiaaircAiocommcini> XVi icavt 
intcUigatur circultis PO pro altera bafi cylindri j litquc pirculi PO , a^ 
fubiedi plani communis fe^io XY 1 intcliigacurquc circulus PO can. 
dem inclinationem habere ad fiibicdum planum anguli Fi dyindeanuc- 
QMturciKuli: £Qi.VJtibta Kii-,' &quomam hx uuidem tigurx inuieniun. 
rurpKtpunfilayprppictca.ducancur linoai CK HL exteriores, qux figu- 
MS .OR Jvk.'. contingant s ctu veique CKLH vmbta., quod iaccr^ 

QBprtebff.;4.> imii:ii' • ;i nioi;. Tt ' . 1 ^ u 

.Ifcxblfappipcw^uiniRicfiioneiaoiU dcfchbctut, liqeaiiiuf ra;oyliii. 
drohiminolam partem ab opaca diuidemes hoc modo iiuicnjcntm;ijiumr 
pe, vt in fuperion figura, inuencis m feAionc Irneis GK HL, ducannii 
deinde GB KBj_^ugj;ylindri baCbiu_oecurrant jn NEj atque du Qx 




HB 



HBnlAyfitfiioilitoioewiifparhii TPr riBflit)igihi«r.Mft.-^POi>'iliii«8b 
lAtfftcarientputeiiiaiKiaoAfli MCYWO» 2u)faaB'i4^^DO.| 

• .“IXOVI Jh> m03j.idtnvjuup . 


HEIBHHT 3Ct£V1II«TlV^S^.i ^ 


Daco Tuminc „ datoquc cono , eoius b»fis fubicAo plano 
iit inclinata * cuius, & iubicdi plani dau fic communis (t 
dUo,4c inclinatio, vmbeam inucofitv» 


7># cjlinJri, <r dt tmJrnBt fitt , ntt dktum tjl. 
.2 I X A ;i ‘1 


PROBLEMA PROPOSITIO.- XII. 




’Af 


AKJiri / 


VJUVj 




:v 'ir/ « 


Jijil ' "y; IU iiioj 

Ui ; j -jUit ; . / I • 

' X lijijim j ».rio<j .XCIfi 

XO-ZH 3u;i;iy ij jomsjDUno-- tiVS n-tii j T! ' 

. ttdjj loqo 3173C1 i,oyp 

Sit lumen B, altinido BMj datus vcr6 conus fit CDE, cuius bafis 
CEG fit fubiefto plano inclinata, vt propofitnm fuit, oportet in fubic-' 
go plano vmbraiu inuenire . Inucniatur circuli CEG vmbra OPV.jP- 

Bacatuaque Df, ia'" -• — 

BDX, , cui quidem . _ 

floplanocrc^la. nmi ^ 

Dacanmrque XO.Xglfigaram QfiV Mnw^^pi^ess/Qnoniaini^ 


.91 C.s 
•«4 uxKf 


IfMiMi, 


m/ Stmi. 


p, himi, 

foll i9. 
fum kn- 

'm. 




jtTS P^B/RrSlP-'Cj:C TlB 

dHlatnilUiltdtitawiiipectdimid fcantieaKpanem cfitingcniiivdhinCU 
PX re^linne. qiurevmbnconicft PVOXP. 


. *\J io» , \»v\ , xVbuiix? »0^ 

P R A X I S. 


.iix .om20‘iq;i‘i a»/.3Juo;i'i 



Sitconibafii CSG , cuius ,& fubieai plani Ct communii (cOio AK» 
incUnatio autem hotum'planorarautangulus H. inucniatuf arculiCEG 
inclinati vmbra OVP. exiftente puhao M, vbicadKi li^mcin iubic- 
ftum planum -perpendicularis ; fitdue luminis altitudd Mp* Dcinue cx 
ijs,qu«idiftafunt;inucniaturpunaum F, vbr nempe camt 4 «tticc dati 
coni in fubieOum planum petpendicubris, cuius altitudo iu FD. deinde 
ducatui MFX , cui perpendiculares exponantur FD ducaturque 
BDX. porro punauin X eritvmbtavetticisdaticoni.^atc ducannii 
XO XP figuram PVO contingentes i erit vtique PVOXP vmbra ume. 
menda • quod bccre oportebat. 

rili ■ < -ij .‘IU.> Jil Hiif-vot»/ 'III-'* ' 't oi-i ..1^ ' 5 

■jr ■, ir - j!!*.- II .niJ . rifii* .«i‘i 1' . i ■!* .i.i <in’ l*l ■- • > 

/ lt> ; ii./ ilii.) l i '11/ HIJI-I1I--I ■ „■ ■* 1 

> Bx hirque t 

litato»» 

ili- wgnwr ■ I i>>j 



L IBBR’- «aVBUTVg.q m 

m» vHCGt) ftrtiIhmm<its,U‘ DHSGD •ftt». 


pROBEMA PROPOSITIO. XIII. 


Dato Ininiae « 
bram ina«oii&>. 


Iphvn • in fubicAo plano vm- 


•wr fr>: 
. utunl 


'«“mA .t 
\ 


- •(? ‘n. ■ ^ 

,,i , , . , f,5T> ■ 

_ ' . ' tf'-' )1 j» 5l/ifit;i:iriioj ! 

^Slt B temcn, BM ouiaWmdo. l>m vn^ fit fph*ta CDH. omt.' 
tttwInWeftopUnovmbriminucnire.fitlphattpccnSnm fi dcperMtw 
m BF ducaturpUnumtubiettopUnacrmum. quoti quidem ifiipten i 

bcut maximum circulum CDE". tranfibit hoc plaaum per BM. . fiqnif mm 
dem tra^t per B . fit MH huius feOionis, If. iubie£b plani communis 
IcAioi DeuidcdpunAo F ducatur FH fiibieAo plano perpendicularis, | 
qua in MH cadet; iungaturque BF. erant vtique omnes duda linea L» — 

in dlAa fc-f>inn.. nrr RIT CU .t.i/V. . 1.. ..... J.. i; ■ar' p"""*"* 

ip.Ortil. 
itn.ttr- 
tH. 

Ex l.riM 

-tf j , /-! M m tetminat iifii. 


■w.., |.v.f.v..uivuui,i. kii,, luiAinqucicLci in 

U^_Uemde fcceturlphata pcr.CO, au vt ledio fit plano CDE ereO^ ; 

«ucniat CDL. potr6 CirCulqs CPL is cH t . qui 

r“ j t ■' . 


P.^/RTS^BlEjg 'TOBViAE 

C\ ,rj'.\ »i WkT\>#^'4* Oi^ TiY^ »3T‘\ < 

■ 7^, C.na.Mcr -^j.k^^Mi-.swWkxni^ w« «Q; 

B 


.nix .oir[ 2 oao/n 


~mv ontlq oAiiciiA ai 


lra«i. 


terminat ‘panes fphirj.^y — - - 
CGD illuminata. proptcrflt^fcJ. 
in quoW/BK, ercftum.fitqmc BI^ 


plano dDL c’rcaai qu^nc oilncsjiihc*.jUJfiJ25"^ ® circunfe. 
renuam tireuli^L ducunn!qr,i^ru asqtales . « 






.■ 

-Tl-Xt»!! 





, 'y qufliihiiR BC circu-U 

ium CtfE coquens fphittit quoque eoriiingif.onineH lincta lyn^ 
B ad cmcuIhA t±)rr quasque contingent,, quod 

cum linei (inttanquamtadiiJwiujs»*fii CEO opaca, reli- 

qua ver6 CGlAilluminafa. IWqUcprpducatnt GD m N, 31»* , cum fit 
in plano CDE ,' ipfi MH occurrflN^Uiildcin Uibie{>o flano 'Pu 
FriilMi. perpendicularis ducatur NOi eritvtiquc NO plano^cr CN NH ducto 
JZm. erefla. fiquidem planum per CN NH. & fubicaum pl^um funt inui- 
cemcrefta. Vndeproptereaerit NO in plano ciroili CDL, qmcftpl^ 
no CDE ereiftus. Quocirca circulum habemus CDL, cuius, & fubieCH 
plani communis feaioeft NO, planorum vero inclinationis angulus cft 

KNtfq caaUrm-KW.tacAWtiiitt 

tircitcBlt ^iDL 'vmtjraKipucAttak. -PQflwtiWt iiiiHv aQSi c 

" * fph*ti{jl.!quonl«m'tadij[liimiiliibcii£ulniu»i6DL .coniingchiqs Q)ha*tp 

,>lcaiiWlguUti. aa'j rijiir'^x>d iidDn,.ii .1(0 riiuicj i- 'iitiiutm !»:■ 


aii >wnM03inUq li.^.dul «ainoii.til vi;ud Hi**, lil 


,4n«iiia.l'il->quq o-o-.'! uLoidiil H 
ii sfjiib niirno ?upjv louia . 
xanil luintaiK, tncwa tuj' m 

■ / !tiip7inur,-,n7! iiin-R.iijA.np A r IX 

.•I' I . '■'tJijvifcii,';!-' '< 

.«V'» — ^ 


, liitiitt.nii' 


H ofini I ■.ai,n.-.'I .oL'. 
4 supiutegniii i ."it.; j IIM usxi' 
\r f.oiL ' ■ i. ■!) 


H 




11 1.-.. 


.1 iIiJU 1 ,j!S 1'P 


..Kitn in M . cuius aidta^ 
Itihirp in fiibiadoin pi- 


uom_ 



/ni 


■ ' -' ^ ‘ • ■>^,1 ;i: . l/M->hr,„h , n^A 


•■ ' ■ - ■ "itr.ii.h irnyiifjjii 

44> *i.;p 4 oi 

'i ni a; • - 


w o' *3 

• it' 


! ojsQ 
'q Of:j5ir!i0| 


.nomm H, cuios altitudo Ct HF. lungaturijae MH. fintdue MB HF 
Upli MH perpendiculares ;dcrcnbatutquccitcacentiiim F circulus Tphx- 
t* maximus CDE. deinceps a punGo B ducantur BC BD circulum 
rontingentcssiungaimirquc CD BF, quxlcinnicem lecent in K.crit 
• *** diameter circuli. in fph*ra partem opacam 1 lumino* 
^a diuidcntis ictitduc K eius centrum. Itaque producatur CD in N- 
Mneaturque NO ipfi MH perpendicularis i & quoniam circulus diuideiis 

NO vt patct.fi manentibus 

I IO MH intclligarar planum MBFH vnicum CDE CN fubioaopU- 
|J’o eredum . quare fiat NG ^qualis NKi & fecundum longitudinem 
KD circulus defcribatur X\"Z. inuento itaque drculo XYZ. intelliita- 
rurhic circulus fubicaoplanoinclinams in angulo KNGi cuius quidem 
circuli XYZ* fiibicftiquc plani communis Icaio exiflit NO. Inucnia- 
turigimr PQR, vmbra circuli XYZ; eritque PQR. vmbra data: fphie- 
r{. quod facere oponebat. 


Ex his i» fictione figurem efpertntem , qne m fictione fph*- 

eiren/ms ^ fmm kitme^ ebkeluL-eUf^teh 
poffumut t 50110^0 - ; ouionoSliLnilv; 

pojjun,^ ^ ,mi'|-.^i‘:i-i::iliibnil-;jiudinpi .HG ifimiT ni«»TmI 
or'- jifi .mu;olnoi laq at . qQJ j)r.> o3 30 anoiiir 
ORvm jnjd f'nil min tnv ;)J 3',1 f/q . . vj 3)^ iins' 

In fcftip?i^3^ piio4i^ .^godjqffendat pun^^ 


altitudine 


17' terta 


t>. biiiiui 


I 


A, 


i?t{!V AiE" ^ 

^ - -'^irimHTnirMBT~deindc inucniatut figura > qux oftcndat circulum Li» 
t fubieaum planum creQum , cuius , & mbicdi plani fit communis ft- 

MHi deinde figura inucniaiur, qu* circulum ollcndat XY/, q«U 
»7. 9-^&cSr fSo pl^ iflclinacus^in angulo GNK. fitque c.rcoU 
^ ' XYl ® & fubicai planifcQio communit NO . Demque mucniatur fig». 

M WoficndatTmbram XQR tanquam in fubiedo plano cxittcmcm. 

ctit Ttiquc infeOione apparens figura inuenta.qux lumen . IphxtamqM 

cum vmbraoftendei.inlphxtaquctcniunus partem Inminofam ab opaca 
diuidensapparcbir. . : 

PROBLEMA PROPOSITIO. XIV. 


Dato lumine > datoc^ue cylindro teiAo « cuius baCa fit in 
fttbic&o plano, vmbram in cylindri concauo inucnirc. . 







1. -r«»n=\tu , V-, -m ivA I. 

Slthimen B". duaantemildrtd<)ffoMafuWefliMnff?tr«iniB» lM.' Bfl 
crUadruitean» CD» CunwbaCs CPB fit in fiibfeftp ptooo^mbram m 
evUndri concauo inuenirc oponet. Ducamt vtcpnque MOT, oux^' 
fiinfecetinpunais DE, i quibus cylindri latera ducantur DP EO. ^ 
Buippe DF EG bafi CDE, ac per confequens fabiedo plano ereOxi 
?dun eft BM. ergo BM DF EG vni cum linea MDE «"vno, 

Irni fiint plano fuMedo plano etea* a * proptetea fent Blit DP ■ EG 

:r r .7. 


'r! fil.' 


.r.;(n .IT 'i' 




I N 



ftii 


!l.ups -Ivi jr 
.1) IUOjU' 'Jl.’! 


Ipfi MDE perpendiculares. Quoniam igiturHumcu B fnpponituri fu-|E* ?*•»»• 
bicao plano magis dillare, qulm cylindrusi linea duQa BF Iccabit, veljdrcian* 
de. vel EGs «quiafecat DE, vtin H, vmbra lateris DF eritinpla-i 
nobaCs in DH. eademque ratione ducatur yteunque linea MIK, qu« 
cylindri baCtn fecet in IK; erigannirquo cylindri latera IL KT; duca» 
nirque BLN, qu« KT fecet in N. conftat . vmbram latent IL cflein 
' IKN. &ita quim plores ali) vmbr* termini iaueniemur, quibus iunSis 
vmbra conflabit. Verum ducantur MC MO cylindri bafim contingen- 
tes, cylindrique latera ducantur CP OQi perfpicuum eft, vmbr^ vf- 
que ad PQ. pertingere , ii enim ducerentur Inminis radi) BP BQ^ hi 
quoque cylindrum contingerent , ex ijs . qox antea diila iunta cyluidli 
enim part conuexa PFQ CDO illuminata exiftet. 


Ex hoc patet , vtnbrx terminos, quod in bafi CDE r*- 
ipehuntur , circuli circunferen tiara elle./ . 


Si enim intelligatur conus, aiius baCs PFG, vertex B« qnriub bafi 
icenndum luperndem conicam luminis radiji protra&am (ecatur plano 
per CDE tranieunie, baC PFG xquidiflante, feOio circulus cnt. qux 
I|^idcln icfUo cfl y oabra • 


r.i: 


V • "i; mf ‘ 
tritjii! . 

'.i.jilh ; 
ii hl: «; -*if> 
ililitnil . H tii 

, . m ni Ai - 
iir/ i-jii. ‘ , itv 

-i>'> O 


P A 


I 

p 


■>n 


r (.iluti 5Ur.. . r '.-iq rnri) o£S-ji l il u ,H r/.inbti ■ rpina sitIpiV 
hnuj III muni ' ufj.iJiil ni .V iv.iris.' iriittrint : mniiii.ujnlun -.'i 

jj^nattuqplimtobaia Pf*» itjtit 


FprMe» 
uVari Um 


ntr; 



J 

«V S^o 


1 ial inp ,fl T1T!T/ , -'r ^ n irtt' ;•! -.>.m; iiii/i^ . ‘ 

c' ainirrirH rn , ;i-«* ;ei j.- "TrHi 

- '• .Jirj ’i)Iu)iij jl.vyl u>i'i fi 'I . . • ■ - I ) r. 

punftnra M, vbiilumincinfubicdum planum tidJteeroendicniafris;^ 
;inido autem Gt (qualis ipfi MB. Ducatur vtcunque MDE> quz circU' 
um fccct in DE-, & ipfi ME perpendiculares ducanmr MB DF EG i 
ianeque DF EG xqu(l^i^catv4u^BFH| coijftatvmbram lateris cy- 
lindri fupra D exiftentis cllc inDH. eodmquc modo ducatur MIK 
Circulum fccans; i pundisque MIK ad MK perpendiculares ducantur 
MR IL KT i fiatque MR ipfi MB, IL vcr6,& KT fiantcylindri al* 
rttudini DF xquales iducaturquc RLN, qux KT fccetin N. fimiliter 
manifcfiumcfiivmbram lateris cylindri fupra I cfle inlKNi&itainalijs. 
Denique autem dudis MC MO circulum contingentibus, patet vm- 
braminconcauocylindriterminarcinextremitatclatetumrupra CO cxi> 
Pentium, quod facere oportebat. ,, 


Ex hdc patet , vbi ^ terminis ymbrx in fubicAuni pla- 
num perpendicolatcs cadunt cum filis altitudinibus, no- 
tum eQo. — ^ 

Vrabrx enim termini, vt H, in lubiedo funt plano, ideoque nuUani 
babentaltitudinem;tcrmini veso.vt N, in fubieaum planum in cucul 
WtQinfcftftiaft cidunia »c^,aC;!-altitttflaiuti^ aft«3(b nasnogiS 
rnufjunj SnniB” 






Simili prorfus mod» non filum 'vmbru inueaittur in concuuo f«-| 
infiunqut prifnutis , cmut fltntts fuerint Jubiecto pUno erectet , b*- 
fis 'vtTo fuerint quomodocunqut rtctilineu , 'veriim etiom fi bdfis 
fuerint pertim rectilinees , ptrtimque curuilinete . 

Ex bis dppurens figur* in fictione inuenietur , ft figuro in fictio- 
ttt inueniitur, quo circulum COK reprufiiftet , punctumque , quod 
fiendot punctum Ht deini^ ■inuenUtuf fjnctum~’, qnod^rtprxfen- 
ut punctum fupro K altitudine K7(^i inuenianturque fi(ueta , 
qua ofiendant puncta fupra CO- altitudine DF, aiiaque rtmbra 
puncta inueniantur , qua eanwnganOtr 5 inkeniatui^ figura\t qua 
y^endat circulum fupra circulum COE altitudine DF ^ alte- 
ram cylindri bafim rtprafentakt .y dtniqt/f wueniatut^func\um , 
quod lumen fupra M altsjudme MB oilendat t erit fitnedfBfipta 
figura, qua lumen , ij/Undfumqtte cum 'vmbra_kf concaua^ylin- 
iri reprafentaiit , 


TROBLEKfA 


'PROjiaSi-Tl©. 




XV. 


Dato lumine , datac^uc dimidia fphxra , cuius bafis (i 
fubiec^o plano atquidiflans , in eius concauo vmbram in 
ucnirc , ica vt vbi a terminis vmbrx in iiibiediiuin planum 
perpendiculares cadunt, cum Tuis altitudinibus notum fiat 

•ni « n- mr •’• r/ .jpcftihiiipxontiTeftsiclJliil illtrIiH; 

n^i ‘'t«ijpx ■'uiuTii) onelfjiiibair!..! niiini^iu.inl .mioqosiirj 

->v, ■ muHi liii ;ii «tiiiiiii/miip m , IfO yupiii ; ijyj 

, iievbo./ini- 


Mi ‘1 ol3ii«Wrn; 

t, in 


iiiir 
iiiincsitt 


';l incibifirb hnul 
•yf , ? il 'iib 1 


oniinT; 

luifil uon L>.n 


.rrr'nni 
.VfH 
mu: Uq 
•ti aul 


V luiwrb 

H euiii/BJat 3 lkI< 

UpiA nbrinilc 4 *>A?yi-a ,H nTj 


n au[>i(.''CI X .-iiiiutojuai s.'3’iuq < 

•i> antro ID i ;il hbnii /a iupinnant ^^u;.;i44jxi03 
■•{a V4 1 m 'j&lup d .invt mft-.iita-; . . 

.ifluyiiifioaf?r'i piilpriii 11)1 IfnlMtiiiijuuu^lnuaiaqaa ,niim.nit 


s ; «ilinc-L 
)aq jcti/itlq ai 
jii3 I DJ I n‘ 
tj/ tifiv - rrilfn 
ajnrttibiuj-ir I 
ih.ju':; aupul . 

I! ji:ai'(Ol oji.'; . K 
^ I «I in-jJDi: ofov liq ) 
■ »■> i< IM ni auj 
syaituaibo; ;i3' 
^lud noi: 
a 




•oime ;l| 


Sit Cmiliter B lumen, culus alritudo BM ; fit dimi dia fphara FFK 1 


"7 yt » 


• ^ 




' d 'jitn , : I 

1 r-id V iiL' . ; 


ruiutbafi* PKG fit (ubieft» plano aeqtiidiftans t vmbnm in concauo in« 
uenircopottct. ImcUigatur in fiibieflo plano circulus CX>E squalis ip^ 
PKG i fitquc CDE, in quem i circulo PKG in fubieaum planum p*». 
pcndiculatcs cadunt i inccllifaturquc PKG CDE cylindrus rcAusi ergo > 
vt iivprscedcnti # ducatui iimiliccr MDE circulum in IbbicAo plano 
ftcans in punflit DE, cylindtiqae latera erigantur DF EGi inteUiga- 
tur^ue planum per BM »0 GE duAum,qu^ dimidiam fpliseram di- 

K , I faidat in fIGi erit vtique FLG non folum circuitu , verfim etiam fe. 
i micircului . quia vcr6 planum FLG eft aedum plano PKG fubiedo 
plano s«)uidiftantc » FG » citt FG dimeter (cmicircuJi 

FLG. luque ducatur luminu radius BFH. qui icmicirculnm lecet ia 
H • pat« lemicirculi partem FLH ymbioiametfc» & HG luminofim, 
i pundo autem H in fubiedum planum dncamr perpendicularis HN . 
qus in MDE cadet i ergo vrabrz terminus H in (ubiedum planum 
pcrpcndienlariter cadet in Ni eiust^ue altitndo erit NHi Atwe hac ^ 
bone huiufinodi plura punda inuenicmus . Denique fi MC MO 
nilum CDE contingunt . fiietint^ue cylindri latcta CP OO; erum fit 
ni punda PQ vmbrstermiQi. fi quidem radi j per PQ^iranicantea ejr> 
Uninmt acpctconicquenstttiiiidi^ datanUphstam contingunt. 


Ili /fiitn 
nri Tbtt- 

!•< wdr- 


) 



% 

a-. 



) 

i 

i 

) 


l 



LIBBRi ;<^VtNT;V:St| jit 

. , i. . ^ v-<ui^ ( AA MiWu\\h vv:,. ■ 

..■•,• i , :v' i,\\'jR, ivuWmViA» W uV 

w >\ -, w<^ V*' ,v,X'A.;u Wu\BQf { tiV3<iw« ntt);-.).ir 

'--■'v*'» (fi »».< M Vijs i 'lOA ■i*iWVu'ii> H «»Wi 

' AkVt«) k'"-' ' ' i(*tW,if)M(l\ jkVSA , 

• .VvWt(»\».1^-.t 


Expoiutuc circutas CDE , <p Ctckculns maximus dimidi* dat* fph» 
r*. infupcr cadant 4 baOdimidi* fphxre in fubicaiun planum perpendi' 
culares in circulum CDE; dcimerhos duos circulos parallelos altitudo Cl 
DF. fit M, vbicadit41umincpcrpendicularisinlubicaumpUnum.cu* 

ius altitudo MB. Ducaturque vtcuaque MDE, qu* circulum Iccct in 
DE, &ipfi MDE perpcndicuUrcs ducantur MB DF EG,- Cntquc DF 
EG aquales i lunMturquc FG; faaoque diametro FG femicirculusde- 
ftaribatut FLGi ducaturque BFH, qu* diaum femicirculum Cecerin H ; 
ducaturiiue HN ad DE perpendicularis ; erit vtique punaum N, vbi 
ab vmbr* termino in fubieaum planum nerpcndic-ularis cadit ; eiusque al- 
titudoctit NH. vtpatct.fi manente ME, planum DFGE \n4cumBM 
BH HN fiicnt plano CDE creaum. Quare alijs punais idem prorfus 
fiat. Duaisque demque MC MO circulum contingentibus j nimirum 
vmbra terminabit :n punais fiipra CO altitudine DF. quod faccre 
oponebat . , 


Ex bis (i inuinUtur figurt ,qsu cirtmlum Jmfr* CEO thittsdi i 
pt 'VF oflindtt i m tp/tgut jiat funcU , yx* tf{tnd*nt ea , /m i, < 

. ^ U 1 / 0 I>j u 1 



) 


lU ' T« B ^ 1 /lE 


\/Mpr* CO tltitmdhu DF t dtimtU iuucuuuitr punctHm , quodofitm- 
tUt punctum fnprt N dtitndmt hmnfmocUqnt plmrn innt- 

niMtnr pnnctd ) iniqui "fimUttr 'mnemittur punctum rcpru/eutmu 
lumtu fuprd M uUitt^mt M3 1 Wt uimirt^ inutnu ia /tctitm 
figura , qu4t lumtM,mmita4m^ /fharA ctik^vmkra in cantam 
nprafintaUt'. 


QJVINTI LIBRI FINIS. 



TiA*:ljimib=a.r»i:ttai»ni«nii>’n:w ,TC1~5 tutinibsmtaoqxS 
■j iiiui^^ciui inibr.i iviiH/t: .ai 

,jli.£->!r>'ltic'4ioIuflij?oiifc«0!bijniZ ;JCID inulujibmmti*» 

lUbrouJJi.iut . M. lu . 

S. 1 IP ,iCIM ou;jma:iU ■/uljiuscjiid .rU4 obmnUtcui 
>irii) ;.>J -Kl 3iA 30 W ihjijfl , 

-ojifTiVl 0-? ti.iamtiliOU^oCil ;iJI , K>l«jp» i>l 

.,>£ iaiilu>u-i i. <lmirf>ibxU(i ,H3U siipiuajib i*) H ii»; . ji) 

rnubnu-l 30P'JV im 30 ha VH 

, ; iP oitiUi- S.f •• /iVi munUn ntiifjTifUil xjdjiu 

..i.n 3i.HU i',yU aiiiv itm 

■ i '■ »if,nuo e..;» .taiiijjK i(f » orwl*j nw i H-l 

a - liitiiiijii» <>;' j.'iMn3h =tjpiiliaCI .in» 

.3U JIUUVUH* fc. tt.. iiii iu»! n- . !.( 

' t . Hfh»n v|o 






X 


GYIOl^' 


I 


' di. ■ T 3 a q i; 3 T j,;, 

GVIDIVBALDI 

E' marchionibvs ! 

MONTIS ! 

I 

PERSPECTIVAE i 

LIBER SEXTVS. 


De Sccnis. 


S VONI AM Scenarum apparatusfufcepta: con- 
tcmplationispartcm (ibi vcndicarcvidctur( plu 
tibus (Iquidcm obicdiis in varijs fcdionibui 
oculo rcprxicntacis Sccnarum conftiuitioeiiin-' 
gifolcc) nc quid przterinittatui eorum, qux ad 
prdpodtutn ncgocium integri abfoluendum merito requi- 
ri pofTuntj nonnulla ad hanc quoque partem ipe.^aiuia^ 
breuiccr attingemus ; & prxeipuam , atque communem itu 
Scenis rcprxlentandis feruatam praxim ex principijs a no- 
bis traditis emergere, facile oftendemus hoc modo. 

Sitprimim 6CDE plannm j fint^ue BE CD, & interlc, & horizon- 
ti parallclz; planum autem BD non fit horizonti zquidiftans, fcd incli. 
natum, honzontiquc propinquior fit BE, qudm CD. Oporteatque 
fupra planum BD Sccnam rcprzfentarc. Primum quidem imclligcn. 
dum, accipicndumquccfi planum BD pro plano horizonti xquidiftanre 
apparere, quod tamen fit horizonti inclinatum , vt ea , quz ab hiOrioni- 
but, alijSque in BD tcprzlcntantur, mclihsdfpe^toribus intueantur; 
quod noncontingerct,di'BD horizonti zquidifians exiftetet. tunc enim 
planumaboculorum conipcAd IcIcrubtrahcTet, dc nimis-, qudra opus ef. 
Ta, aneufiumappatcrct. Inclinatio autem huius plani BD patuacOede. 
bet, vthiftriones, &alii fadliin ipfo confifterc, moucritjue poflint. Ita- 
qne (upra CD erigatur rctbmgulum planum CF horizonti erectum. 
Deinde collocetur oculus, vt in At ita \i fit A fiiprahonzontcmaltior, 
quam CD. qui quidem oculus, quamuis ad libimm collocati poflit, ita 

N n j lainen 




)0 


( 







«uUucH 


4 ) ^4 

ri.il.l. 




•- ,CO * •.,. 

. i-UOCX -' 


tamen eoUocaii folct.vtad mediam fcenc Kfpondctt i dc quo ad anicu- 
lam vifionis>obferuahpoteiumea.qu» initio adnotammua. deinde du- 
camr AG honzontizquWftanttdtad CF crc^intqocpundum G in 
CF; linea vtiqnc AGipia quoque ad rcenxmcdiuaitelpoadebit» Deinde 
luper BE fimilitcr erieuur pl^nm BH ledangalum horizonti itidem 
ere^m.qaodfvt fieri mfet) imeUincur paries alicuius domos rcprieicn» 
tandx • & qooniam domoium anguli funt redi ( quamuis, dc acuti . k obtu- 
fieflepoflint, nunc autem primum fupponamus eos eite rcQos , veluti »t 


plurimfim' 



4 






h/i.7HEir:^ aE7c^r;v s. q 

^iuiinukm fieri folct) iiico lic alter panes BNIS ad angulos rc(}os cuni( 

^tete BHi litquc BNIS tc^ngulum , nimirum erit pLanum BI hari<) 
tonti fimiliter crcauin , proutcr lineam BN horizon ti credam , per quaml 1 8 . >ndeci- 
ttanSt BI. & quoniam HBl cB tanquam vera domus. iuv(roqueplano|n;i. 

E H BI fencftrac, ponar, &huiurmodt,lecundumroas altitudines, oclaii. 

idincsdcfcribcndiE runrabiquc petfpediua. Vt fcilicec lincz,qux limi 
horizonti popendicularcs, ipli horizonn perpendiculares ducaninr ; St 
quz hoiizonici (iim parallelat.ipli horizonti cquidiftantcs Cmilitcr fiant. 

At vcr6 quoniam planum BH apparet. Se cfimtpla Cxna, eum Ctluper 
irnea BE{ ctitvtiquc BH obiedumlImtil,.S(iedio,-acpioptcrcaeritpa* 
ries apparens, quare in BH prmiiim altitudines, latitudinesquc rerum, 
quzrcprzrcnuntur,lincaodxfnnt, vt didum cll, nempe horizonti per- 
i>endiculatc$,& patallclz jvt;oftcndit Tj quia m hoc plano BH rerum 
longitudines, laiuiidinesquc apparent fecundum fymmciriam.quam ha« 
bene. Sed quoniam plana BH BI ad redosfunt angnlosinuiccm. Ii pia* 

Ilum BD cuce horizonti pquidillans, noRopus clTct aha pciipediua, quia 
HBI oculo A ipfamdomum.ianquam vcramdomnmollcndcrct.licu- 
lictt. etcnimplanum BO (modudamlcilicetl per lineam BS iranlirct,- 
quz horizonti cB parallela! liquidcra linea NB cB hotizonti creda.an- 
^osque NBS rcduseaiBit. clfccqucpropterca domas HBI luo loco, 
nempe tanquam in horizontis plano collocata . Quoniam arucm in plano 
BD incUnatoconBrucndacBIcena, (it igzurprimum plani 6U fprodii- 
di fcilicct^ ac plani BI communis fcdio BK . & quoniam planum BD 
non cB hotizomi^qutdiBans, fcd inclinatum, ac tanquam horizonti pqui- 
dlBans apparere' ckbcc , ideo linea KK horizonti cquidiflans non erit . 

Cdm itaque planum BD pro plano horizonti parallelo deferuire debeat, 
paries BI pro pariete domus m Icena reprzlcnundz minimi dcicniict; 
quMangiiU LBK. NBK oculo A redi non apparent f quamtiis aileulus 
LBK fitredus, (iquidem LB plano BI cBercda)cum tamen remap' 
parercdcbarent;fi BI parictetn in Icena rcprzlcmarer. nunc cnimdonx>s 
reprzrentareopottct, qiunim parictesad redos appaream angulos, iptiqqp 
parietes rcdanguli dmiliter videantur, quod tamen anguli LBK NB1C 
nonoBcndttnr. &vtrcdi appareant , oportet, vt BK in plano BD rc- 
prxlcntct lineam BS, quzeB horizonti pquidiBans , iplisquc LB NB' 
perpendicularis I quod tamen BK nullo modocfficcrepqccB. Nam Ii BK ' 
in plano BD reprzfcntatc pollet lineam BS, ergo BK lineam oBcndcrct 
ipfi AG parallelam! quatidoquidcm linea BS cU ipli AG parallela, quo- 
niam, cum line linez BE CD interfe, & horizonti parallclz,planaquc 
BH CF (int horizonti creda, erunt plana CF BH intcrfcparaltciaicritq; 
propccrca AG, quz cB plano CF creda, plano quoque BH (produdo 
icilicet) creda. at vero planum BI cB plano BH eredum, critigirurAG 
plano 111 ;quidiBanSi fcd cB AG horizonti quoque pquidiBans, ergo 
AG cBipC BS parallela. HisconBuuris, vt in BD ducanturiinex, qup 
lineas horizonti, & if^ll AG reprzientent parallelas, intelligatur BD (e* 
dioinclinata.vtfiipponitur, producaturque AG, donec plano BD pro- 
dudo in X occurrati erit vtiqiic X pundum conctirfus, linearum Icili. f;rC«r. 3 : 
et^.quziafubiedopUooiharizomi pantilelofuntipli AX parallele ^disriiniiiua 
emuiunhis ;qaidrRamiSDi.omoCS igitur lincsi,. quz in pluo BD du.[ 
aimatad X. otrineiteprzfctuabttiic lineis horizonti, & ipB AX paral. 
tdasi luquca pundo B ducatur BCX. nimirum li BE miciligatitr fo- 
dlonitlincj,oBecdc(faoe BG lineam , quz i pundo B dudafitipiiAG jsx 20 

puailela . quaK BC lineam BS tcprulcatabit, qua in pancte BI 'cB 

AO, atque horizonti sqoidiBana-dcipIis LB NB perpaidieulartt czi*| 
te . Icd quoniam AG plano BI .ctt yq u idiBans , nu lla, produs linea in j 


'Ex: 


plano 


1 




unoiiio 


nia-Ji3 


'•iut 


tiiJ- 


bii 


quomodocnnque dufta pui 
n pUno B[ \ rcrzo linea BK 


r6 BK eftinpUno Bhrcrgolinea BK, neque lineam B$, neqnc aliam 
■ " ilano BO rcprzfentare poteft. Ex quibiu pcHpU 

NBC reftos apparete, non antcm LBK. tC 


ipfl AG parallelam in pl 

cuum eft angulos LBC , ^ ■ 

KBK . reprxfenunt enim LBC NBC angulos reftos , quos cfEciunt li<^j 
ne; LB NB'cum linea BS. quaeeilipfi AG parallela; quandoqnideml 
BS inplano BD - . .. „ 


quaeeilipfi AG parallela; quandoqnideml 

f paret in BC. Vnde patet quoque BI pro pariete 
ctuire non poffe . His ita oftenGs , vt inucniatur pa< 


apparente m 




P E R S P EC Tll VJVE 


286 


t'.y: : t 

1 : . jii n , iat.i ' * 

r': ‘ !0’ XH mtON ! . 

Uljtj.li iJi. «ufi • tV5V ftr i 


ij i jliullu. 


^ . , iiit iriubnuasl , ilofriliuiir. A it ' 

1 I /I tV . uiifia ' 11' - 'V |r 


II- 

rni'.: :i1 ■: ” 
n'l 

I j ■ 1 . 

--r - 

.1 li>'l C-.;, 

II u;‘ illii.1? 


» U)l 
oIuJO 1 lii 


S ou 


, J . ' 1 

: r 

■f 4 

r -ijAU iijiiii. iipuiixlinii ■ 

•1/ .jrii-ja-itr; ivpi Qfl • 

1 . ^ * I. 1 

J • ‘ - di sanil inrl r- 
f ■,■1,1 j -r >Sii'Mtinii 

t ;|'j iup ,i>A r : ^ 

i ^ ■ „ 

I . lUnni'; imvjt.£f;>i ' 


HA, T BTER 0 Se-Karir s. q — ^ 

qui in Iccna apparete dcoct. erigatur lupci linea UU planum IftMi 
lu>rizomicrcauni,qiioii quidem pro altero apparente pancte dclcruiet I 
•UMitomus^uofintapparcntespaxjacs BH BM< quia planum BMpJa 
no BH crciium apparebit propter angulof LBC NBC, qiu rcQi appa 
rem. Ex Ius Igitur mandeftumcft in BM, tanquam m fc^ionc ea deleri 
nereopo^e.quunteUjgimotcflcin BI, tanquaminobicaoixancm 
pe, yt ipfum BI m BM reptjtfentarc oporteat. Primiira itaque , qua 
aintm BI horizomipwendicularcs, etiam m BM horizonti perpendi rr,x ^ 
culmcscacdcbcnticuin^lauum BMhmizomiquqquecrcdumlvelu- 
iieft Bl. Iedqua; in BI lunthonaonti fqiudiiUnics.cumnntipll AX 
patallcUiquodcxdemonUratis conflati in punaiim X tendere debem 
etenim cum fit planum BM in linea BCX. ent vtique piinOum X ini 
plano quoque BM ('produaofciliceO& quoniam ab oculo dudaeftAX 
Muidiftins lineis in BI exiftentibus horizonti parallelis ierit iani X pun- 
«umconcarlusomniumlincarura.qiutm BI horizonti fum cquidihan. 
tes. Quocirca fi ducatur NMX. linea veique NI apparebu in NM.r'""** 
«iinfitobieOipunOiam N in ipla fcttione BM; litque NI horizonti,**' 

«ipfi AX patallela. Vtveto NM appareat iqnaJis ipfi NI, ab oculo 
A ducatur AI, qux NX lecetin M (Iccabu enim, quia fi NIapparei "“**'•*' 
in NM oculo A. erunt NI NM, Jc pandum A in vno , 4c eodem 


1 2,rndct 
cim 


plano, in quo ncccfleeft lineam qqoque AI repenti^ quate Unca NM ipli e 
j|NI fqualisapparct. Jtaque inucmo pundo M, ducatur .MO horizont 
Iperpendiculatisvlquc ad lineam BCi linea vtique MO teptprentabu la 
l»ui IS, cum fint ambo horizonti ereda. ex quibus perfpicitur, B.M410 
jUotut» parietem BNIS reprxfentarc . 1’orrdci didii conflat, cur in Ice 
JliJi» domomm parietes ("quamuis ibUda; conflruantur domus J ad icdoi 
j non conftituautut angulos. 

|l Cxteriim quoniam (exnp, vt plurimum conflruuntitr in aulis igxta pa 
>rictcs,vndeintcripfo»vcro$parictc3,&apparentcs HBM nuiltotks not 
fldaturfpacintn.vtpoCmustotamdomum HBI componere, vt ex 'fil in- 
"(iieBin polRt BM, vtfadumcfl.-ideoablquc BI pollumus quoque dm 
Bfnneara OM diftmtem, fle fquidiftantem ipfi BN, primum, Tt pia 
xritC nam&Iccundum apparentiam detcinilnatxdiflantix cani inucnitt 
locebimus^ intclUgcrcquc planum BM rcprxfcntare altetum panctem 
, iomusapparcntis.vt diximus, fi militet quoniam planam CE uiiieriux- 
ta alterum aulx parietem collocari iolct, vt pundum X adu fortafle in- 
ueniri minimi polCt; idcirco, vt inocniamus lineas BC NM, & alias, 
qux in X tendant, quippe qux oftendant lineas horizonti, & ipfi AC 
^ raiallelas , quas quidem abique CX inticnitc opotteat, i nonnullis lii 
I hoc modo 1 

j Danim fit vteunque pundum P in BN; oporteatque ducere lineam 
j in plano BM, que tendat in X, ^d abfque pundo X, &ablquc Irnea 
• GX. primo ducunt lineam PR., qux tangat AGi litque PR ad angu< 

Mos rcdosipli AG; deindeducuntab A redam AQ, qux tang.vt lami 
MO, tangatque lineam PRi inuentoque pundo Q^ duaint PQ_, al&l 
. runtque PQ^oftcndcie lineam horizonti parallelam . quamuis tunallc 
; ignorent, an PQjcndat in X. quod vtique oos aflcrinius efle quidem 
lbiOi*itu&u Kami lineas iJsVn«,;eceod«8a<ru»( 

incebam Att iPQ. dtiqmviaiic.pssndw.^Qixfl^ 

[pundum X in plano petAG PQ dudoi(cdcll‘puBdui)*-,jli;LO) phnH>™* »”i« 
tqboque-BM;, dskomecefle cfl'liuoam Pl^ia X-fcodeff;. .uit 

Bduoi X itinplaaan iWlj&ptaolMafimvflft, 
t.anpundibmiX fitiispiano BIDr an SH>n, qMW Iw^itpuudsim JI 
I plano BM' oaiip'ciicnffcrtioin»cadci»:'pft< pfi8,jVaaipgJ{. 

dum , 



nni 


I iOi 'i 






in il f r 


■jstn-J.nir-f, 


■jini ^iiiiinu 


'iq 5ij;>sr>.. 

. 'unilXlt.1V itnnsliqqx ' 

)iiox rn*.niitq siiikoiuiv? ! . 
><ix113bi imuitm iii-;-i; ' 

lift 33 iJUtLiOl X ili Xilpt 
; KiE iu j\iiup ztup , ti 43 lu.ifcq^ 

> oboni joit‘ 
! r- no^ xnpmojv liJ | 

m ntirr» t»np , Mtl • . 

riixir..! inuDulxjif . '! . 'ii* 
iOA h-jiiijijji 'ot 


iiMiib vii^jixvriafjo -.VS n 


oi>miq lur 


.11 .}11 mtmil 3ii 


I iiiisnil ""-i 
i;i jj . 


dom concuribf lineamm ip® AG fquidiiiaiittiim..x.Vnde PQ li« 
neam reprcfentabit ipll AG pa w llda m » «-per confcijutns borizonii 
.fqnidiftamem. 

Verikmnoneftqnidemneceirclineain PR. elTe ipfi AG petpcndicul»- 
rem I etenim dummodo PR lineam AG condn^ti ccicraaue codera 
modo fiant, idem ptorfus cueniet ob eandem caul^. Vncie nonnulli 


*8g P E R S P E:C T I V AE 


is-r 

• ;0 jiuf.x 


tu :t 

: .1*1 . ■ ‘11 ' = 

.i.. . 


y, - II 1’- •' '.3: 

i! 1 1 I * ‘ ' ■ ‘ 

if; •: iiit' ,-1.1 'i -xd.l *o 
i. Lx vr uilxil m ipcrpu M , ni '' . 
iiKi;oai3;(Joniiii..iipiix! ,13 o;»th>< 
j air^.cji miin.ii'! 
i-'r>q 'inotno': I' 

- , mnijjijiiif.; ' ■ • M'i "u. 

ilqi tii.i !!.-■ . . i 
.ibrr.bn.i * 'M.! 

mufiT'.': V- ,'!■/ « % , 

:i £IjlL oi; 

• '/. iiiLl iitj , - 

.^Aiiq-V i/iuin,' 

'i ni iidjifcqi;: 

.siiori IU 31.1 

, . tft. . 1^{ liqi 

i- ilK il tivp 

-■■j , onv n; /0 trinum . 

1.1 ..rn lA 
•.t, ,M oi.i 
^:ii 

lUj, ' > : 

'rmo- jih xvirui - 
>i> in .a. j .■ 

R 

f;;- : ' 

.mj 

■ 1.'. • . ill' 

Id 31 'xjt 

'l:—-' b7'»--.it.i . iri. 

.,;llr.3’l :iiil ’ i 
,.*ii ■iw) «lumsqtnn' 

■i._ ».£1 e t ijiiiifiL-q i< ,1 
- .yM 'W . viii' . umi. ■ 
ii'm :h lofl iMrutdifiil 

irc.' :!^vi i; «It.. 


.VI 


ixC§r.\Z- 

primi 


•JMtU • 
(dt-li 


1‘ a - LiiB^Ea :5BX*H\ias9 5^ i 

(ftoiinex AG ficriquoqucpotcft)ducu'ntquc Cmilitcr AQ_. qui iplanW 
IKjP contingat, idemqucprorruscucnit. namomnibus modis (cni per obt- 
^dem caufam mucnictur PQ_, quxtendetin X. omnes enim lineis *" 

AGX AQJPR PG, & PQ^invno, &codem planocxiftunt- Inhisvci™- 
i6 lineis ducendis, filis, feuiuniculisvti familiare cft. 1 

Aliqui vet6 lineam PQ ablque linea AQ, inucniunt, nempe collo; 
eant lumen in A> &in oblccuantvmbramfili,reuhiniculi PR, fi 
me PG, qux quidem vmbraefi FQ. quod ex diflis patet. 

Nos vero abfque lineis PR PG AQ, expeditius fola AG lineaminue 
niemus PQ__hocmodo. Polito fcdicetvbicunque oculo ad partes ED 
iu tamen, Tt afpiciamr pnndum P vnd cum linea AG. hoc cll videa 
oculus fimul vno;imuim lineam AG, ac punflum P; immoioq, ocui 
lo, ducatur FQ^ itavt PQ vna, decadem linea appareat cum AG; erit 
vtique inuenta l‘Q, quxtendetin X. cuius ratio cll, quia ftmiliter AG 
PQ^ eodem plano exiftunt, idcirco PQ tendet in X. riquidcin X cflj 
in AG, dem plano BM, in quo cll FQ. cadenique ratione inucnic; 
mos NM, & alias; qux quidem omnes tendent in X; quippe qux lineat 
horizonti, &intctleparallclasoflcndcnt. ! 

Prxtcrea polUimus ({uoque lumine loco oaili hoc modo inucnirc li> 
neam PQ. collocetur enim lumen Ita, donec vmbra ipfius AG appaf 
reaiin Pi nincimmotoluminc, vmbra ipfius AG in plano B.M erit iit 
PQ; &itainali;s. I 

Cxtcrum ( ne in rrugnum incidamus errorem d multis fottaUe non obt 
rcruatum)clllummopcreaducncndum. quod prius in plano BD d puni 
flo' B ducenda cll linea, qux tendat in X;fiquidcmXcll in plano BD at 
Ipidcndonempcfimul lineam AG, ac punftum B, vt didum ell.iml 
motoqucoatlo, ducatur linea BC, qux fimul videatur cum AG; tunc 
enim linea BC in X tcpdet. pofieafupcr BC collocanda cll fupctficict 
BM, vtparictes BH BM fupraplanum BD libi inuicem credi apparcanq 
deinde in BM fccnndum AG ducendx fune linex NM PQ, & huiult 
modi aliXiTtdiximus, idem enim cll ducere lineas fecundum AG, ac fi 
inpundumconcuilUs X dudx fuerint, qux quidem omnia ex didis mai 
nifeUa funt > | 

Obferuandum vero cll , qu6 altiot fiicrit oailtis , de per confequens linea 
AG ab horizonte, c6 quoque fpacium BCDE maius prouenirc. tunc 
enimangulus LBC minor cuadct;fcmpcr enim rcdo propinqi iiqr e rit, 
qu^ rdem ob eandem canfam quoque contingit ex minoti pldlir BtrCum 
horizonte inclinatione. Nam data linea AG immobili , qu6 minor fuc> 
rit angulus inclinationis plani BD cum hotizonte, c6 longius pundum 
X d pundo G dillabit , liquidem X cum hoc plano conucnirc debet, 
quare minor quoque angulus LBC cxillct.cx quo fcquime fpacium BC- 
DE maius cxillcrc. Quod enim diximus de linea BC, de linea ^quoque 
DE didumcITo intcllicatur, 

Vcriiin priufquam fit determinams oculus , lineaejue AG, conuerfo 
modo progredi quoque poflumus. quod quidem propter praxim fonalTc 
non erit inutile. Primum itaque fiat inclinatio plani BD cum horizon, 
te, qux quidem liat ad libitum, ac vCluti oportere duxerimus, deinde fpa- 
cium lineis BC CD DE BE contentum terruinabimus. quod vtique fici 
in hunc modum; nempi ducatur primum linea BC, qux cum LB an' 


gulum queincunquedamm,fedobmIiimciliciati &ad alteram partem li 
nea fimiutcrducamr 


ED ipfi BD xqualis;itavt acuti anguli EBC BE 
interfefint aquales,- qux quidem linex ita ducantur, vt Ipacium P>CD 
ptoucniat ,quomodocunque nobis magis placuerit ; qnod quidem . & pro| 
* ptcr perfpcdiuam, & ob ea , qux funt in BD rcprxfcntanda, nonnunqtiar 
^ ‘ ' uo pniis 


' 

°1 



yjjulj 




ijo "P Wk ip e c t t V Ab 


•Ji.uill- / i'iii ; I f.' - " 

■■■ 

.ittN.t M- -11 ;a(-- 

' . i' ' 

.■n;; : b joji .f .'- 1 

■ •• rtiij; . tlV 1 


T:l |)A 


i. •[ 


T 1 ; r»i • ■ n 

, tj/v j 

ti Wh' J l 

' 't • :M!o; . 

■ • UI on..I 
.i o ;s '( (li I 

ii't : Juit 


. i jK 


• -j. 



. ; 

- , ‘ 

>. . 




!:I flP 


■iX 


c , l'i' ■ .1 1 </. 

:■ ( ji •■« . •> • 'H.Miori n 

I. f joii «ijn 

j:d 

'.inil Sb , CMLi Vij fllv 

■ ,0A MipcvMl , i: ! ■ 

■i»i ifiixevj TS:',Cin m3i..uf. ; 

' ■''JH mnv Qn Msl'jonr.ri . 4: 

'-M. j!) . >x:iiir3*tib 31W' 'o 

;■ iV bOl.|> . .'•.'(r : llf. 

i 't ■ t ,'.^7 ; r,i 

' : rnrv.li ’ .ji .uw i.j ; 
y JsJi.l- iJ< ! -!i . 

'I ** { ! ’ ‘ 


.MIC- ifl- 

.1' m wt.i;- 
;U.;i jIil. -.UpOl-p 
(ti£imii‘i . 
3i.,(fM'iK!rll>ei' ;■ 

3ff f. > 

>1 .il.minijjiiir: 
i i il'.! 'i^ ii ■ 
stij) . 

' . r ii.' ‘ 


p I - 

i' of;rr:j MCitr- 
.nx-. tm,.iu HU 
.iCi 

IIWUV 

.'lOJ^OK^olOr:: 

. ?! I./ J!u/. 

. ' ''m 

u^nnrin :r‘ 


i k\-: 

i-i J 








I viB ER) 

'frms^tcfmirijV?ra!lic oportunum cnt7 ncpuntu CL) abimuiccm vcl ' 
•propinquiora, vc remotiora, qui m opus fucrir, proiicnianr i lincarduc BC 
inuicciti, vcl longi nimis, fiue propi nimis concurrere videmur • 
Icd ( pricipui ob peripeatuam J coiiucnicnu diftantia intcrlc conucnircao- 
pwanri quandoquidem fccn* idem quoque continget. Hociiaquccon. 
luturo nunc AG lurium, dcorliimquciiamoucndacft dummodo fvtdi. 
«um cft) medium Iccni femper obtineat, Icmpcrquc horizonti cauidi. 
ftans cxiftat.donKcxillenicsin parte ED alpiciamus per AG iincam 

linCZniie ACi HC . vn.i m M/t» I.M^ 



M 


Hisinuentisad pariemmdinifionesaccederc oportet. Vtieitor inBH & 

BM lineate poflimusportasfenefttas , & alia huiiilmodi , fuamque rcniirc 
appaiwntfymmetriam, io plano quidem BH longimdines.&latitudines 
fientabfquc pcrrpcauia. vtdiaumcft,atin plano BM primiim in hunc 
modum fieri potent. Velutifi portam collocare voluerimus, qux in me. 
dioMrietisexiftcrcappareat, ducantur AP AQ. rvt in altera figura) qux 
fintWizontifquiditontes.quxqutdcni latera BN OM contingant -et* 
Ttiqme pUnum APQ (duOa IcUtcet PCt) horizonti xquidiftans . ic in 



X 


LIBER SEXTVS. 


, 

hoc calu in Unci PQ. linea ipfi AG parallela apparebit, cll enim AG in 

eodem plano APQ; fiquidem omnes lian horizonti paralleli, contie. 
muntijue AP AQ AG in A. vnde PQ rccundiim lineam AG duda 
eu. Quare ducanir QS non Ibliim horizonti , verum etiam ipli AG c- 
quidiftans;qui quidem erit in plano APQ. Intelligaturquc Qb obie- 
Uum, ouod quidem leprircntandum (itm BM. primum lanc conllat, 
exoculo A apparerem PQ, cxiBaiiibus viliialibus radqs PSA QA. 
luquein QS figncntiir punda TV. ita vt ST Iit iquaUs VQ_, intelli. 
gaturque _Tv latitudo poni , diicanturque ad PQ_lmci AVi' ATZ, 
a pun&isque YZ in plano BM honzunii ducantur perpendieuUres YI 
ZK, qui proueniant vIque ad lineam BO ; hi quidem linei oftendent 
latitudinem poni . Pro cuius autem altitudine inuenienda , determinan.l 
daque,fumcnda cft altimdo 111 linea BN; quoniam BN eft in vtranuc' 
fc^lione BM, & BH; inquaquidem BH tes ollcnduntiir, vtlumiouc 
quidem altitudoadlibitumncri poterit, quamuis etiam Se impia KZ('p‘ro-' 
du£ta fciUcct, (i opus fuerit) potti altitudo determinari potent. Itaqucj 
fumatur poni altitudo BL: & vt diximus, fecundum lineam AG, 
punftum L ducatur linea LuS. qui lineas KZ lY hxet in punflis' 

nimirum I9 portam oftendet, qui in medio parietis apparebit coi- 
locata. Nam planum BM rcprifcntatobiciaum.quodcftipU AG equi- 
diftans. quare cum fit Q^ipfi AG patallcla.ciimquc fit TV in niedio 
line* SQ... apparcatque TV in ZY; ergo Ksilfcl ponam oftendet, ve 
propofitnmcif . Eodemque modo in linea QS terminabimus fcncftras.i 
fecundum fuas latitudines, vel aliasaharum rerum diuifiones, punAiquc' 

ex A in linea PQ_rcpcricmus, a quibus horizonti perpendiculares duce 

mus vfque ad fenclirarum Cium , vel vbi opus fuerit 1 qux quidem latinidi 

nesoftcndcnt;quarumdeindcaltitudincsdeterrainabimusinlinca B.M li- 
neasque ducemus fecundum AG . vtdiaum eft. critque altitudo. lati- 
tudoq uc determinata . 

Verum, vt hanc praxim faciliorem reddamus, feorfiim exponaturtrian- 
gulum APQ in «ftri fitque «& xqualis AP; ftr veri, & r« ipfis pQ 
QA fint iqualcs. Dcincic fiOa xqualis PS, ducatur r.t; qui pro 
linea QS dclcmicti qui quidem linea M dmidatur primiim ad libitum, 
acpcrdiiiifiomim punfla ab ■ ducantur linci, qui Iccent &r,- 5c (bcun- 
dum diqifioncm linei Ar, diuidatur PQ; citcraquecod^ptorfusmo. 
dofiant .fimiliterquifitilatitudincsinucnticnint. 

Sedvtcxquifitius omnu fecundum fymmariam imicniamtis.loco Ii. 
nei M. ducatur At ipfi ^ iquidiftans; quam quidem intcliigctc pof- 
fumus efle latitudinem patietis reprifentandi . ideopnmum , quoniani di- 
ximus, nos poncducctelineam OM diftansi BN, vtlibiicritinuneip.j 
fam OM ita quoqueducercpotetimus.vt determinatam latitudinem le- 
pnlcntet. nempe intelliganirfdnAiseifdcm lineis) punaum Qcftc qui» 
demin plano BM; ignorenit autem, an QJitvltimus tcrinimis latitudi-' 
nisiacptoptctca PQ_nonfitin Q, terminata, fcd ex O infinita; quam 
primum terminetur A<> quifitvera latitudo parietis, qm intcllieiturcirc 
adaiigulosrcaos cum pariete BH. Nam fi linea eft parallela ipfi AG 
fimiliter Jlr tanquam ipfi AG paralleli intcliigi polTuiit. Ideoquc 
iS prolatitudincpatictis ad tcaos angulos cum BH exiftcnris dclcrmrc 
potcft.quareducatur «ri, &fiat PQje<I«alis ftr, ducamrquc per Q I 
linea MCM horizontipcrpendicuktis.&ipfi BN equidiftans; mmimTTiI 
apparens latitudo panctis BM determinata erit. Hoc determinato , pro 
diuifionc potti diuidanir linea Ac, exempli gratia in <?; ita vt »A Iit a;- 
qiiaJis fc; fitejue vera latitudo porri ; poitea ducantur «» «J. quili. 
■eam Ar diuidant in kA; deinde dmidatur PQ in Z Y. vcliiti diuila 

- eft 


Digiti 




Goov 


r 


pf- 









- MVI B ffRD 3 BIX» W S.M ^ 

cff jir in xA; oftcndct limilitcr ZY latitudinem ponz. etenim ,cum fit 
jA ^quidjftans liiicai •( «• lineam jA in eadem proportione diui 
dcnt.vclutidiuilacA <&>, propter Umiliatriangula ,quxefticiuntur . Idem 
i|iiiit accidit linex 6>, fiucdiuidatur At, fiue fiu attamen meliut c(I 
diuiderc fci, quim Af, quoniam m |&( res diuiduntur, vtfiintj ouia 
rcmrn magnitudines, lymmctrixq,- feruari pofiiint ,vt llMt: quxi quidem 
in lecundum proportioncm£acicndxlunc;ctenira eu xqualis Ia 
tinidini ycri parietis reptxicntandit Unca ver6 minor exifiit . Inucn 

tis Igitur punQis ZY, extera cddem modo fianef ehtque inuenta porra 
fedinddm altitudinem I Sclantudincm. 

NcquC prxtereundum clU aliquando nos ob commoditatem ttiangu* 

Ium •fi} triaingulo APQ^ 'minus quoque efficere potTci oportaautcm,j 
viinterfdfintfimilia.-vclutiquoqiue »A} fimilc triangulo ASQ,. deinde* 
pofiumusduaftehneam fit i^i A} parallelam, ipfarumque A} al>! 
teram ramum diuiderc, vt diduincfti acpctdiuifionum puniH ijncxdu-j 
cantur ab «,}qu'x l'ccent fi}t denique vcluridiuiCacll fif, dtaquoque, 
Iccundiim eandem propostionem diuidanir PQ^ qux quideni puncta' 
fimilitcroltendenf rerum latitudines; extetaque eodem m^o tiantiom*! ' 
niaqucfiinilitcr redi rcprxloitata erunt. X 

Nutieponx profunditatem inucnireoponct. quarcducanir Unca siV fc- 
cundum^crafiuudinempiortxrcprxlcntandxifitquc sir ipfi fit panllcla; 
ducannitciuc 4r ipfi perpendiculares: linea vtique poitx pro- 
funditas brir;'ital{uc ducatur K«, qux Imcam fi} dilpclcat in f: demde 
ia Unca PQ fiat TiV ?quabs Af; ducatolique ai'r horizonti perpendi- 
cularis, patet c^i hanc oltcndcrc ptohuiditatcoi pprt». Vcrunl neque 
ptxtcrcundtt|n^> in bnca quoque fii, fi opu^crit , nos coluitinas dc* 
iqrminarc pofiq, qux fine paririibiisadhprcaut,/iuc minus (vtfcjUcct pot- 
tiens ^parcat ) abaque fitiiilia iudem in fi t, dcceaiuiiaic poterimus lixun* 
dum (uakJatftudiiKs quaruib quidem prptiinditarcs eodem modo iuxta li- 
neam fit determinabimus, qux quidem omnia ptimunvin fi}, deinde 
in PQ^ conftitucmds j vtdidum eft i Cxtcraque fimiliter eodem modo 
‘liant (nimirum omnia, vtopoitet, apparebunt. | ^ 

HaAcnus oflcnfum cft ( qiiqd in BM ' linex ,aiux ofiendunt Uncas horic 
zonrtcrcftas, horizonti pcxpcndiqilarcsruntduccndxivt Kp; qux vero 
Uncas Iibfizonti.iplique AG pai^llclas oitendere debent, fecundum li- 
neam AG mtK4ucendx,vt pp, <n BH vct^-vrdi£tumcftJqu{oftcn- 
diint lineas horizoftti pcrpendiciifares , horizonti itidem perpendiculares 
funiducendx.vt fv; qux vepo oltcndunt horizonti, & ipfi plano BHpa- 
rallc asjducend; funt horizonti fimiUtcrparallclx , vt { s. 
s Pexicr hasaiucounucniendum cfi , 'quomodo fim ducendx linee iifBM', 
qkjxoltcndant lineas horizonti, nccifon ipfi AG quoque parallelas :qu( 
qoidcmfunMilano BH crcftx . quodvtiqucficthocmodo. nempe inuc- 
niaturin AG pUnQum R, qutMfitinplano BH: quod quidem fiet, fi i 
quooinqnc pji^ inlinca BN lumpto, ducatur Unca ad AG pcrpcdieularis , 
quicintclligatur^ttingcrrin Jt . mmmimhxc Unca in plano BH exifie- 
rct.quiaihuicluul*,pIano4uc''BH linea AR perpendicularis eflet. Ciim 
igimr fit pnndom R in plano BH -, 'erit punitum R punitum concur-lj, , 
Ius dnuihimlmc^ni, qux funt horizetin,<tjpfi AR parallcix . quare , ,, 
huiufmodi Unea^ild R duccndxfant,- vt fll,— qqjs-cprxfcntabitcraffitu. 
dincmfenefiTx,qucimcIligituc plano BHjCtcda.''QuOd tamen abfquci 
punQo R quoque fien nempealpiciatur f-pCr lineam AG; Uumoto. 
que oculo, ducpmr (<p, ita vt vna,'3c carfem Unca appareat cuiu^AGjl 
eritqueinuinta hocuamquemodo f^tenditin R. quodquidemt 
czanccdiltismanifelhimeft. j - 

inucnien. 


* 




uiyyv 


W oiiair I 


II SH 


IffU ■ 


otomvuprr;. 


■ K I 


I96 R E Ri S P E C r I V^AE 


-r- — -1 

, r 

\ 

J a 

W 

x^ f r 

'i 


-J-JLL 


:- :h.H.iJ 3 U ; t)K irj! 1 *T' ■ 

,; .^rrjn .■ -".Ii 'iriu 3 ni;. !/ 

H .<■ , :f . «'f 'ini-lqirni:; 

i.liivib-j’,"n{ • '. . 1 -iu 

.;iix5 H3 oiixlfin n;i jsi! :ni||.f(i:;' 

■i,, '•whti;;.' ' 'J'i 

I .n n rrujTinii" !'i«ii/r.Lq,l»i<7*i 

'O . 


IW 


y 


'LTBiETiDsaiX ar w a «i a?7 

Inuenicndumcftprztcrca quoque • quomodo rcprxfcntandzliac linex 
in BM> quzoftcncUnt lineas honzontiiipllquc BHi hoc eft plano BH 
parallelas , qux quidem erunt tanquam ipfi AG perpendicu lares ; & appa- 
rebunt tanauam iph BM acCt* . Itaque ducamr ab A linea AX hori- 
zonti, & plano BH, hoc ell ipfi BE {quididansi quod fiet, fi GAX 
jfiictitangnlus tedus. Itaque fi producatur AX, donec plano BM Cf^O‘ 

' idudofcilicet^ occurrat ferit vtiquepunQum X in linea PQ ex P pro» 
fiufta.G quidem PA QA PQAX in vno ,& eodem funtplano horizon- 
. 11 parallelo) manifeftum eft X elfe pundum concutfus linearum , qux 
liintipfi AX pataUelx.fi igitur ad X ducatur Ikr, oftendet hxc profun- 
ditatem portf tanauam ipfi BM crefbim 1 quandoquidem Bir repr^fen» 
'tabit lineam ipfi AX parallelam. Atverb quoniam perfiepiafiu inueni» 

' rinonpoteftpunilum X in plano BM pr^tcr multa impMimentafupe» 
riusailan.proptcreaintelligaiutpunflum X non efic in plano BM; de- 
inde fimihter afpiciendo per AX punaum B>, ducatutque Btr, qux 
cum AX appareat linea vna , tendet vtique Dir in przutum punffum 
concutfus i quod quidem , vtanteademonfirabimr. inuentaque erit pbr- 
txfimiliterprofunditas,quxvfi{Ue ad lineam rT peruenire debet, quod 
idemfictlineis, quxofieBdiintcralTttudinem fcncftrarum plani BM. Ne. 
que przrereundum eft ad inueniendam Irneam !<>t, nos omnibus aliis 
modis iapraexpofifis, quibus lineam PQ, imienire oftendimus, vti quo- 
que poife 1 quod & in huiufmodtalijs efficere poterimus . Vt autem omnes 
lincxportx Ip inueniamus.cum fitiaminuentumpundum r.- fugitur 
i punflo r dicatur linea rj fecUndiim AG, qux ipfi Ap apparebit 
pqaidiftans,- eiunt lincp in fuperiori pane pone apparentes inuent; ^ qiiod' 
idem fierin inferiori parte .& ita in alijs . 

Quod autem fpe^t ad dinifionem plani BM, fi propofitum fuerit di- 
uidete BM lineis horizonti perpendicularibus, qu; oftendmt planum in 
. duaspqualcs partes diuifum,deindeinquanior, & fic deinceps, duc.intur 
diameui BM ON occulti, & vbi fc inuicem Irant.vt in «, ducatur li- 
nea horizonti perpendicularis ;& quoniam BNMO (Ytoftenfumcftjpa- 
tallelogrammum rcprxfentat, patet diametros parallelogrammi apparere 
inlineis BM ON, fi diiftx fuerint. Vndeparallelogrammi m^inna ap- 
paretin m fiigiturintelligatur linea ■ vfquead NM BO peningere , qup 
fit horizonti ereffa i linea \ tique horizpmi perpendicularis, qux tranfit per 
medium parietis domus reprxfemandx, apparebit in hac linea » horizon, 
tlfimilicerpc^(Bdic))laris.. Qiiatccadcmtaiianclioruinquadrilatciorani 
diametri ducamur, qux fe inuiceui iccent ia ix> i quJmfimibtet per» 
pcndiculares horizonti ducantur vlque ad NM BO lobjtan-inBi c»u- 
fiun', linex , qnx.diuldunt parallelogtauimum p,vretisitRpu;it^auiU ui 
qdatuor pariet (quales, apparebunt in xn, XivctbdiuillqrjfTplucrimju 
^ansm^BM: perdiuifionesimpaRS,piiinbrulusiuueniesnusin.liuca&i; 
iincis^ueduaiaad « fecabimus lineant Ar , & fecundum liasdiuifionet 
diusdemus PQs denique ab!>« punftis thacemus liucas in BMjhqrizon- 
ti perpcndioilvcsiiccitque (ani paries BM 4 iuifiis,.vc propofitum eft, 
qnxquidcmex. dsQispcrfpjcuaftint, . . . ,i 

Si autem planum BM per apparentes Uncas horixootij,.fc:ipfi AG 
parallelas diuidere voluerimus , diiiidafurBN quomodocuoqtic kpiigcib ac 
rerdipifionei Iccundutn A&Jinez ducantur i Vtdiximus , planum 'quidem 
BM diuifitmappareliic,.vipropofitumfuerit. : 
h.Prxrerca patie»»m;,BM .(ecimdum qnamUbei diuiConem expedi- 
-ci fixxodum ^parentiam diuidctui ea «lettvpdio , qua in-, quarto libro 
.fropofirionc mgcfiatatcazia 's & crigcfuDaquuna vfi fuimus i k exempti 

■ ■!.. jrfi -- .,1 . riii,. 

I; Ctr.iz. 
frmi hu- 
ius. 

' 

• i Pp Sint 




1 • . ■ ^ 

I . , 

Pigij^byQsO^l | 



i 


r 




l 

i 

i 


1 


Voft: 

* ^ — 



.f. j Ad ;p;iiqi,iiitIu>ibn3.(iTi iliioiiTOfl 
i jl;nif)o inanit/ liltlTJioTiujh' 

•jil ;fin/.M;l=up jKfl rriumr.; 

/uwqqi, ;|I wiiil OA nisa» 
iiip EA ,3Q uftnuijni Ad ito tli^ ^rui3 
. «u.Af .uMuoiiJiloTiEup mabo.-iii»' 





’j 


3/t Vbct j'SiE<X2r jy 3. q — sr 

raTtitof rn TrJ ^a nw'im ^ '7CT^ TTKi>4.Lj ! n i i " v 


• «“«nlTlildligenda luntdcomhiBui 

ti?rt ■^* ‘ 5 “®^ eft fimiiitcr unquTrn ^ 

indaiu^rer «2, qn*lincam'^r projuOamftcctin. 4; roftcaprodu 
caiur PQj TJanqM Qy£ *qual« T4; critvriqii^Q^ apparcrts^ftaiJ 
tia intcrldoinps;_fiqu>dcm di pro latitudine vciJa^as cxifli^ & 
t«qaa^ vera diftanna Inter doiioafumiptr.. q^p%^ fa fcena 4 ^a“ 
bitin Q^. ijropter r^. jta^ue ab ^ijn~ 
nimirum erit ^xc parictiim *» cQmmunis 


E cwgatut horizonti creda i 
tonis Ic^iq . I Hac quoquq'ntioii( 
trimusi 00 l^ufin^ih aliaj 


\ 


'A 


.... — . » ^vintmiius ICCIIQ.: «ac QUOOI 

latitudinem paocus o'detcriiliiurcpoterimusi(fc|riiiufin^ ^ 

( ^ A ; ' ^ ^ « 

m vJio.J-ctxlenipiinr duo pa«5dP»tcprifcnta« 
E- fuperTinea £D/q^‘n p^^^ 
vt pertineam AO viijcndofonauin 
E ducatur linM cum linea AC 5 f vna.ftcadcnv^a SbatS^ 

Ctque planunT^E 4 fefeonti eredum , itfquodncaturhbrizon^^rpen- 

c P**^ » oporteat appffens plin^. 
^quaihtpfi n^lWum oftendere^rimh/n quidem in ie lineas) 
^^ua.vtdi^nii^ dc pJ^o BM. toc eft/qn^iSS^K 

vbicunque docanwt 
‘^‘ 5 >r?<'enurc 

I hOTmpnt^ ,-^lanoT Bir, irnexduc CIP parallelas, 
quonuirtlunt ip 4 AG poip«n^iculares»ctuqt ipfi AX pa^lclx. ouare 
4 J[jr duccSxfBiir.vt tf 

pundum eft m Imca Xii^ pPoduda, & in «o'pundQ< vbr pl^ Ei ^ 
moqoduiJxrcpoxfcn/aBur- '■ ^ 


t; Car, 


* ‘^L ’"P^tx^'A *?®1*" *>E in eodem plahocllc'*'' 

plano BD TOparcbitjquia £'6 pft tctmidji^r- = - ’ ■ 




cum 


.. vm»44 4«j i/mp ijuaur\in p/ ^ ^ 

. qux igitur oftendunt horizonti . plano^c 'biI pw^^ 
wm4n »4, q^noin if fecundum hneam XA funt defcrifacndx . &quc 

iP'* P«»llclas.llmilitcr fccunddi 
comml^. *f hneandxluntiquia tendunt in pundum 

E 4 non fuerit collocatum fuper li- 
®P°^‘'«44$<‘n>*^“duceTc'Km3s,quxipns AG AI equi- 
prCf^onlltiidipn«4>imua fimiliter emJem 
modo appare, tantum hoc adnettendusicft in plano £4, quod loco li. 

S^ernt ft‘^ndfeTdif{^ AG. vt omnia fibi 

muicem refpondeant71^ciStnini--iatioi)e linex fecundum A& AX 
frm;ui'”p^”^ concutfus tenderent , qu{ quidem omnia in al^pjanitob- 




Vt 



P E RS P B C T4 V AE 

^ 


H / UJ B BTO S V-S ."i ^05 

'ViauKDidiuidamus *llf, pnmuih, vtics fecundum Uus latitudines 
ioucniamui, ducantur At \i horizonti 9 qnidiftantcs i duflaquc td, 
deinde dncatut »k ipfi AG parallela , qup horizonti ciit pquidiftans, 
<iu*diuidaturadhbitn»i,& per A. &pcr punaa in r k inucma fccabi- 
mus td\ quenudinoduindizimus de lineis QS PQ; exteraque eodem 
modoham. Parique ratione ducatur A| horizonti pquididaosi iunea> 
lurque *n deinde ducatur »,< parallela ipli CD, vel XA; diuidatut- 
que tg vtcuoqucilimilimodoinuenicmus ex A in dg punaaapparen- 
liai&ceiiquaficnt.vtin diaumeft. fiueobeotnmoeiiatrm triangu- 
la Ari Arfx ,i“**‘u»ntt»t>s%wwurloeuiu,vtfaanm luit c/&i triangu- 
loi diuilionesque in td dg taictlitec inueniemusi extera vero, qux diaa 
funtde diuilione BM, onUtigi eodem modo iqiienicmus quoque in <ri 
4/. Vel expediti omnia inue$icmus criaiii diiiidcndo pnmum it, ex 
quibus diuiliond>us line* in 4;^ lecundum AG, in t/ vero fecundum 
Uncam XA diiccnd* lunt ; vt antea diaum eft de diuilione BM. No* 
uiflcvcrA non etir inutile hneap dt dg eflein ditcaiimi cum line* At 
,Ad Ag in ynt>,&eodcm lint plano horizonti parallelo i veluti iii vno 
( liint plano linep quoque Bf 4* i»«. vnde cdg horum planorum erit 
'communisfeOio. acprdptcrca refla eA linea, qux horizonti quoque pa* 
rallelaexiAit; in qua quidem linea tg cApunflumconcurliis linearum jp 
fi XA pquidiAantium . quia XA> dum plano £< occurrit, in lifiea tg 
■ ex g produfnconcurriispunflumcxiAercncccAc cAiliquidem XA tg 
! in vno, & eodem reperiuntur plano, veluti quoque ob eandem cauraiq in 
eadem gt ex t produfla concutrus puq^um irnearum »pfi AG pqui- 
dlAantium cxiAit. ^ / 

Ob commoditatenf autem lineandi, atque pingendi, kiuentis lineis ea 
4m, cf 44, atque tg, oponuiiumcrittianslcrre planum Ea invium fi. 
tum, in quo ex vtraque parte tantum adfit fpacium, vt duQis ea 4m Ii- 
j neis,fimulconiienite poAInti veluti quoque du^is efJH, qiie qifidcm 
omnes cum tg conucnient. ex quibuspunfJisfihs, feufunieiilisin ipGs 
collocatis, vtficri folet.lirtcas apparentes fiimma faciliuttc dclctibcmut , 
punfiacnimcxvtraquepanti inucnta, funtpunflaconcurliis. ciimtjv.pla 
num Ea fuo loco repoutum fdeeit, omnia d^Io apparebunti vt opor 
,ct. quod idem fieri potciibplaqo BM, 'Aalijs^ 

Qu6dfi Ea transferri noapotes, plurimas poterimus in ha lineas fe 
ndiim AG 'deletiles ducere^ & Ip te itfilein.rUultas leaindum XA,* 
[ue inducendis lineis, qu; hotizonti patallci* apparere debent, fummo» 

_ cte conducent , Vel potefi crtamdiuidi t'p' in multas partes pqualcs , & 
jin totidem diuidere latera ma tf, vi,cumopiis fuerit poAimus a punflis 
Jfibi cofxctminalibus lincasAuccrc. rft»,n im pim/s-, concutfus Icnipei .. 
conucnicntifiquidcm fiunt fcmpcrtridhgulafiniiiia. efienim iemper am 
latusbafi ~ke pqiqdifiansiambotjuc lecundum eandem proportionem di 
uilaiquandoirnidemcAliait be ad td, vt am ad mt, &vt fb ad4x- 
Vnde ea dt 4i»,in vnuni, &idcm punf^iiin connenient, veluti ef dg 
44, Hissta, vclaitjsmodisiqhuncvfumalTumptis, omnia prxlcnti nego 
cio mulhim coqfaenti que qoidc(n onima planis BM, s, A fimiiibus 
ahis delcniifcpOK^nt. 

NUnc autem- confideranda llint' ea ,.qu*-iu^CF deferibenda funt . & 
quoniam AG cB ipli CE- crefU, A horftsntTparallcIa , A cit planum 
CF pquidiAans BH, primumTnpl»n<tjij quM parictcfn oAcndet ipfi 
BH pqitidiAaniem , onmia deferibenda mhrrvediflum eftdeaplo BH . 

At vero fi in n a alterum parictcui rrprmfiuiiatc vnliif rmima , q«1 jd re 
aosangulosappmcatcum\i>F, omniain no funtilncandx,vf-in'BM, A 

qux funt bociaonti ' ^ 


4 a diflum luit . parique ratione an-aE-,-Ac. 

Ca. 


crcQa, 


22 . frmt 
buuu. 


4 



LIBER SEX 'rvS.. 

creQa> liBiilitcrliorizonii pcrpcndicubritcr facienda funt. & quxfunt ho> 
tizonti. & plano aFi ac per confequent ipfi AX parallela, in «F dii- | 

cenda funt ipfi CD,’.ac horizonti parallela , (imiliccti^uc in ■* fcciint 
dum lineam XA fiint lineanda, ea vero > qux funt horizonti > Sc AG 
parallela, tam in aF. qulm in a* adpunfjum G ducenda funt, tan. 
quam ad proprium pnn£ium concurins. hoc namque modo du£la erunt 
fecundum lineam AG« cademqueprorfus rationelincandumeftplanum 1 

f, vt aF, li:d q, vtao. qux quidem omnia ex ijs, quz difta liint,per> 
fpicuafunt: Qux vet6 ad diuifiones fpedant planorum aa f, fiet , vt 
«tQumeft de lineis PQ.de, acdcplanis BM l>a. 

£x his omnibus , qux hucuique difta luiu de fccnis, peiipieuiim cfV, om« . 

net lineas, quchorizonri, & ipli AG funt parallclx, in omnibus planis , 
hoceflin BD, BH, BM, •r, a, tt, b f, CF. tanquam in fcaionibus, 
fecundum lineam AG rc£li reprxfcntatas cflc;omncs vero lineas, que 
funt horizonti, & ipfi AX parallelas, Iceundum lineam AX in omnibus 
fimilitet planis cITcrc^i Uncatas. 

Hxcenim exfupcrioribusmanifeftafunt. quiatanieninpiano BH (ve< 
lutiquoquein a/, & hiiiufmL>dialijs}lincx, qu.x funtborizonti, plano* j 

4nc BH parallclx, abfquc linea XA antea duAx funt horizonti paralie* , 

lx,vt tamenquonUm XA cftxqiiidiftans plano BH, & horizou- 
ri , erit XA ipfi quoque t m f quidiftans , quare fi per XA afpiciainus ! 

tm, apparebunt linca vna. fi igitur ducamr linea (m fecundum lineam | 

XA, linea vtique ( m rtClt duxerit, qux lineam horizonti pquidiflan- 
tem reprefentaoit. Pari^; ratione, quoniam AX cfl parallela niano BD, j 

idcircolinex CD BE, &alixdudx fecundum lineam AX ofiendent in 
plano BD lineas hocizond,& ipfi AX parallelas. Quando autem AX 
non efl plano alicui parallela, vt plano BM, mne lincx du£lx fecundum 
lineam AX, oftendent lineas ipfi AX, & horizonti parallelas, quoniam 
tenduntinpunaum concurfus, vt didum cft. Qux quidem omnia acci* 
dunt lineis liorizonti, & ipfi AG parallelis fecundum lineam AG duAis. 
quia femper tendunt in pnnflum concutius , quandoquidem AG alicui 
planoequidifians minimi exiflir. 

Ex diQis manifeftum apparet , ob deferibendas has prxfatas lineas in his 
pluribus planis, qux funt tot fcAiones,ncccflarias cite ambas lineat AG 
AX, qnamuis nonnulli fottaflefola AG pcrfpcQiuaminfcenispcrfice- 
repofle crediderint tciim omnes lineas in vnnmpuniloni principale con- 
currere ipfitvifum fiierit. quod vtique eis contingit, quia proprium offi- 
cium punflorum concurfus minus intellexerunt. Vtaiitcm eorum mu- i 

nutadnne magiseluccfctt, alia quoqueeonfidetanda occurrunt . 

Vt fi in CF parietes aliquot reprxfcntarc voluerimus , qux non in di< 
teftum appareant, vr ** f, qufquidcm in direflum apparent; quia, ciim 
fint in eodem plano CF, omnes linei, qux fupra, & infra parietes ter- 
minant, acalix,quasintelligimusreprxlcntare lineas ipfi AG parallelas, 
InidempunSum G concurfus tendunt. Itaque vtinueniamus, quomo- 
do non in dire^m appareant, ducamr primiim paries r, qui quidem re- 
fpondeatexaduerfbwrieti »•; hoceftin r omnes linex, que reprxlen-j 
tanmtipfi AG parallclx, ducantur ad G i deinde ducatur G f in plano 
CF horizonti pquidiftansj & ab A ducatur A/, qux quidem erit hori 
zontipquidiftans.quxfiatquoque xquidiflans pancti, quem infrena re- 
prxfentarc intendimus jdeindealtcresponatur paries t, in quo omnes li-‘ * 1 

nex , qux offendunt lineas honzonti, & ipfi A / parallelas, ducannir ad i I 

/V qnippcquxduftxeruntadpunQiimconcurfusjvtfxpioftcnfiim cft.* j 

Deinde adhuc altera ducamr linea Aa, dc horizonti xquidiflans, dc pa* 
sieti teprxiemando itidem parallela ictitccni a in linea quoque G/t fi. ji 

^ ' " Q_q_^ quidem ' ^ 




L JB ER • S E‘X TV S. ; 




AgaW‘,rcpre 

icadixiHiiM', ^omniiaqoodueofteim^uj. »' ■ 

Ei pluctiri plano Cf omnesapparfflfrt lineas horiattirii^rilTcIas 
VHcffchprjzohnfquiciiftameSiVel haDcte-punfla concurWs' m linrt yct 
■/G dtjr£te^^hbnti9(]uidiftanK,& 'rt Tteatjut Wahe ifi WfWifUni^n^n' 
Aa . (^onUittkbtctnliQ^ilqad Verba tafttttm ^eimns dc Meis'<iae^bii- 


!j 

MOaidem omnn Uncae AG Au Gf Isorizontiiiintpaiaudz. quare paucs ,! 

jilclcnbauit x'> ita vt tincae, quo; oftcodanc Uncas UoriaoUa, dc A« pa- i .1 
. ta Udas , omnes tendant in ». pcoenldubbio pacioci rax iil ductum >j 

-nonapparcbnm.quonumadpunckaconcariiu dhiccta Uncz dutbe; hinia t 

ac panes quidem r ipfi AG, t vero ipfi A f, & 'x ipfi A « pqmdiftans >! 

apparebit . ! 

Kxtcrcafiparictcmaliqucm, vt 7, ftatim lineare voluerimus, qui qui- 
dem apparear alteri , nempe z eredus , ducamr Ay horizonti ^quidi- 
ftan$,& ipfi A« perpendicularis; em vtique Ky in plano AG«. qua- Cvz.vii^e' 
re, cum Ut A«G angulus acutus ^elt cmm AGk rc^s^ fi producamcrim. 

Ay. cum «G conucnicti cr.tquehoc punduin pundumconcurlusom-fr i. Car. 
mum Uncarum ipfi Ky zquidifiaiuium. Quare ciim quandoque pro- ja.prngi , 
pter multa impedimenta (vt antea diclumcfi) hoc pundumaClu mucniri/>«Mi, 
DonpoUit, ducantur in 7, tanquam in pariete iuzia r collocato lincz 
fecundum Uncam Ky, cpias fcilicct intendimus ofiendere ipfi Ky pa< 
tallclas . nimirum parietes t 7 repexlcmabunt parietes fibi inuiccm cro- 
'dosiquoniam lineas honzonti parallelas, Aad angulos intcrlc redos fvt 
didumcll} rcprxfcntanr propter lineas Kt Ay. > 

Hacquoqucrationc, fi Iccundum lineas Ky A» duxerimus lineas in 
aUjs planis BH BM Ea, dc aliis , parietes aliarum domorum apparentes 
fecundum X7 difpofitbapparcbunt. quodad ddcribcndas, reprxlencan 
dasque domos fecundum varios fitus erat quoque nccciTarium cognolce 
rc. quod ctum multis alijs Uncis loco ipfarum A« Ky effici potelt. Hoc 
namque modo, fi opus quoque fuerit, parietes BM, dc •, dcaliosindi- 
redum non cxillece , reprxientare poterimus . Hactene ratione vari) diucr- 
I (arum viarum fitus repexfencari poterunt (Vcluti fi multi domommparic, 

<^tcs vtrinque fecundum lineas AG, niultique itidem alij fecundum Aa 
dclincati fuerint, vel alijs Uncis ; quouidem quoque m BM v • £a, 
aUjsquc planis cilia poterit. Neque enim ptoptcrca hoc videri debet in- 
conucniens , quia non on)ncs viarum ficus fibi muicem Icmper xquidi- 
fiant, vel ad angulos redos exifiunc . 

Itaquccuminijs, quz dida fiint, omnia rcprxlcntata finttanqnam ad 
redos inuiccm angulos , vc in parietibus fadum cfi , tamen fi aliqua vel in 
angulo acuto, vel obtufo reprxientare voluerimus, fiant yA Au non ad 
redum angulum, fedacurom, vclobtufum.ncmpi Iccundum qnem in‘ 
tendimus parietes rcprxlcnrarc.dc Iccundum has Uncas ducemus Uncas in 
prxfatis planis, tanquam in Icfbonibus , a^arcbunc fani parietes inuiccm, 
vel in angulo acuto, vel obtufo, rc propoUtum fuerit, quod aUjs quoque 
Uncis fieri poterit. . . ... 

' Qupd fi dbmnsreprxTcmantfa fuerit in fimpentagondiVerfiiirtgbilo, 

^c alib modo, fiierttoijc opus reprxlcnrnrc huius domus pancies, qui 
nnein angulis vc ducanmrab A linex lineis ipfius T, dchoVuonrl 
^juallcU^qllx finr A» Ar AyV diindo fcoindiim hasTincas'dcfcfiba- 
nhusin CF. vel in alio plano linegs apparentet, vt diduni cfi.hitiiinirh 
Iparfetesapparctont, vrpropofithhidft-.-i ' ;''‘i,n 

• ' Cognins igitur quomodo fecunddm varias ptofitiones pofTumtis appa- 


zonci 




I 


,08 p e R s p g c *n yiAfe 


lonti perpciuUculatibiu , fiue ipfi korizonti parallclif , i*o pioptet ha» p» 
MllcUiab A Jineaedua» fiint rempcr horizonti tquidiAamez. Ax vao 
Uncas horizonti inclinatas ccptsfcotarc auquantlo eft nccdie, li 
QtGohocczemphun qaoqaeinnacdtnaaffuienoAcritinniilc 



: Sll.p 

v.nr . .. 

’ nii; u' tr f' 

.. i 


Vcluti U (litucs domos f quales in feftione aliqua rcp«(cnf»e volui- 
mus , qux quidem non (int conftitntx in plano horizonti paialldo , 


cUnatOi quod exempli gratia iuefum tendat slk itidem oculm A, i quri| 
in ieionem ducatur linea AB, itavt AB fit Mtallela non lol^ plMO 
inclinato ,vctum edam Unes inclinats , in qua innt domus rcpwwitanM . 
Deinde B militer ducatur AG , qus (it parallela lineis ■ qus terminant In» 

1 “*.nores partes domorum, qus quidem fuppooantathotizomi parallelst, 

; in pluribus accidit, vndccrit AG hotizontiafquidiftaus. Dcindeuim» 
er ducatur AX horizonti squidiftans, ip(i tcm AG pcrpcndicuUns. 
is ita condituris, ducatur CD , qus tendat ad S< crigaqturduc CE Hp 
irizonti perpendiculares; darq; CE (ccundum quamlibet altitudin^, 
asm (cilittt intclliginiut ede altitndiaem domns apparentis ; dncaniurque 
H EF recundunuincam AX, intnitufciUcct,Ii AX aun (cdioM non 

>nucnit propter aliquod impedimenram, vel quia cueniat AX f^om 
irallela,cdctquctunc CEFH parallclogramnuim refUqgulom, linesq> 
jCH EF horizonti parallelz duci polTcnt. Quod fi A X cnmfeft ionecoa- 
’ “ ucnirct', 




. 


>■ ; 


y' 

. a- 


/ 


UIBER SEXTVS. ^09 

ncsuet t lincx vtiquc CH EF ad X clTent duccodz; lanquam ad pro- 
pnum pun^m concurlus. linca^ue tuncj punAo G adipium X du£ta 
dr« horizonti parallela, quz quidem «mniaex diQis pcripicuaTunt. Pri- 
inum itaque fupcrficiet CF pro pariete dcleniiet. quare ducatur IK ho* 
tizqntipc»cnaiculariS|difiani^uea linea CE primum vt libuerit, duca» 
torque EK, quz tendat ad G. proculdubbio parietes CK CF ad angu- 
los tcAos apparebunt propter angulum KEF, qui reftus apparet propter 
lineas AG AX. «ea ditiis pbnum eft. & quoniam zquales domos re- 
ptzlentarc volumus, ducantur EB FB KB, tanquam deletiles, deinde 
ducator LM diftansab IK primum lecuudum quamlibet difianriam i 
qozquidem LM fithorjzouticreaa, quzirfis CE IK parallela eninet i 
litque L in linea CD, M vero in EBi ueinde fimiliicr ducatur MN 
fccnndumlineam AX, ficuti quoque ducenda eft LS; ducaturd; MO, 
mzad G tendat; Ctque punQum N in linea FB. O autem in KBi 
deni^e ducantur OP NQ ipfi ML parallelz; Ctque punQum P inii, 
nea CD * Et quoniam linez CD KB oftenduntlincasintcrlcparalletas, 
fiqnidcm lineas ipfi AB rarallclasteprzfentant, linczverd PO IKoftcn. 
duntfimiliierlinraszquidiftantes, quia reprzienunt lineas hotizonti per- 
pendinlares , ergo POKI paiallelogrammum reprzientat . quare 1’0 
«qnalis ipfi KI apparet. Parit^ue raiiooe dcmonftiabitur LM ii'fi CE 
zqualem apparere, veluti quoque MO ipfi EK, & MN ipfi £f. que 
qpidemopiniaea^Qis faciUinii digr.olcuntut . Vnde Icqmtur domum 
OLN domui KCF zqualem apparere, quod idem fiet in ali;$. Fencflre 
vero , quz Kprzfentantur in parietibus Cf LN , ea, quzlunt hoiizonti 
giefla, CmaitethoriaontietcQa defcribcnda funt. quz ver6 luat houzon- 
M parallela, feeundum lineam AX iiqepnda iunt. quz ver6 in parietibus 
CK LO funtieprtfentanda, fimiliterquzfiimhotizontienOa, horizon, 
d erefla fiint lineanda, fcd qup funt horizonti parallela, ad punQum G 
tendere debenti ad t^uod per conAfluciu icndqrc debent fnpcrioies Bonn- 
nuB termini. Porro diutfiopcm parietum CK LO, dc rdiquorain. vc> 
luti quoque diftantiamintct lineas CE lK,.dt inter IK LM, &c. inoc 
ntemus, vt antea diQum eftdc diuifionc parietum , fine triangulis fepara- 
W.fiuc aliis modis, vt docuimus. Oqod fi>accidcret, vt EF fit ip/fi EC 
popendiculans, ac per coofcqutns hotizonti jquidiflans , CF «Ter lo- 
aaojBjum.dcabfqucttiapgulis, alijsquc diuidipotcrit . ia jpfo enim ics 
oqqilriuiiuut , ficuti fiint j vt aptea diaimus , quod idem fiet in ali» fimili* 
bu« planis. 

,, Ei^oadem ratione, fi opus.fucrir prpfatas oSendere domos, in plaao 
hdrizonti inclinato conftitutls, planum autem dcorlunt tendvjmnccot*.; 
uerfo modo fiet, ctitque, puti linea AB horizonti parallela; AG verfl 
■ eritduQa equidiftans line? , in qua iiitclligimuscnc vetas domos conftitu, 
us; Deinde fiinilitcr ducenda erit AX horizonti paraLcla, Itd ipfi AH 
• perpendicularis. & linez, quz duQz funt ad B, ducamur ad Gi & quz 
leaduntad G, dzeantur ad B. ezttriiqiic Clnili aiiodcS^fianti*: fafruml 
erit, quod propofitum fuerat. 

Hiucpcrfpici poteft, quanta fit vtilitas, quantumducad perfpcQiuani 
punQorum concurfus cognitio vera conducat i quz quidem maximan»! 
commoditatem piQoiibus quoque przftarc poterit. Nam dum in aliqud 
plano ( vtplunmumfictifoletJpinEunt, fi, vtncccftccft , oculi litum deJ 
; terminant , auxilio bneatum ex oculo duOanim fiicili negotio non Ibliira 
p«fpeaiuasoftendcrc poterunt abfquc Ichnographia, vcriim etiam fecun- 
|dvim has quoque lineas multotks , & figuras difponcrc , figuraramd; mul. 
«hnearc valebunt. o n. ^ 


I» Imcare 


Poftiemo 


EX 19- fi. 
mibunu^ . 


Vo_ 


PER SPE C T I VAE 


' ttc 



Poftremo autem , fi in 
plano BCDE.lupra quod 
tcciu conttruitur , aliqua 
Imcaic voluerimus , ita vt 
horizonti parallela appa» 
ream; mielugacut fimilitet 
linea AG duda>vt antea, 
phmumque dmidamr B£> 
uue CD in quotquot £• 
quales partes libuerit; du- 
canturque lineas HI KL, 
fllc. fecundum linei AG> 
vtdiflumcfii hx quidem 
omnes linex in punftum 
concutfus tendunt, vt ol\£ 
fiim efi . quare lineas re- 
ptxlcntabunt horizonti.de 
ipfi AG pquidillantes •, 
vt antea diximus de lineis 
BC ED. Deinceps duca- 
tur linea C E deletilis , qup 
omnes duftas lineas (ecabit;dc k (cAionum punftis ducantur line; MN. 
OP, Scc. ipfis BE CD pariUcl; ; nimirum omnia quadiilatcra often-j 
dent totparallclogtammapqualia , quorum latera fnnt ipfis BE AG pa-. 
tallela. Primim namque confiat BCDE paralleloitrammum horizonti 
parallelum oftendere; fiquidem BE CD funt parallele i fit BC ED pa- 
rallelas reptf limtant . Quapropter diameter huius parallelogtammi horf*i 
zonuht reprelcntandi apparebit m EC> qu; quidem diameter in plano 
horizontali ilincis ipfi AG parallelis m cadehi proportione diuiditur, vt 
diuifum fiiitlatus BE. ergo huiosdbmctridiuifiones apparebunt in EC, 
vbi fcilicer k lineis HI KL, firc dioiditur. Vnde Une; per diuifionum. 
pnnfiiaduft; ipfi BE parallel;, vt MN OP, fiec. totpatallelogtamma 
vni cum lineis BC HI KL, fiec. reprzfcntabunt . fiquidem in MK 
OP, fiec. appatentlinexcxiftenresinparallclogrammo horizonti paralie*^ 
Io ipfi BE paralldxtquxquidcraperdiAasdiamctri fediones tranleum^l 
Hinc etiam, fi angulos quadrilatcrorum conrteftcmus, vt HM MQ-,' 
Scc. alia quadrilatcra H(2^ QS^ fiec. lecundiim alium fimm rtwxfislita.; 
bimus. HulaTmodi^uealiamuiualijs quexjue nlodUi inuenih facilb po-^ 
terunt. Mdehis btis . 


; .rvi. 

•• m ju m'. 

;i . .IJO,?! 

iM oiiorp 


a:-. . T 

EXTI iIBRI 

flNlS. 


■fi: • 1 

... . > . . . 'i: . a PT ' 'trti. 

/. s;.. . j V - 

td: tiilj , .n •ii.tii.fi.fifr o'i 

; > 
. -- .... A 1 . . 

sW: ii.3 mu ,;q r/ ) 


'•[iliom! <! 5 ip dl 




't 


1' 
mi'-- 


Erracorum quorundam rellitutio . 


pj^sa %, tctTu i Harum itaque ftat os f 47« 4. inaqo jIet f 7 1 . i. ipfius RE . f 77« 
iiJeiSiaqueilnim>qudafiapua^Xq8i*jo. Inueocis^e^ ir». t^&GK 
«qualis Gcf isj« |.ipfi£K5 >1 TuprabE ^ 174. »4. tpfiGF^ iU. 4 . 
pnfmate f 199. iS. coUocaum ^ ao». t. jpfi AG f »of. %%. pJjnom 
LqHF f »|».8.puoAa GH 5 »}7«a^*fin]iiJicerlioeam la. ABCO 
piralleiogrammum f 141.8. cuiuscermini ^ 144. i 4 .docla PC^ad 
HF perpeodiculari» nirotrum 5 >48« 4 . ipfi MDO ^ ift. TKG reprsN 
Teuceti ^ i^p. |* vmbra NRQl,f 170. 4. Tigefimamoooam f 174. 14. 
rc^us CA« ^77« 14* ccrmuies>qui ia f 189. fi. ip& BC 


REGISTRVM. 


t ABCDEFGHIKLMNOPQJ<.STVXYZ, 
Aa Bb Cc Dd Ec Pf Gg Hh Ii K k Ll 
Mm Nn Oo Pp Q^q. 


Omnes duerni , przter t . 



Apud Hieronymum Concordiam, 


M. D C. 



/ 




-.ot! .l;iuiou'^mL-!ojiii 2 




• K 


fd, ' ■ '. p*«ua>^up«tii A.I »v 

: t . AU ; ; « IM T dO tikrM 
i >*4 f ui •** .«I .»11» f sltfnt i'| 

• » ro • i « <i r 

-;i.i.‘i> = L^» .rw > • «i ..I»«f 

lipj^CJT .*ii J r '« • f ; n- 

4 » . '■ • t t iwtl 

OU < 1 * .«4 t ' k» »1 ( «ittst 


.tT ? *??H -a ? .1»* t T *%• - '" 

^&ci .•! J f . • --- i 

’ ,tt .|J*4 } -O' '• *< '• 

*v 




.14 7 >i T £ r r^'n <t 


,x y X VT 2 ;}.p j’ .: if ! 'ir 5 ' ^ <T 0 fi"X t ' 

V iJ* iX il ilH-jic* i*i ,\3 I ‘ l. ‘--'/'cH xA 

. uti f. '1 vO tl r . in 1.1 . 

Ar < • , 


. t • ; Jtli rnO ’.‘ 


• I ;i V A i 1 ‘I V 

«» . , " 

,f. x.!^icj!^oD rmjn;Yap-i‘.>{H uijq.\ 


Vf 




.j a .M 












3
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Guidiubaldi e' Marchionibus Montis Perspectiuae libri sex"

See other formats
